2022-2023学年北师大版九年级数学上册第2章一元二次方程单元综合测试题（含答案）

2022-2023学年北师大版九年级数学上册《第2章一元二次方程》单元综合测试题（附答案）
一．选择题（共8小题，满分40分）
1．下列方程中，一元二次方程共有（　　）个．
①x2﹣2x﹣1＝0；②ax2+bx+c＝0；③+3x﹣5＝0；④﹣x2＝0；⑤（x﹣1）2+y2＝2；⑥（x﹣1）（x﹣3）＝x2．
A．1 B．2 C．3 D．4
2．关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1＝0的一个根是0，则a的值为（　　）
A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．
3．若x＝﹣2是关于x的一元二次方程x2+ax﹣a2＝0的一个根，则a的值为（　　）
A．﹣1或4 B．﹣1或﹣4 C．1或﹣4 D．1或4
4．若m是方程x2﹣x﹣1＝0的一个根，则m2﹣m+2020的值为（　　）
A．2019 B．2020 C．2021 D．2022
5．关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+2x+1＝0有实数根，则m的取值范围是（　　）
A．m≤3 B．m＜3 C．m＜3且m≠2 D．m≤3且m≠2
6．用配方法解一元二次方程x2+4x﹣3＝0时，原方程可变形为（　　）
A．（x+2）2＝1 B．（x+2）2＝7 C．（x+2）2＝13 D．（x+2）2＝19
7．已知3是关于x的方程x2﹣（m+1）x+2m＝0的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰△ABC的两条边的边长，则△ABC的周长为（　　）
A．7 B．10 C．11 D．10或11
8．某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系，每盆植3株时，平均每株盈利4元；若每盆增加1株，平均每株盈利减少0.5元，要使每盆的盈利达到15元，每盆应多植多少株？设每盆多植x株，则可以列出的方程是（　　）
A．（3+x）（4﹣0.5x）＝15 B．（x+3）（4+0.5x）＝15
C．（x+4）（3﹣0.5x）＝15 D．（x+1）（4﹣0.5x）＝15
二．填空题（共7小题，满分35分）
9．已知m是关于x的方程x2﹣2x﹣3＝0的一个根，则2m2﹣4m＝　 　．
10．菱形的两条对角线的长是方程x2﹣7x+4＝0的两根，则菱形的面积是 　 　．
11．已知：m、n是方程x2+2x﹣1＝0的两根，则（m2+3m+3）（n2+3n+3）＝　 　．
12．已知整数k＜5，若△ABC的边长均满足关于x的方程x2﹣3x+8＝0，则△ABC的周长是 　 　．
13．已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣5x+a＝0的两个实数根，且|x1﹣x2|＝5，则a＝　 　．
14．如图，某小区有一块长为30m，宽为24m的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为480m2，两块绿地之间及周边有宽度相等的人行通道，则人行通道的宽度为　 　m．
15．如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝30cm，BC＝25cm，动点P从点C出发，沿CA方向运动，速度是2cm/s；同时，动点Q从点B出发，沿BC方向运动，速度是1cm/s，则经过 　 　s后，P，Q两点之间相距25cm．
三．解答题（共6小题，满分45分）
16．解一元二次方程：
（1）2x2﹣5x+1＝0；（用配方法）
（2）（x+2）2＝3x+6．
17．已知：关于x的一元二次方程x2﹣（2m+3）x+m2+3m+2＝0．
（1）已知x＝2是方程的一个根，求m的值；
（2）以这个方程的两个实数根作为△ABC中AB、AC（AB＜AC）的边长，当BC＝时，△ABC是等腰三角形，求此时m的值．
