2022-2023学年苏科版九年级数学上册2.4圆周角 同步自主达标测试题 （含解析）

2022-2023学年苏科版九年级数学上册《2.4圆周角》同步自主达标测试题（附答案）
一．选择题（共8小题，满分40分）
1．如图，点A，B，C都在⊙O上，若∠ACB＝36°，则∠OAB＝（　　）
A．18° B．54° C．36° D．72°
2．如图，AB是⊙O的直径，C是弧AB的中点，点D在弧BC上，AC，BD的延长线交于点E，则∠AEB﹣∠BCD等于（　　）
A．30° B．45° C．55° D．60°
3．如图，AB是⊙O的直径，点C为圆上一点，AC＝4，∠ABC的平分线交AC于点D，CD＝1，则⊙O的直径为（　　）
A．2 B．3 C．5 D．2+2
4．如图，⊙O的半径为9，AB是弦，OC⊥AB于点C，将劣弧AB沿弦AB折叠交OC于点D，若OD＝DC，则弦AB的长为（　　）
A． B． C． D．
5．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠BCD＝121°，则∠BOD的度数为（　　）
A．138° B．121° C．118° D．112°
6．如图，已知半圆O的直径AB＝8，C是半圆上一点，沿AC折叠半圆得到弧ADC，交直径AB于点D，若DA、DB的长均不小于2，则AC的长可能是（　　）
A．7 B．6 C．5 D．4
7．如图，已知BC是⊙O的直径，A是半圆弧CAB的中点，点D在劣弧AC上（不与点A，点C重合），BD与OA交于点E．设∠AED＝α，∠AOD＝β，则α与β之间的数量关系为（　　）
A．3α+β＝180° B．2α+β＝180° C．3α﹣β＝90° D．2α﹣β＝90°
8．如图，BC是⊙O的直径，D为⊙O上一点，A为的中点，AE⊥BC于H并交⊙O于点E，若CD＝3DF，AC＝4，则⊙O的半径长为（　　）
A． B． C． D．
二．填空题（共8小题，满分40分）
9．如图，四边形ABCD内接于⊙O，延长BC至点E，若∠DCE＝72°，则∠BOD的度数为 　 　．
10．如图，AB是⊙O的直径，AB的长为8cm，点D在圆上，且∠ADC＝30°，则弦AC的长为 　 　cm．
11．在半径为2的⊙O中，弦AB长为，点C为⊙O上一点且不与点A，B重合，则∠ACB的度数为 　 　．
12．如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，先将沿BC翻折交AB于点D，再将沿AB翻折交BC于点E．若＝，则∠ABC＝　 　．
13．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AD与BC的延长线交于点E，BA与CD的延长线交于点F，若∠DCE＝75°，∠F＝20°，则∠E的度数为 　 　．
14．如图，在平面直角坐标系中，⊙M经过原点，且与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，点C在第四象限的⊙M上，且∠AOC＝60°，OC＝3，则点B的坐标是 　 　．
15．如图，AB、CD为⊙O的两条弦，若∠B+∠C＝90°，AB2+CD2＝100，则⊙O的半径为 　 　．
16．如图，以BC为直径作⊙O，A，D为圆周上的点，AD∥BC，AB＝CD＝AD＝2．若点P为BC垂直平分线MN上的一动点，则阴影部分周长的最小值为 　 　．
三．解答题（共6小题，满分40分）
17．如图，已知⊙O中，弦AB＝8，点P是弦AB上一点，OP＝3，∠OPB＝45°．
（1）求OB的长；
（2）过点P作弦CD与弦AB垂直，求证：AB＝CD．
18．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC为⊙O的直径，∠ADB＝∠CDB．
（1）试判断△ABC的形状，并给出证明；
（2）若AB＝，AD＝1，求CD的长度．
