2022-2023学年苏科版九年级数学上册2.2圆的对称性 同步自主达标测试题 （含解析）

2022-2023学年苏科版九年级数学上册《2.2圆的对称性》同步自主达标测试题（附答案）
一．选择题（共 8小题，满分40分）
1．如图，AB为⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，若AB＝8，CD＝2，则OB的长是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
2．如图，△ABC的两顶点A，B在⊙O上，点C在圆外，∠C＝46°，边AC交⊙O于点D，DE∥BC经过圆心交⊙O于点E，则的度数为（　　）
A．44° B．80° C．88° D．92°
3．如图，⊙O的直径为2，AB为⊙O的弦，且AB＝，则所对圆心角的大小为（　　）
A．30° B．45° C．60° D．90°
4．把一个球放在长方体收纳箱中，截面如图所示，若箱子高16cm，AB长16cm，则球的半径为（　　）
A．9 B．10 C．11 D．12
5．如图，AB为⊙O的直径，AB＝10，C，D为⊙O上两动点（C，D不与A，B重合），且CD为定长，CE⊥AB于E，M是CD的中点，则EM的最大值为（　　）
A．4 B．4.5 C．5 D．6
6．如图所示，一圆弧过方格的格点AB，试在方格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为（0，4），则该圆弧所在圆的圆心坐标是（　　）
A．（﹣1，2） B．（1，﹣1） C．（﹣1，1） D．（2，1）
7．如图，⊙P与y轴交于点M（0，﹣4），N（0，﹣10），圆心P的横坐标为﹣4．则⊙P的半径为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
8．如图，⊙O的半径为6，将劣弧沿弦AB翻折，恰好经过圆心O，点C为优弧AB上的一个动点，则△ABC面积的最大值是（　　）
A． B． C． D．
二．填空题（共8小题，满分40分）
9．如图，在半径为10的⊙O中，弦AB＝12cm，OC⊥AB，垂足为C，则OC的长为 　 　cm．
10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，以点C为圆心，CA为半径的圆与AB交于点D，则AD的长为　 　．
11．如图，点P是y轴正半轴上一点，以P为圆心的圆与x轴、y轴分别交于点A、B、C、D．已知点A的坐标为（﹣3，0），点C的坐标为（0，﹣1），则点D的坐标为　 　．
12．某隧道口横截面如图所示，上部分是圆弧形，下部分是矩形、已知隧道口最高点E与DC的距离EF为4米，且弧DC所在圆的半径为10米，则路面AB的宽度为 　 　米．
13．若圆的半径是4cm，一条弦长是，则圆心到该弦的距离是　 　，该弦所对的圆心角的度数为　 　．
14．如图，C为弧AB的中点，CN⊥OB于N，CD⊥OA于M，CD＝4cm，则CN＝　 　cm．
15．如图，在⊙O中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点P为上任意一点，连接PA，PB，PC，则线段PA，PB，PC之间的数量关系为　 　．
16．如图，已知点C，D是半圆上的三等分点，连接AC，BC，CD，OD，BC和OD相交于点E．则下列结论：
①∠CBA＝30°，②OD⊥BC，③OE＝AC，④四边形AODC是菱形．
正确的个数是 　 　．
三．解答题（共6小题，满分40分）
