练习01 二次函数的图像和性质
【基础训练】
一．选择题
1．如果，，，那么二次函数的图象大致是
A B C D
2．二次函数的图象与轴的交点是
A． B． C． D．
3．抛物线的对称轴是
A．直线 B．直线 C．直线 D．直线
二．填空题
4．已知函数，当函数值随的增大而减小时，的取值范围是 ．
5．二次函数图象的对称轴是 ．
6．下列关于二次函数（为常数）的结论，①该函数的图象与函数的图象形状相同；②该函数的图象一定经过点；③当时，y随x的增大而减小；④该函数的图象的顶点在函数的图像上，其中所有正确的结论序号是__________．
三．解答题
7．已知抛物线的顶点坐标是，与轴的交点是，求这个二次函数的解析式．
8．已知二次函数中的，满足下表：
0 1 2 3 4
2.5 0 0 2.5
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）利用上表，在平面直角坐标系画出这条抛物线；
（3）直接写出，当取何值时，随的增大而增大．
9．已知抛物线的解析式为．
（1）求它的对称轴； （2）求它与轴，轴的交点坐标．
【提升训练】
10．下列抛物线中，与抛物线具有相同对称轴的是
A． B． C． D．
11．一条抛物线，顶点坐标为，且形状与抛物线相同，则它的函数表达式是 ．
12．对某一个函数给出如下定义：若存在实数，对于任意的函数值，都满足，则称这个函数是有界函数，在所有满足条件的中，其最小值称为这个函数的边界值．例如，如图中的函数是有界函数，其边界值是1．将函数的图象向上平移个单位，得到的函数的边界值满足是时，则的取值范围是 ．
13．已知抛物线，，是常数，，轴交于点，，与轴交于点，点为抛物线顶点．
（Ⅰ）若点，，求抛物线的解析式；
（Ⅱ）若点，且是直角三角形，求抛物线的解析式；
（Ⅲ）若抛物线与直线相交于、两点。
①用含的式子表示点的坐标； ②当轴时，求抛物线的解析式．
【真题训练】
14．（2021 南通）定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“等值点”．例如，点是函数的图象的“等值点”．
（1）分别判断函数，的图象上是否存在“等值点”？如果存在，求出“等值点”的坐标；如果不存在，说明理由；
（2）设函数，的图象的“等值点”分别为点，，过点作轴，垂足为．当的面积为3时，求的值；
（3）若函数的图象记为，将其沿直线翻折后的图象记为．当，两部分组成的图象上恰有2个“等值点”时，直接写出的取值范围．
15．（2021 扬州）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点、，与轴交于点．
（1） ， ；
（2）若点在该二次函数的图象上，且，求点的坐标；
（3）若点是该二次函数图象上位于轴上方的一点，且，直接写出点的坐标．
【自主招生】
16．已知抛物线y=x2+px+q上有一点M（x0，y0）位于x轴下方，
（1）求证：已知抛物线必与x轴有两个交点A（x1，0），B（x2，0），其中x1< x2；
（2）求证；x1< x0< x2；
（3）当点M为（1，–1999）时，求整数x1，x2.
17．已知是两位数，二次函数的图象与x轴交于不同的两点，这两点间距离不超过2.
