2022-2023学年华东师大版八年级数学上册12.5因式分解 解答专项练习题（含答案）
文档属性
| 名称 | 2022-2023学年华东师大版八年级数学上册12.5因式分解 解答专项练习题（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 53.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 华师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-09-20 10:29:24 | ||
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文档简介
2022-2023学年华东师大版八年级数学上册《12.5因式分解》解答专项练习题（附答案）
1．分解因式
（1）16﹣a4
（2）y3﹣6xy2+9x2y
（3）（m+n）2﹣4m（m+n）+4m2
（4）9﹣a2+4ab﹣4b2
2．因式分解：3（x+y）（x﹣y）﹣（x﹣y）2．
3．因式分解：
（1）2x2﹣8；
（2）x4﹣2x2+1．
4．因式分解：
（1）a3b﹣2a2b2+ab3；
（2）（x2+4）2﹣16x2．
5．因式分解：
（1）8ab+2a；
（2）x2y+2xy﹣15y；
（3）9（x+2y）2﹣4（x﹣y）2；
（4）a2+4ab﹣1+4b2．
6．因式分解：（a﹣b）（3a+b）2+（a+3b）2（b﹣a）．
7．分解因式：
（1）﹣2ax2+16axy﹣32ay2；
（2）a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）；
（3）（m2﹣6）2﹣10（6﹣m2）+25．
8．甲、乙两个同学因式分解x2+ax+b时，甲看错了a，分解结果为（x+4）（x﹣8），乙看错了b，分解结果为（x﹣2）（x+6）．求多项式x2+ax+b分解因式的正确结果．
9．仔细阅读下面例题：
例题：已知二次三项式x2+5x+m有一个因式是x+2，求另一个因式以及m的值．
解：设另一个因式为px+n，得x2+5x+m＝（x+2）（px+n），
对比等式左右两边x的二次项系数，可知p＝1，于是x2+5x+m＝（x+2）（x+n）．
则x2+5x+m＝x2+（n+2）x+2n，
∴n+2＝5，m＝2n，
解得n＝3，m＝6，
∴另一个因式为x+3，m的值为6．
依照以上方法解答下面问题：
（1）若二次三项式x2﹣7x+12可分解为（x﹣3）（x+a），则a＝ ；
（2）若二次三项式2x2+bx﹣6可分解为（2x+3）（x﹣2），则b＝ ；
（3）已知代数式2x3+x2+kx﹣3有一个因式是2x﹣1，求另一个因式以及k的值．
10．阅读：已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是x+3，求另一个因式及m的值．
解“设另一个因式为x+n，得x2﹣4x+m＝（x+3）（x+n）则x2﹣4x+m＝x2+（n+3）x+3n
∴解得∴另一个因式为x﹣7，m的值为﹣21
问题：仿照上述方法解答下列问题：
（1）已知二次三项式2x2+3x﹣k有一个因式是2x﹣5，求另一个因式及k的值．
（2）已知2x2﹣13x+p有一个因式x﹣3，则P＝ ．
11．阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：
1+x+x（x+1）+x（x+1）2
＝（1+x）[1+x+x（x+1）]
＝（1+x）2（1+x）
＝（1+x）3
（1）上述分解因式的方法是 ，共用了 次．
（2）若分解1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）2021，则结果是 ．
（3）依照上述方法分解因式：1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）n（n为正整数）．
12．问题提出：
计算：1+3+3（1+3）+3（1+3）2+3（1+3）3+3（1+3）4+3（1+3）5+3（1+3）6．
问题探究：
为便于研究发现规律，我们可以将问题“一般化”，即将算式中特殊的数字3用具有一般性的字母a代替，原算式化为：1+a+a（1+a）+a（1+a）2+a（1+a）3+a（1+a）4+a（1+a）5+a（1+a）6．
然后我们再从最简单的情形入手，从中发现规律，找到解决问题的方法：
（1）1+a+a（1+a）
＝（1+a）+a（1+a）
＝（1+a）（1+a）
＝（1+a）2
（2）由（1）知1+a+a（1+a）＝（1+a）2，所以，
1+a+a（1+a）+a（1+a）2
＝（1+a）2+a（1+a）2
＝（1+a）2（1+a）
＝（1+a）3
（3）仿照（2），写出将1+a+a（1+a）+a（1+a）2+a（1+a）3进行因式分解的过程；
（4）填空：1+a+a（1+a）+a（1+a）2+a（1+a）3+a（1+a）4＝ ；
发现规律：
1+a+a（1+a）+a（1+a）2+…+a（1+a）n＝ ；
问题解决：
计算：1+3+3（1+3）+3（1+3）2+3（1+3）3+3（1+3）4+3（1+3）5+3（1+3）6＝ （结果用乘方表示）．
