2022-2023学年人教版数学九年级上册第一次阶段性（21.1—22.3）综合测试题 （含解析）

2022-2023学年人教版九年级数学上册第一次阶段性（21.1—22.3）综合测试题（附答案）
一．选择题（共6小题，满分18分）
1．下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的为（　　）
A．x2﹣1＝0 B．x2﹣2＝（x+3）2
C．x+3y﹣5＝0 D．ax2+by+c＝0
2．二次函数y＝﹣（x﹣1）2+5，当m≤x≤n且mn＜0时，y的最小值为2m，最大值为2n，则m+n的值为（　　）
A． B．2 C． D．
3．用配方法解方程x2+6x+4＝0，方程应变形为（　　）
A．（x+3）2＝5 B．（x﹣3）2＝5 C．（x+6）2＝32 D．（x+3）2＝13
4．将抛物线y＝2x2平移得到抛物线y＝2（x+2）2，则这个平移过程正确的是（　　）
A．向上平移2个单位 B．向下平移2个单位
C．向左平移2个单位 D．向右平移2个单位
5．如果一元二次方程2mx2+6x+3＝0有实数根，那么实数m的取值范围为（　　）
A．m＞1.5 B．m＜1.5且m≠0 C．m≤1.5 D．m≤1.5且m≠0
6．如图，开口向下的抛物线y＝ax2+bx+c交y轴正半轴于A点，对称轴为x＝1，则下列结论：①b＝﹣2a；②若抛物线经过点（﹣1，0），则9a+3b+c＝0；③abc＞0；④若（x1，y1）、（x2，y2）是抛物线上两点，且x1＜x2，则y1＜y2．其中所有正确的结论是（　　）
A．①④ B．①② C．③④ D．②③
二．填空题（共6小题，满分18分）
7．用配方法解方程时，把方程x2﹣8x+3＝0化成（x+m）2＝n的形式，则m﹣n＝　 　．
8．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中自变量x和函数值y的部分对应值如下表：
x … ﹣1 0 1 …
y … ﹣2 ﹣2 0 …
则该二次函数图象的顶点的坐标是　 　．
9．若关于x的一元二次方程ax2+2ax+4﹣m＝0有两个相等的实数根，则a+m﹣3的值为　 　．
10．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）过（1，0）和（﹣5，0）两点，那么该抛物线的对称轴是　 　．
11．若x1、x2为关于x的方程x2+2mx+m＝0（m≠0）的两个实数根，则+的值为　 　．
12．关于抛物线y＝ax2﹣2x+1（a≠0），给出下列结论：
①当a＜0时，抛物线与直线y＝2x+2没有交点；
②若抛物线与x轴有两个交点，则其中一定有一个交点在点（0，0）与（1，0）之间；
③若抛物线的顶点在点（0，0），（2，0），（0，2）围成的三角形区域内（包括边界），则a≥1．
其中正确结论的序号是 　 　．
三．解答题（共11小题，满分84分）
13．（1）解方程：x2＝4x
（2）将抛物线y＝﹣x2+2x﹣3配成顶点式，并写出其对称轴．
14．如图，某农户准备建一个长方形养鸡场，养鸡场的一边靠墙，若墙长为18m，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长35m，围成长方形的养鸡场四周不能有空隙．
（1）要围成养鸡场的面积为150m2，则养鸡场的长和宽各为多少？
（2）围成养鸡场的面积能否达到200m2？请说明理由．
15．若点A（﹣1，y1），B（2，y2），C（3，y3）在抛物线y＝﹣2x2+8x+c的图象上，请判断y1，y2，y3的大小关系，并说明理由．
16．若x1、x2的是方程x2+mx﹣2m＝0（m≠0）的两个根，利用韦达定理完成以下计算．
（1）求x+x的值（用含有m的代数式表示）；
（2）若+＝1，求m的值．
17．如图，已知二次函数的图象与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C（0，6），对称轴为直线x＝2，顶点为D．求二次函数的解析式及四边形ADBC的面积．
