中小学教育资源及组卷应用平台
第一章 特殊平行四边形 复习
知识归纳
1.有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.注意菱形必须满足两个条件:一是平行四边形；二是一组邻边相等。
2.菱形的性质
(1)具有平行四边形的一切性质.
(2)菱形的四条边都相等.
(3)菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.
(4)菱形是轴对称、中心对称图形.
(5)菱形面积=底x高=对角线乘积的一半.
3菱形的判定
(1)有一组邻边相等的平行四边形是菱形.
(2)四边都相等的四边形是菱形.
(3)对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
注意:①对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，必须加上平行四边形这个条件它才是菱形。
4.有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
5.矩形的性质
(1)对边平行且相等. (2)矩形的四个角都是直角.
(3)矩形的对角线相等. (4)矩形是轴对称、中心对称图形.
6.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
7.矩形的判定
(1)有一个角是直角的平行四边形是矩形.
(2)有三个角是直角的四边形是矩形
(3)对角线相等的平行四边形是矩形.
注意:①用定义判定一个四边形是矩形必须同时满足两个条件：一是有一个角是直角；二是平行四边形也就是说有一角是直角的四边形，不一定是矩形，必须加上平行四边形这个条件，它才是矩形.
②用定理证明一个四边形是矩形，也必须满足两个条件：一是对角线相等；二是平行四边形也就说明:两条对角线相等的四边形不一定是矩形，必须加上平行四边形这个条件，它才是矩形.
8.有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.
从正方形的定义可知正方形既是一组邻边相等的矩形，又是有一个角是直角的菱形，所以既
是矩形又是菱形的四边形是正方形。
9.正方形的性质
(1)正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质.
(2)正方形的四个角都是直角，四条边都相等.
(3)正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角.
(4)正方形是轴对称图形，有4条对称轴.
(5)正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，两条对角线把正方形分成四个小的全等的等腰直角三角形.
(6)正方形一条对角线上一点和另一条对角线的两端距离相等.
(7)正方形的面积：若正方形的边长为a，对角线长为b，则S=a2=b2/2
10.正方形的判定
(1)判定一个四边形为正方形主要根据定义，途径有两种：
①先证它是矩形，再证它有一组邻边相等。
②先证它是菱形，再证它有一个角为直角.
(2)判定正方形的一般顺序：①先证明它是平行四边形；②再证明它是菱形(或矩形)；③最后
证明它是矩形(或菱形)。
易错题专练
类型一：概念理解有误
1．下列结论：①有一组对边平行，且两个角是直角的四边形是矩形；②两条对角线相等的四边形是矩形；
③两组对边分别相等的四边形是矩形；④有一个角是60°的平行四边形是菱形；⑤有两边相等的平行四边形是菱形；⑥有一组邻边相等的矩形是正方形；⑦有三边相等，且有一个角是直角的四边形是正方形；
⑧对角线相等，且互相垂直平分的四边形是正方形．其中正确的有（ ）
A．2个 B．3个 C．5个 D．8个
2．在下列命题中，正确的是（ ）
A．一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形
B．有一个角是直角的四边形是矩形
C．有一组邻边相等的平行四边形是菱形
D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形
类型二：菱形与矩形性质混淆
3．如图，在矩形ABCD中，过对角线BD的中点O作BD的垂线EF，分别交AD，BC于点E，F．
（1）求证：△DOE≌△BOF；
（2）若AB＝6，AD＝8，连接BE，DF，求四边形BFDE的周长．
4．已知，如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，AG∥DB交CB的延长线于G．
（1）求证：四边形AGBD为平行四边形；
（2）若四边形AGBD是矩形，则四边形BEDF是什么特殊四边形？证明你的结论．