13．整体思想是数学解题中常见的一种思想方法：下面是某同学对多项式（x2+2x）（x2+2x+2）+1进行因式分解的过程．将“x2+2x”看成一个整体，令x2+2x＝y，则原式＝y2+2y+1＝（y+1）2再将“y”还原即可．
解：设x2+2x＝y．
原式＝y（y+2）+1（第一步）
＝y2+2y+1（第二步）
＝（y+1）2（第三步）
＝（x2+2x+1）2（第四步）．
问题：
（1）①该同学完成因式分解了吗？如果没完成，请你直接写出最后的结果 ；
②请你模仿以上方法尝试对多项式（x2﹣4x）（x2﹣4x+8）+16进行因式分解；
（2）请你模仿以上方法尝试计算：
（1﹣2﹣3﹣…﹣2021）×（2+3+…+2022）﹣（1﹣2﹣3﹣…﹣2022）×（2+3+…+2021）．
14．（阅读学习）
课堂上，老师带领同学们学习了“提公因式法、公式法”两种因式分解的方法．分解因式的方法还有许多，如分组分解法．它的定义是：将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫分组分解法．使用这种方法的关键在于分组适当，而在分组时，必须有预见性．能预见到下一步能继续分解．例如：
（1）am+an+bm+bn＝（am+bm）+（an+bn）＝m（a+b）+n（a+b）＝（a+b）（m+n）；
（2）x2﹣y2﹣2y﹣1＝x2﹣（y2+2y+1）＝x2﹣（y+1）2＝（x+y+1）（x﹣y﹣1）．
（学以致用）
请仿照上面的做法，将下列各式分解因式：
（1）ab﹣a﹣b+1；
（2）4﹣x2+4xy﹣4y2．
（拓展应用）
已知：x+y＝7，x﹣y＝5．求：x2﹣y2﹣2y+2x的值．
15．先阅读下列材料，再解答下列问题：
材料：因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1．
解：将“x+y”看成整体，设x+y＝m，则原式＝m2+2m+1＝（m+1）2．
再将x+y＝m代入，得原式＝（x+y+1）2．
上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法．请你写出下列因式分解的结果：
（1）因式分解：1﹣2（x﹣y）+（x﹣y）2＝ ；
（2）因式分解：25（a﹣1）2﹣10（a﹣1）+1＝ ；
（3）因式分解：（y2﹣4y）（y2﹣4y+8）+16＝ ．
16．先阅读材料：
分解因式：（a+b）2+2（a+b）+1．
解：令a+b＝M，
则（a+b）2+2（a+b）+1＝M2+2M+1＝（M+1）2，
所以（a+b）2+2（a+b）+1＝（a+b+1）2．
材料中的解题过程用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法，请你运用这种思想方法解答下列问题：
（1）分解因式：（x+y）2﹣2（x+y）+1＝ ．
（2）分解因式：（m+n）（m+n﹣4）+4；
（3）证明：若n为正整数，则式子（n+1）（n+2）（n2+3n）+1的值一定是某个整数的平方．
17．观察下面分解因式的过程，并完成后面的习题
分解因式：am+an+bm+bn
解法一：原式＝（am+an）+（bm+bn）
＝a（m+n）+b（m+n）
＝（m+n）（a+b）
解法二：原式＝（am+bm）+（an+bn）
＝m（a+b）+n（a+b）
＝（a+b）（m+n）
根据你发现的方法，分解因式：
（1）mx﹣my+nx﹣ny
（2）2a+4b﹣3ma﹣6mb．
18．阅读下面的问题，然后回答，
分解因式：x2+2x﹣3，
解：原式
＝x2+2x+1﹣1﹣3
＝（x2+2x+1）﹣4
＝（x+1）2﹣4
＝（x+1+2）（x+1﹣2）
＝（x+3）（x﹣1）
上述因式分解的方法称为配方法．请体会配方法的特点，用配方法分解因式：
（1）x2﹣4x+3
（2）4x2+12x﹣7．
19．如图（1），有A、B、C三种不同型号的卡片若干张，其中A型是边长为a（a＞b）的正方形，B型是长为a、宽为b的长方形，C型是边长为b的正方形．
（1）若用A型卡片1张，B型卡片2张，C型卡片1张拼成了一个正方形（如图（2）），此正方形的边长为 ，根据该图形请写出一条属于因式分解的等式： ．
（2）若要拼一个长为2a+b，宽为a+2b的长方形，设需要A类卡片x张，B类卡片y张，C类卡片z张，则x+y+z＝ ．
（3）现有A型卡片1张，B型卡片6张，C型卡片11张，从这18张卡片中拿掉两张卡片，余下的卡片全用上，你能拼出一个长方形或正方形吗？有几种拼法？请你通过运算说明理由．
20．观察猜想
如图，大长方形是由四个小长方形拼成的，请根据此图填空：x2+（p+q）x+pq＝x2+px+qx+pq＝（ ）（ ）．
说理验证
事实上，我们也可以用如下方法进行变形：
x2+（p+q）x+pq＝x2+px+qx+pq＝（x2+px）+（qx+pq）＝ ＝（ ）（ ）．
于是，我们可以利用上面的方法进行多项式的因式分解．
尝试运用
例题 把x2+3x+2分解因式．
解：x2+3x+2＝x2+（2+1）x+2×1＝（x+2）（x+1）．
请利用上述方法将下列多项式分解因式：
（1）x2﹣7x+12； （2）（y2+y）2+7（y2+y）﹣18．
