2022-2023学年人教版九年级数学上册第一学段（21.1—22.1）综合测试题（含解析）

2022-2023学年人教版九年级数学上册第一学段（21.1—22.1）综合测试题（附答案）
一、选择题（共8小题，计24分）
1．下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（　　）
A．x+2x＝1 B．x2+2y＝2 C．2x﹣x2＝3 D．x2+2x﹣1
2．用公式法解一元二次方程2x2﹣3x＝1时，化方程为一般式当中的a、b、c依次为（　　）
A．2，﹣3，﹣1 B．2，3，1 C．2，﹣3，1 D．2，3，﹣1
3．已知原点是抛物线y＝（m+1）x2的最高点，则m的范围是（　　）
A．m＜﹣1 B．m＜1 C．m＞﹣1 D．m＞﹣2
4．若关于x的一元二次方程mx2+2mx+4＝0有两个相等的实数根，则m的值为（　　）
A．0 B．4 C．0或4 D．0或﹣4
5．关于x一元二次方程x2﹣5x+p2﹣2p+5＝0的一个根为1，p＝（　　）
A．4 B．0或2 C．1 D．﹣1
6．方程（2x+3）（x﹣1）＝1的解的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．没有实数根
C．有两个相等的实数根 D．有一个实数根
7．已知点A（﹣1，y1），B（2，y2），C（﹣3，y3）三点都在函数y＝ax2（a＞0）的图象上，则（　　）
A．y2＜y1＜y3 B．y1＜y2＜y3 C．y1＜y3＜y2 D．y3＜y2＜y1
8．若关于x的一元二次方程ax2+bx+2＝0（a≠0）有一根为x＝2021，则一元二次方程a（x﹣1）2+bx﹣b＝﹣2必有一根为（　　）
A．2019 B．2020 C．2021 D．2022
二、填空题（共5小题，每小题4分，计20分）
9．方程 （x+1）2＝4的解是　 　．
10．写出一个两根是互为相反数的一元二次方程　 　．
11．三角形的两边长分别是3和4，第三边长是方程x2﹣13x+40＝0的根，则该三角形的周长为 　 　．
12．函数y＝（m﹣2）x|m|是二次函数，则下列关于它的图象的说法：①开口向上②开口向下③对称轴是y轴④顶点坐标为（0，0）⑤顶点坐标为（0，﹣4）⑥有最高点⑦有最低点．其中正确的有 　 　（填序号）
13．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，动点P从点A出发沿AB边以1cm/s的速度向点B匀速移动，同时点Q从点B出发沿BC边以2cm/s的速度向点C匀速移动，当P，Q两点中有一个点到达终点时，另一个点也停止运动，当△PBQ的面积为5cm2时，点P，Q运动的时间为 　 　秒．
三、解答题（共12小题，计76分）
14．解方程：
（1）2x2+5x+1＝0（公式法）；
（2）x2﹣4x﹣1＝0（配方法）．
15．已知3是方程x2﹣2x+c＝0的一个根，求方程的另一个根及c的值．
16．某件羊毛衫的售价为1000元，因换季促销，在经过连续两次降价后，现售价为810元，求平均每次降价的百分率．
17．关于x的一元二次方程x2﹣3x+k＝0有实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若k是符合条件的最大整数，求此时一元二次方程的解．
18．二次函数y＝ax2与直线y＝2x﹣1的图象交于点P（1，m）．
（1）求a、m的值；
（2）写出二次函数的表达式，并指出x取何值时，该表达式的y随x的增大而增大？
（3）指出抛物线的顶点坐标和对称轴．
19．在实数范围内定义一种运算“*”，其规则为a*b＝a2﹣2ab+b2，根据这个规则求方程（x﹣4）*1＝0的解．
20．已知m，n是方程x2﹣2x﹣1＝0的两个根，是否存在实数a使（7m2﹣14m+a）（3n2﹣6n﹣7）的值等于8？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．
21．某天猫店销售某种规格学生排球，成本为每个30元，以往销售大数据分析表明：当每个售价为40元时，平均每月售出600个；若售价每下降1元，其月销售量就增加200个，为迎接“双十一”，该天猫店在10月底备货1300个该规格的排球，并决定整个11月份进行降价促销，问售价定为多少元时，能使11月份这种规格排球获利恰好为8400元．
22．已知：平行四边形ABCD的两边AB，AD的长是关于x的方程x2﹣mx+﹣＝0的两个实数根．
（1）m为何值时，四边形ABCD是菱形？求出这时菱形的边长；
（2）若AB的长为2，那么 ABCD的周长是多少？
23．如图，某小区计划在一块长为32m，宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570m2．求每条道路的宽．
