2022-2023学年人教版八年级数学上册13.4 课题学习 最短路径问题 精选题（含答案）
文档属性
| 名称 | 2022-2023学年人教版八年级数学上册13.4 课题学习 最短路径问题 精选题（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 863.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-09-20 10:35:11 | ||
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文档简介
13.4 课题学习 最短路径问题精选题（含答案）-人教版八年级上册
一．选择题
1．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，BD平分∠ABC，如果点M，N分别为BD，BC上的动点，那么CM+MN的最小值是（ ）
A．4 B．4.8 C．5 D．6
2．如图，直线l1，l2表示一条河的两岸，且l1∥l2．现要在这条河上建一座桥（桥与河的两岸相互垂直），使得从村庄P经桥过河到村庄Q的路程最短，应该选择路线（ ）
A．路线：PF→FQ B．路线：PE→EQ
C．路线：PE→EF→FQ D．路线：PE→EF→FQ
3．如图，在△ABC中，AD是△ABC的角平分线，点E、F分别是AD、AB上的动点，若∠BAC＝50°，当BE+EF的值最小时，∠AEB的度数为（ ）
A．105° B．115° C．120° D．130°
4．如图，在等腰三角形ABC中，∠ACB＝90°，BC＝4，点D在AC上，AD＝AC，点E是斜边AB上一动点，连接DE，EF⊥AC于F，EG⊥BC于G，则DE+FG的最小值为（ ）
A．3 B．5 C．4 D．
5．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝8，点P是边BC上一动点，点D在边AB上，且BD＝AB，则PA+PD的最小值为（ ）
A．8 B． C． D．
6．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝2，D为AB上一动点，DE∥AC，DE＝2，则AE+CE的最小值等于（ ）
A．4 B．2 C．3 D．+2
7．如图，若∠AOB＝44°，P为∠AOB内一定点，点M在OA上，点N在OB上，当△PMN的周长取最小值时，∠MPN的度数为（ ）
A．82° B．84° C．88° D．92°
8．在平面直角坐标系中，有三个点A（﹣3，1），B（﹣1，5），C（0，m），当△ABC的周长最短时，m的值为（ ）
A．﹣10 B．﹣8 C．4 D．7
9．如图，C为线段BD上一动点，分别过B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC、EC，已知AB＝4，DE＝2，BD＝8，设BC＝x．线段AC+CE的长可表示为+，当A、C、E三点共线时，AC+CE的值最小，根据上述方法，求代数式+的最小值为（ ）
A．11 B．13 C． D．
10．如图，点A，B分别为x轴、y轴上的动点，AB＝2，点M是AB的中点，点C（0，3），D（8，0），过C作CE∥x轴．点P为直线CE上一动点，则PD+PM的最小值为（ ）
A． B．9 C． D．
二．填空题
．已知两点M（3，5），N（1，1），点P是x轴上一动点，若使PM+PN最短，则点P的坐标应为 ．
．如图，∠AOB＝30°，M、N分别是射线OA、OB上的动点，OP平分∠AOB，且OP＝6cm，则△PMN的周长的最小值为 cm．
．如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，M为AB的中点，P为BC上任意一点，则t＝PM+PA的范围是 ．
．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝68°，AC的垂直平分线EF分别交AB，AC于点E，F．若D为BC的中点，P为线段EF上一动点，则当△PCD周长的最小时，∠BPE的大小为 ．
．如图，△ABC中，∠A＝90°，AB＝4k，AC＝3k，M、N、P分别是边AB、AC、BC上的动点，连接PM、PN和MN，若设PM+PN+MN的最小值为y，则y与k的数量关系为 ．
解答题
．请阅读下列材料：问题：如图1，点A、B在直线l的同侧，在直线l上找一点P，使得AP+BP的值最小．小明的思路是：如图2，作点A关于直线l的对称点A'，连接A'B，则A'B与直线l的交点P即为所求．
请你参考小明同学的思路，探究并解决下列问题：
（1）如图3，在图2的基础上，设AA'与直线l的交点为C，过点B作BD⊥l，垂足为D，若CP＝1，PD＝2，AC＝1，写出AP+BP的值；
（2）将（1）中的条件“AC＝1”去掉，换成“BD＝4﹣AC”，其它条件不变，写出此时AP+BP的值；
（3）请结合图形，求出的最小值．
．如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于点N，交AC于点M．
（1）若∠B＝70°，求∠BAC的大小．
（2）连接MB，若AB＝8cm，△MBC的周长是14cm．