19．如图，以AB为直径的⊙O经过△ABC的顶点C，AE，BE分别平分∠BAC和∠ABC，AE的延长线交⊙O于点D，连接BD．
（1）判断△BDE的形状，并证明你的结论；
（2）若AB＝10，BE＝2，求BC的长．
20．如图，AB为⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB于点E，连接DO并延长交⊙O于点F，连接AF交CD于点G，CG＝AG，连接AC．
（1）求证：AC∥DF；
（2）若AB＝12，求AC和GD的长．
21．如图，AB是⊙O直径，弦CD⊥AB于点E，过点C作DB的垂线，交AB的延长线于点G，垂足为点F，连结AC，其中∠A＝∠D．
（1）求证：AC＝CG；
（2）若CD＝EG＝8，求⊙O的半径．
22．已知CD为⊙O的直径，A、B为⊙O上两点，点C为劣弧AB中点，连接DA、BA、AC，且∠B＝30°．
（1）求证：∠D＝30°；
（2）F、G分别为线段CD、AC上两点，满足DF＝AG，连接AF、OG，取OG中点H，连接CH，请猜测AF与CH之间的数量关系，并证明．
参考答案
一．选择题（共8小题，满分40分）
1．解：∵∠ACB＝∠AOB，∠ACB＝36°，
∴∠AOB＝2×∠ACB＝72°．
∵OA＝OB，
∴△OAB是等腰三角形，
∵∠AOB+∠OAB+∠OBA＝180°，
∴∠OAB＝（180°﹣∠AOB）＝54°，
故选：B．
2．解：∵AB是⊙O的直径的直径，
∴∠ADB＝∠ADE＝∠ACB＝90°，
∴∠AEB+∠EAD＝90°，
∵C是弧AB的中点，
∴AC＝BC，
∴∠CAB＝∠CBA＝45°，
∴∠EAD+∠BAD＝45°，
∵∠BCD＝∠BAD，
∴∠EAD+∠BCD＝45°，
∴∠AEB+∠EAD﹣（∠EAD+∠BCD）＝90°﹣45°＝45°，
∴∠AEB﹣∠BCD＝45°．
故选：B．
3．解：如图，作DE⊥AB于点E，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠C＝90°，
∵BD平分∠CDE，
∴DE＝CD＝1，
∴AD＝3，
∵BD＝BD，
∴Rt△BDE≌Rt△BDC（HL），
∴BE＝BC，
在Rt△ADE中，根据勾股定理，
AE＝＝＝2，
设BE＝BC＝x，在Rt△ABC中，根据勾股定理，
AB2＝AC2+BC2，
即（2+x）2＝42+x2，
∴x＝，
∴⊙O的直径AB为3．
故选：B．
4．解：∵⊙O的半径为9，将劣弧AB沿弦AB折叠交于OC的中点D，
∴OD＝CD＝9＝3，OC＝OD+CD＝6，
∵OC⊥AB，OC过圆心O，
∴∠ACO＝90°，AC＝BC，即AB＝2AC，
连接OA，
由勾股定理得：AC＝，
即AC＝BC＝3，
∴AB＝AC+BC＝6．
故选：B．
5．解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠A+∠BCD＝180°，
∴∠A＝180°﹣121°＝59°，
∴∠BOD＝2∠A＝2×59°＝118°，
故选：C．
6．解：图①，当点D在圆心O的左侧且AD＝2时，过C作CE⊥AB，垂足为E，连接CD．CO、CB，
∵，
∴∠CDB＝∠CBD，
∴CD＝CB，
∴DE＝BE＝3，
∵DO＝2，
∴OE＝1，
∴AE＝5，CE2＝CO2﹣OE2＝15，
∴AC＝；
如解图②，当点D在圆心O的右侧且BD＝2时，过C作CE⊥AB，垂足为E，连接CD、CO、CB，
∵，
∴∠CDB＝∠CBD，
∴CD＝CB，
∴DE＝BE＝1，
∴OE＝3，
∴AE＝7，CE2＝CO2﹣OE2＝7，
∴AC＝，
∴DA、DB的长均不小于2，则≤AC≤，
∴AC的长可能是7．
故选A．
7．解：连接AC，
∵A是半圆弧CAB的中点，
∴，
∴AB＝AC，
∵OB＝OC，
∴AO⊥BC，
∴∠AOC＝90°，
∴∠DOC＝90°﹣β，
∴∠DBO＝∠DOC＝45°﹣β，
∵OB＝OD，
∴∠ODB＝∠DBO＝45°﹣β，