24．某农户想借助家里长25米的墙AB建造面积为450平方米的长方形区域来养一些家禽，现有65米长的篱笆（全部用于建造长方形区域），并有如图所示的两种方案：
（1）如图1，若选取墙AB的一部分作为长方形的一边，其它三边用篱笆围成，则在墙AB上借用的CF的长度为多少？
（2）如图2，若将墙AB全部借用，并在墙AB的延长线上拓展BF，构成长方形ADEF，BF、EF、ED和DA都由篱笆构成，求BF的长．
25．定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”．例如x2＝4和（x﹣2）（x+3）＝0有且只有一个相同的实数根x＝2，所以这两个方程为“同伴方程”．
（1）根据所学定义，下列方程属于“同伴方程”的有 　 　；（只填写序号即可）
①（x﹣1）2＝9；②x2+4x+4＝0；③（x+4）（x﹣2）＝0．
（2）关于x的一元二次方程x2﹣2x＝0与x2+3x+m﹣1＝0为“同伴方程”，求m的值；
（3）若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）同时满足a+b+c＝0和a﹣b+c＝0，且与（x+2）（x﹣n）＝0互为“同伴方程”，求n的值．
参考答案
一、选择题（共8小题，计24分，）
1．解：A．x+2x＝1是一元一次方程，故本选项不符合题意；
B．x2+2y＝2是二元二次方程，故本选项不符合题意；
C．2x﹣x2＝3是一元二次方程，故本选项符合题意；
D．x2+2x﹣1不是方程，故本选项不符合题意；
故选：C．
2．解：∵方程2x2﹣3x＝1化为一般形式为：2x2﹣3x﹣1＝0，
∴a＝2，b＝﹣3，c＝﹣1．
故选：A．
3．解：∵原点是抛物线y＝（m+1）x2的最高点，
∴m+1＜0，
即m＜﹣1．
故选：A．
4．解：∵mx2+2mx+4＝0是一元二次方程，
∴m≠0，
∵方程有两个相等的实数根，
∴Δ＝4m2﹣16m＝0，
∴m＝0或m＝4，
∴m＝4，
故选：B．
5．解：把x＝1代入x2﹣5x+p2﹣2p+5＝0得1﹣5+p2﹣2p+5＝0，
解得p1＝p2＝1．
故选：C．
6．解：方程（2x+3）（x﹣1）＝1可化为2x2+x﹣4＝0，
∵Δ＝1﹣4×2×（﹣4）＝33＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
7．解：∵y＝ax2（a＞0），
∴抛物线开口向上，对称轴为y轴，
∴点离对称轴越近则函数值越小，
∵A（﹣1，y1）离对称轴1个单位长度，B（2，y2）离对称轴2个单位长度，C（﹣3，y3）离对称轴3个单位长度，
∴y1＜y2＜y3，
故选：A．
8．解：对于一元二次方程a（x﹣1）2+bx﹣b＝﹣2即a（x﹣1）2+b（x﹣1）+2＝0，
设t＝x﹣1，
所以at2+bt+2＝0，
而关于x的一元二次方程ax2+bx+2＝0（a≠0）有一根为x＝2021，
所以at2+bt+2＝0有一个根为t＝2021，
则x﹣1＝2021，
解得x＝2022，
所以一元二次方程a（x﹣1）2+bx﹣b＝﹣2必有一根为x＝2022．
故选：D．
二、填空题（共5小题，计20分）
9．解：∵（x+1）2＝4，
∴x+1＝±2，
∴x＝﹣3或x＝1，
故答案为：x＝﹣3或x＝1．
10．解：∵两根互为相反数的一元二次方程的一次系数为0，
∴满足条件的一元二次方程为x2﹣1＝0．
故答案为x2﹣1＝0．
11．解：x2﹣13x+40＝0，
（x﹣5）（x﹣8）＝0，
所以x1＝5，x2＝8，
而三角形的两边长分别是3和4，
所以三角形第三边的长为5，
所以三角形的周长为3+4+5＝12．
故答案为12．
12．解：∵y＝（m﹣2）x|m|是二次函数，
∴|m|＝2，
解得m＝±2，
∵m﹣2≠0，
∴m≠2，
∴m＝﹣2，
∴y＝﹣4x2，
∴抛物线开口向下，对称轴为y轴，顶点坐标为（0，0），抛物线有最高点，
∴②③④⑥正确，
故答案为：②③④⑥．
13．解：8÷2＝4（秒）．
设运动时间为x秒（0＜x＜4），则PB＝（6﹣x）cm，BQ＝2xcm，
依题意得：×2x×（6﹣x）＝5，
整理得：x2﹣6x+5＝0，
解得：x1＝1，x2＝5（不符合题意，舍去）．
故答案为：1．
三、解答题（共12小题，计76分）
14．解：（1）这里a＝2，b＝5，c＝1，
∵Δ＝25﹣8＝17＞0，
∴x＝＝，
解得：x1＝，x2＝；
（2）方程整理得：x2﹣4x＝1，
配方得：x2﹣4x+4＝5，即（x﹣2）2＝5，
开方得：x﹣2＝±，
解得：x1＝2+，x2＝2﹣．
15．解：将x＝3代入原方程得：32﹣2×3+c＝0，