参考答案
1．解：（1）原式＝（4+a2）（4﹣a2）＝（4+a2）（2+a）（2﹣a）；
（2）原式＝y（y2﹣6xy+9x2）＝y（y﹣3x）2；
（3）原式＝（m+n﹣2m）2＝（n﹣m）2；
（4）原式＝9﹣（a﹣2b）2＝（3﹣a+2b）（3+a﹣2b）．
2．解：原式＝（x﹣y）[3（x+y）﹣（x﹣y）]（2分），
＝（x﹣y）（3x+3y﹣x+y）（3分），
＝（x﹣y）（2x+4y）（4分），
＝2（x﹣y）（x+2y）（5分）．
3．解：（1）2x2﹣8
＝2（x2﹣4）
＝2（x+2）（x﹣2）．
（2）x4﹣2x2+1
＝（x2﹣1）2
＝（x+1）2（x﹣1）2．
4．解：（1）a3b﹣2a2b2+ab3
＝ab（a2﹣2ab+b2）
＝ab（a﹣b）2．
（2）（x2+4）2﹣16x2
＝（x2+4）2﹣（4x）2
＝（x2+4+4x）（x2+4﹣4x）
＝（x+2）2（x﹣2）2．
5．解：（1）8ab+2a＝2a（4b+1）．
（2）x2y+2xy﹣15y＝y（x2+2x﹣15）＝y（x+5）（x﹣3）．
（3）9（x+2y）2﹣4（x﹣y）2
＝[3（x+2y）+2（x﹣y）][3（x+2y）﹣2（x﹣y）]
＝（3x+6y+2x﹣2y）（3x+6y﹣2x+2y）
＝（5x+4y）（x+8y）．
（4）a2+4ab﹣1+4b2．
＝（a2+4ab+4b2）﹣1
＝（a+2b）2﹣1
＝（a+2b+1）（a+2b﹣1）．
6．解：（a﹣b）（3a+b）2+（a+3b）2（b﹣a）
＝（a﹣b）[（3a+b）2﹣（a+3b）2]，
＝（a﹣b）[9a2+b2+6ab﹣（a2+9b2+6ab）]，
＝（a﹣b）（8a2﹣8b2），
＝8（a﹣b）（a2﹣b2），
＝8（a﹣b）2（a+b）．
7．解：（1）原式＝﹣2a（x2﹣8xy+16y2）
＝﹣2a（x﹣4y）2；
（2）原式＝a2（x﹣y）﹣4b2（x﹣y）
＝（x﹣y）（a2﹣4b2）
＝（x﹣y）（a+2b）（a﹣2b）；
（3）原式＝（m2﹣6）2+10（m2﹣6）+25
＝（m2﹣6+5）2
＝（m2﹣1）2
＝（m+1）2（m﹣1）2．
8．解：∵甲看错了a，分解结果为（x+2）（x+4），但b是正确的，
（x+4）（x﹣8）＝x2﹣4x﹣32，
∴b＝﹣32，
∵（x﹣2）（x+6）＝x2+4x﹣12，乙看错了b，但a是正确的，
∴a＝4，
∴x2+ax+b＝x2+4x﹣32＝（x+8）（x﹣4）．
9．解：（1）∵（x﹣3）（x+a）＝x2﹣3x+ax﹣3a
＝x2+（a﹣3）x﹣3a
＝x2﹣7x+12．
∴a﹣3＝﹣7，﹣3a＝12，
解得：a＝﹣4．
（2）∵（2x+3）（x﹣2）＝2x2+3x﹣4x﹣6
＝2x2﹣x﹣6
＝2x2+bx﹣6．
∴b＝﹣1．
（3）设另一个因式为（ax2+bx+c），得2x3+x2+kx﹣3＝（2x﹣1）（ax2+bx+c）．
对比左右两边三次项系数可得：a＝1．
于是2x3+x2+kx﹣3＝（2x﹣1）（x2+bx+c）．
则2x3+x2+kx﹣3＝2x3﹣x2+2bx2﹣bx+2cx﹣c＝2x3+（2b﹣1）x2+（2c﹣b）x﹣c．
∴﹣c＝﹣3，2b﹣1＝1，2c﹣b＝k．
解得：c＝3，b＝1，k＝5．
故另一个因式为x2+x+3，k的值为5．
10．解：（1）设另外一个因式为：x+n
∴（2x2+3x﹣k）＝（2x﹣5）（x+n）
∴
∴n＝4，k＝20
（2）设另一个因式为：2x+n
∴2x2﹣13x+p＝（2x+n）（x﹣3）
∴
∴解得：
故答案为：（2）21
11．解：（1）上述分解因式的方法是提公因式法，共用了2次，
故答案为：提公因式法，2；
（2）1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）2021，
则需要用上述方法2021次，结果是（1+x）2022，
故答案为：（1+x）2022；
（3）1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）n（n为正整数）
＝（1+x）[1+x+x（x+1）+...+x（x+1）n﹣1]
＝（1+x）2[（1+x+x（x+1）+...+x（x+1）n﹣2]..．
＝（1+x）n+1．
12．解：（3）1+a+a（1+a）+a（1+a）2+a（1+a）3
＝（1+a）（1+a）+a（1+a）2+a（1+a）3
＝（1+a）2（1+a）+a（1+a）3
＝（1+a）3+a（1+a）3
＝（1+a）3（1+a）
＝（1+a）4；
（4）1+a+a（1+a）+a（1+a）2+a（1+a）3+a（1+a）4
＝（1+a）（1+a）+a（1+a）2+a（1+a）3+a（1+a）4
＝（1+a）2（1+a）+a（1+a）3+a（1+a）4
＝（1+a）3+a（1+a）3+a（1+a）4
＝（1+a）3（1+a）+a（1+a）4
＝（1+a）4+a（1+a）4
＝（1+a）4（1+a）
＝（1+a）5；
故答案为：（1+a）5；
发现规律：1+a+a（1+a）+a（1+a）2+…+a（1+a）n＝（1+a）n+1；
故答案为：（1+a）n+1；
计算：1+3+3（1+3）+3（1+3）2+3（1+3）3+3（1+3）4+3（1+3）5+3（1+3）6