18．关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+2k+2＝0．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程有一个根小于1，求k的取值范围．
19．某公司今年1月份的生产成本是400万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，3月份的生产成本是361万元．
假设该公司2、3、4月每个月生产成本的下降率都相同．
（1）求每个月生产成本的下降率；
（2）请你预测4月份该公司的生产成本．
20．一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件．
（1）若降价3元，则平均每天销售数量为　 　件；
（2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？
21．如图，A、B、C、D为矩形的四个顶点，AB＝16cm，AD＝6cm，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到达B为止，点Q以2cm/s的速度向D移动．
（1）P、Q两点从出发开始到几秒时，四边形PBCQ的面积为33cm2；
（2）P、Q两点从出发开始到几秒时，点P和点Q的距离是10cm．
参考答案
一．选择题（共8小题，满分40分）
1．解：①x2﹣2x﹣1＝0，符合一元二次方程的定义；
②ax2+bx+c＝0，没有二次项系数不为0这个条件，不符合一元二次方程的定义；
③+3x﹣5＝0不是整式方程，不符合一元二次方程的定义；
④﹣x2＝0，符合一元二次方程的定义；
⑤（x﹣1）2+y2＝2，方程含有两个未知数，不符合一元二次方程的定义；
⑥（x﹣1）（x﹣3）＝x2，方程整理后，未知数的最高次数是1，不符合一元二次方程的定义．
一元二次方程共有2个．
故选：B．
2．解：根据题意得：a2﹣1＝0且a﹣1≠0，
解得：a＝﹣1．
故选：B．
3．解：根据题意，将x＝﹣2代入方程x2+ax﹣a2＝0，得：
4﹣3a﹣a2＝0，即a2+3a﹣4＝0，
左边因式分解得：（a﹣1）（a+4）＝0，
∴a﹣1＝0，或a+4＝0，
解得：a＝1或﹣4，
故选：C．
4．解：∵m是方程x2﹣x﹣1＝0的一个根，
∴m2﹣m﹣1＝0，
∴m2﹣m＝1，
∴m2﹣m+2020＝1+2020＝2021．
故选：C．
5．解：∵关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+2x+1＝0有实数根，
∴m﹣2≠0且△≥0，即22﹣4×（m﹣2）×1≥0，解得m≤3，
∴m的取值范围是 m≤3且m≠2．
故选：D．
6．解：x2+4x＝3，
x2+4x+4＝7，
（x+2）2＝7．
故选：B．
7．解：把x＝3代入方程得9﹣3（m+1）+2m＝0，
解得m＝6，
则原方程为x2﹣7x+12＝0，
解得x1＝3，x2＝4，
因为这个方程的两个根恰好是等腰△ABC的两条边长，
①当△ABC的腰为4，底边为3时，则△ABC的周长为4+4+3＝11；
②当△ABC的腰为3，底边为4时，则△ABC的周长为3+3+4＝10．
综上所述，该△ABC的周长为10或11．
故选：D．
8．解：设每盆应该多植x株，由题意得
（3+x）（4﹣0.5x）＝15，
故选：A．
二．填空题（共7小题，满分35分）
9．解：∵m是关于x的方程x2﹣2x﹣3＝0的一个根，
∴m2﹣2m﹣3＝0，
∴m2﹣2m＝3，
∴2m2﹣4m＝6，
故答案为：6．
10．解：设方程x2﹣7x+4＝0的两个根为a，b，
则由根与系数的关系得：ab＝4，
∵菱形的两条对角线的长是方程x2﹣7x+4＝0的两根，
∴菱形的对角线的积为4，
∴菱形的面积是＝2，
故答案为：2．
11．解：∵m、n是方程x2+2x﹣1＝0的两根，
∴m+n＝﹣2，mn＝﹣1，m2+2m﹣1＝0，n2+2n﹣1＝0，
∴（m2+3m+3）（n2+3n+3）
＝（m2+2m﹣1+m+4）（n2+2n﹣1+n+4）
＝（m+4）（n+4）
＝mn+4（m+n）+16
＝﹣1+4×（﹣2）+16
＝7，
故答案为：7．
12．解：根据题意得k≥0且（3）2﹣4×8≥0，
解得k≥，
∵整数k＜5，
∴k＝4，
∴方程变形为x2﹣6x+8＝0，解得x1＝2，x2＝4，