①求BC的长；
②在直线MN上是否存在点P，使PB+CP的值最小，若存在，标出点P的位置并求PB+CP的最小值，若不存在，说明理由．
．如图，在平面直角坐标系中，△ABO为等腰直角三角形，∠AOB＝90°，AO＝BO，点A的坐标为（3，1）．
（1）求点B的坐标；
（2）在x轴上找一点P，使得PA+PB的值最小，求出点P的坐标；
（3）在第四象限是否存在一点M，使得以点O，A，M为顶点的三角形是等腰直角三角形，若存在，请直接写出所有满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
．探究：如图所示，C为线段AB上一动点，分别过点A，点B作ADLAB，BE⊥AB，分别连接CD，CE．已知AD＝4，BE＝2，AB＝8．设AC＝x．
（1）CD＝ ，CE＝ （用含x的代数式表示）；
（2）探究点D，C，E处于何种位置时，CD+CE的值最小，并求出其最小值；
（3）根据（2）中的探究结果，请构图并求出代数式的最小值．（要求画出示意图）
．在△ABC中，AB＝AC，D是直线BC上一点，以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AE＝AD，∠DAE＝∠BAC，连接CE．设∠BAC＝α，∠BCE＝β．
（1）如图（1），点D在线段BC上移动时，①角α与β之间的数量关系是 ；
②若线段BC＝2，点A到直线BC的距离是3，则四边形ADCE周长的最小值是 ；
（2）如图（2），点D在线段BC的延长线上移动时，
①请问（1）中α与β之间的数量关系还成立吗？如果成立，请说明理由；
②线段BC、DC、CE之间的数量是 ．
参考答案与试题解析
一．选择题
1．【解答】解：如图所示：
过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M，
过点M作MN⊥BC于点N，
∵BD平分∠ABC，
∴ME＝MN，
∴CM+MN＝CM+ME＝CE．
∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，CE⊥AB，
∴S△ABC＝ AB CE＝ AC BC，
∴10CE＝6×8，
∴CE＝4.8．
即CM+MN的最小值是4.8，
故选：B．
2．【解答】解：作PP'垂直于河岸l2，使PP′等于河宽，
连接QP′，与另一条河岸相交于F，作FE⊥直线l1于点E，
则EF∥PP′且EF＝PP′，
于是四边形FEPP′为平行四边形，故P′F＝PE，
根据“两点之间线段最短”，QP′最短，即PE+FQ最短．
故C选项符合题意，
故选：C．
3．【解答】解：过点B作BB′⊥AD于点G，交AC于点B′，过点B′作B′F′⊥AB于点F′，与AD交于点E′，连接BE′，如图，
此时BE+EF最小．
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠BAD＝∠B′AD＝25°，
∴∠AE′F′＝65°，
∵BB′⊥AD，
∴∠AGB＝∠AGB′＝90°，
∵AG＝AG，
∴△ABG≌△AB′G（ASA），
∴BG＝B′G，∠ABG＝∠AB′G，
∴AD垂直平分BB′，
∴BE＝BE′，
∴∠E′B′G＝∠E′BG，
∵∠BAC＝50°，
∴∠AB′F′＝40°，
∴∠ABE＝40°，
∴∠BE′F′＝50°，
∴∠AE′B＝115°．
故选：B．
4．【解答】解：作点C关于AB的对称点M，连接MA，MB，MD，EC，ME，
则四边形ACBM是正方形，
∵EF⊥AC于F，EG⊥BC，
∴∠EFC＝∠EGC＝∠ACB＝90°，
∴四边形EFCG是矩形，
∴CE＝FG，
∵点C、M关于AB对称，
∴ME＝EC，
∴DE+FG＝DE+ME，
故D、E、M三点共线时，DE+FG最小为MD的长，
∵BC＝AM＝4，AD＝AC＝，
由勾股定理得，DM＝＝＝，
∴DE+FG的最小值为，
故选：D．
5．【解答】解：作D关于BC的对称点E，连接AE交BC于P，
则PA+PD的值最小，
过E作EF⊥AC交AC的延长线于F，过D作DH⊥AC于H，
则DH＝EF，DH∥BC，
∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，AB＝8，
∴AC＝AB＝4，∠ADH＝∠B＝30°，
∵BD＝AB＝2，
∴AD＝6，CF＝DE＝BD＝1，
∴AF＝5，
∴DH＝＝3，
∴EF＝3，
∴AE＝＝2，
∴PA+PD的最小值为2，
故选：C．
6．【解答】解：如图所示，过E作EF∥AB交CA的延长线于点F，作点A关于EF的对称点A'，连接A'E和A'F，
∴∠BAC＝∠AFE＝∠A'FE，AE＝A'E，
∴AE+CE＝A'E+CE，
由题可得，△ABC是等腰直角三角形，
∴∠BAC＝45°，
∴∠A'FC＝45°×2＝90°，
∵AF∥DE，EF∥AD，
∴四边形ADEF是平行四边形，
∴AF＝DE＝2，A'F＝AF＝2，
当点C，点E，点A'在同一直线上时，AE+CE的最小值等于A'C的长，如图所示．
此时，Rt△A'FC中，A'C＝＝＝，
∴AE+CE的最小值为，
故选：B．
7．【解答】解：作点P关于OA的对称点P'，点P关于OB的对称点P''，连接P'P''交OA于M'，OB与N'，