＝（1+3）（1+3）+3（1+3）2+3（1+3）3+3（1+3）4+3（1+3）5+3（1+3）6
＝（1+3）2（1+3）+3（1+3）3+3（1+3）4+3（1+3）5+3（1+3）6
＝（1+3）3（1+3）+3（1+3）4+3（1+3）5+3（1+3）6
＝（1+3）4（1+3）+3（1+3）5+3（1+3）6
＝（1+3）5（1+3）+3（1+3）6
＝（1+3）6（1+3）
＝（1+3）7
＝47．
故答案为：47．
13．解：（1）①没有，
设x2+2x＝y．
原式＝y（y+2）+1（第一步）
＝y2+2y+1（第二步）
＝（y+1）2（第三步）
＝（x2+2x+1）2（第四步）
＝（x+1）4（第五步）．
故答案为：（x+1）4；
②设x2﹣4x＝y．
原式＝y（y+8）+16
＝y2+8y+16
＝（y+4）2
＝（x2﹣4x+4）2
＝（x﹣2）4；
（2）设x＝1﹣2﹣3﹣…﹣2021，y＝2+3+…+2022，
则1﹣2﹣3﹣…﹣2022＝x﹣2022，
2+3+…+2021＝y﹣2022，
x+y＝1+2022＝2023，
所以原式＝xy﹣（x﹣2022）（y﹣2022）
＝xy﹣xy+2022（x+y）﹣20222
＝2022×2023﹣20222
＝2022（2022+1）﹣20222
＝2022．
14．解：（1）ab﹣a﹣b+1＝（ab﹣a）﹣（b﹣1）
＝（a﹣1）（b﹣1）．
（2）4﹣x2+4xy﹣4y2
＝4﹣（x2﹣4xy+4y2）
＝4﹣（x﹣2y）2
＝（2﹣x+2y）（2+x﹣2y）．
【拓展应用】
x2﹣y2﹣2y+2x
＝（x2﹣y2）+（2x﹣2y）
＝（x﹣y）（x+y+2）
∵x+y＝7，x﹣y＝5，
代入得：原式＝（x﹣y）（x+y+2）＝5×（7+2）＝45．
15．解：（1）设x﹣y＝a，
原式＝1﹣2a+a2＝（1﹣a）2；
将x﹣y＝a代入，原式＝（1﹣x+y）2；
（2）设a﹣1＝m，
原式＝25m2﹣10m+1＝（5m﹣1）2；
a﹣1＝m代入，原式＝（5a﹣6）2；
（3）设y2﹣4y＝a，
原式＝a（a+8）+16
＝a2+8a+16
＝（a+4）2，
将y2﹣4y＝a代入，原式＝（y2﹣4y+4）2＝（y﹣2）4．
故答案分别为：（1﹣x+y）2；（5a﹣6）2；（y﹣2）4．
16．解：（1）令x+y＝M，
则（x+y）2﹣2（x+y）+1＝M2﹣2M+1＝（M﹣1）2，
所以（x+y）2﹣2（x+y）+1＝（x+y﹣1）2．
故答案为：（x+y﹣1）2；
（2）令A＝m+n，
则（m+n）（m+n﹣4）+4＝A（A﹣4）+4＝A2﹣4A+4＝（A﹣2）2，
所以（m+n）（m+n﹣4）+4＝（m+n﹣2）2；
（3）（n+1）（n+2）（n2+3n）+1
＝（n2+3n）[（n+1）（n+2）]+1
＝（n2+3n）（n2+3n+2）+1
＝（n2+3n）2+2（n2+3n）+1．
令n2+3n＝A，
则原式＝A2+2A+1
＝（A+1）2
＝（n2+3n+1）2．
∵n是正整数，
∴n2+3n+1也为正整数．
∴式子（n+1）（n+2）（n2+3n）+1的值一定是某一个整数的平方．
17．解：（1）设x﹣y＝m，
原式＝1﹣2m+m2
＝（1﹣m）2
＝[1﹣（x﹣y）]2
＝（1﹣x+y）2；
（2）设a+2＝m，
原式＝25m2﹣10m+1
＝（5m﹣1）2
＝[5（a+2）﹣1]2
＝（5a+9）2；
（3）设y2﹣6y＝m，
原式＝m（m+18）+81
＝m2+18m+81
＝（m+9）2
＝（y2﹣6y+9）2
＝（y﹣3）4．
18．解：（1）x2﹣46x+520
＝x2﹣46x+232﹣9
＝（x﹣23）2﹣9
＝（x﹣26）（x﹣20）；
（2）y＝﹣x2+2x+1313
＝﹣x2+2x﹣1+1314
＝﹣（x2﹣2x+1）+1314
＝﹣（x﹣1）2+1314，
∵﹣（x﹣1）2≤0，
∴﹣（x﹣1）2+1314≤1314，
∴y的最大值1314；
（3）m2﹣2mn﹣2m+2n2﹣4n+2030
＝m2﹣2m（n+1）+（n+1）2+n2﹣6n+9+2020
＝（m﹣n﹣1）2+（n﹣3）2+2020，
当m﹣n﹣1＝0，n﹣3＝0时代数式有最小值，
解得m＝4，n＝3，最小值为2020．
19．解：（1）由图（1）和图（2）可得正方形的边长为 a+b，
由图（2）可得因式分解的等式a2+2ab+b2＝（a+b）2．
故答案为a+b，a2+2ab+b2＝（a+b）2；
（2）∵（2a+b）（a+2b）＝2a2+5ab+2b2，
∴需要用A类卡片2张，B类卡片5张，C类卡片2张，
∴x+y+z＝2+5+2＝9；
故答案为9；
（3）三种拼法：
第一种：A型卡片拿掉1张，B型卡片拿掉1张，则能拼出一个长方形，即长方形的长为5a+11b，宽为b，
∴b（5a+11b）＝5ab+11b2；
第二种：A型卡片拿掉1张，C型卡片拿掉1张，则能拼出一个长方形，即长方形的长为3a+5b，宽为2b，
∴2b（3a+5b）＝6ab+10b2；或者长为6a+10b，宽为b，
∴（6a+10b）b＝6ab+10b2；此种情况共2种拼法；
第三种：C型卡片拿掉2张，则能拼出一个正方形方形，即正方形边长为a+3b，
