2022-2023学年华师大版九年级数学上册23.3 相似三角形 同步练习题 （含答案）

2022-2023学年华东师大版九年级数学上册《23.3相似三角形》同步练习题（附答案）
一．选择题
1．若△ABC与△A1B1C1相似且对应中线之比为2：5，则周长之比和面积比分别是（　　）
A．2：5，4：5 B．2：5，4：25 C．4：25，4：25 D．4：25，2：5
2．要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形的三边长分别为5cm，15cm和18cm，另一个三角形的最长边长为9cm，则它的最短边为（　　）
A．2cm B．2.5cm C．4cm D．7.5cm
3．如图，下列四个三角形中，与△ABC相似的是（　　）
A． B． C． D．
4．如图，D是△ABC边AB上一点，添加一个条件后，仍然不能使△ACD∽△ABC的是（　　）
A．∠ACB＝∠ADC B．∠ACD＝∠ABC C． D．
5．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，下列说法中不正确的是（　　）
A．S△ADE：S△ABC＝1：2 B．
C．△ADE∽△ABC D．DE＝BC
二．填空题
6．两个相似三角形周长的差是4，对应中线的比是4：5，那么较大三角形的周长是　 　．
7．已知两个相似三角形对应角平分线的比为4：5，周长和为18cm，那么这两个三角形的周长分别是　 　．
8．一根长为a（cm）的铁丝，首尾相接围成一个等边三角形．要将它按如图的方式向外等距扩1（cm）．得到新的等边三角形，则新的等边三角形的周长是　 　cm．
9．如图，∠1＝∠2，若△ABC∽△ADE，可添加的一个条件是　 　（填写一个条件即可）
10．△ABC的三边长分别为7、6、2，△DEF的两边分别为1、3，要使△ABC∽△DEF，则△DEF的第三边长为　 　．
三．解答题
11．如图△ABC∽△ACD，∠D＝90°，AC＝，AD＝2，求AB及BC的长．
12．如图，已知△ADE∽△AFG∽△ABC，且△ABC的面积被线段DE、FG三等分，其中BC＝12cm，求线段DE和FG的长度．
13．如图．已知△ABC中，△ADE∽△ABC，AD：BD＝3：4，求S△ADE：S四边形DECB．
14．如图所示，三个边长为1个单位长度的正方形ABCD，ABEF，EFGH拼在一起．
（1）请找出中相似的两个三角形，并证明；
（2）直接写出∠1，∠2，∠3这三个角度数之和．
15．如图，D、E分别是AC、AB上的点，△ADE∽△ABC，且DE＝4，BC＝12，CD＝9，AD＝3，求AE、BE的长．
16．在正方形ABCD中，E是AD中点，F是CD上点，且CF＝3DF，连接EF，EB，求证：△ABE∽△DEF．
17．如图，△ABC中，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，设BD与CE相交于F点．
（1）求证：△BEF∽△CDF；
（2）求证：DE BF＝EF BC．
18．如图，菱形ABCD的边长为1，直线l过点C，交AB的延长线于M，交AD的延长线于N，求的值．
19．如图，点C、D在线段AB上，且△PCD是等边三角形．∠APB＝120°．
（1）求证：△ACP∽△PDB；
（2）当AC＝4，BD＝9时，试求CD的值．
20．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D．
（1）求证：AC2＝AB AD；
（2）如果BD＝5，AC＝6，求CD的长．
21．如图，学校平房的窗外有一路灯AB，路灯光能通过窗户CD照到平房内EF处；经过测量得：窗户距地面高OD＝1.5m，窗户高度DC＝0.8m，OE＝1m，OF＝3m；求路灯AB的高．
22．为了估计河的宽度，勘测人员在河的对岸选定一个目标点A，在近岸分别取点B、D、E、C，使点A、B、D在一条直线上，且AD⊥DE，点A、C、E也在一条直线上，且DE∥BC．经测量BC＝24米，BD＝12米，DE＝40米，求河的宽度AB为多少米？
23．如图是投影仪安装截面图，投影仪A发出的光线夹角∠BAC＝30°，投影屏幕高BC＝m．固定投影仪的吊臂AD＝0.5m，且AD⊥DE，AD∥EF，∠ACB＝45°，求屏幕下边沿C离教室顶部的距离CE（结果精确到01m），