∴PM'＝P'M'，PN'＝P''N'，
此时P'P''的长即为△PMN的周长的最小值，
∵∠AOB＝44°，
∴∠P'PP''＝180°﹣44°＝136°，
∴∠P'+P''＝44°，
∵∠P'＝∠M'PP'，∠P''＝∠P''PN'，
∴∠M'PN'＝∠P'PP''﹣（∠P'+∠P''）＝136°﹣44°＝92°，
故选：D．
8．【解答】解：如图，作B的对称点B'（1，5），
连接AB'交y轴于点C，此时当△ABC的周长最短，
设直线AB'：y＝kx+b，
则，
解得，
∴m＝4．
故选：C．
9．【解答】解：+＝+，
令x﹣1＝t，则+＝+，
如图，C为线段BD上一动点，分别过B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC、EC，已知AB＝7，DE＝5，BD＝5，设BC＝t．线段AC+CE的长可表示为+，
当A，C，E共线时，AC+EC的值最小，过点E作EF⊥AB交AB的延长线于点F，则四边形BDEF是矩形，
∴EF＝BD＝5，BF＝DE＝5，
∴AF＝AB+BF＝7+5＝12，
∴AE＝＝＝13，
∴+的最小值为13，
∴+的最小值为13，
故选：B．
10．【解答】解：如图，作点D关于CE的对称点D'，连接D'P，D'M，OM．
则D'P＝DP，
PD+PM＝PD'+PM，
当点D'、P、M在同一直线上时，PD'+PM＝D'M，
∵AB＝2，点M是AB的中点∠AOB＝90°，
∴OM＝＝1，
∵点A，B分别为x轴、y轴上的动点，
∴点M在以点O为圆心，OM长为半径的圆周上运动，
当O、M、D'在同一直线上时，D'M最短，
此时D'M＝OD'﹣OM．
∵D（8，0），C（0，3），
∴D'（8，6），
∴OD'＝10，
∴D'M＝OD'﹣OM＝10﹣1＝9．
即PD+PM的最小值为9．
故选：B．
二．填空题
．【解答】解：作M点关于x轴的对称点M′，
∵M（3，5），
∴M′（3，﹣5），
设直线M′N的解析式为y＝kx+b，
，
解得，
∴直线M′N的解析式为y＝﹣3x+4，
∵P的纵坐标为0，
∴﹣3x+4＝0，解得x＝，
∴P（，0）．
故答案为：（，0）．
．【解答】解：作P点关于OA的对称点C，作P点关于OB的对称点D，连接CD，CD与OA、OB的交点即为所求点M、N，
∴△PMN的周长＝CD，此时△PMN的周长最小，
∵点P与点D关于OB对称，
∴PO＝OD，
∵点P与点C关于OA对称，
∴OP＝OC，
∵∠AOB＝30°，
∴∠COD＝60°，
∴△OCD为等边三角形，
∴OP＝6cm，
∴CD＝6cm，
∴△PMN的周长的最小值为6cm，
故答案为6．
．【解答】解：作M关于BC的对称点N，连接MN，NC，MC，连接AN交BC于点P，作AD⊥BC于点D，MN交BC于点E，
则PM＝PN，NC＝MC，MN⊥BC，
∴PM+PA＝PN+PA，
∴当N、P、A共线时AN＝PM+PA最小，P与C重合时最大，
∵AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，M为AB的中点，
∴∠B＝30°，
∴AD＝1，BD＝，ME＝NE＝，
∴BE＝DE＝，
∵MN∥AD，
∴＝＝＝，
∴PD＝DE＝，
∴PA＝＝，
∴AN＝，
在Rt△MCE中，根据勾股定理，
MC＝＝，
∴t＝PM+PA最大为+2，
∴t＝PM+PA的范围是≤t≤+2．
故答案为：≤t≤+2．
．【解答】解：
当点P在AD上时，△PCD周长的最小．
∵AB＝AC，∠B＝68°，
∴∠ACB＝∠ABC＝68°，
∴∠BAC＝44°，
∵D为BC的中点，
∴∠DAC＝∠BAC＝22°，
∵AC的垂直平分线为EF，
∴AP＝CP，
∴∠ACP＝∠DAC＝22°，且CP+DP＝AP+DP＝AD，
此时，△PCD周长的最小，∠CPF＝90°﹣∠ACP＝68°，
∵AC的垂直平分线为EF，AD垂直平分BC，
∴P为△ABC的外心，
∴∠BPC＝2∠BAC＝88°，
∴∠BPF＝180°﹣∠BPC﹣∠CPF＝24°．
故答案为：24°．
．【解答】解：作点P关于AB的对称点P1，作点P关于AC的对称点P2，连接PP1，PP2，P1M，P2N，AP1，AP2，如图所示：
根据轴对称的性质可得AP＝AP1，AP＝AP2，∠BAP1＝∠BAP，∠CAP2＝∠CAP，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAP+∠CAP＝90°，
∴∠BAP1+∠CAP2＝90°，
∴∠P1AP2＝180°，
∴P1，A，P2三点共线，
∵MP＝MP1，NP＝NP2，
∴PM+PN+MN的最小值即为P1P2的最小值，
∵P1P2＝2PA，
∴当AP⊥BC时，AP取得最小值，此时PM+PN+MN的值最小，
∵∠A＝90°，AB＝4k，AC＝3k，
根据勾股定理，得BC＝5k，
∵△ABC的面积＝，
∴AP的最小值为k，
∴PM+PN+MN的值最小为y＝，
故答案为：y＝．
三．解答题
．【解答】解：（1）如图2，∵AA′⊥l，AC＝1，PC＝1，
∴AC＝CP，∠ACP＝90°，
∴∠CAP＝∠CPA＝45°，
∴PA＝＝，
∵点A关于直线l的对称点为A'，
∴PA′＝PA＝，
∴∠CPA′＝∠CPA＝45°，
∵BD⊥l，∠BPD＝∠CPA′＝45°，