（1）求证：0（2）求出所有这样的两位数.练习01 二次函数的图像和性质
【基础训练】
一．选择题
1．如果，，，那么二次函数的图象大致是
A B C D
【解答】，，，
二次函数的图象开口向下，与轴交于正半轴，顶点在轴右侧，
故选：．
2．二次函数的图象与轴的交点是
A． B． C． D．
【解答】当时，，所以抛物线与轴的交点坐标为．故选：．
3．抛物线的对称轴是
A．直线 B．直线 C．直线 D．直线
【解答】抛物线，该抛物线的对称轴是直线，故选：．
二．填空题
4．已知函数，当函数值随的增大而减小时，的取值范围是 ．
【解答】函数，
该函数图象开口向上，当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，
故答案为：．
5．二次函数图象的对称轴是 ．
【解答】，二次函数图象的对称轴是直线．故答案为直线．
6．下列关于二次函数（为常数）的结论，①该函数的图象与函数的图象形状相同；②该函数的图象一定经过点；③当时，y随x的增大而减小；④该函数的图象的顶点在函数的图像上，其中所有正确的结论序号是__________．
【解答】当时，将二次函数的图象先向右平移m个单位长度，再向上平移个单位长度即可得到二次函数的图象；当时，将二次函数的图象先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度即可得到二次函数的图象，该函数的图象与函数的图象形状相同，结论①正确
对于 当时，
即该函数的图象一定经过点，结论②正确
由二次函数的性质可知，当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小
则结论③错误
的顶点坐标为
对于二次函数 当时，
即该函数的图象的顶点在函数的图象上，结论④正确
综上，所有正确的结论序号是①②④故答案为：①②④．
三．解答题
7．已知抛物线的顶点坐标是，与轴的交点是，求这个二次函数的解析式．
【解答】由抛物线顶点坐标为可设其解析式为，
将代入，得：， 解得：，
则抛物线解析式为．
8．已知二次函数中的，满足下表：
0 1 2 3 4
2.5 0 0 2.5
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）利用上表，在平面直角坐标系画出这条抛物线；
（3）直接写出，当取何值时，随的增大而增大．
【解答】（1）把点，分别代入中，得
， 解得，
这个二次函数的关系式为：．
（2）描点、连线画出函数图象如图：
（3）由图象可知，当时，随的增大而增大．
9．已知抛物线的解析式为．
（1）求它的对称轴；
（2）求它与轴，轴的交点坐标．
【解答】（1）抛物线的解析式为，
该抛物线的对称轴为直线，
即该抛物线的对称轴为直线；
（2）抛物线的解析式为，
当时，， 当时，或，
即该抛物线与轴的交点坐标为，，与轴的交点坐标为．
【提升训练】
10．下列抛物线中，与抛物线具有相同对称轴的是
A． B． C． D．
【解答】抛物线，该抛物线的对称轴是直线，
的对称轴是直线，故选项不符合题意；
的对称轴是直线，故选项不符合题意；
的对称轴是直线，故选项不符合题意；
的对称轴是直线，故选项符合题意； 故选：．
11．一条抛物线，顶点坐标为，且形状与抛物线相同，则它的函数表达式是 ．
【解答】由题意可得：顶点坐标为，且形状与抛物线相同，
它的函数表达式是：． 故答案为：．
12．对某一个函数给出如下定义：若存在实数，对于任意的函数值，都满足，则称这个函数是有界函数，在所有满足条件的中，其最小值称为这个函数的边界值．例如，如图中的函数是有界函数，其边界值是1．将函数的图象向上平移个单位，得到的函数的边界值满足是时，则的取值范围是 ．
【解答】向上平移t个单位后，得到的函数解析式为
分析可知：当x=0时，y最大值为t+1，当x≤2时，x=-2时，y有最小值t-3，
当x＞2时，x=t时，y有最小值-t2+t+1，由题意可知：n是函数值绝对值最大时的值，
（I）当x≤2时，①当t+1≥3-t且，解得；
②当3-t≥t+1且，解得。
（II）当x＞2时，①当t2-t-1≥t+1且，无解；
②当t2-t-1＜t+1且，无解。
故答案为：或．
13．已知抛物线，，是常数，，轴交于点，，与轴交于点，点为抛物线顶点．
（Ⅰ）若点，，求抛物线的解析式；
（Ⅱ）若点，且是直角三角形，求抛物线的解析式；