24．有一块三角形的余料△ABC，它的高AH＝40mm，边BC＝80mm，要把它加工成一个矩形，使矩形的一边EF落在BC上，其余两个顶点DG分别在AB，AC上，且DG＝2DE，求矩形的面积．
25．在一次数学活动课上，老师让同学们到操场上测量旗杆的高度，然后回来交流各自的测量方法．小芳的测量方法是：拿一根高3.5米的竹竿直立在离旗杆27米的C处（如图），然后沿BC方向走到D处，这时目测旗杆顶部A与竹竿顶部E恰好在同一直线上，又测得C、D两点的距离为3米，小芳的目高为1.5米，这样便可知道旗杆的高．你认为这种测量方法是否可行？请说明理由．
26．如图，阳光透过窗口照到室内，在地面上留下2.7米宽的亮区，已知亮区一边到窗下的墙脚距离CE＝8.7米，窗口高AB＝1.8米，试求窗口下底与地面之间的距离BC的大小．
27．《九章算术》勾股章：今有木去人不知远近．立四表，相去各一丈，另左两表与所望参相直，从后右表望之，入前右表三寸，问：木去人几何？用今天的话说，大意是：如图，前方P处有树木，距人B处不知远近，先画正方形ABCD，边长为1丈，从左边看，P、A、B在同一直线上，从右边看，PC交AD于点E，并且DE的长为3寸，试求树木与人的距离．（精确到0.1尺，提示：1丈＝10尺，1尺＝10寸．）
参考答案
一．选择题
1．解：∵△ABC与△A1B1C1相似，且对应中线之比为2：5，
∴其相似比为2：5，
∴△ABC与△A1B1C1周长之比为2：5，
△ABC与△A1B1C1面积比为4：25，
故选：B．
2．解：设另一个三角形的最短边长为xcm，
根据题意，得：，
解得：x＝2.5，
即另一个三角形的最短边的长为2.5cm．
故选：B．
3．解：∵由图可知，AB＝AC＝6，∠B＝75°，
∴∠C＝75°，∠A＝30°，
A、三角形各角的度数分别为75°，52.5°，52.5°，
B、三角形各角的度数都是60°，
C、三角形各角的度数分别为75°，30°，75°，
D、三角形各角的度数分别为40°，70°，70°，
∴只有C选项中三角形各角的度数与题干中三角形各角的度数相等，
故选：C．
4．解：A、当∠ACB＝∠ADC时，再由∠A＝∠A，可得出△ACD∽△ABC，故此选项不合题意；
B、当∠ACD＝∠ABC时，再由∠A＝∠A，可得出△ACD∽△ABC，故此选项不合题意；
C、当＝时，再由∠A＝∠A，可得出△ACD∽△ABC，故此选项不合题意；
D、当＝时，无法得出△ACD∽△ABC，故此选项符合题意；
故选：D．
5．解：∵D，E分别是AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，＝＝＝，
∴△ADE∽△ABC，DE＝BC，
∴＝（）2＝（）2＝．
故选：A．
二．填空题
6．解：令较大的三角形的周长为x．
小三角形的周长为x﹣4，
由两个相似三角形对应中线的比为4：5得，
4：5＝（x﹣4）：x，
解之得x＝20．
故答案为20．
7．解：设其中一个三角形的周长为xcm，则另一个三角形的周长为（18﹣x）cm，
∵两个相似三角形对应角平分线的比为4：5，
∴两个相似三角形的相似比为4：5，
∴两个相似三角形的周长比为4：5，
∴＝，
解得，x＝8，
则18﹣x＝10，
故答案为：8cm、10cm．
8．解：如图，在Rt△ABC中，
∵AC＝1，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，
∴BC＝，
∴新的等边三角形的周长是（a+6）cm，
故答案为：a+6．
9．解：∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠BAE＝∠2+∠BAE，
即∠BAC＝∠DAE，
所以，添加的条件为∠D＝∠B或∠C＝∠AED或．
故答案为：∠D＝∠B或∠C＝∠AED或．
10．解：∵要使△ABC∽△DEF，需，
∵△ABC的三边长分别为7、6、2，△DEF的两边分别为1、3，
∴△DEF的两边1、3分别与△ABC的两边2，6是对应边，
∴△DEF的第三边长为：7×＝3.5．
故答案为：3.5．
三．解答题
11．解：∵△ABC∽△ACD，
∴，
∵AC＝，AD＝2，
∴，
解得：AB＝2.5，
∵∠D＝90°，
∴∠ACB＝∠D＝90°，
∴BC＝＝．
12．解：∵△ADE∽△ABC，且△ABC的面积被线段DE、FG三等分，
∴（）2＝，
即（）2＝，
解得DE＝4，
∵△AFG∽△ABC，且△ABC的面积被线段DE、FG三等分，
∴（）2＝，
即（）2＝，