∴∠AED＝∠ODB+∠DOA，即α＝β+45°﹣β，
∴2α﹣β＝90°，
故选：D．
8．解：连接OA、DE，如图，
∵A为的中点，
∴＝，
∵直径BC⊥AE，
∴AH＝EH，＝，
∴＝，
∴∠EAC＝∠DCA，
∴FA＝FC，
∵∠FDE＝∠EAC，∠FED＝∠DCA，
∴∠FED＝∠FDE，
∴FD＝FE，
设DF＝2x，则CD＝6x，FE＝2x，AE＝6x，
∴AH＝EH＝3x，
在Rt△CHF中，CH2＝CF2﹣FH2＝（8x）2﹣（5x）2＝39x2，
在Rt△CHA中，CH2＝AC2﹣AH2＝42﹣（3x）2＝16﹣9x2，
∴16﹣9x2＝39x2，
解得x＝，
∴AH＝，CH＝x＝，
设⊙O的半径为r，则OH＝﹣r，OA＝r，
在Rt△OAH中，（）2+（﹣r）2＝r2，
解得r＝，
即⊙O的半径为．
故选：B．
二．填空题（共8小题，满分40分）
9．解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠A+∠BCD＝180°，
∵∠DCE+∠BCD＝180°，
∴∠A＝∠DCE，
∵∠DCE＝72°，
∴∠A＝72°，
∴∠BOD＝2∠A＝144°，
故答案为：144°．
10．解：如图，连接OC．
∵AB＝8cm，
∴OA＝OC＝4cm，
∵∠AOC＝2∠ADC，∠ADC＝30°，
∴∠AOC＝60°，
∵OA＝OC，
∴△AOC是等边三角形，
∴OA＝AC＝4cm．
故答案为：4．
11．解：如图，当点C在优弧AB上时，作OD⊥AB于D，则AD＝BD＝AB＝×2＝，
在Rt△AOD中，OA＝2，AD＝，
∴∠OAD＝30°，
∴∠AOB＝180°﹣2∠OAB＝120°，
∴∠ACB＝∠AOB＝60°，
当点C′在劣弧AB上时，∠AC′B＝180°﹣∠ACB＝120°，
综上所述，∠ACB的度数为60°或120°．
故答案为：60°或120°．
12．解：如图，连接AC，CD，DE．
设∠ABC＝α，
∵，
∴ED＝EB，
∴∠EDB＝∠EBD＝α，
∵，
∴AC＝CD＝DE，
∴∠DCE＝∠DEC＝∠EDB+∠EBD＝2α，
∴∠CAD＝∠CDA＝∠DCE+∠EBD＝3α，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠CAB+∠ABC＝90°，
∴4α＝90°，
∴α＝22.5°．
故答案为：22.5°．
13．解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠EAB+∠DCB＝180°，
∵∠ECD+∠DCB＝180°，
∴∠EAB＝∠ECD＝75°，
∵∠ECD是△FCB的外角，
∴∠ABE＝∠ECD﹣∠F＝75°﹣20°＝55°，
∴∠E＝180°﹣∠EAB﹣∠ABE＝50°，
故答案为：50°．
14．解：如图，连接AC、AB、BC，过点C作CH⊥OA于H，
∵∠AOC＝60°，CH⊥OA，
∴∠OCH＝30°，
∵OC＝3，
∴OH＝OC＝，CH＝＝＝，
∵点A（4，0），
∴OA＝4，
∴AH＝OA﹣OH＝4﹣＝，
在Rt△ACH中，
AC＝＝＝，
∵∠BOA＝90°，
∴AB为⊙M的直径，
∴∠BCA＝90°，
∵∠AOC＝60°，
∴∠ABC＝60°，
∴∠BAC＝30°，
在Rt△ABC中，
BC＝AB，AB2＝AC2+BC2，
∴，
∴，
在Rt△AOB中，
OB2＝AB2﹣AO2＝，
∴OB＝，
∴点B的坐标是（0，﹣），
故答案为：（0，﹣）．
15．解：如图，连接DO并延长交⊙O于点E，连接CE，
∵DE是⊙O的直径，
∴∠DCE＝90°，
∴∠BCD+∠BCE＝90°，CE2+CD2＝DE2，
∵∠B+∠BCD＝90°，
∴∠BCE＝∠ABC，
∴＝，
∴＝，
∴CE＝AB，
∵AB2+CD2＝100，
∴CE2+CD2＝100，
即DE2＝100，
∴DE＝10，
∴OD＝5，
即⊙O的半径为5．
故答案为：5．