解得：c＝﹣3．
设方程的另一根为m，
根据题意得：3+m＝2，
解得：m＝﹣1，
∴方程的另一个根为﹣1，c的值为﹣3．
16．解：设平均每次降价的百分率为x，
依题意得：1000（1﹣x）2＝810，
解得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（不符合题意，舍去）．
答：平均每次降价的百分率为10%．
17．解：（1）根据题意得Δ＝（﹣3）2﹣4k≥0，
解得k≤；
（2）∵k≤，
∴k的最大整数值为2，
此时方程为x2﹣3x+2＝0，
（x﹣1）（x﹣2）＝0，
x﹣1＝0或x﹣2＝0，
所以x1＝1，x2＝2．
18．解：（1）∵二次函数y＝ax2与直线y＝2x﹣1的图象交于点P（1，m），
∴m＝2×1﹣1＝1，
∴1＝a×12＝a，
即a、m的值分别为1，1；
（2）由（1）知a＝1，
则二次函数y＝x2，当x＞0时，y随x的增大而增大；
（3）∵二次函数y＝x2，
∴该抛物线的顶点坐标为（0，0），对称轴是直线x＝0．
19．解：∵（x﹣4）*1＝0，
∴（x﹣4）2﹣2（x﹣4）×1+12＝0，
∴x2﹣8x+16﹣2x+8+1＝0，
∴x﹣210x+25＝0，
∴（x﹣5）2＝0，
∴x＝5．
20．解：∵m，n是方程x2﹣2x﹣1＝0的两个根，
∴m2﹣2m＝1，n2﹣2n＝1，
∴（7m2﹣14m+a）（3n2﹣6n﹣7）＝[7（m2﹣2m）+a][3（n2﹣2n）﹣7]
＝（7+a）（3﹣7）
＝﹣4（7+a）
＝8，
解得a＝﹣9，
∴存在实数a＝﹣9使（7m2﹣14m+a）（3n2﹣6n﹣7）的值等于8．
21．解：设售价定为x元，则每个的销售利润为（x﹣30）元，月销售量为600+200（40﹣x）＝（8600﹣200x）个，
依题意得：（x﹣30）（8600﹣200x）＝8400，
整理得：x2﹣73x+1332＝0，
解得：x1＝36，x2＝37，
当x＝36时，8600﹣200x＝8600﹣200×36＝1400＞1300，不符合题意，舍去；
当x＝37时，8600﹣200x＝8600﹣200×37＝1200＜1300，符合题意．
答：售价定为37元时，能使11月份这种规格排球获利恰好为8400元．
22．解：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD．
又∵AB、AD的长是关于x的方程x2﹣mx+﹣＝0的两个实数根，
∴Δ＝（﹣m）2﹣4×（﹣）＝（m﹣1）2＝0，
∴m＝1，
∴当m为1时，四边形ABCD是菱形．
当m＝1时，原方程为x2﹣x+＝0，即（x﹣）2＝0，
解得：x1＝x2＝，
∴菱形ABCD的边长是．
（2）把x＝2代入原方程，得：4﹣2m+﹣＝0，
解得：m＝．
将m＝代入原方程，得：x2﹣x+1＝0，
∴方程的另一根AD＝1÷2＝，
∴ ABCD的周长是2×（2+）＝5．
23．解：设道路的宽为xm，则草坪的长为（32﹣2x）m，宽为（20﹣x）m，
根据题意得：（32﹣2x）（20﹣x）＝570
整理得：x2﹣36x+35＝0，
解得：x1＝1，x2＝35（不合题意，舍去）．
答：每条道路的宽为1米．
24．解：（1）设CF＝x米，则CD＝米，
依题意得：x ＝450，
整理得：x2﹣65x+900＝0，
解得：x1＝20，x2＝45，
又∵墙AB的长为25米，
∴x＝20．
答：在墙AB上借用的CF的长度为20米．
（2）设BF＝y米，则AD＝米，
依题意得：（25+y） ＝450，
整理得：y2+5y﹣50＝0，
解得：y1＝5，y2＝﹣10（不符合题意，舍去）．
答：BF的长为5米．
25．解：（1）①（x﹣1）2＝9
解得：x1＝4，x2＝﹣2，
②x2+4x+4＝0，
解得：x1＝x2＝﹣2，
③（x+4）（x﹣2）＝0，
解得x1＝﹣4，x2＝2
所以，属于“同伴方程”的有①②
故答案是：①②；
（2）一元二次方程x2﹣2x＝0的解为x1＝0，x2＝2，
当相同的根是x＝0时，则m﹣1＝0，解得m＝1；
当相同的根是x＝2时，则4+6+m﹣1＝0，解得m＝﹣9；
综上，m的值为1或﹣9；
（3）∵关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）同时满足a+b+c＝0和a﹣b+c＝0，
∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根是x2＝1，x2＝﹣1；
∵（x+2）（x﹣n）＝0的两个根是x1＝﹣2，x2＝n，
∵关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）与（x+2）（x﹣n）＝0互为“同伴方程”，
∴n＝1或﹣1．