类型三：菱形面积计算公式出错
5．如图，菱形ABCD的对角线BD＝12，AC＝10，则该菱形的面积为（ ）
A．60 B．80 C．100 D．120
6．如图，点E，F在正方形ABCD的对角线AC上，AC＝10，AE＝CF＝3，则四边形BFDE的面积为 ．
类型四：证明过程中忽视条件
7．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点O作OE⊥AB，OF⊥CD分别交AB，CD于点E，F．
（1）求证：OE＝OF；
（2）若AC＝18，EF＝10，求AE的长．
声明：试题8．如图，在菱形AECF中，对角线AC，EF交于点O，AB⊥CF的延长线于点B，CD∥AB交AE的延长线于点D．
（1）求证：四边形ABCD为矩形；
（2）若AB＝4，BC＝8，求菱形AECF的面积．
类型五：问题考虑不全
9．如图，在矩形ABCD中，AB＝10，P是CD边上一点，M、N、E分别是PA、PB、AB的中点，下列情况中四边形PMEN不可能为矩形的是（ ）
A．AD＝3 B．AD＝4 C．AD＝5 D．AD＝6
10．如图，△ABC中，∠C＝90°，AB＝5 cm，BC＝3 cm，若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1 cm，设出发的时间为t秒．
（1）出发2秒后，求以BP为边的正方形面积；
（2）当△BCP为等腰三角形时，求t的值．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
第一章 特殊平行四边形 复习
知识归纳
1.有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.注意菱形必须满足两个条件:一是平行四边形；二是一组邻边相等。
2.菱形的性质
(1)具有平行四边形的一切性质.
(2)菱形的四条边都相等.
(3)菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.
(4)菱形是轴对称、中心对称图形.
(5)菱形面积=底x高=对角线乘积的一半.
3菱形的判定
(1)有一组邻边相等的平行四边形是菱形.
(2)四边都相等的四边形是菱形.
(3)对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
注意:①对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，必须加上平行四边形这个条件它才是菱形。
4.有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
5.矩形的性质
(1)对边平行且相等. (2)矩形的四个角都是直角.
(3)矩形的对角线相等. (4)矩形是轴对称、中心对称图形.
6.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
7.矩形的判定
(1)有一个角是直角的平行四边形是矩形.
(2)有三个角是直角的四边形是矩形
(3)对角线相等的平行四边形是矩形.
注意:①用定义判定一个四边形是矩形必须同时满足两个条件：一是有一个角是直角；二是平行四边形也就是说有一角是直角的四边形，不一定是矩形，必须加上平行四边形这个条件，它才是矩形.
②用定理证明一个四边形是矩形，也必须满足两个条件：一是对角线相等；二是平行四边形也就说明:两条对角线相等的四边形不一定是矩形，必须加上平行四边形这个条件，它才是矩形.
8.有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.
从正方形的定义可知正方形既是一组邻边相等的矩形，又是有一个角是直角的菱形，所以既
是矩形又是菱形的四边形是正方形。
9.正方形的性质
(1)正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质.
(2)正方形的四个角都是直角，四条边都相等.
(3)正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角.
(4)正方形是轴对称图形，有4条对称轴.
(5)正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，两条对角线把正方形分成四个小的全等的等腰直角三角形.
(6)正方形一条对角线上一点和另一条对角线的两端距离相等.
(7)正方形的面积：若正方形的边长为a，对角线长为b，则S=a2=b2/2
10.正方形的判定
(1)判定一个四边形为正方形主要根据定义，途径有两种：
①先证它是矩形，再证它有一组邻边相等。
②先证它是菱形，再证它有一个角为直角.