∴（a+3b）2＝a2+6ab+9b2．
20．解：由矩形的面积公式得：（x+p）（x+q）；
根据分组分解法得：x（x+p）+q（x+p），（x+p）（x+q）；
（1）原式＝（x﹣3）（x﹣4）
（2）原式＝（y2+y+9）（y2+y﹣2）
＝（y2+y+9）（y+2）（y﹣1）．
故答案为：（x+p）（x+q）；x（x+p）+q（x+p），（x+p）（x+q）；
1．分解因式
（1）16﹣a4
（2）y3﹣6xy2+9x2y
（3）（m+n）2﹣4m（m+n）+4m2
（4）9﹣a2+4ab﹣4b2
2．因式分解：3（x+y）（x﹣y）﹣（x﹣y）2．
3．因式分解：
（1）2x2﹣8；
（2）x4﹣2x2+1．
4．因式分解：
（1）a3b﹣2a2b2+ab3；
（2）（x2+4）2﹣16x2．
5．因式分解：
（1）8ab+2a；
（2）x2y+2xy﹣15y；
（3）9（x+2y）2﹣4（x﹣y）2；
（4）a2+4ab﹣1+4b2．
6．因式分解：（a﹣b）（3a+b）2+（a+3b）2（b﹣a）．
7．分解因式：
（1）﹣2ax2+16axy﹣32ay2；
（2）a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）；
（3）（m2﹣6）2﹣10（6﹣m2）+25．
8．甲、乙两个同学因式分解x2+ax+b时，甲看错了a，分解结果为（x+4）（x﹣8），乙看错了b，分解结果为（x﹣2）（x+6）．求多项式x2+ax+b分解因式的正确结果．
9．仔细阅读下面例题：
例题：已知二次三项式x2+5x+m有一个因式是x+2，求另一个因式以及m的值．
解：设另一个因式为px+n，得x2+5x+m＝（x+2）（px+n），
对比等式左右两边x的二次项系数，可知p＝1，于是x2+5x+m＝（x+2）（x+n）．
则x2+5x+m＝x2+（n+2）x+2n，
∴n+2＝5，m＝2n，
解得n＝3，m＝6，
∴另一个因式为x+3，m的值为6．
依照以上方法解答下面问题：
（1）若二次三项式x2﹣7x+12可分解为（x﹣3）（x+a），则a＝ ；
（2）若二次三项式2x2+bx﹣6可分解为（2x+3）（x﹣2），则b＝ ；
（3）已知代数式2x3+x2+kx﹣3有一个因式是2x﹣1，求另一个因式以及k的值．
10．阅读：已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是x+3，求另一个因式及m的值．
解“设另一个因式为x+n，得x2﹣4x+m＝（x+3）（x+n）则x2﹣4x+m＝x2+（n+3）x+3n
∴解得∴另一个因式为x﹣7，m的值为﹣21
问题：仿照上述方法解答下列问题：
（1）已知二次三项式2x2+3x﹣k有一个因式是2x﹣5，求另一个因式及k的值．
（2）已知2x2﹣13x+p有一个因式x﹣3，则P＝ ．
11．阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：
1+x+x（x+1）+x（x+1）2
＝（1+x）[1+x+x（x+1）]
＝（1+x）2（1+x）
＝（1+x）3
（1）上述分解因式的方法是 ，共用了 次．
（2）若分解1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）2021，则结果是 ．
（3）依照上述方法分解因式：1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）n（n为正整数）．
12．问题提出：
计算：1+3+3（1+3）+3（1+3）2+3（1+3）3+3（1+3）4+3（1+3）5+3（1+3）6．
问题探究：
为便于研究发现规律，我们可以将问题“一般化”，即将算式中特殊的数字3用具有一般性的字母a代替，原算式化为：1+a+a（1+a）+a（1+a）2+a（1+a）3+a（1+a）4+a（1+a）5+a（1+a）6．
然后我们再从最简单的情形入手，从中发现规律，找到解决问题的方法：
（1）1+a+a（1+a）
＝（1+a）+a（1+a）
＝（1+a）（1+a）
＝（1+a）2
（2）由（1）知1+a+a（1+a）＝（1+a）2，所以，
1+a+a（1+a）+a（1+a）2
＝（1+a）2+a（1+a）2
＝（1+a）2（1+a）
＝（1+a）3
（3）仿照（2），写出将1+a+a（1+a）+a（1+a）2+a（1+a）3进行因式分解的过程；
（4）填空：1+a+a（1+a）+a（1+a）2+a（1+a）3+a（1+a）4＝ ；
发现规律：
1+a+a（1+a）+a（1+a）2+…+a（1+a）n＝ ；
问题解决：
计算：1+3+3（1+3）+3（1+3）2+3（1+3）3+3（1+3）4+3（1+3）5+3（1+3）6＝ （结果用乘方表示）．
13．整体思想是数学解题中常见的一种思想方法：下面是某同学对多项式（x2+2x）（x2+2x+2）+1进行因式分解的过程．将“x2+2x”看成一个整体，令x2+2x＝y，则原式＝y2+2y+1＝（y+1）2再将“y”还原即可．
解：设x2+2x＝y．
原式＝y（y+2）+1（第一步）
＝y2+2y+1（第二步）
＝（y+1）2（第三步）
