2022-2023学年北师大版九年级数学上册2.3用公式法求解一元二次方程 同步练习 （含解析）

2022-2023学年北师大版九年级数学上册《2.3用公式法求解一元二次方程》
自主学习同步达标测试题（附答案）
一．选择题（共8小题，满分40分）
1．下列方程有两个相等的实数根的是（　　）
A．x2+0.09＝0.6x B．4y（y﹣1）﹣1＝0
C．x2﹣6+9x＝0 D．2y2+4y+3＝0
2．用公式法解一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0时，计算b2﹣4ac的结果为（　　）
A．17 B．14 C．11 D．8
3．若x＝﹣2是一元二次方程x2+2x+m＝0的一个根，则方程的另一个根及m的值分别是（　　）
A．0，﹣2 B．0，0 C．﹣2，﹣2 D．﹣2，0
4．关于x的一元二次方程x2+2x﹣m＝0有两个的实数根，则m的取值范围是（　　）
A．m＜﹣1 B．m＞﹣1 C．m≤﹣1 D．m≥﹣1
5．若关于x的一元二次方程x2+x+m＝0有两个相等的实数根，则实数m的值为（　　）
A．﹣4 B． C． D．4
6．已知关于x的方程（x﹣1）（x+2）＝p，则下列分析正确的是（　　）
A．当p＝0时，方程有两个相等的实数根
B．当p＞0时，方程有两个不相等的实数根
C．当p＜0时，方程没有实数根
D．方程的根的情况与p的值无关
7．若关于x的一元二次方程x2﹣2mx+m2﹣4m﹣1＝0有两个实数根x1，x2，且（x1+2）（x2+2）﹣2x1x2＝17，则m＝（　　）
A．2或6 B．2或8 C．2 D．6
8．已知关于x的一元二次方程ax2﹣4x﹣2＝0有实数根，则a的取值范围是（　　）
A．a≥﹣2 B．a＞﹣2 C．a≥﹣2且a≠0 D．a＞﹣2且a≠0
二．填空题（共6小题，满分30分）
9．关于x的一元二次方程x2+2x﹣（m﹣2）＝0有两个相等的实数根，则m的值为 　 　．
10．若等腰三角形的一边长为6，另两边的长是关于x的一元二次方程x2﹣8x+m＝0的两个根，则m的值为 　 　．
11．方程2x2﹣6x﹣1＝0的负数根为　 　．
12．用公式法解方程（2x﹣1）2+4＝（x+2）2﹣4，先把它整理为　 　，它的根为　 　．
13．一元二次方程3x2＝4﹣2x的解是 　 　．
14．若x＝1是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根，则判别式Δ＝b2﹣4ac和完全平方式M＝（2a+b）2的关系是：Δ 　 　M．（填“＞”“＜”或“＝”）
三．解答题（共6小题，满分50分）
15．用公式法解方程：x2﹣2x﹣8＝0．
16．（1）用配方法解方程：3x2﹣6x﹣1＝0．
（2）用公式法解方程：4x2﹣8x+3＝0．
17．已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+1）x+2k﹣3＝0．
（1）当k＝3时，求一元二次方程x2﹣（k+1）x+2k﹣3＝0的解；
（2）求证：无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根．
18．已知：关于x的一元二次方程x2﹣2mx+m2﹣1＝0．
（1）判断方程的根的情况；
（2）若△ABC为等腰三角形，AB＝5cm，另外两条边长是该方程的根，求△ABC的周长．
19．关于x的一元二次方程3x2+8x+m＝0．
（1）当m＝5时，解方程；
（2）当方程有两个不相等的实数根时，求m的取值范围．
20．已知关于x的方程x2﹣（k+3）x+3k＝0．
（1）求证：无论k取任何实数值，方程总有两个实数根．
（2）等腰△ABC的底边长为2，另两边的长恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．
参考答案
一．选择题（共8小题，满分40分）
1．解：A、方程整理得：x2﹣0.6x+0.09＝0，
∵Δ＝（﹣0.6）2﹣4×1×0.09＝0.36﹣0.36＝0，
∴方程有两个相等的实数根，符合题意；
B、方程整理得：4y2﹣4y﹣1＝0，
∵Δ＝（﹣4）2﹣4×4×（﹣1）＝16+16＝32＞0，
∴方程有两个不相等的实数根，不符合题意；
C、方程整理得：x2+9x﹣6＝0，
∵Δ＝92﹣4×1×（﹣6）＝81+24＝105＞0，
∴方程有两个不相等的实数根，不符合题意；
D、方程2y2+4y+3＝0，
∵Δ＝42﹣4×2×3＝16﹣24＝﹣8＜0，
∴方程没有实数根，不符合题意．
故选：A．
2．解：∵a＝2，b＝﹣3，c＝﹣1，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×2×（﹣1）＝17．
故选：A．
3．解：设方程的另一根为a，
∵x＝﹣2是一元二次方程x2+2x+m＝0的一个根，
∴4﹣4+m＝0，
解得m＝0，
则﹣2a＝0，
解得a＝0．
故选：B．
4．解：根据题意得：Δ＝22﹣4×1×（﹣m）≥0，
解得m≥﹣1，
故选：D．
5．解：根据题意得Δ＝12﹣4m＝0，
解得m＝．
故选：C．
6．解：方程（x﹣1）（x+2）＝p可整理为x2+x﹣2﹣p＝0，