17．如图为桥洞的形状，其正视图是由圆弧和矩形ABCD构成．O点为所在⊙O的圆心，点O又恰好在AB为水面处．若桥洞跨度CD为8米，拱高（OE⊥弦CD于点F ）EF为2米．
（1）求所在⊙O的半径DO；
（2）若河里行驶来一艘正视图为矩形的船，其宽6米，露出水面AB的高度为h米，求船能通过桥洞时的最大高度h．
18．如图，在⊙O中，弦AD、BC相交于点E，连接OE，已知AD＝BC，AD⊥CB．
（1）求证：AB＝CD；
（2）如果⊙O的半径为5，DE＝1，求AE的长．
19．如图，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，C是的中点，CE⊥AB于E，CE交BD于F．
（1）求证：CF＝BF；
（2）当CD＝6，AC＝8时，求⊙O的半径及CE的长．
20．如图，以平行四边形ABCD的顶点A为圆心，AB为半径作⊙A，分别交BC、AD于E、F两点，交BA的延长线于点G．
（1）求证：＝；
（2）若为140°，求∠EGB的度数．
21．如图，以△AOB的顶点O为圆心，OB为半径作⊙O，交OA于点E，交AB于点D，连接DE，DE∥OB，延长AO交⊙O于点C，连接CB．
（1）求证：＝；
（2）若AD＝4，AE＝CE，求OC的长．
22．已知，∠EPF的角平分线上有一点O，以点O为圆心的圆与角的两边分别交于A，B和C，D．易证：AB＝CD．
当点P在⊙O外（如图②），点P在⊙O内，（如图③）的位置时，请你猜想并写出AB与CD的数量关系？并选择其中一种情况加以证明．
参考答案
一．选择题（共8小题，满分40分）
1．解：∵AB为⊙O的弦，半径OC⊥AB，且AB＝8，
∴AD＝BD＝AB＝4，
设半径OB＝x，则OD＝x﹣2，
在Rt△BOD中，由勾股定理得，
OD2+BD2＝OB2，
即（x﹣2）2+42＝x2，
解得x＝5，
故选：C．
2．解：∵DE||BC，
∴∠C＝∠ADE＝46°，
∴的度数是92°，
∴的度数为180°﹣92°＝88°．
故选：C．
3．解：如图，连接OA、OB，作OD⊥AB于点D，由题意可知，OA＝1，AD＝，
在Rt△OAD中，
∵OA＝1，AD＝，
∴∠1＝45°，
∴∠AOB＝∠1+∠2＝45°+45°＝90°，
故选：D．
4．解：设球心为O，过O点作CD⊥AB于D，交连接OB，
设OB＝x，则OD＝16﹣x，BD＝AD＝8，
在直角三角形ODB中，BD2+MF2＝OB2，
即：（16﹣x）2+82＝x2，
解得：x＝10．
故选：B．
5．解：如图，延长CE交⊙O于J，连接DJ，
∵CE⊥AB，
∴CE＝EJ，
∵M是CD的中点，
∴CM＝DM，
∴EM＝DJ，
∴当DJ是直径时，EM的值最大，
∵⊙O的直径AB＝10，
∴EM的最大值为5，
故选：C．
6．解：如图所示，
连接AC，作出AB、AC的垂直平分线，其交点即为圆心．
∵点A的坐标为（0，4），
∴该圆弧所在圆的圆心坐标是（﹣1，1）．
故选：C．
7．解：过点P作PD⊥MN，连接PM，如图所示：
∵⊙P与y轴交于M（0，﹣4），N（0，﹣10）两点，
∴OM＝4，ON＝10，
∴MN＝6，
∵PD⊥MN，
∴DM＝DN＝MN＝3，
∴OD＝7，
∵点P的横坐标为﹣4，即PD＝4，
∴PM＝＝＝5，
即⊙P的半径为5，
故选：C．
8．解：如图，过点C作CT⊥AB于点T，过点O作OH⊥AB于点H，交⊙O于点K，连接AO，AK．
由题意AB垂直平分线段OK，
∴AO＝AK，
∵OA＝OK，
∴OA＝OK＝AK，
∴∠OAK＝∠AOK＝60°．