＝（x2+2x+1）2（第四步）．
问题：
（1）①该同学完成因式分解了吗？如果没完成，请你直接写出最后的结果 ；
②请你模仿以上方法尝试对多项式（x2﹣4x）（x2﹣4x+8）+16进行因式分解；
（2）请你模仿以上方法尝试计算：
（1﹣2﹣3﹣…﹣2021）×（2+3+…+2022）﹣（1﹣2﹣3﹣…﹣2022）×（2+3+…+2021）．
14．（阅读学习）
课堂上，老师带领同学们学习了“提公因式法、公式法”两种因式分解的方法．分解因式的方法还有许多，如分组分解法．它的定义是：将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫分组分解法．使用这种方法的关键在于分组适当，而在分组时，必须有预见性．能预见到下一步能继续分解．例如：
（1）am+an+bm+bn＝（am+bm）+（an+bn）＝m（a+b）+n（a+b）＝（a+b）（m+n）；
（2）x2﹣y2﹣2y﹣1＝x2﹣（y2+2y+1）＝x2﹣（y+1）2＝（x+y+1）（x﹣y﹣1）．
（学以致用）
请仿照上面的做法，将下列各式分解因式：
（1）ab﹣a﹣b+1；
（2）4﹣x2+4xy﹣4y2．
（拓展应用）
已知：x+y＝7，x﹣y＝5．求：x2﹣y2﹣2y+2x的值．
15．先阅读下列材料，再解答下列问题：
材料：因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1．
解：将“x+y”看成整体，设x+y＝m，则原式＝m2+2m+1＝（m+1）2．
再将x+y＝m代入，得原式＝（x+y+1）2．
上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法．请你写出下列因式分解的结果：
（1）因式分解：1﹣2（x﹣y）+（x﹣y）2＝ ；
（2）因式分解：25（a﹣1）2﹣10（a﹣1）+1＝ ；
（3）因式分解：（y2﹣4y）（y2﹣4y+8）+16＝ ．
16．先阅读材料：
分解因式：（a+b）2+2（a+b）+1．
解：令a+b＝M，
则（a+b）2+2（a+b）+1＝M2+2M+1＝（M+1）2，
所以（a+b）2+2（a+b）+1＝（a+b+1）2．
材料中的解题过程用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法，请你运用这种思想方法解答下列问题：
（1）分解因式：（x+y）2﹣2（x+y）+1＝ ．
（2）分解因式：（m+n）（m+n﹣4）+4；
（3）证明：若n为正整数，则式子（n+1）（n+2）（n2+3n）+1的值一定是某个整数的平方．
17．观察下面分解因式的过程，并完成后面的习题
分解因式：am+an+bm+bn
解法一：原式＝（am+an）+（bm+bn）
＝a（m+n）+b（m+n）
＝（m+n）（a+b）
解法二：原式＝（am+bm）+（an+bn）
＝m（a+b）+n（a+b）
＝（a+b）（m+n）
根据你发现的方法，分解因式：
（1）mx﹣my+nx﹣ny
（2）2a+4b﹣3ma﹣6mb．
18．阅读下面的问题，然后回答，
分解因式：x2+2x﹣3，
解：原式
＝x2+2x+1﹣1﹣3
＝（x2+2x+1）﹣4
＝（x+1）2﹣4
＝（x+1+2）（x+1﹣2）
＝（x+3）（x﹣1）
上述因式分解的方法称为配方法．请体会配方法的特点，用配方法分解因式：
（1）x2﹣4x+3
（2）4x2+12x﹣7．
19．如图（1），有A、B、C三种不同型号的卡片若干张，其中A型是边长为a（a＞b）的正方形，B型是长为a、宽为b的长方形，C型是边长为b的正方形．
（1）若用A型卡片1张，B型卡片2张，C型卡片1张拼成了一个正方形（如图（2）），此正方形的边长为 ，根据该图形请写出一条属于因式分解的等式： ．
（2）若要拼一个长为2a+b，宽为a+2b的长方形，设需要A类卡片x张，B类卡片y张，C类卡片z张，则x+y+z＝ ．
（3）现有A型卡片1张，B型卡片6张，C型卡片11张，从这18张卡片中拿掉两张卡片，余下的卡片全用上，你能拼出一个长方形或正方形吗？有几种拼法？请你通过运算说明理由．
20．观察猜想
如图，大长方形是由四个小长方形拼成的，请根据此图填空：x2+（p+q）x+pq＝x2+px+qx+pq＝（ ）（ ）．
说理验证
事实上，我们也可以用如下方法进行变形：
x2+（p+q）x+pq＝x2+px+qx+pq＝（x2+px）+（qx+pq）＝ ＝（ ）（ ）．
于是，我们可以利用上面的方法进行多项式的因式分解．
尝试运用
例题 把x2+3x+2分解因式．
解：x2+3x+2＝x2+（2+1）x+2×1＝（x+2）（x+1）．
请利用上述方法将下列多项式分解因式：
（1）x2﹣7x+12； （2）（y2+y）2+7（y2+y）﹣18．
参考答案
1．解：（1）原式＝（4+a2）（4﹣a2）＝（4+a2）（2+a）（2﹣a）；
（2）原式＝y（y2﹣6xy+9x2）＝y（y﹣3x）2；
（3）原式＝（m+n﹣2m）2＝（n﹣m）2；
（4）原式＝9﹣（a﹣2b）2＝（3﹣a+2b）（3+a﹣2b）．
2．解：原式＝（x﹣y）[3（x+y）﹣（x﹣y）]（2分），
＝（x﹣y）（3x+3y﹣x+y）（3分），