（Ⅲ）若抛物线与直线相交于、两点。
①用含的式子表示点的坐标； ②当轴时，求抛物线的解析式．
【解答】（Ⅰ）抛物线过点，， 抛物线的对称轴为直线，
把代入得，解得，
抛物线解析式为；
（Ⅱ）点与点为对称点， 是等腰直角三角形，
而， ， 点坐标为或，
把，代入得，
解得，，此时抛物线解析式为；
把，代入得，
解得，，此时抛物线解析式为；
（Ⅲ）①把代入得，解得，
解方程组得或，
点坐标为，；
②当时，，则，
轴， ，解得，
当时，、两点重合，舍去，
抛物线解析式为．
【真题训练】
14．（2021 南通）定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“等值点”．例如，点是函数的图象的“等值点”．
（1）分别判断函数，的图象上是否存在“等值点”？如果存在，求出“等值点”的坐标；如果不存在，说明理由；
（2）设函数，的图象的“等值点”分别为点，，过点作轴，垂足为．当的面积为3时，求的值；
（3）若函数的图象记为，将其沿直线翻折后的图象记为．当，两部分组成的图象上恰有2个“等值点”时，直接写出的取值范围．
【解答】（1）在中，令，得不成立，函数的图象上不存在“等值点”；
在中，令， 解得：，，
函数的图象上有两个“等值点” 或；
（2）在函数中，令， 解得：， ，，
在函数中，令，解得：， ，，
轴，，，，
的面积为3， ，
当时，， 解得，
当时，，
△， 方程没有实数根，
当时，， 解得：，
综上所述，的值为或；
（3）令， 解得：，，
函数的图象上有两个“等值点” 或，
①当时，，两部分组成的图象上必有2个“等值点” 或，
， ，
令， 整理得：，
的图象上不存在“等值点”， △， ， ，
②当时，有3个“等值点” 、、，
③当时，，两部分组成的图象上恰有2个“等值点”，
④当时，，两部分组成的图象上恰有1个“等值点” ，
⑤当时，，两部分组成的图象上没有“等值点”，
综上所述，当，两部分组成的图象上恰有2个“等值点”时，或．
15．（2021 扬州）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点、，与轴交于点．
（1） ， ；
（2）若点在该二次函数的图象上，且，求点的坐标；
（3）若点是该二次函数图象上位于轴上方的一点，且，直接写出点的坐标．
【解答】（1）点和点在二次函数图象上，
则，解得：， 故答案为：，；
（2）连接，由题意可得：，，，，
，
，设点，
，即，
解得：或，代入， 可得：值都为6，
，或，；
（3）设，
点在抛物线位于轴上方的部分， 或，
当点在点左侧时，即，
可知点到的距离小于点到的距离，
，不成立；
当点在点右侧时，即，
和都以为底，若要面积相等，
则点和点到的距离相等，即，
设直线的解析式为，则，解得：，
则设直线的解析式为，将点代入，
则，解得：，
则直线的解析式为，将代入，即，
解得：或（舍， ，
点的坐标为．
【自主招生】
16．已知抛物线y=x2+px+q上有一点M（x0，y0）位于x轴下方，
（1）求证：已知抛物线必与x轴有两个交点A（x1，0），B（x2，0），其中x1< x2；
（2）求证；x1< x0< x2；
（3）当点M为（1，–1999）时，求整数x1，x2.
【解答】（1）由已知，得
即，
∴方程x2+px+q=0有两个实根，且不相等.
不妨设x1< x2，抛物线与x轴有两个交点A（x1，0），B（x2，0）；
（2）由韦达定理
又y0=x02+px0+q<0， 即x02–(x1+x2)x0+x1 x2<0，
（x0–x1）（x0–x2）<0，
即x1（3）当点M为（1，–1999）时有x0=1，y0= –1999，则由x1，x2为整数，（x1–1）（x2–1）也为整数，且x1–1>x2–1，
得或 解得或。
17．已知是两位数，二次函数的图象与x轴交于不同的两点，这两点间距离不超过2.
（1）求证：0（2）求出所有这样的两位数.
【解答】（1）设的图象与x轴的两交点为A（x1，0），B（x2，0），x1≠x2，则x1、x 为方程的两个不同实根，
∴
又，即，
也即
（2）∵m，n为整数（m≠0），
∴m2–4n=1,2,3,4,
而m2被4除余0或1.故m2-4n被4除也余0或1，
从而只能有m2–4n=1或m2–4n=4.
解这两个不定方程，得：
∴所求两位数为10,32,56,20,43,68。