∴∠PBD＝90°﹣45°＝45°＝∠BPD，
∴BD＝PD＝2，
∴PB＝＝＝2，
∴AP+PB＝+2＝3；
（2）作AE∥l，交BD的延长线于E，如图3，
则四边形A′EDC是矩形，
∴AE＝DC＝PC+PD＝3，DE＝A′C＝AC，
∵BD＝4﹣AC，
∴BD+AC＝BD+DE＝4，
即BE＝4，
在RT△A′BE中，A′B＝＝5，
∴AP+BP＝5；
（3）如图3，设AC＝2m﹣2，PC＝1，则PA＝，
设BD＝8﹣2m，PD＝2，则PB＝，
∵DE＝AC＝2m﹣2，
∴BE＝BD+DE＝6，A′E＝CD＝PC+PD＝3，
∴PA+PB＝A′B＝＝＝3，
∴的最小值是3．
．【解答】解：（1）∵AB＝AC，∠B＝70°，
∴∠BAC＝180°﹣70°×2＝40°；
（2）∵MN垂直平分AB．
∴MB＝MA，
又∵△MBC的周长是14cm，
∴AC+BC＝14cm，
∴BC＝6cm．
（3）当点P与点M重合时，PB+CP的值最小，为AC长，最小值是8cm．
．【解答】解：（1）过点A作AC⊥x轴于点C，过点B作BD⊥x轴于点D，
∵点A的坐标为（3，1），
∴OC＝3，AC＝1，
又∵AC⊥x轴，BD⊥x轴，
∴∠ACO＝∠BDO＝90°，
∴∠OAC+∠AOC＝90°，
又∵∠AOB＝90°，
∴∠BOD+∠AOC＝90°，
∴∠OAC＝∠BOD，
又∵AO＝BO，
∴△AOC≌△OBD（AAS），
∴OC＝BD＝3，AC＝OD＝1，
∴点B的坐标为（﹣1，3）；
（2）如图2，作点B关于x轴的对称点B'，连接AB'交x轴于点P，连接BP，
由对称性可知BP＝B'P，
∴AP+BP＝AP+B'P≥AB'，
∴当A、B'、P三点共线时PA+PB的值最小，
连接BB'交x轴于点E，则E（﹣1，0），
∵点B与B'关于x轴对称，
∴点B'的坐标为（﹣1，﹣3），
设直线AB'的解析式为y＝kx+b，
∴，
∴，
∴y＝x﹣2，
∴P（2，0）；
（3）存在一点M，使得以点O，A，M为顶点的三角形是等腰直角三角形，理由如下：
①当∠AOM＝90°时，AO＝OM，
如图3，过点A作AF⊥y轴交于点F，过点M作ME⊥y轴交于点E，
∵∠FOA+∠FAO＝90°，∠FOA+∠EOM＝90°，
∴∠FAO＝∠EOM，
∵AO＝OM，
∴△FAO≌△EOM（AAS），
∴OF＝EM，OE＝FA，
∵A（3，1），
∴AF＝3，OF＝1，
∴M（1，﹣3）；
②如图4，当∠OAM＝90°时，OA＝AM，
过点A作AF⊥y轴交于F点，过点M作MG⊥AF交于点G，
∵∠FAO+∠FOA＝90°，∠FAO+∠GAM＝90°，
∴∠AFO＝∠GAM，
∴△FAO≌△GMA（AAS），
∴AF＝GM，OF＝AF，
∵A（3，1），
∴AF＝3，OF＝1，
∴M（4，﹣2）；
③如图5，当∠OMA＝90°时，OM＝AM，
过点M作MQ⊥y轴交于Q点，过点A作AP⊥QM交于P点，
∵∠OMQ+∠QOM＝90°，∠OMQ+∠AM＝90°，
∴∠QOM＝∠AMP，
∴△OQM≌△MPA（AAS），
∴OQ＝MP，QM＝AP，
∵A（3，1），
∴QM+MP＝3，1+QO＝QM，
∴1+QO+OQ＝3，
∴QO＝1，
∴M（2，﹣1）；
综上所述：M点坐标为（1，﹣3）或（4，﹣2）或（2，﹣1）．
．【解答】解：（1）CD＝＝，EC＝＝；
故答案为：，；
（2）当点D、C、E三点在一条直线上时，CD+CE的值最小，过点E作EF∥AB交DA的延长线于点F．则四边形ABEF是矩形，
∴AB＝EF＝8，AF＝BE＝2，
∴DF＝AD+AF＝4+2＝6，
∴DE＝＝＝10，
∴CD+CE的最小值为10．
（3）如图，令AB＝12，AD＝1，BE＝4，设AC＝x，则BC＝12﹣x．
∴CD+CE＝+＝+，
∵D、C、E三点在一条直线上时，CD+CE的值最小，
∴DE的长即为+的最小值，
过点E作AB的平行线交CA的延长线于点F，
∵CA⊥AB于A，EB⊥AB于B，
∴AF∥BE，
∴四边形AFEB是矩形，
∴AF＝BE＝4，EF＝AB＝12，
在Rt△CFE中，∠F＝90°，DF＝5，EF＝12，
∴DE＝＝＝13，
∴+的最小值为13．
．【解答】解：（1）①α+β＝180°；理由如下：
∵∠DAE＝∠BAC，
∴∠DAE﹣∠DAC＝∠BAC﹣∠DAC
∴∠CAE＝∠BAD，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ABD＝∠ACE，
∵∠BAC+∠ABD+∠ACB＝180°，
∴∠BAC+∠ACE+∠ACB＝180°，
∴∠BAC+∠BCE＝180°，即α+β＝180°，
故答案为：α+β＝180°；
②由①知，△ABD≌△ACE，
∴BD＝CE，AD＝AE，
∴CD+CE＝BD+CD＝BC＝2，
当AD⊥BC时，AD最短，
即四边形ADCE周长的值最小，
∵点A到直线BC的距离是3，
∴AD＝AE＝3，
∴四边形ADCE周长的最小值是2+3+3＝8，
故答案为：8；
（2）①成立，理由如下：
∵∠DAE＝∠BAC，
∴∠DAE+∠CAD＝∠BAC+∠CAD，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ABD＝∠ACE，
∵∠ACD＝∠ABD+∠BAC＝∠ACE+∠DCE，
