2022-2023学年华东师大版九年级数学上册23.3相似三角形 同步练习题（含答案）

2022-2023学年华东师大版九年级数学上册《23.3相似三角形》同步练习题（附答案）
一．选择题
1．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，则下列结论错误的是（　　）
A．CD AC＝AB BC B．AC2＝AD AB
C．BC2＝BD AB D．AC BC＝AB CD
2．如图，在 ABCD中，F是BC边上一点，延长DF交AB的延长线于点E，若AB＝3BE，则BF：CF等于（　　）
A．1：2 B．1：3 C．2：3 D．2：5
3．如图所示，小正方形的边长均为1，则下列选项中阴影部分的三角形与△ABC相似的是（　　）
A． B．
C． D．
4．如图，有一块三角形余料ABC，BC＝120mm，高线AD＝80mm，要把它加工成一个矩形零件，使矩形的一边在BC上，点P，M分别在AB，AC上，若满足PM：PQ＝3：2，则PM的长为（　　）
A．60mm B．mm C．20mm D．mm
5．如图，在△ABC中，D，E分别是AB和AC上的点，且DE∥BC，＝，DE＝10，则BC的长为（　　）
A．16 B．14 C．12 D．11
6．如图，AB∥CD，AB＝6，CD＝9，AD＝10，则OD的长为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
7．下列各组图形中可能不相似的是（　　）
A．各有一个角是45°的两个等腰三角形 B．各有一个角是60°的两个等腰三角
C．各有一个角是105°的两个等腰三角形 D．两个等腰直角三角形
8．如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，G，F分别为AD、BC边上的点，若AG＝1，BF＝2，∠GEF＝90°，则GF的长为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
9．如图，已知矩形ABCD，AB＝4，AD＝2，E为AB的中点，连接DE与AC交于点F，则CF的长等于（　　）
A． B． C． D．
10．下列条件不能判定△ADB∽△ABC的是（　　）
A．∠ABD＝∠ACB B．∠ADB＝∠ABC C．AB2＝AD AC D．＝
二．填空题
11．如图，在△ABC中，DE∥BC，且DE把△ABC分成面积相等的两部分．若AD＝4，则DB的长为　 　．
12．两个相似三角形对应边上的中线之比为4：9，则两三角形面积之比为　 　．
13．如图，在△ABC中，MN∥BC，分别交AB、AC于点M、N，若AM＝1，MB＝，BC＝3，则MN的长为　 　．
14．如图，在△ABC中，DE∥BC，分别交AB，AC于点D，E，若DE＝4，BC＝AE＝6，则EC的长为　 　．
15．正方形ABCD的边长AB＝2，E是AB的中点，F是BC的中点，AF分别与DE，BD相交于点M，N，则MN的长为　 　．
16．矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8．
（Ⅰ）矩形对角线BD的长为　 　；
（Ⅱ）点P在矩形ABCD的内部，点E在边BC上，满足△PBE∽△DBC，点P，E的对应点分别是点D，C，若△APD是等腰三角形，则PE的长为　 　．
17．如图，在四边形ABCD中，BD平分∠ABC，∠BAD＝∠BDC＝90°，E为BC的中点，AE与BD相交于点F．若BC＝6，∠CBD＝30°，则DF的长为　 　．
三．解答题
18．如图①，E是平行四边形ABCD的边AD上的一点，且＝，CE交BD于点F．
（Ⅰ）若BF＝15，求DF的长；
（Ⅱ）如图②，若延长BA和CE交于点P，AB＝8，能否求出AP的长？若能，求出AP的长；若不能，说明理由．
19．如图在锐角三角形ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F，∠EAF＝∠GAC．
（1）求证：△ADE∽△ABC；
（2）如AF＝3，AG＝5，求△ADE与△ABC的周长之比．
20．如图，在矩形ABCD中，E是边AB的中点，连接DE交对角线AC于点F，
（Ⅰ）求证：△AFE∽△CFD；
（Ⅱ）若AB＝4，AD＝3，求CF的长．
21．在△ABC中，E、F分别为线段AB、AC上的点（不与A、B、C重合）
（Ⅰ）如图1，若EF∥BC，求证：；
（Ⅱ）如图2，若EF不与BC平行，（I）中的结论是否仍然成立？请说明理由．
22．如图，在△ABC中，AB＝8，BC＝4，CA＝6，CD∥AB，BD是∠ABC的平分线，BD交AC于点E．
（Ⅰ）求证：BC＝CD；