(2)判定正方形的一般顺序：①先证明它是平行四边形；②再证明它是菱形(或矩形)；③最后
证明它是矩形(或菱形)。
易错题专练
类型一：概念理解有误
1．下列结论：①有一组对边平行，且两个角是直角的四边形是矩形；②两条对角线相等的四边形是矩形；
③两组对边分别相等的四边形是矩形；④有一个角是60°的平行四边形是菱形；⑤有两边相等的平行四边形是菱形；⑥有一组邻边相等的矩形是正方形；⑦有三边相等，且有一个角是直角的四边形是正方形；
⑧对角线相等，且互相垂直平分的四边形是正方形．其中正确的有（ ）
A．2个 B．3个 C．5个 D．8个
【解答】解：①错误，直角梯形也满足此条件，但不是矩形；②错误，等腰梯形的对角线相等，但不是矩形；③错误，两组对边分别相等的四边形只是平行四边形；④错误，有一个角是60°的平行四边形的两组对边如果不等，则不是菱形；⑤错误，只有相邻的两边相等的平行四边形才是菱形；⑥正确；
⑦错误，这样的四边形可以只有一个直角，三边相等，但第四边不与这三边相等；⑧正确．故选A．
2．在下列命题中，正确的是（ ）
A．一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形
B．有一个角是直角的四边形是矩形
C．有一组邻边相等的平行四边形是菱形
D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形
【解答】解：A．一组对边平行另一组对边相等的四边形可能是平行四边形，也可能是等腰梯形，故原命题错误，不符合题意；B．有一个角是直角的平行四边形是矩形，故原命题错误，不符合题意；C．有一组邻边相等的平行四边形是菱形，正确，符合题意；D．对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，故原命题错误，不符合题意；故选C．
类型二：菱形与矩形性质混淆
3．如图，在矩形ABCD中，过对角线BD的中点O作BD的垂线EF，分别交AD，BC于点E，F．
（1）求证：△DOE≌△BOF；
（2）若AB＝6，AD＝8，连接BE，DF，求四边形BFDE的周长．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠EDO＝∠FBO，
∵O为BD的中点，∴OB＝OD，
又∵EF⊥BD，∴∠EOD＝∠FOB＝90°，
在△DOE和△BOF中，
，
∴△DOE≌△BOF（ASA）；
（2）解：∵由（1）可得，ED∥BF，ED＝BF，∴四边形BFDE是平行四边形，
∵EF⊥BD，∴四边形BFDE是菱形，
根据AB＝6，AD＝8，设AE＝x，可得BE＝ED＝8﹣x，
在Rt△ABE中，根据勾股定理可得：BE2＝AB2+AE2，即（8﹣x）2＝x2+62，解得：，
∴，∴四边形BFDE的周长＝．
4．已知，如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，AG∥DB交CB的延长线于G．
（1）求证：四边形AGBD为平行四边形；
（2）若四边形AGBD是矩形，则四边形BEDF是什么特殊四边形？证明你的结论．
【解答】解：（1）∵平行四边形ABCD中，AD∥BC，∴AD∥BG，
又∵AG∥BD，∴四边形AGBD是平行四边形；
（2）四边形DEBF是菱形，理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD．
∵点E、F分别是AB、CD的中点，∴BE＝AB，DF＝CD．
∴BE＝DF，BE∥DF，∴四边形DFBE是平行四边形，
∵四边形AGBD是矩形，∴∠ADB＝90°，
在Rt△ADB中，∵E为AB的中点，∴AE＝BE＝DE，
∴平行四边形DEBF是菱形．
类型三：菱形面积计算公式出错
5．如图，菱形ABCD的对角线BD＝12，AC＝10，则该菱形的面积为（ ）
A．60 B．80 C．100 D．120
【解答】解：∵菱形ABCD的对角线BD＝12，AC＝10，
∴该菱形的面积为：＝＝60，故选A．
6．如图，点E，F在正方形ABCD的对角线AC上，AC＝10，AE＝CF＝3，则四边形BFDE的面积为 20 ．
【解答】解：连接BD交AC于点O，
∵四边形ABCD为正方形，∴OA＝OB＝OC＝OD，AC⊥BD，
又∵AE＝CF，∴OE＝OF，∴四边形BEDF为平行四边形，
∵EF垂直平分BD，∴EB＝ED，∴四边形BEDF是菱形，∴BD＝AC＝10，
∵AE＝CF＝3，∴EF＝4，∴四边形BFDE的面积为BD EF＝×10×4＝20．故答案为：20．