＝（x﹣y）（2x+4y）（4分），
＝2（x﹣y）（x+2y）（5分）．
3．解：（1）2x2﹣8
＝2（x2﹣4）
＝2（x+2）（x﹣2）．
（2）x4﹣2x2+1
＝（x2﹣1）2
＝（x+1）2（x﹣1）2．
4．解：（1）a3b﹣2a2b2+ab3
＝ab（a2﹣2ab+b2）
＝ab（a﹣b）2．
（2）（x2+4）2﹣16x2
＝（x2+4）2﹣（4x）2
＝（x2+4+4x）（x2+4﹣4x）
＝（x+2）2（x﹣2）2．
5．解：（1）8ab+2a＝2a（4b+1）．
（2）x2y+2xy﹣15y＝y（x2+2x﹣15）＝y（x+5）（x﹣3）．
（3）9（x+2y）2﹣4（x﹣y）2
＝[3（x+2y）+2（x﹣y）][3（x+2y）﹣2（x﹣y）]
＝（3x+6y+2x﹣2y）（3x+6y﹣2x+2y）
＝（5x+4y）（x+8y）．
（4）a2+4ab﹣1+4b2．
＝（a2+4ab+4b2）﹣1
＝（a+2b）2﹣1
＝（a+2b+1）（a+2b﹣1）．
6．解：（a﹣b）（3a+b）2+（a+3b）2（b﹣a）
＝（a﹣b）[（3a+b）2﹣（a+3b）2]，
＝（a﹣b）[9a2+b2+6ab﹣（a2+9b2+6ab）]，
＝（a﹣b）（8a2﹣8b2），
＝8（a﹣b）（a2﹣b2），
＝8（a﹣b）2（a+b）．
7．解：（1）原式＝﹣2a（x2﹣8xy+16y2）
＝﹣2a（x﹣4y）2；
（2）原式＝a2（x﹣y）﹣4b2（x﹣y）
＝（x﹣y）（a2﹣4b2）
＝（x﹣y）（a+2b）（a﹣2b）；
（3）原式＝（m2﹣6）2+10（m2﹣6）+25
＝（m2﹣6+5）2
＝（m2﹣1）2
＝（m+1）2（m﹣1）2．
8．解：∵甲看错了a，分解结果为（x+2）（x+4），但b是正确的，
（x+4）（x﹣8）＝x2﹣4x﹣32，
∴b＝﹣32，
∵（x﹣2）（x+6）＝x2+4x﹣12，乙看错了b，但a是正确的，
∴a＝4，
∴x2+ax+b＝x2+4x﹣32＝（x+8）（x﹣4）．
9．解：（1）∵（x﹣3）（x+a）＝x2﹣3x+ax﹣3a
＝x2+（a﹣3）x﹣3a
＝x2﹣7x+12．
∴a﹣3＝﹣7，﹣3a＝12，
解得：a＝﹣4．
（2）∵（2x+3）（x﹣2）＝2x2+3x﹣4x﹣6
＝2x2﹣x﹣6
＝2x2+bx﹣6．
∴b＝﹣1．
（3）设另一个因式为（ax2+bx+c），得2x3+x2+kx﹣3＝（2x﹣1）（ax2+bx+c）．
对比左右两边三次项系数可得：a＝1．
于是2x3+x2+kx﹣3＝（2x﹣1）（x2+bx+c）．
则2x3+x2+kx﹣3＝2x3﹣x2+2bx2﹣bx+2cx﹣c＝2x3+（2b﹣1）x2+（2c﹣b）x﹣c．
∴﹣c＝﹣3，2b﹣1＝1，2c﹣b＝k．
解得：c＝3，b＝1，k＝5．
故另一个因式为x2+x+3，k的值为5．
10．解：（1）设另外一个因式为：x+n
∴（2x2+3x﹣k）＝（2x﹣5）（x+n）
∴
∴n＝4，k＝20
（2）设另一个因式为：2x+n
∴2x2﹣13x+p＝（2x+n）（x﹣3）
∴
∴解得：
故答案为：（2）21
11．解：（1）上述分解因式的方法是提公因式法，共用了2次，
故答案为：提公因式法，2；
（2）1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）2021，
则需要用上述方法2021次，结果是（1+x）2022，
故答案为：（1+x）2022；
（3）1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）n（n为正整数）
＝（1+x）[1+x+x（x+1）+...+x（x+1）n﹣1]
＝（1+x）2[（1+x+x（x+1）+...+x（x+1）n﹣2]..．
＝（1+x）n+1．
12．解：（3）1+a+a（1+a）+a（1+a）2+a（1+a）3
＝（1+a）（1+a）+a（1+a）2+a（1+a）3
＝（1+a）2（1+a）+a（1+a）3
＝（1+a）3+a（1+a）3
＝（1+a）3（1+a）
＝（1+a）4；
（4）1+a+a（1+a）+a（1+a）2+a（1+a）3+a（1+a）4
＝（1+a）（1+a）+a（1+a）2+a（1+a）3+a（1+a）4
＝（1+a）2（1+a）+a（1+a）3+a（1+a）4
＝（1+a）3+a（1+a）3+a（1+a）4
＝（1+a）3（1+a）+a（1+a）4
＝（1+a）4+a（1+a）4
＝（1+a）4（1+a）
＝（1+a）5；
故答案为：（1+a）5；
发现规律：1+a+a（1+a）+a（1+a）2+…+a（1+a）n＝（1+a）n+1；
故答案为：（1+a）n+1；
计算：1+3+3（1+3）+3（1+3）2+3（1+3）3+3（1+3）4+3（1+3）5+3（1+3）6
＝（1+3）（1+3）+3（1+3）2+3（1+3）3+3（1+3）4+3（1+3）5+3（1+3）6
＝（1+3）2（1+3）+3（1+3）3+3（1+3）4+3（1+3）5+3（1+3）6
＝（1+3）3（1+3）+3（1+3）4+3（1+3）5+3（1+3）6
＝（1+3）4（1+3）+3（1+3）5+3（1+3）6