解得FG＝4，
答：线段DE和FG的长度分别为4cm，4cm．
13．解：∵△ADE∽△ABC，AD：BD＝3：4，
∴＝，
∴＝，
∴S△ADE：S四边形DECB＝9：40．
14．解：（1）ACF∽△AHC．理由如下：
∵AC＝，AF＝1，AH＝2，
∴＝＝，
而∠FAC＝∠CAH，
∴△ACF∽△AHC；
（2）∵△ACF∽△AHC
∴∠2＝∠ACH，
而∠1＝∠ACH+∠3，
∴∠1＝∠2+∠3．
∵∠1＝45°，
∴∠1+∠2+∠3＝90°．
15．解：∵△ADE∽△ABC，
∴＝＝，
∵DE＝4，BC＝12，CD＝9，AD＝3，
∴AC＝AD+CD＝12，
∴AE＝4，AB＝9，
∴BE＝AB﹣AE＝5．
16．证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB＝DC，∠A＝∠D＝90°，
∵E是AD中点，
∴＝，
∵CF＝3DF，
∴＝，
∴＝，
∴△ABE∽△DEF．
17．证明：（1）∵BD⊥AC，CE⊥AB，
∴∠BEF＝∠CDF＝90°，且∠EFB＝∠DFC，
∴△BEF∽△CDF；
（2）∵∠BEF＝∠CDF＝90°，
∴点B，点C，点D，点E四点共圆，
∴∠DEF＝∠DBC，∠BFC＝∠DFE，
∴△DEF∽△CBF，
∴，
∴DE BF＝EF BC
18．解：∵四边形ABCD是菱形，
∴BC∥AD
∴＝
∵CD∥AB
∴＝
∴+＝+＝1
又∵AB＝AD＝1，
∴+＝1．
答：的值为1．
19．（1）证明：∵△PCD为等边三角形，
∴∠PCD＝∠PDC＝60°．
∴∠ACP＝∠PDB＝120°．
∵∠APB＝120°，
∴∠A+∠B＝60°．
∵∠PDB＝120°，
∴∠DPB+∠B＝60°．
∴∠A＝∠DPB．
∴△ACP∽△PDB．
（2）解：由（1）得△ACP∽△PDB，
∴，
∵△PCD是等边三角形，
∴PC＝PD＝CD，
∴，
∴CD2＝AC BD．
∵AC＝4，BD＝9，
∴CD＝6．
20．（1）证明：∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝90°，
∵∠DAC＝∠CAB，
∴Rt△ACD∽Rt△ABC，
∴AC：AB＝AD：AC，
∴AC2＝AB AD；
（2）解：∵AC2＝AB AD，
∴62＝（AD+5） AD，
整理得AD2+5AD﹣36＝0，解得AD＝﹣9（舍去）或AD＝4，
∵CD2＝AD BD，
∴CD＝＝2．
21．解：连接DC，
设：路灯AB高为x米，BO的长度为y米，
由中心投影可知△ABE∽△DOE，
∴，
∵△ABF∽△COF，
∴
∴，
解得
答：路灯AB的高度为米．
22．解：设宽度AB为x米，
∵DE∥BC，
∴△ABC∽△ADE，
∴＝，
又∵BC＝24，BD＝12，DE＝40，
∴＝，
解得x＝18，
答：河的宽度为18米．
23．解：过B作BH⊥AC于H，过A作AP⊥EF于P，
∴PE＝AD＝0.5，
在Rt△BCH中，BC＝，∠ACB＝45°，
∴BH＝HC＝1，
在Rt△ABH中，∠BAH＝30°，
∴AH＝，
∴AC＝+1，
∴PC＝（+1），
∴CE＝（+1）+0.5≈2.4m．
答：屏幕下边沿C离教室顶部的距离CE为2.4m．
24．解：如图，设AH交DG于点K．设DE＝x，则DG＝2x，
∵DG∥BC，
∴△ADG∽△ABC，
∴＝，即＝，解得x＝20，
∴2x＝40，
即DE＝x，DG＝40，
∴矩形EFGD的面积为40×20＝800（mm2）．
答：矩形的面积为800mm2．
25．解：这种测量方法可行．
理由如下：
设旗杆高AB＝x．过F作FG⊥AB于G，交CE于H（如图）．
所以△AGF∽△EHF．
因为FD＝1.5，GF＝27+3＝30，HF＝3，
所以EH＝3.5﹣1.5＝2，AG＝x﹣1.5．
由△AGF∽△EHF，
得＝，
即＝，
所以x﹣1.5＝20，
解得x＝21.5（米）
答：旗杆的高为21.5米．
26．解：∵光是沿直线传播的，
∴BD∥AE，
∴△CBD∽△CAE，
∴＝，
即＝，
解得BC＝4．
27．解；∵正方形ABCD，边长为1丈．
∴AB＝AD＝CD＝10寸
∵DE＝3寸＝0.3尺，
AE＝10﹣0.3＝9.7（尺），
又∵AB∥CD，
∴PA∥CD，
∴△PAE∽△CDE，
∴＝，
∴＝，
∴PA≈323.3，
∴PB＝PA+AB＝323.3+10＝333.3
答：树木与人的距离约为333.3尺．