∴∠BAC＝∠DCE，
∴∠BAC+∠BCE＝∠DCE+∠BCE＝180°，
即α+β＝180°；
②∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ABD＝∠ACE，BD＝CE，
∵BD＝BC+CD，
∴CE＝BC+CD，
故答案为：CE＝BC+CD．
一．选择题
1．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，BD平分∠ABC，如果点M，N分别为BD，BC上的动点，那么CM+MN的最小值是（ ）
A．4 B．4.8 C．5 D．6
2．如图，直线l1，l2表示一条河的两岸，且l1∥l2．现要在这条河上建一座桥（桥与河的两岸相互垂直），使得从村庄P经桥过河到村庄Q的路程最短，应该选择路线（ ）
A．路线：PF→FQ B．路线：PE→EQ
C．路线：PE→EF→FQ D．路线：PE→EF→FQ
3．如图，在△ABC中，AD是△ABC的角平分线，点E、F分别是AD、AB上的动点，若∠BAC＝50°，当BE+EF的值最小时，∠AEB的度数为（ ）
A．105° B．115° C．120° D．130°
4．如图，在等腰三角形ABC中，∠ACB＝90°，BC＝4，点D在AC上，AD＝AC，点E是斜边AB上一动点，连接DE，EF⊥AC于F，EG⊥BC于G，则DE+FG的最小值为（ ）
A．3 B．5 C．4 D．
5．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝8，点P是边BC上一动点，点D在边AB上，且BD＝AB，则PA+PD的最小值为（ ）
A．8 B． C． D．
6．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝2，D为AB上一动点，DE∥AC，DE＝2，则AE+CE的最小值等于（ ）
A．4 B．2 C．3 D．+2
7．如图，若∠AOB＝44°，P为∠AOB内一定点，点M在OA上，点N在OB上，当△PMN的周长取最小值时，∠MPN的度数为（ ）
A．82° B．84° C．88° D．92°
8．在平面直角坐标系中，有三个点A（﹣3，1），B（﹣1，5），C（0，m），当△ABC的周长最短时，m的值为（ ）
A．﹣10 B．﹣8 C．4 D．7
9．如图，C为线段BD上一动点，分别过B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC、EC，已知AB＝4，DE＝2，BD＝8，设BC＝x．线段AC+CE的长可表示为+，当A、C、E三点共线时，AC+CE的值最小，根据上述方法，求代数式+的最小值为（ ）
A．11 B．13 C． D．
10．如图，点A，B分别为x轴、y轴上的动点，AB＝2，点M是AB的中点，点C（0，3），D（8，0），过C作CE∥x轴．点P为直线CE上一动点，则PD+PM的最小值为（ ）
A． B．9 C． D．
二．填空题
．已知两点M（3，5），N（1，1），点P是x轴上一动点，若使PM+PN最短，则点P的坐标应为 ．
．如图，∠AOB＝30°，M、N分别是射线OA、OB上的动点，OP平分∠AOB，且OP＝6cm，则△PMN的周长的最小值为 cm．
．如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，M为AB的中点，P为BC上任意一点，则t＝PM+PA的范围是 ．
．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝68°，AC的垂直平分线EF分别交AB，AC于点E，F．若D为BC的中点，P为线段EF上一动点，则当△PCD周长的最小时，∠BPE的大小为 ．
．如图，△ABC中，∠A＝90°，AB＝4k，AC＝3k，M、N、P分别是边AB、AC、BC上的动点，连接PM、PN和MN，若设PM+PN+MN的最小值为y，则y与k的数量关系为 ．
解答题
．请阅读下列材料：问题：如图1，点A、B在直线l的同侧，在直线l上找一点P，使得AP+BP的值最小．小明的思路是：如图2，作点A关于直线l的对称点A'，连接A'B，则A'B与直线l的交点P即为所求．
请你参考小明同学的思路，探究并解决下列问题：
（1）如图3，在图2的基础上，设AA'与直线l的交点为C，过点B作BD⊥l，垂足为D，若CP＝1，PD＝2，AC＝1，写出AP+BP的值；
（2）将（1）中的条件“AC＝1”去掉，换成“BD＝4﹣AC”，其它条件不变，写出此时AP+BP的值；
（3）请结合图形，求出的最小值．
．如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于点N，交AC于点M．
（1）若∠B＝70°，求∠BAC的大小．
（2）连接MB，若AB＝8cm，△MBC的周长是14cm．
①求BC的长；
②在直线MN上是否存在点P，使PB+CP的值最小，若存在，标出点P的位置并求PB+CP的最小值，若不存在，说明理由．
．如图，在平面直角坐标系中，△ABO为等腰直角三角形，∠AOB＝90°，AO＝BO，点A的坐标为（3，1）．
（1）求点B的坐标；
（2）在x轴上找一点P，使得PA+PB的值最小，求出点P的坐标；