∴AH＝OA sin60°＝6×＝3，
∵OH⊥AB，
∴AH＝BH，
∴AB＝2AH＝6，
∵OC+OH≥CT，
∴CT≤6+3＝9，
∴CT的最大值为9，
∴△ABC的面积的最大值为＝27，
故选：C．
二．填空题（共8小题，满分40分）
9．解：连接OA，如图，
∵OC⊥AB，
∴AC＝BC＝AB＝6cm，∠OCA＝90°，
在Rt△AOC中，OC＝＝＝8（cm）．
故答案为：8．
10．解：过点C作CE⊥AD于点E，
则AE＝DE，
∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴AB＝＝5，
∵S△ABC＝AC BC＝AB CE，
∴CE＝＝，
∴AE＝＝，
∴AD＝2AE＝，
故答案为．
11．解：连接AP，
∵点A的坐标为（﹣3，0），点C的坐标为（0，﹣1），
∴OA＝3，OC＝1，
设⊙P的半径为x，
则OP＝PC﹣OC＝x﹣1，
在Rt△AOP中，OA2+OP2＝AP2，
即32+（x﹣1）2＝x2，
解得：x＝5，
∴PD＝5，OP＝x﹣1＝4，
∴OD＝OP+PD＝9，
∴点D的坐标为：（0，9）．
故答案为：（0，9）．
12．解：设圆弧形所在圆的圆心为O，由题意可知，点O在EF的延长线上，连接OC，
∵OE⊥CD，
∴∠CFO＝90°，CF＝DF，
在Rt△CFO中，OC＝10，OF＝OE﹣EF＝10﹣4＝6，
∴CF＝＝＝8，
∴AB＝CD＝2CF＝16，
即路面AB的宽度为16米．
故答案为：16．
13．解：如图所示：过点O作OC⊥AB于点C，
∵圆圆的半径是4cm，一条弦长是，
∴AO＝BO＝4cm，AC＝BC＝2cm，
∴CO＝＝2（cm），
∴∠COA＝45°，
∴∠BOA＝90°．
故答案为：2cm，90°．
14．解：∵CM⊥OA，
即OM⊥CD，
由垂径定理得：CD＝2CM＝4cm，
连接OC，
∵C为弧AB的中点，
∴弧AC＝弧BC，
∴∠AOC＝∠BOC，
∵CN⊥OB，CD⊥OA
∴∠CMO＝∠CNO
∴
∴△CMO≌△CNO
∴CN＝CM＝2cm，
故答案为：2．
15．解：如图作AE⊥PC于E，AF⊥PB交PB的延长线于F．
∵BC是直径，
∴∠BAC＝∠EPF＝90°，
∵AB＝AC，
∴＝，
∴∠APF＝∠APC，
∵AE⊥PC，AF⊥PF，
∴AE＝AF，
∵∠F＝∠AEC＝90°，
∴Rt△AEC≌Rt△AFB（HL），
∴BF＝CE，
∵∠AFP＝∠AEP＝90°，AP＝AP，AF＝AE，
∴Rt△APF≌Rt△APE（HL），
∴PF＝PE，
∴PB+PC＝PF﹣BF+PE+EC＝2PE，
∵∠APC＝∠ABC＝45°，
∴△APE是等腰直角三角形，
∴PA＝PE，
∴PE＝PA，
∴PB+PC＝PA．
故答案为PB+PC＝PA．
16．解：如图，连接CD、AD、CO，
，
∵点C，D是半圆上的三等分点，
∴∠AOC＝∠COD＝∠BOD＝180°÷3＝60°，
∴∠CBA＝∠AOC÷2＝60°÷2＝30°，
即①正确；
∵∠BEO＝180°﹣∠BOD﹣∠CBA
＝180°﹣60°﹣30°
＝90°
∴OD⊥BC，
即②正确．
∵OB＝OC，OD⊥BC，
∴E是BC的中点，
又∵O是AB的中点，
∴OE是△ABC的中位线，
∴OE＝AC，
即③正确．
∵AC⊥BC，OD⊥BC，
∴AC∥OD，
∵∠DCB＝∠BOD÷2＝60°÷2＝30°，∠CBA＝30°
∴∠DCB＝∠CBA，
∴CD∥AB，
∴四边形AODC是平行四边形，
∵∠AOC＝60°，OA＝OC，