∵△ABC的边长均满足关于x的方程x2﹣6x+8＝0，
∴△ABC的边长为2、2、2或4、4、4或4、4、2．
∴△ABC的周长为6或12或10．
故答案为：6或12或10．
13．解：
∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣5x+a＝0的两个实数根，
∴x1+x2＝5，x1x2＝a，
∴（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1x2＝52﹣4a＝25﹣4a，
∵|x1﹣x2|＝5，
∴（x1+x2）2﹣4x1x2＝25，
∴25﹣4a＝25，解得a＝0，
故答案为：0．
14．解：设人行通道的宽度为x米，将两块矩形绿地合在一起长为（30﹣3x）m，宽为（24﹣2x）m，
由已知得：（30﹣3x） （24﹣2x）＝480，
整理得：x2﹣22x+40＝0，
解得：x1＝2，x2＝20，
当x＝20时，30﹣3x＝﹣30，24﹣2x＝﹣16，不符合题意舍去，
即x＝2．
答：人行通道的宽度为2米．
故答案为：2．
15．解：设x秒后P、Q两点相距25cm，
则CP＝2xcm，CQ＝（25﹣x）cm，
由题意得，（2x）2+（25﹣x）2＝252，
解得，x1＝10，x2＝0（舍去），
则10秒后P、Q两点相距25cm．
故答案是：10．
三．解答题（共6小题，满分45分）
16．解：（1）2x2﹣5x+1＝0，
x2﹣x＝﹣，
x2﹣x+（）2＝﹣+（）2，
（x﹣）2＝，
x﹣＝±，
所以x1＝，x2＝；
（2）（x+2）2＝3x+6，
（x+2）2﹣3（x+2）＝0，
（x+2）（x+2﹣3）＝0，
x+2＝0或x+2﹣3＝0，
所以x1＝﹣2，x2＝1．
17．解：（1）∵x＝2是方程的一个根，
∴4﹣2（2m+3）+m2+3m+2＝0，
∴m＝0或m＝1；
（2）∵Δ＝（2m+3）2﹣4（m2+3m+2）＝1，
∴x＝
∴x1＝m+2，x2＝m+1，
∵AB、AC（AB＜AC）的长是这个方程的两个实数根，
∴AC＝m+2，AB＝m+1．
∵BC＝，△ABC是等腰三角形，
∴当AB＝BC时，有m+1＝，
∴m＝﹣1；
当AC＝BC时，有m+2＝，
∴m＝﹣2，
综上所述，当m＝﹣1或m＝﹣2时，△ABC是等腰三角形．
18．（1）证明：∵在方程x2﹣（k+3）x+2k+2＝0中，Δ＝[﹣（k+3）]2﹣4×1×（2k+2）＝k2﹣2k+1＝（k﹣1）2≥0，
∴方程总有两个实数根．
（2）解：∵x2﹣（k+3）x+2k+2＝（x﹣2）（x﹣k﹣1）＝0，
∴x1＝2，x2＝k+1．
∵方程有一根小于1，
∴k+1＜1，解得：k＜0，
∴k的取值范围为k＜0．
19．解：（1）设每个月生产成本的下降率为x，
根据题意得：400（1﹣x）2＝361，
解得：x1＝0.05＝5%，x2＝1.95（不合题意，舍去）．
答：每个月生产成本的下降率为5%．
（2）361×（1﹣5%）＝342.95（万元）．
答：预测4月份该公司的生产成本为342.95万元．
20．解：（1）若降价3元，则平均每天销售数量为20+2×3＝26件．
故答案为：26；
（2）设每件商品应降价x元时，该商店每天销售利润为1200元．
根据题意，得 （40﹣x）（20+2x）＝1200，
整理，得x2﹣30x+200＝0，
解得：x1＝10，x2＝20．
∵要求每件盈利不少于25元，
∴x2＝20应舍去，
∴x＝10．
答：每件商品应降价10元时，该商店每天销售利润为1200元．
21．解：（1）设P、Q两点从出发开始到x秒时四边形PBCQ的面积为33cm2，
则PB＝（16﹣3x）cm，QC＝2xcm，
根据梯形的面积公式得（16﹣3x+2x）×6＝33，
解之得x＝5，
（2）设P，Q两点从出发经过t秒时，点P，Q间的距离是10cm，
作QE⊥AB，垂足为E，
则QE＝AD＝6，PQ＝10，
∵PA＝3t，CQ＝BE＝2t，
∴PE＝AB﹣AP﹣BE＝|16﹣5t|，
由勾股定理，得（16﹣5t）2+62＝102，
解得t1＝4.8，t2＝1.6．
答：（1）P、Q两点从出发开始到5秒时四边形PBCQ的面积为33cm2；
（2）从出发到1.6秒或4.8秒时，点P和点Q的距离是10cm．