（3）在第四象限是否存在一点M，使得以点O，A，M为顶点的三角形是等腰直角三角形，若存在，请直接写出所有满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
．探究：如图所示，C为线段AB上一动点，分别过点A，点B作ADLAB，BE⊥AB，分别连接CD，CE．已知AD＝4，BE＝2，AB＝8．设AC＝x．
（1）CD＝ ，CE＝ （用含x的代数式表示）；
（2）探究点D，C，E处于何种位置时，CD+CE的值最小，并求出其最小值；
（3）根据（2）中的探究结果，请构图并求出代数式的最小值．（要求画出示意图）
．在△ABC中，AB＝AC，D是直线BC上一点，以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AE＝AD，∠DAE＝∠BAC，连接CE．设∠BAC＝α，∠BCE＝β．
（1）如图（1），点D在线段BC上移动时，①角α与β之间的数量关系是 ；
②若线段BC＝2，点A到直线BC的距离是3，则四边形ADCE周长的最小值是 ；
（2）如图（2），点D在线段BC的延长线上移动时，
①请问（1）中α与β之间的数量关系还成立吗？如果成立，请说明理由；
②线段BC、DC、CE之间的数量是 ．
参考答案与试题解析
一．选择题
1．【解答】解：如图所示：
过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M，
过点M作MN⊥BC于点N，
∵BD平分∠ABC，
∴ME＝MN，
∴CM+MN＝CM+ME＝CE．
∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，CE⊥AB，
∴S△ABC＝ AB CE＝ AC BC，
∴10CE＝6×8，
∴CE＝4.8．
即CM+MN的最小值是4.8，
故选：B．
2．【解答】解：作PP'垂直于河岸l2，使PP′等于河宽，
连接QP′，与另一条河岸相交于F，作FE⊥直线l1于点E，
则EF∥PP′且EF＝PP′，
于是四边形FEPP′为平行四边形，故P′F＝PE，
根据“两点之间线段最短”，QP′最短，即PE+FQ最短．
故C选项符合题意，
故选：C．
3．【解答】解：过点B作BB′⊥AD于点G，交AC于点B′，过点B′作B′F′⊥AB于点F′，与AD交于点E′，连接BE′，如图，
此时BE+EF最小．
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠BAD＝∠B′AD＝25°，
∴∠AE′F′＝65°，
∵BB′⊥AD，
∴∠AGB＝∠AGB′＝90°，
∵AG＝AG，
∴△ABG≌△AB′G（ASA），
∴BG＝B′G，∠ABG＝∠AB′G，
∴AD垂直平分BB′，
∴BE＝BE′，
∴∠E′B′G＝∠E′BG，
∵∠BAC＝50°，
∴∠AB′F′＝40°，
∴∠ABE＝40°，
∴∠BE′F′＝50°，
∴∠AE′B＝115°．
故选：B．
4．【解答】解：作点C关于AB的对称点M，连接MA，MB，MD，EC，ME，
则四边形ACBM是正方形，
∵EF⊥AC于F，EG⊥BC，
∴∠EFC＝∠EGC＝∠ACB＝90°，
∴四边形EFCG是矩形，
∴CE＝FG，
∵点C、M关于AB对称，
∴ME＝EC，
∴DE+FG＝DE+ME，
故D、E、M三点共线时，DE+FG最小为MD的长，
∵BC＝AM＝4，AD＝AC＝，
由勾股定理得，DM＝＝＝，
∴DE+FG的最小值为，
故选：D．
5．【解答】解：作D关于BC的对称点E，连接AE交BC于P，
则PA+PD的值最小，
过E作EF⊥AC交AC的延长线于F，过D作DH⊥AC于H，
则DH＝EF，DH∥BC，
∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，AB＝8，
∴AC＝AB＝4，∠ADH＝∠B＝30°，
∵BD＝AB＝2，
∴AD＝6，CF＝DE＝BD＝1，
∴AF＝5，
∴DH＝＝3，
∴EF＝3，
∴AE＝＝2，
∴PA+PD的最小值为2，
故选：C．
6．【解答】解：如图所示，过E作EF∥AB交CA的延长线于点F，作点A关于EF的对称点A'，连接A'E和A'F，
∴∠BAC＝∠AFE＝∠A'FE，AE＝A'E，
∴AE+CE＝A'E+CE，
由题可得，△ABC是等腰直角三角形，
∴∠BAC＝45°，
∴∠A'FC＝45°×2＝90°，
∵AF∥DE，EF∥AD，
∴四边形ADEF是平行四边形，
∴AF＝DE＝2，A'F＝AF＝2，
当点C，点E，点A'在同一直线上时，AE+CE的最小值等于A'C的长，如图所示．
此时，Rt△A'FC中，A'C＝＝＝，
∴AE+CE的最小值为，
故选：B．
7．【解答】解：作点P关于OA的对称点P'，点P关于OB的对称点P''，连接P'P''交OA于M'，OB与N'，
∴PM'＝P'M'，PN'＝P''N'，
此时P'P''的长即为△PMN的周长的最小值，
∵∠AOB＝44°，
∴∠P'PP''＝180°﹣44°＝136°，
∴∠P'+P''＝44°，
∵∠P'＝∠M'PP'，∠P''＝∠P''PN'，
∴∠M'PN'＝∠P'PP''﹣（∠P'+∠P''）＝136°﹣44°＝92°，
故选：D．