∴△AOC是等边三角形，
∴AO＝AC，
又∵四边形AODC是平行四边形，
∴AO＝OD＝DC＝CA，
∴四边形AODC是菱形，
即④正确．
综上，可得正确的结论有：①②③④．
故答案为①②③④．
三．解答题（共6小题，满分40分）
17．解：（1）∵OE⊥弦CD于点F，CD为8米，EF为2米，
∴EO垂直平分CD，DF＝4m，FO＝DO﹣2（m），
在Rt△DFO中，DO2＝FO2+DF2，
则DO2＝（DO﹣2）2+42，
解得：DO＝5；
答：所在⊙O的半径DO为5m；
（2）如图所示：假设矩形的船为矩形MQRN，船沿中点O为中心通过，
连接MO，
∵MN＝6m，∴MY＝YN＝3m，
在Rt△MOY中，MO2＝YO2+NY2，
则52＝YO2+32，
解得：YO＝4，
答：船能通过桥洞时的最大高度为4m．
18．（1）证明：如图，∵AD＝BC，
∴＝，
∴﹣＝﹣，即＝
∴AB＝CD；
（2）解：如图，过O作OF⊥AD于点F，作OG⊥BC于点G，连接OA、OC．
则AF＝FD，BG＝CG．
∵AD＝BC，
∴AF＝CG．
在Rt△AOF与Rt△COG中，
，
∴Rt△AOF≌Rt△COG（HL），
∴OF＝OG，
∴四边形OFEG是正方形，
∴OF＝EF．
设OF＝EF＝x，则AF＝FD＝x+1，
在直角△OAF中．由勾股定理得到：x2+（x+1）2＝52，
解得 x＝3．
则AF＝3+1＝4，即AE＝AF+3＝7．
19．证明：（1）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠A＝90°﹣∠ABC．
∵CE⊥AB，
∴∠CEB＝90°，
∴∠ECB＝90°﹣∠ABC，
∴∠ECB＝∠A．
又∵C是的中点，
∴＝，
∴∠DBC＝∠A，
∴∠ECB＝∠DBC，
∴CF＝BF；
（2）∵＝，
∴BC＝CD＝6，
∵∠ACB＝90°，
∴AB＝＝10，
∴⊙O的半径为5，
∵S△ABC＝AB CE＝BC AC，
∴CE＝．
20．（1）证明：连接AE．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠EAF＝∠AEB，∠GAF＝∠B，
∵AE＝AB，
∴∠B＝∠AEB，
∴∠EAF＝∠GAF，
∴＝；
（2）∵GB为⊙A的直径，
∴为180°，
∵为140°，
∴为40°，
∴∠BAE＝40°
∵∠EGB＝∠BAE，
∴∠EGB＝20°．
21．（1）证明：如图1，连接CD交OB于F，
∵CE是直径，
∴∠EDC＝90°，
∵DE∥OB，
∴∠EDC＝∠OFC＝90°，
即OB⊥CD，
∴；
（2）解：如图2，连接CD交OB于F，连接EF，
由（1）得：DE∥OB，OB⊥CD，点F是CD的中点，
∵AE＝CE，
∴EF∥AD，EF＝AD＝2，
∵O是CE的中点，F是CD的中点，
∴OF＝DE，
∵EF∥BD，DE∥BF，
∴四边形EFBD是平行四边形，
∴BF＝DE，
设OF＝x，则BF＝DE＝2x，OC＝OB＝3x，
∵，
∴BC＝BD＝EF＝2，
∵DF2＝CF2
∴，
解得：x＝±1，
∵x＞0，
∴x＝1，∴OC＝3x＝3．
22．解：AB＝CD．理由如下：
对于图②：作OG⊥AB于G，OH⊥CD于H，连接OB、OD，则AG＝BG，CH＝DH，
∵PO平分∠EPF，
∴OG＝OH，
在Rt△OBG和△ODH中，
，
∴Rt△OBG≌Rt△ODH（HL），
∴BG＝DH，
∴AB＝CD；
对于图③：作OG⊥AB于G，OH⊥CD于H，则AG＝GB，CH＝HD，证明的方法与图②一样．