（Ⅱ）求AE的长．
23．如图，AB⊥BC，DC⊥BC，E是BC上一点，且AE⊥DE．
（I）求证：△ABE∽△ECD；
（Ⅱ）若AB＝4，AE＝BC＝5，求ED的长．
24．如图，△ABC是等边三角形，点D，E分别在BC，AC上，且BD＝CE，AD与BE相交于点F，
（Ⅰ）证明：△ABD≌△BCE；
（Ⅱ）证明：△ABE∽△FAE；
（Ⅲ）若AF＝7，DF＝1，求BD的长．
参考答案
一．选择题
1．解：由三角形的面积公式可知，CD AB＝AC BC，A错误，符合题意，D正确，不符合题意；
∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，
∴AC2＝AD AB，BC2＝BD AB，B、C正确，不符合题意；
故选：A．
2．解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴△DCF∽△EBF，
∴，且AB＝CD＝3BE，
∴BF：CF＝1：3，
故选：B．
3．解：根据题意得：AB＝＝，AC＝2，BC＝＝，
∴BC：AC：AB＝1：：，
A、三边之比为1：：，图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似；
B、三边之比：：3，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似；
C、三边之比为1：：2，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似；
D、三边之比为2：：，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似．
故选：A．
4．解：如图，设AD交PN于点K．
∵PM：PQ＝3：2，
∴可以假设MP＝3k，PQ＝2k．
∵四边形PQNM是矩形，
∴PM∥BC，
∴△APM∽△ABC，
∵AD⊥BC，BC∥PM，
∴AD⊥PM，
∴＝，
∴＝，
解得k＝20mm，
∴PM＝3k＝60mm，
故选：A．
5．解：∵＝，
∴，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝，
∴＝，
∴BC＝14，
故选：B．
6．解：∵AB∥CD，
∴△AOB∽△DOC，
∴＝，
∵AB＝6，CD＝9，AD＝10，
∴＝，
∴OD＝6，
故选：C．
7．解：A、不正确，因为没有指明这个45°的角是顶角还是底角，则无法判定其相似；
B、由已知我们可以得到这是两个正三角形，从而可以根据三组对应边的比相等的两个三角形相似判定这两个三角形相似；
C、正确，已知一个角为105°，则我们可以判定其为顶角，这样我们就可以根据两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似判定这两个三角形相似；
D、正确，因为是等腰直角三角形，则我们可以根据两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似来判定这两个三角形相似．
故选：A．
8．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝∠B＝90°，
∴∠AGE+∠AEG＝90°，
∵∠GEF＝90°，
∴∠AEG+∠BEF＝90°，
∴∠AGE＝∠BEF，
∴△AGE∽△BEF，
∴，
∵E为AB的中点，
∴AE＝BE，
∵AG＝1，BF＝2，
∴，
解得：BE＝AE＝，
在Rt△AEG中，GE2＝AG2+AE2＝3，
在Rt△BEF中，EF2＝BE2+BF2＝6，
∴在Rt△GEF中，GF＝＝3．
故选：B．
9．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝4，AD＝BC＝2，∠B＝90°，
∴AC＝＝2，
∵AE＝EB＝AB，AE∥CD，
∴△AEF∽△CDF，
∴＝＝，
∴AF＝AC＝．
∴CF＝2AF＝，
故选：B．
10．解：A、∵∠ABD＝∠ACB，∠A＝∠A，∴△ABC∽△ADB，故此选项不合题意；
B、∵∠ADB＝∠ABC，∠A＝∠A，∴△ABC∽△ADB，故此选项不合题意；
C、∵AB2＝AD AC，∴＝，∠A＝∠A，△ABC∽△ADB，故此选项不合题意；
D、＝不能判定△ADB∽△ABC，故此选项符合题意．
故选：D．
二．填空题
11．解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∵DE把△ABC分成面积相等的两部分，
∴S△ADE＝S四边形DBCE，
∴＝，
∴＝，
∵AD＝4，
∴AB＝4．
∴DB＝AB﹣AD＝4﹣4．