8．【解答】解：如图，作B的对称点B'（1，5），
连接AB'交y轴于点C，此时当△ABC的周长最短，
设直线AB'：y＝kx+b，
则，
解得，
∴m＝4．
故选：C．
9．【解答】解：+＝+，
令x﹣1＝t，则+＝+，
如图，C为线段BD上一动点，分别过B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC、EC，已知AB＝7，DE＝5，BD＝5，设BC＝t．线段AC+CE的长可表示为+，
当A，C，E共线时，AC+EC的值最小，过点E作EF⊥AB交AB的延长线于点F，则四边形BDEF是矩形，
∴EF＝BD＝5，BF＝DE＝5，
∴AF＝AB+BF＝7+5＝12，
∴AE＝＝＝13，
∴+的最小值为13，
∴+的最小值为13，
故选：B．
10．【解答】解：如图，作点D关于CE的对称点D'，连接D'P，D'M，OM．
则D'P＝DP，
PD+PM＝PD'+PM，
当点D'、P、M在同一直线上时，PD'+PM＝D'M，
∵AB＝2，点M是AB的中点∠AOB＝90°，
∴OM＝＝1，
∵点A，B分别为x轴、y轴上的动点，
∴点M在以点O为圆心，OM长为半径的圆周上运动，
当O、M、D'在同一直线上时，D'M最短，
此时D'M＝OD'﹣OM．
∵D（8，0），C（0，3），
∴D'（8，6），
∴OD'＝10，
∴D'M＝OD'﹣OM＝10﹣1＝9．
即PD+PM的最小值为9．
故选：B．
二．填空题
．【解答】解：作M点关于x轴的对称点M′，
∵M（3，5），
∴M′（3，﹣5），
设直线M′N的解析式为y＝kx+b，
，
解得，
∴直线M′N的解析式为y＝﹣3x+4，
∵P的纵坐标为0，
∴﹣3x+4＝0，解得x＝，
∴P（，0）．
故答案为：（，0）．
．【解答】解：作P点关于OA的对称点C，作P点关于OB的对称点D，连接CD，CD与OA、OB的交点即为所求点M、N，
∴△PMN的周长＝CD，此时△PMN的周长最小，
∵点P与点D关于OB对称，
∴PO＝OD，
∵点P与点C关于OA对称，
∴OP＝OC，
∵∠AOB＝30°，
∴∠COD＝60°，
∴△OCD为等边三角形，
∴OP＝6cm，
∴CD＝6cm，
∴△PMN的周长的最小值为6cm，
故答案为6．
．【解答】解：作M关于BC的对称点N，连接MN，NC，MC，连接AN交BC于点P，作AD⊥BC于点D，MN交BC于点E，
则PM＝PN，NC＝MC，MN⊥BC，
∴PM+PA＝PN+PA，
∴当N、P、A共线时AN＝PM+PA最小，P与C重合时最大，
∵AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，M为AB的中点，
∴∠B＝30°，
∴AD＝1，BD＝，ME＝NE＝，
∴BE＝DE＝，
∵MN∥AD，
∴＝＝＝，
∴PD＝DE＝，
∴PA＝＝，
∴AN＝，
在Rt△MCE中，根据勾股定理，
MC＝＝，
∴t＝PM+PA最大为+2，
∴t＝PM+PA的范围是≤t≤+2．
故答案为：≤t≤+2．
．【解答】解：
当点P在AD上时，△PCD周长的最小．
∵AB＝AC，∠B＝68°，
∴∠ACB＝∠ABC＝68°，
∴∠BAC＝44°，
∵D为BC的中点，
∴∠DAC＝∠BAC＝22°，
∵AC的垂直平分线为EF，
∴AP＝CP，
∴∠ACP＝∠DAC＝22°，且CP+DP＝AP+DP＝AD，
此时，△PCD周长的最小，∠CPF＝90°﹣∠ACP＝68°，
∵AC的垂直平分线为EF，AD垂直平分BC，
∴P为△ABC的外心，
∴∠BPC＝2∠BAC＝88°，
∴∠BPF＝180°﹣∠BPC﹣∠CPF＝24°．
故答案为：24°．
．【解答】解：作点P关于AB的对称点P1，作点P关于AC的对称点P2，连接PP1，PP2，P1M，P2N，AP1，AP2，如图所示：
根据轴对称的性质可得AP＝AP1，AP＝AP2，∠BAP1＝∠BAP，∠CAP2＝∠CAP，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAP+∠CAP＝90°，
∴∠BAP1+∠CAP2＝90°，
∴∠P1AP2＝180°，
∴P1，A，P2三点共线，
∵MP＝MP1，NP＝NP2，
∴PM+PN+MN的最小值即为P1P2的最小值，
∵P1P2＝2PA，
∴当AP⊥BC时，AP取得最小值，此时PM+PN+MN的值最小，
∵∠A＝90°，AB＝4k，AC＝3k，
根据勾股定理，得BC＝5k，
∵△ABC的面积＝，
∴AP的最小值为k，
∴PM+PN+MN的值最小为y＝，
故答案为：y＝．
三．解答题
．【解答】解：（1）如图2，∵AA′⊥l，AC＝1，PC＝1，
∴AC＝CP，∠ACP＝90°，
∴∠CAP＝∠CPA＝45°，
∴PA＝＝，
∵点A关于直线l的对称点为A'，
∴PA′＝PA＝，
∴∠CPA′＝∠CPA＝45°，
∵BD⊥l，∠BPD＝∠CPA′＝45°，
∴∠PBD＝90°﹣45°＝45°＝∠BPD，
∴BD＝PD＝2，
∴PB＝＝＝2，
∴AP+PB＝+2＝3；
（2）作AE∥l，交BD的延长线于E，如图3，
则四边形A′EDC是矩形，
∴AE＝DC＝PC+PD＝3，DE＝A′C＝AC，
∵BD＝4﹣AC，
∴BD+AC＝BD+DE＝4，
即BE＝4，