类型四：证明过程中忽视条件
7．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点O作OE⊥AB，OF⊥CD分别交AB，CD于点E，F．
（1）求证：OE＝OF；
（2）若AC＝18，EF＝10，求AE的长．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，OA＝OC，∴∠FCO＝∠OAE，
∵OE⊥AB，OF⊥CD，∴∠CFO＝∠AEO＝90°，
∴△FCO≌△EAO（AAS），∴OE＝OF；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC＝9，
∵OE＝OF，∴OE＝5，
∴AE＝．
声明：试题8．如图，在菱形AECF中，对角线AC，EF交于点O，AB⊥CF的延长线于点B，CD∥AB交AE的延长线于点D．
（1）求证：四边形ABCD为矩形；
（2）若AB＝4，BC＝8，求菱形AECF的面积．
【解答】证明：（1）∵四边形AECF是菱形，∴AD∥BC，
∵CD∥AB，∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AB⊥BC，∴平行四边形ABCD是矩形；
（2）解：∵四边形AECF是菱形，AB＝4，BC＝8，
设BF＝x，则FC＝8﹣x，∴AF＝FC＝8﹣x，
在Rt△ABF中 AB2+BF2＝AF2，∴（8﹣x）2＝x2+42，
解得：x＝3，∴FC＝8﹣3＝5，
∴S菱形AECF＝FC AB＝5×4＝20．
类型五：问题考虑不全
9．如图，在矩形ABCD中，AB＝10，P是CD边上一点，M、N、E分别是PA、PB、AB的中点，下列情况中四边形PMEN不可能为矩形的是（ ）
A．AD＝3 B．AD＝4 C．AD＝5 D．AD＝6
【解答】解：方法1：∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，AB＝CD＝10，∠C＝∠D＝90°，
∵M、N、E分别是PA、PB、AB的中点，∴ME、NE是△ABP的中位线，∴ME∥BP，NE∥AP，
∴四边形PMEN是平行四边形，
当∠APB＝90°时，四边形PMEN是矩形，设DP＝x，CP＝10﹣x，
由勾股定理得：AP2＝AD2+x2，BP2＝BC2+（10﹣x）2，AP2+BP2＝AB2，
∴AD2+x2+AD2+（10﹣x）2＝102，AD2+x2﹣10x＝0，
①当AD＝3时，x2﹣10x+9＝0，x＝1或x＝9，符合题意；
②当AD＝4时，x2﹣10x+16＝0，x＝2或x＝8，符合题意；
③当AD＝5时，x2﹣10x+25＝0，x＝5，符合题意；
④当AD＝6时，x2﹣10x+36＝0，无解；故选D．
方法2：连接MN，PE，如图所示：
由方法1得：四边形PMEN是平行四边形，
∵M、N分别是PA、PB的中点，∴MN是△PAB的中位线，∴MN＝AB＝5，
若四边形PMEN是矩形，则PE＝MN＝5，而当AD＝6时，PE不可能等于5，
∴当AD＝6时，四边形PMEN不可能为矩形，故选D．
10．如图，△ABC中，∠C＝90°，AB＝5 cm，BC＝3 cm，若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1 cm，设出发的时间为t秒．
（1）出发2秒后，求以BP为边的正方形面积；
（2）当△BCP为等腰三角形时，求t的值．
【解答】解：（1）出发2秒后，CP＝2 cm，由勾股定理可得BP＝＝ cm，
∴以BP为边的正方形面积为13 cm2．
（2）当CP＝CB时，△BCP为等腰三角形，若点P在CA上，如图：
则1×t＝3， 解得t＝3；
当BP＝BC＝3时，△BCP为等腰三角形，如图：
∴AP＝AB﹣BP＝2，∴t＝（4+2）÷1＝6；
若点P在AB上，CP＝CB＝3，作CD⊥AB于D，如图：
∵BC AC＝AB CD，∴CD＝＝，
在Rt△BCD中，由勾股定理得，BD＝，
∴PB＝2BD＝，∴CA+AP＝4+5﹣＝5.4，此时t＝5.4÷1＝5.4；
当PC＝PB时，△BCP为等腰三角形，作PE⊥BC于E，
则BE＝CE，∴PE为△ABC的中位线，∴AP＝BP＝AB＝，∴t＝（4+）÷1＝；
综上所述，t为3或5.4或6或时，△BCP为等腰三角形．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)