18．如图1是一副老花镜，如图2是跟眼镜镜片下半部分轮廓所对应的两条抛物线，它们关于y轴对称．已知AB∥x轴，AB＝4cm，最低点C在x轴上，高CH＝1cm；AD＝2cm．
（1）求出点A，点C的坐标：
（2）求出右轮廓线DFE的函数解析式．
19．已知c为实数，并且方程x2﹣3x+c＝0的一个根的相反数是方程x2+3x﹣c＝0的一个根，求方程x2+3x﹣c＝0的解及c的值．
20．已知关于x的一元二次方程mx2+（3m+1）x+3＝0．
（1）当m取何值时，此方程有两个不相等的实数根；
（2）当方程的实数根均为整数时，求正整数m的值．
21．秋枫旅行社为吸引市民组团去资溪大觉山风景区旅游，推出了如下收费标准：如果人数不超过20人，人均旅游费用为240元；如果人数超过20人，每增加1人，人均旅游费用降低5元．某单位计划组织员工去资溪大觉山风景区旅游，预计旅游费用5600元，为了尽量让单位员工去资溪大觉山景区旅游，该单位如何安排员工出行？
22．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12．在△ABC中截出一个矩形DEFG，其中D，G分别在AB和AC边上，EF在BC边上．设EF＝x，矩形DEFG的面积为y，写出y与x之间的函数关系式，列出表格，并画出相应的函数图象．根据三种表示方法回答下列问题：
（1）自变量x的取值范围是什么？
（2）图象的对称轴和顶点坐标分别是什么？
（3）你能描述y随x的变化而变化的情况吗？
23．已知抛物线G：y＝mx2﹣2mx﹣3有最低点P．
（1）求二次函数y＝mx2﹣2mx﹣3的最小值（用含m的式子表示）；
（2）若点P关于坐标系原点O的对称点仍然在抛物线上，求此时m的值；
（3）将抛物线G向右平移m个单位得到抛物线G1．经过探究发现，随着m的变化，抛物线G1顶点的纵坐标y与横坐标x之间存在一个函数关系，求这个函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
参考答案
一．选择题（共6小题，满分18分）
1．解：A、x2﹣1＝0，是一元二次方程，故此选项符合题意；
B、x2﹣2＝（x+3）2整理是一元一次方程，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
C、x+3y﹣5＝0，是二元一次方程，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
D、当a＝0时，ax2+bx+c＝0不是一元二次方程，故此选项不符合题意意；
故选：A．
2．解：二次函数y＝﹣（x﹣1）2+5的大致图象如下：
．
①当m＜0≤x≤n＜1时，当x＝m时y取最小值，即2m＝﹣（m﹣1）2+5，
解得：m＝﹣2或m＝2（舍去）．
当x＝n时y取最大值，即2n＝﹣（n﹣1）2+5，
解得：n＝2或n＝﹣2（均不合题意，舍去）；
②当m＜0≤x≤1＜n时，当x＝m时y取最小值，即2m＝﹣（m﹣1）2+5，
解得：m＝﹣2．
当x＝1时y取最大值，即2n＝﹣（1﹣1）2+5，
解得：n＝，
③当m＜0＜x≤n时，x＝n时y取最小值，x＝1时y取最大值，
2m＝﹣（n﹣1）2+5，n＝，
∴m＝，
∵m＜0，
∴此种情形不合题意，
所以m+n＝﹣2+＝．
故选：D．
3．解：x2+6x＝﹣4，
x2+6x+9＝5，
（x+3）2＝5．
故选：A．
4．解：将抛物线y＝2x2向左平移2个单位后得到抛物线y＝2（x+2）2，
故选：C．
5．解：由题意可知：Δ＝36﹣24m≥0，
∴m≤，
∵2m≠0，
∴m≠0，
∴m≤且m≠0，
故选：D．
6．解：∵对称轴是直线x＝1，
∴﹣＝1，即b＝﹣2a，故①符合题意；
∵抛物线经过点（﹣1，0），对称轴是直线x＝1，
∴抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的另一个交点为（3，0），