在RT△A′BE中，A′B＝＝5，
∴AP+BP＝5；
（3）如图3，设AC＝2m﹣2，PC＝1，则PA＝，
设BD＝8﹣2m，PD＝2，则PB＝，
∵DE＝AC＝2m﹣2，
∴BE＝BD+DE＝6，A′E＝CD＝PC+PD＝3，
∴PA+PB＝A′B＝＝＝3，
∴的最小值是3．
．【解答】解：（1）∵AB＝AC，∠B＝70°，
∴∠BAC＝180°﹣70°×2＝40°；
（2）∵MN垂直平分AB．
∴MB＝MA，
又∵△MBC的周长是14cm，
∴AC+BC＝14cm，
∴BC＝6cm．
（3）当点P与点M重合时，PB+CP的值最小，为AC长，最小值是8cm．
．【解答】解：（1）过点A作AC⊥x轴于点C，过点B作BD⊥x轴于点D，
∵点A的坐标为（3，1），
∴OC＝3，AC＝1，
又∵AC⊥x轴，BD⊥x轴，
∴∠ACO＝∠BDO＝90°，
∴∠OAC+∠AOC＝90°，
又∵∠AOB＝90°，
∴∠BOD+∠AOC＝90°，
∴∠OAC＝∠BOD，
又∵AO＝BO，
∴△AOC≌△OBD（AAS），
∴OC＝BD＝3，AC＝OD＝1，
∴点B的坐标为（﹣1，3）；
（2）如图2，作点B关于x轴的对称点B'，连接AB'交x轴于点P，连接BP，
由对称性可知BP＝B'P，
∴AP+BP＝AP+B'P≥AB'，
∴当A、B'、P三点共线时PA+PB的值最小，
连接BB'交x轴于点E，则E（﹣1，0），
∵点B与B'关于x轴对称，
∴点B'的坐标为（﹣1，﹣3），
设直线AB'的解析式为y＝kx+b，
∴，
∴，
∴y＝x﹣2，
∴P（2，0）；
（3）存在一点M，使得以点O，A，M为顶点的三角形是等腰直角三角形，理由如下：
①当∠AOM＝90°时，AO＝OM，
如图3，过点A作AF⊥y轴交于点F，过点M作ME⊥y轴交于点E，
∵∠FOA+∠FAO＝90°，∠FOA+∠EOM＝90°，
∴∠FAO＝∠EOM，
∵AO＝OM，
∴△FAO≌△EOM（AAS），
∴OF＝EM，OE＝FA，
∵A（3，1），
∴AF＝3，OF＝1，
∴M（1，﹣3）；
②如图4，当∠OAM＝90°时，OA＝AM，
过点A作AF⊥y轴交于F点，过点M作MG⊥AF交于点G，
∵∠FAO+∠FOA＝90°，∠FAO+∠GAM＝90°，
∴∠AFO＝∠GAM，
∴△FAO≌△GMA（AAS），
∴AF＝GM，OF＝AF，
∵A（3，1），
∴AF＝3，OF＝1，
∴M（4，﹣2）；
③如图5，当∠OMA＝90°时，OM＝AM，
过点M作MQ⊥y轴交于Q点，过点A作AP⊥QM交于P点，
∵∠OMQ+∠QOM＝90°，∠OMQ+∠AM＝90°，
∴∠QOM＝∠AMP，
∴△OQM≌△MPA（AAS），
∴OQ＝MP，QM＝AP，
∵A（3，1），
∴QM+MP＝3，1+QO＝QM，
∴1+QO+OQ＝3，
∴QO＝1，
∴M（2，﹣1）；
综上所述：M点坐标为（1，﹣3）或（4，﹣2）或（2，﹣1）．
．【解答】解：（1）CD＝＝，EC＝＝；
故答案为：，；
（2）当点D、C、E三点在一条直线上时，CD+CE的值最小，过点E作EF∥AB交DA的延长线于点F．则四边形ABEF是矩形，
∴AB＝EF＝8，AF＝BE＝2，
∴DF＝AD+AF＝4+2＝6，
∴DE＝＝＝10，
∴CD+CE的最小值为10．
（3）如图，令AB＝12，AD＝1，BE＝4，设AC＝x，则BC＝12﹣x．
∴CD+CE＝+＝+，
∵D、C、E三点在一条直线上时，CD+CE的值最小，
∴DE的长即为+的最小值，
过点E作AB的平行线交CA的延长线于点F，
∵CA⊥AB于A，EB⊥AB于B，
∴AF∥BE，
∴四边形AFEB是矩形，
∴AF＝BE＝4，EF＝AB＝12，
在Rt△CFE中，∠F＝90°，DF＝5，EF＝12，
∴DE＝＝＝13，
∴+的最小值为13．
．【解答】解：（1）①α+β＝180°；理由如下：
∵∠DAE＝∠BAC，
∴∠DAE﹣∠DAC＝∠BAC﹣∠DAC
∴∠CAE＝∠BAD，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ABD＝∠ACE，
∵∠BAC+∠ABD+∠ACB＝180°，
∴∠BAC+∠ACE+∠ACB＝180°，
∴∠BAC+∠BCE＝180°，即α+β＝180°，
故答案为：α+β＝180°；
②由①知，△ABD≌△ACE，
∴BD＝CE，AD＝AE，
∴CD+CE＝BD+CD＝BC＝2，
当AD⊥BC时，AD最短，
即四边形ADCE周长的值最小，
∵点A到直线BC的距离是3，
∴AD＝AE＝3，
∴四边形ADCE周长的最小值是2+3+3＝8，
故答案为：8；
（2）①成立，理由如下：
∵∠DAE＝∠BAC，
∴∠DAE+∠CAD＝∠BAC+∠CAD，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ABD＝∠ACE，
∵∠ACD＝∠ABD+∠BAC＝∠ACE+∠DCE，
∴∠BAC＝∠DCE，
∴∠BAC+∠BCE＝∠DCE+∠BCE＝180°，
即α+β＝180°；
②∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ABD＝∠ACE，BD＝CE，
∵BD＝BC+CD，
∴CE＝BC+CD，
故答案为：CE＝BC+CD．