＝（1+3）5（1+3）+3（1+3）6
＝（1+3）6（1+3）
＝（1+3）7
＝47．
故答案为：47．
13．解：（1）①没有，
设x2+2x＝y．
原式＝y（y+2）+1（第一步）
＝y2+2y+1（第二步）
＝（y+1）2（第三步）
＝（x2+2x+1）2（第四步）
＝（x+1）4（第五步）．
故答案为：（x+1）4；
②设x2﹣4x＝y．
原式＝y（y+8）+16
＝y2+8y+16
＝（y+4）2
＝（x2﹣4x+4）2
＝（x﹣2）4；
（2）设x＝1﹣2﹣3﹣…﹣2021，y＝2+3+…+2022，
则1﹣2﹣3﹣…﹣2022＝x﹣2022，
2+3+…+2021＝y﹣2022，
x+y＝1+2022＝2023，
所以原式＝xy﹣（x﹣2022）（y﹣2022）
＝xy﹣xy+2022（x+y）﹣20222
＝2022×2023﹣20222
＝2022（2022+1）﹣20222
＝2022．
14．解：（1）ab﹣a﹣b+1＝（ab﹣a）﹣（b﹣1）
＝（a﹣1）（b﹣1）．
（2）4﹣x2+4xy﹣4y2
＝4﹣（x2﹣4xy+4y2）
＝4﹣（x﹣2y）2
＝（2﹣x+2y）（2+x﹣2y）．
【拓展应用】
x2﹣y2﹣2y+2x
＝（x2﹣y2）+（2x﹣2y）
＝（x﹣y）（x+y+2）
∵x+y＝7，x﹣y＝5，
代入得：原式＝（x﹣y）（x+y+2）＝5×（7+2）＝45．
15．解：（1）设x﹣y＝a，
原式＝1﹣2a+a2＝（1﹣a）2；
将x﹣y＝a代入，原式＝（1﹣x+y）2；
（2）设a﹣1＝m，
原式＝25m2﹣10m+1＝（5m﹣1）2；
a﹣1＝m代入，原式＝（5a﹣6）2；
（3）设y2﹣4y＝a，
原式＝a（a+8）+16
＝a2+8a+16
＝（a+4）2，
将y2﹣4y＝a代入，原式＝（y2﹣4y+4）2＝（y﹣2）4．
故答案分别为：（1﹣x+y）2；（5a﹣6）2；（y﹣2）4．
16．解：（1）令x+y＝M，
则（x+y）2﹣2（x+y）+1＝M2﹣2M+1＝（M﹣1）2，
所以（x+y）2﹣2（x+y）+1＝（x+y﹣1）2．
故答案为：（x+y﹣1）2；
（2）令A＝m+n，
则（m+n）（m+n﹣4）+4＝A（A﹣4）+4＝A2﹣4A+4＝（A﹣2）2，
所以（m+n）（m+n﹣4）+4＝（m+n﹣2）2；
（3）（n+1）（n+2）（n2+3n）+1
＝（n2+3n）[（n+1）（n+2）]+1
＝（n2+3n）（n2+3n+2）+1
＝（n2+3n）2+2（n2+3n）+1．
令n2+3n＝A，
则原式＝A2+2A+1
＝（A+1）2
＝（n2+3n+1）2．
∵n是正整数，
∴n2+3n+1也为正整数．
∴式子（n+1）（n+2）（n2+3n）+1的值一定是某一个整数的平方．
17．解：（1）设x﹣y＝m，
原式＝1﹣2m+m2
＝（1﹣m）2
＝[1﹣（x﹣y）]2
＝（1﹣x+y）2；
（2）设a+2＝m，
原式＝25m2﹣10m+1
＝（5m﹣1）2
＝[5（a+2）﹣1]2
＝（5a+9）2；
（3）设y2﹣6y＝m，
原式＝m（m+18）+81
＝m2+18m+81
＝（m+9）2
＝（y2﹣6y+9）2
＝（y﹣3）4．
18．解：（1）x2﹣46x+520
＝x2﹣46x+232﹣9
＝（x﹣23）2﹣9
＝（x﹣26）（x﹣20）；
（2）y＝﹣x2+2x+1313
＝﹣x2+2x﹣1+1314
＝﹣（x2﹣2x+1）+1314
＝﹣（x﹣1）2+1314，
∵﹣（x﹣1）2≤0，
∴﹣（x﹣1）2+1314≤1314，
∴y的最大值1314；
（3）m2﹣2mn﹣2m+2n2﹣4n+2030
＝m2﹣2m（n+1）+（n+1）2+n2﹣6n+9+2020
＝（m﹣n﹣1）2+（n﹣3）2+2020，
当m﹣n﹣1＝0，n﹣3＝0时代数式有最小值，
解得m＝4，n＝3，最小值为2020．
19．解：（1）由图（1）和图（2）可得正方形的边长为 a+b，
由图（2）可得因式分解的等式a2+2ab+b2＝（a+b）2．
故答案为a+b，a2+2ab+b2＝（a+b）2；
（2）∵（2a+b）（a+2b）＝2a2+5ab+2b2，
∴需要用A类卡片2张，B类卡片5张，C类卡片2张，
∴x+y+z＝2+5+2＝9；
故答案为9；
（3）三种拼法：
第一种：A型卡片拿掉1张，B型卡片拿掉1张，则能拼出一个长方形，即长方形的长为5a+11b，宽为b，
∴b（5a+11b）＝5ab+11b2；
第二种：A型卡片拿掉1张，C型卡片拿掉1张，则能拼出一个长方形，即长方形的长为3a+5b，宽为2b，
∴2b（3a+5b）＝6ab+10b2；或者长为6a+10b，宽为b，
∴（6a+10b）b＝6ab+10b2；此种情况共2种拼法；
第三种：C型卡片拿掉2张，则能拼出一个正方形方形，即正方形边长为a+3b，
∴（a+3b）2＝a2+6ab+9b2．
20．解：由矩形的面积公式得：（x+p）（x+q）；
根据分组分解法得：x（x+p）+q（x+p），（x+p）（x+q）；
（1）原式＝（x﹣3）（x﹣4）
（2）原式＝（y2+y+9）（y2+y﹣2）
＝（y2+y+9）（y+2）（y﹣1）．
故答案为：（x+p）（x+q）；x（x+p）+q（x+p），（x+p）（x+q）；