∴当x＝3时，9a+3b+c＝0，故②符合题意；
观察图象可知，开口方下a＜0，对称轴在y轴的右侧b＞0，与y轴交于正半轴c＞0，
∴abc＜0，故③不符合题意；
当1＜x1＜x2，则y1＞y2，
当x1＜x2＜1，则y1＜y2，
当x1＜1＜x2，无法判断，故④不符合题意．
故选：B．
二．填空题（共6小题，满分18分）
7．解：x2﹣8x+3＝0，
x2﹣8x＝﹣3，
配方得：x2﹣8x+42＝﹣3+42，
（x﹣4）2＝13，
则m＝﹣4，n＝13，
m﹣n＝﹣4﹣13＝﹣17，
故答案为：﹣17．
8．解：由表格可知，当自变量由小变大时，函数值由大变小，又由小变大，最小值为﹣，
此时，对应的自变量值为﹣，
∴二次函数图象的顶点坐标为（﹣，﹣）．
故答案为：（﹣，﹣）．
9．解：∵关于x的一元二次方程ax2+2ax+4﹣m＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝4a（a﹣4+m）＝0，
∵a≠0，
∴a﹣4+m＝0，
∴a+m＝4，
∴a+m﹣3＝4﹣3＝1．
故答案为：1．
10．解：∵点（1，0）和（﹣5，0）是抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的两个交点，
∴点（1，0）和（﹣5，0）关于对称轴对称，
∴对称轴为直线x＝＝﹣2．
故答案是：直线x＝﹣2．
11．解：∵x1、x2为关于x的方程x2+2mx+m＝0（m≠0）的两个实数根，
∴x1+x2＝﹣2m，x1 x2＝m，
∴+＝＝＝﹣2．
故答案为：﹣2．
12．解：由，消去y得到，ax2﹣4x﹣1＝0，
∵Δ＝16+4a，a＜0，
∴Δ的值可能大于0，
∴抛物线与直线y＝2x+2可能有交点，故①错误．
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴Δ＝4﹣4a＞0，
∴a＜1，
∵抛物线经过（0，1），且x＝1时，y＝a﹣1＜0，
∴抛物线与x轴一定有一个交点在（0，0）与（1，0）之间．故②正确，
∵抛物线的顶点在点（0，0），（2，0），（0，2）围成的三角形区域内（包括边界），
∴2≥﹣＞0且﹣+2≥≥0，
解得，a≥1，故③正确，
故答案为：②③．
三．解答题（共11小题，满分84分）
13．解：（1）∵x2＝4x，
∴x2﹣4x＝0，
∴x（x﹣4）＝0，
则x＝0或x﹣4＝0，
解得：x＝0或x＝4；
（2）∵y＝﹣x2+2x﹣3
＝﹣（x2﹣2x）﹣3
＝﹣（x2﹣2x+1﹣1）﹣3
＝﹣（x﹣1）2﹣2，
∴抛物线的对称轴为直线x＝1．
14．解：（1）设养鸡场的宽为xm，根据题意得：
x（35﹣2x）＝150，
解得：x1＝10，x2＝7.5，
当x1＝10时，35﹣2x＝15＜18，
当x2＝7.5时35﹣2x＝20＞18，（舍去），
则养鸡场的宽是10m，长为15m．
（2）设养鸡场的宽为xm，根据题意得：
x（35﹣2x）＝200，
整理得：2x2﹣35x+200＝0，
Δ＝（﹣35）2﹣4×2×200＝1225﹣1600＝﹣375＜0，
因为方程没有实数根，
所以围成养鸡场的面积不能达到200m2．
15．解：y1＜y3＜y2，理由：
∵抛物线y＝﹣2x2+8x+c中a＝﹣2＜0，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线．
∵点A（﹣1，y1）关于对称轴的对称点为（5，y1），且5＞3＞2，对称轴右侧的抛物线函数值随自变量增大而减小，
∴y1＜y3＜y2．
16．解：（1）∵x1、x2的是方程x2+mx﹣2m＝0（m≠0）的两个根，
∴x1+x2＝﹣m，x1 x2＝﹣2m，
∴x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1 x2＝（﹣m）2﹣2×（﹣2m）＝m2+4m．
（2）∵x1、x2的是方程x2+mx﹣2m＝0（m≠0）的两个根，