∴Δ＝12﹣4×1×（﹣2﹣p）＝1+8+4p＝4p+9．
当p＝0时，Δ＝4p+9＝9＞0，
∴方程有两个不相等的实数根，
故选项A不符合题意；
当p＞0时，Δ＝4p+9＞0，
∴方程有两个不相等的实数根，
故选项B符合题意；
当p＜0时，Δ的正负无法确定，
∴无法判断该方程实数根的情况，
故选项C不符合题意；
∵方程的根的情况和p的值有关，
故选项D不符合题意．
故选B．
7．解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2mx+m2﹣4m﹣1＝0有两个实数根x1，x2，
∴Δ＝（﹣2m）2﹣4（m2﹣4m﹣1）≥0，即m≥﹣，且x1x2＝m2﹣4m﹣1，x1+x2＝2m，
∵（x1+2）（x2+2）﹣2x1x2＝17，
∴x1x2+2（x1+x2）+4﹣2x1x2＝17，即2（x1+x2）+4﹣x1x2＝17，
∴4m+4﹣m2+4m+1＝17，即m2﹣8m+12＝0，
解得：m＝2或m＝6．
故选：A．
8．解：根据题意得a≠0且Δ＝（﹣4）2﹣4a×（﹣2）≥0，
解得a≥﹣2且a≠0．
故选：C．
二．填空题（共6小题，满分30分）
9．解：∵关于x的一元二次方程x2+2x﹣（m﹣2）＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝0，即22﹣4×1×[﹣（m﹣2）]＝0，
解得m＝1．
故答案为：1．
10．解：当等腰三角形的底边为6时，则关于x的一元二次方程x2﹣8x+m＝0有两个相等的实数根，
根据根的判别式的意义得Δ＝（﹣8）2﹣4m＝0，
解得m＝16，
此时方程为x2﹣8x+16＝0，解方程得x1＝x2＝4，
因为4+4＞6，
所以m＝16符合题意；
当等腰三角形的腰为6时，则x＝6为关于x的一元二次方程x2﹣8x+m＝0一个根，
把x＝6代入方程得36﹣48+m＝0，
解得m＝12，
此时方程为x2﹣8x+12＝0，解方程得x1＝2，x2＝6，
因为6+6＞2，
所以m＝12符合题意；
综上所述，m的值为12或16．
故答案为：12或16．
11．解：△＝（﹣6）2﹣4×2×（﹣1）＝44，
x＝＝，
所以x1＝＞0，x2＝＜0．
即方程的负数根为x＝．
故答案为x＝．
12．解：方程整理得：3x2﹣8x+5＝0，
这里a＝3，b＝﹣8，c＝5，
∵△＝64﹣60＝4，
∴x＝，
解得：x1＝，x2＝1，
故答案为：3x2﹣8x+5＝0；x1＝，x2＝1
13．解：3x2＝4﹣2x
3x2+2x﹣4＝0，
则b2﹣4ac＝4﹣4×3×（﹣4）＝52＞0，
故x＝，
解得：x1＝，x2＝．
故答案为：x1＝，x2＝．
14．解：∵x＝1是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根，
∴a+b+c＝0，即b＝﹣a﹣c，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣a﹣c）2﹣4ac＝a2﹣2ac+c2＝（a﹣c）2，M＝（2a+b）2＝（2a﹣a﹣c）2＝（a﹣c）2，
则Δ＝M．
故答案为：＝．
三．解答题（共6小题，满分50分）
15．解：∵a＝1，b＝﹣2，c＝﹣8，
∴Δ＝（﹣2）2﹣4×（﹣8）＝36＞0，
x＝＝＝1±3，
所以x1＝4，x2＝﹣2．
16．解：（1）3x2﹣6x﹣1＝0，
x2﹣2x＝，
x2﹣2x+1＝+1，即（x﹣1）2＝，
∴x﹣1＝±，
∴x1＝1+，x2＝1﹣；
（2）4x2﹣8x+3＝0，
∵a＝4，b＝﹣8，c＝3，
∴b2﹣4ac＝（﹣8）2﹣4×4×3＝16＞0，
∴x＝＝＝，
∴x1＝，x2＝．
17．（1）解：当k＝3时，方程可化为x2﹣4x+3＝0，
（x﹣1）（x﹣3）＝0，
∴x1＝1，x2＝3；
（2）证明：∵Δ＝[﹣（k+1）]2﹣4（2k﹣3）＝k2﹣6k+13＝（k﹣3）2+4，
而（k﹣3）2≥0，
∴Δ＞0．
∴对任意实数k，方程有两个不相等的实数根．
18．解：（1）∵Δ＝（﹣2m）2﹣4（m2﹣1）＝4＞0，
∴方程有两个不相等的实数根；
（2）x＝＝m±1，
∴x1＝m+1，x2＝m﹣1，
当m+1＝5时，解得m＝4，此时等腰三角形三边分别为5，5，3，△ABC的周长为5+5+3＝13；
当m﹣1＝5时，解得m＝6，此时等腰三角形三边分别为5，5，7，△ABC的周长为5+5+7＝17；
综上所述，△ABC的周长为13或17．
19．解：（1）m＝5时，原方程为3x2+8x+5＝0，
∴（3x+5）（x+1）＝0，
∴3x+5＝0或x+1＝0，
∴x1＝﹣，x2＝﹣1；
（2）∵关于x的一元二次方程3x2+8x+m＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝82﹣4×3×m＞0，
解得：m＜，
故m的取值范围是m＜．
20．（1）证明：Δ＝（k+3）2﹣4×3k＝（k﹣3）2≥0，
故不论k取何实数，该方程总有实数根；
（2）解：依题意有Δ＝（k﹣3）2＝0，则k＝3，
将其代入方程x2﹣（k+3）x+3k＝0，得x2﹣（3+3）x+3×3＝0．
解得x1＝x2＝3．
故△ABC的周长是2+3+3＝8．