16．解：连接AC，根据对称的意义可知，PD+PC的最小值为AC，
∵AD∥BC，AB＝CD＝AD＝2，
∴＝＝，
∴∠ABC＝2∠ACB，
∵BC为直径，
∴∠BAC＝90°，
∴∠ACB＝30°，∠ABC＝60°，
∴AC＝ AB＝2，
所以阴影部分周长的最小值为AC+CD＝2+2，
故答案为：2+2．
三．解答题（共6小题，满分40分）
17．解：（1）过点O作OE⊥AB于E，
则AE＝BE＝AB＝4，
∵OP＝3，∠OPB＝45°，
∴OE＝3×＝3，
∴OB＝＝＝5；
（2）证明：过点O作OF⊥CD于F，
∵CD⊥AB，
∴∠FPE＝90°，
∵∠OPB＝45°，
∴∠FPO＝45°，
∴∠FPO＝∠OPE，
∴OP平分∠EPF，
∵OF⊥CD，OE⊥AB，
∴OE＝OF，
∴AB＝CD．
18．解：（1）△ABC是等腰直角三角形，证明过程如下：
∵AC为⊙O的直径，
∴∠ADC＝∠ABC＝90°，
∵∠ADB＝∠CDB，
∴，
∴AB＝BC，
又∵∠ABC＝90°，
∴△ABC是等腰直角三角形．
（2）在Rt△ABC中，AB＝BC＝，
∴AC＝2，
在Rt△ADC中，AD＝1，AC＝2，
∴CD＝．
即CD的长为：．
19．解：（1）△BDE为等腰直角三角形．理由如下：
∵AE 平分∠BAC，BE 平分∠ABC，
∴∠BAE＝∠CAD＝∠CBD，∠ABE＝∠EBC．
∵∠BED＝∠BAE+∠ABE，∠DBE＝∠DBC+∠CBE，
∴∠BED＝∠DBE．
∴BD＝ED．
∵AB为直径，
∴∠ADB＝90°
∴△BDE是等腰直角三角形．
另解：计算∠AEB＝135°也可以得证．
（2）解：连接OC、CD、OD，OD交BC于点F.
∵∠DBC＝∠CAD＝∠BAD＝∠BCD．
∴BD＝DC．
∵OB＝OC．
∴OD垂直平分BC．
∵△BDE是等腰直角三角形，BE＝2，
∴BD＝2．
∵AB＝10，
∴OB＝OD＝5．
设OF＝t，则DF＝5﹣t．
在Rt△BOF和Rt△BDF中，52﹣t2＝（2）2﹣（5﹣t）2，
解得t＝3，
∴BF＝4．
∴BC＝8．
另解：分别延长AC，BD相交于点G．则△MBG为等腰三角形，先计算AG＝10，BG＝4，AD＝4，再根据面积相等求得BC．
20．（1）证明：∵AG＝CG，
∴∠DCA＝∠CAF，
∵＝，
∴∠CAF＝∠CDF，
∴∠ACD＝∠CDF，
∴AC∥DF；
（2）解：如图，连接CO，
∵AB⊥CD，
∴＝，CE＝DE，
∵∠DCA＝∠CAF，
∴＝，
∴＝＝，
∴∠AOD＝∠AOC＝∠COF，
∵DF是直径，
∴∠AOD＝∠AOC＝∠COF＝60°，
∵OA＝OC，
∴△AOC是等边三角形，
∴AC＝AO＝6，∠CAO＝60°，
∵CE⊥AO，
∴AE＝EO＝3，∠ACD＝30°，
∴CE＝3＝DE，
∵AG2＝GE2+AE2，
∴AG2＝（3﹣AG）2+9，
∴AG＝2，
∴GE＝，
∴DG＝4．
21．（1）证明：∵DF⊥CG，CD⊥AB，
∴∠DEB＝∠BFG＝90°，
∵∠DBE＝∠GBF，
∴∠D＝∠G，
∵∠A＝∠D，
∴∠A＝∠G，
∴AC＝CG；
（2）解：连接OC，如图，
设⊙O的半径为r．
∵CA＝CG，CD⊥AB，
∴AE＝EG＝8，EC＝ED＝4，
∴OE＝AE﹣OA＝8﹣r，
在Rt△OEC中，∵OC2＝OE2+EC2，
∴r2＝（8﹣r）2+42，
解得r＝5，
∴⊙O的半径为5．
22．（1）证明：∵∠ABC＝30°，
又∵∠D＝∠ABC，
∴∠D＝30°；
（2）解：结论：AF＝2CH．
理由：延长DC到T，使得CT＝CQ．
∵∠AOC＝2∠ABC＝60°，OA＝OC，
∴△AOC是等边三角形，
∴∠ACO＝∠AOC＝60°，AC＝OA＝OC，
∴CT＝OC＝OA，∠AOF＝∠GCT＝120°，
∵OA＝AC，DF＝AG，
∴OF＝CG，
在△CGT和△OFA中，
，
∴△CGT≌△OFA（SAS），
∴AF＝GT，
∵OH＝HG，OC＝CT，
∴GT＝2CH，
∴AF＝2CH．