∴x1+x2＝﹣m，x1 x2＝﹣2m，
∵+＝1，即＝1，
∴＝1，
解得：m1＝﹣6，m2＝0，
经检验，m1＝﹣6是原方程的解，且符合题意，m2＝0不是原方程的解．
答：m的值为﹣6．
17．解：（1）设二次函数解析式为y＝a（x﹣2）2+k，
把A（1，0），C（0，6）代入得：，
解得：，
则二次函数解析式为y＝2（x﹣2）2﹣2＝2x2﹣8x+6；
（2）∵y＝2（x﹣2）2﹣2，
∴顶点D的坐标为（2，﹣2），
由A（1，0），对称轴为直线x＝2可知另一个与x轴的交点B（3，0），
∴AB＝2，
∴S四边形ADBC＝S△ABD+S△ABC＝+＝8．
18．解：（1）∵高CH＝1cm，AD＝2cm，
而A、D关于y轴对称，
∴A点坐标为（﹣1，1），
∵AB∥x轴，AB＝4cm，最低点C在x轴上，
∴AB关于直线CH对称，
∴左边抛物线的顶点C的坐标为（﹣3，0），
（2）∵A、D关于y轴对称，A点坐标为（﹣1，1），
∴D点坐标为（1，1），
∵AB∥x轴，AB＝ED＝4cm，最低点F在x轴上，
∴右边抛物线的顶点F的坐标为（3，0），
设右边抛物线的解析式为y＝a（x﹣3）2，
把D（1，1）代入得1＝a×（1﹣3）2，解得a＝，
故右边抛物线的解析式为y＝（x﹣3）2．
19．解：设方程x2﹣3x+c＝0的一个根为a，
则方程x2+3x﹣c＝0的一个根是﹣a；
把两根分别代入得：
a2﹣3a+c＝0，
a2﹣3a﹣c＝0；
两方程相减得c＝0；
则方程x2+3x﹣c＝0为方程x2+3x＝0，
解得x1＝0，x2＝﹣3；
∴方程x2+3x﹣c＝0的解为x1＝0，x2＝﹣3；c＝0．
20．解：（1）由题意m≠0，Δ＝（3m+1）2﹣4m 3＝（3m﹣1）2＞0，
∴m≠0且m≠，
所以当m≠0且m≠时，此方程有两个不相等的实数根；
（2）mx2+（3m+1）x+3＝0．
（mx+1）（x+3）＝0，
则x1＝﹣，x2＝﹣3，
∵方程的实数根均为整数，
∴正整数m的值为1．
21．解：设该单位共有x人参加旅游．
∵5600＞240×20，
∴参加旅游人数超过20人．
根据题意可列方程[240﹣5（x﹣20）]x＝5600，
x2﹣68x+1120＝0，
解得：x1＝28；x2＝40．
∵为了尽量让单位员工去资溪大觉山景区旅游，
∴x＝40．
答：可以安排40人参加旅游．
22．解：如图，
过点A作AM⊥BC于点M，交DG于点N，
∵AB＝AC＝10，BC＝12，
∴BM＝BC＝6，
在Rt△ABM中，根据勾股定理，得
AM＝＝8，
∵四边形DEFG是矩形，
∴DG∥EF，DE⊥BC，
∴AN⊥DG，
∴四边形EDNM是矩形，
∵EF＝DG＝x，
设MN＝DE＝a，则AN＝8﹣a，
∵DG∥BC，
∴＝，
∴＝，
∴a＝﹣x+8，
即DE＝﹣x+8，
∴y＝S矩形DEFG＝DE DG＝x（﹣x+8）＝﹣x2+8x＝﹣（x﹣6）2+24．
列表得：
（1）自变量x的取值范围为：0＜x＜12或0≤x≤12；
（2）图象的对称轴为直线x＝6，顶点坐标（6，24）；
（3）当x＝6时，y有最大值24，
当0＜x＜6时，y随x的增大而增大；
当6＜x＜12时，y随x的增大而减小．
23．解：（1）∵y＝mx2﹣2mx﹣3＝m（x﹣1）2﹣m﹣3，抛物线有最低点，
∴二次函数y＝mx2﹣2mx﹣3的最小值为﹣m﹣3；
（2）∵y＝mx2﹣2mx﹣3＝m（x﹣1）2﹣m﹣3，
∴抛物线的顶点P为（1，﹣m﹣3），
∴点P关于坐标系原点O的对称点（﹣1，m+3），
∵对称点仍然在抛物线上，
∴m+3＝m+2m﹣3，
解得m＝3；
（3）∵抛物线G：y＝m（x﹣1）2﹣m﹣3
∴平移后的抛物线G1：y＝m（x﹣1﹣m）2﹣m﹣3
∴抛物线G1顶点坐标为（m+1，﹣m﹣3）
∴x＝m+1，y＝﹣m﹣3
∴x+y＝m+1﹣m﹣3＝﹣2
即x+y＝﹣2，变形得y＝﹣x﹣2
∵m＞0，m＝x﹣1
∴x﹣1＞0
∴x＞1
∴y与x的函数关系式为y＝﹣x﹣2（x＞1）．