故答案为：4﹣4．
12．解：∵两个相似三角形对应边上的中线之比为4：9，
∴两个相似三角形相似比为4：9，
∴两个相似三角形的面积之比为16：81，
故答案为：16：81．
13．解：∵MN∥BC，
∴△AMN∽△ABC，
∴＝，
∴＝，
∴MN＝，
故答案为．
14．解：∵DE∥BC
∴△ADE∽△ABC
∴
而DE＝4，BC＝AE＝6
∴＝
解得EC＝3
故答案为3．
15．解：∵BF∥AD
∴△BNF∽△DNA
∴
而BF＝BC＝1，AF＝
∴AN＝
又∵△DAE≌△ABF（SAS）
∴∠AED＝∠BFA
∴△AME∽△ABF
∴
即：
∴AM＝
∴MN＝AN﹣AM＝﹣＝
故答案为．
16．解：（Ⅰ）∵四边形ABCD为矩形，
∴∠BAD＝90°，
∴BD＝＝10，
（Ⅱ）当PD＝DA＝8时，BP＝BD﹣PD＝2，
∵△PBE∽△DBC，
∴，即，
解得，PE＝，
当P′D＝P′A时，点P′为BD的中点，
∴P′E′＝CD＝3，
故答案为：10；或3．
17．解：如图，在Rt△BDC中，BC＝6，∠DBC＝30°，
∴BD＝3，
∵∠BDC＝90°，点E是BC中点，
∴DE＝BE＝CE＝BC＝3，
∵∠DBC＝30°，
∴∠BDE＝∠DBC＝30°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC，
∴∠ABD＝∠BDE，
∴DE∥AB，
∴△DEF∽△BAF，
∴＝，
在Rt△ABD中，∠ABD＝30°，BD＝3，
∴AB＝，
∴＝＝，
∴＝，
∴DF＝BD＝×3＝，
故答案是：．
三．解答题
18．解：（Ⅰ）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∵，
∴，
又∵BF＝15，
∴，
∴；
（Ⅱ）解：能．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴PB∥DC，AB＝DC＝8，
∴，
∴，
∴PA＝．
19．解：（1）∵AG⊥BC，AF⊥DE，
∴∠AFE＝∠AGC＝90°，
∵∠EAF＝∠GAC，
∴∠AED＝∠ACB，
∵∠EAD＝∠BAC，
∴△ADE∽△ABC；
（2）由（1）可得△ADE∽△ABC，
又∵AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F，
∴△ADE与△ABC的周长之比＝＝．
20．（Ⅰ）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AE∥DC
∴∠FAE＝∠FCD，∠FEA＝∠FDC
∴△AFE∽△CFD
故△AFE∽△CFD得证．
（Ⅱ）解：由（1）知△AFE∽△CFD，
∴
而E是边AB的中点，且AB＝4，AD＝3
∴AE＝2，AC＝5
∴＝＝
而AC＝5
∴AF＝，CF＝
故CF的长为．
21．（Ⅰ）证明：∵EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴＝，
∴＝（）2＝ ；
（Ⅱ）EF不与BC平行时，（I）中的结论仍然成立，
理由如下：作CM⊥AB于M，FN⊥AB于N，
则CM∥FN，
∴△ANF∽△AMC，
∴＝，
∴＝＝ ．
22．（I）证明：∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠ABD＝∠DBC．
∵CD∥AB，
∴∠ABD＝∠BDC，
∴∠DBC＝∠BDC，
∴BC＝CD；
（II）解：∵CD∥AB，
∴△ABE∽△CDE，
∴＝．
∵AB＝8，CD＝BC＝4，
∴＝，
∵AE＝2CE，
又∵AE+CE＝AC＝6，
∴AE＝4．
23．（Ⅰ）证明：∵AB⊥BC，DC⊥BC，
∴∠B＝∠C＝90°，∠BAE+∠AEB＝90°，
∵AE⊥DE，
∴∠AED＝90°，
∴∠AEB+∠DEC＝90°，
∴∠DEC＝∠BAE，
∴△ABE∽△ECD；
（Ⅱ）解：Rt△ABE中，∵AB＝4，AE＝5，
∴BE＝3，
∵BC＝5，
∴EC＝5﹣3＝2，
由（1）得：△ABE∽△ECD，
∴＝，
∴＝，
∴DE＝．
24．解：（Ⅰ）∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC，∠ABD＝∠BCE，
在△ABD与△BCE中
，
∴△ABD≌△BCE（SAS）；
（Ⅱ）由（1）得：∠BAD＝∠CBE，
又∵∠ABC＝∠BAC，
∴∠ABE＝∠EAF，
又∵∠AEF＝∠BEA，
∴△AEF∽△BEA；
（Ⅲ）∵∠BAD＝∠CBE，∠BDA＝∠FDB，
∴△ABD∽△BFD，
∴，
∴BD2＝AD DF＝（AF+DF） DF＝8，
∴BD＝2．