2022-2023学年鲁教版（五四学制）九年级数学上册第2章直角三角形的边角关系 同步达标测试题（含解析）

2022-2023学年鲁教版（五四学制）九年级数学上册《第2章直角三角形的边角关系》
同步达标测试题（附答案）
一．选择题（共8小题，满分40分）
1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4．下列四个选项，正确的是（　　）
A．tanB＝ B．cotB＝ C．sinB＝ D．cosB＝
2．式子sin45°+sin60°﹣2tan45°的值是（　　）
A．22 B． C．2 D．2
3．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均是1，△ABC的顶点均在小正方形的顶点上，则sinA的值为（　　）
A． B． C． D．
4．如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，，点D在BC边上，CD＝AC，AB＝26，则BD的长为（　　）
A．10 B．12 C．14 D．16
5．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，AB的垂直平分线MN交AC于D，连接BD，若cos∠BDC＝，则BC的长为（　　）cm
A．8 B．6 C．4 D．2
6．如图是一架人字梯，已知AB＝AC，AC与地面BC的夹角为α，两梯脚之间的距离BC＝8米，则线段AB长为（　　）米．
A．4cosα B．4sinα C．4tanα D．
7．如图，一辆小车沿着坡度为i＝1：的斜坡向上行驶了100米，则此时该小车上升的高度为（　　）
A．50米 B．50米 C．50米 D．100米
8．如图，校内数学兴趣小组组织了一次测量探究活动．大楼的顶部竖有一块广告牌CD，小明与同学们在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为53°，沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为45°，已知山坡AB的坡度i＝1：，AB＝12米，AE＝24米．测角器的高度忽略不计，则广告牌CD的高度约为（　　）（结果精确到0.1米，参考数据：≈1.41，≈1.73，sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈）
A．2.4米 B．4.2米 C．8.4米 D．8.6米
二．填空题（共8小题，满分40分）
9．在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝200，sinA＝0.6，则BC＝　 　．
10．在锐角△ABC中，若，则∠C的度数是 　 　度．
11．如图，在矩形ABCD中，E为AD上的点，AE＝AB，BE＝DE，则tan∠BDE＝　 　．
12．如图，已知在△ABC中，∠BAC＝45°，BC＝4．
（1）若∠B＝45°，则AB＝　 　；
（2）过点A作AD⊥BC于D，若BD＝3，则△ABD的面积是 　 　．
13．如图，在等边△ABC中，点D是边AB上一点，且AD＝2BD，点E是边BC上一点，联结CD、AE交于点F．如果△ABC的面积是△ACF的面积的3倍，那么tan∠BAE的值为 　 　．
14．如图，小明在P处测得A处的俯角为15°，B处的俯角为60°，PB＝20m，∠PHB＝∠AFB＝90°，若斜面AB坡度为1：．
（1）∠PBA＝　 　；
（2）HF的长为 　 　m．
15．如图，甲楼高21m，由甲楼顶看乙楼顶的仰角是45°，看乙楼底的俯角是30°，则乙楼高度为 　 　m．
16．一大门的栏杆如图所示，杆BA垂直于地面AE于A，杆CD平行于地面AE，已知AB＝1米，BC＝2.4米，∠BCD＝150°，则此时杆CD到地面AE的距离是 　 　米．
三．解答题（共6小题，满分40分）
17．计算：．
18．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，tan∠A＝，求BC的长和sin∠B的值．
19．如图，在△ABC中，BA＝BC，点E在BC上，且AE⊥BC，cos∠B＝，EC＝3．
（1）分别求AB和AE；
（2）若点P在AB边上，且BP＝4，求△BPE的面积．
20．位于河南省登封市境内的元代观星台，是中国现存最早的天文台，也是世界文化遗产之一．某校数学社团的同学们使用卷尺和自制的测角仪测量观星台的高度．如图所示，他们在地面一条水平步道MP上架设测角仪，先在点M处测得观星台最高点A的仰角为22°，然后沿MP方向前进16m到达点N处，测得点A的仰角为45°，测角仪的高度为1.6m．
（Ⅰ）求观星台最高点A距离地面的高度（结果精确到0.1m）；
（Ⅱ）“景点简介”显示，观星台的高度为12.6m，请计算本次测量结果的误差．
参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40，≈1.41．
21．如图，某数学活动小组进行综合实践活动测量学校旗杆AB的高度，从旗杆正前方2米处的点C出发，沿斜坡CD前进4米到达点D，在点D处安置测角仪，测得旗杆顶部A的仰角为37°，仪器的高DE为1.5米．已知A，B，C，D，E，M在同一平面内，∠DCM＝30°，AB⊥BC，AB∥DE．求旗杆AB的高度．（参考数据：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈，计算结果保留根号）
22．如图，宝塔底座BC的高度为m，小明在D处测得底座最高点C的仰角为α，沿着DB方向前进n到达测量点E处，测得宝塔顶端A的仰角为β，求宝塔AB的高度．（用含α，β，m，n的式子表示）
参考答案
一．选择题（共8小题，满分40分）
1．解：如图，根据勾股定理得：BC＝＝＝3，
tanB＝＝，
cotB＝＝，
sinB＝＝，
cosB＝＝，
故选：C．
2．解：原式＝×+2×﹣2×1
＝+3﹣2
＝，
故选：B．
3．解：如图，过点C作CD⊥AB，垂足为D，
在Rt△ADC中，根据勾股定理得，AC＝＝＝5，
∴sinA＝＝．
故选：B．
4．解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，，AB＝26，
∴BC＝ABcosB＝26×＝24，
∴AC＝＝＝10，
∵CD＝AC，
∴CD＝10，
∴BD＝BC﹣CD＝24﹣10＝14，
故选：C．
5．解：在Rt△BCD中，
∵cos∠BDC＝＝，
设CD＝3k，BD＝5k，
∴BC＝＝4k．
∵MN是线段AB的垂直平分线，
∴AD＝BD＝5k．
∵AD+CD＝8k＝8cm，
∴k＝1cm．
∴BC＝4k＝4cm．
故选：C．
6．解：过点A作AD⊥BC于点D，
∵AB＝AC，BC＝8米，
∴CD＝BC＝4米，
在Rt△ADC中，cosα＝，
∴AC＝，
∴AB＝AC＝．
故选：D．
7．解：设此时该小车上升的高度为x米，则水平前进了x米．
根据勾股定理可得：x2+（x）2＝1002，
解得x＝50．
即此时该小车上升的高度为50米．
故选：A．
8．解：过点B作BF⊥AE，垂足为F，过点B作BG⊥CE，垂足为G，
则BF＝GE，BG＝EF，
∵山坡AB的坡度i＝1：，
∴＝＝，
∴∠BAF＝30°，
在Rt△ABF中，AB＝12m，
∴BF＝AB＝6（m），
AF＝BF＝6（m），
∵AE＝24m，
∴BG＝EF＝AF+AE＝（6+24）米，
在Rt△BCG中，∠CBG＝45°，
∴CG＝BG tan45°＝（6+24）米，
∴CE＝CG+GE＝（30+6）米，
在Rt△ADE中，∠DAE＝53°，
∴DE＝AE tan53°≈24×＝32（米），
∴CD＝CE﹣DE＝30+6﹣32＝6﹣2≈8.4（米），
故选：C．
二．填空题（共8小题，满分40分）
9．解：∵cos80°＝sin10°，10°＜20°＜55°，
∴cos80°＜sin20°＜sin55°＜1，
∵tan70°＞tan45°＝1，
∴cos80°＜sin20°＜sin55°＜tan70°，
故答案为：cos80°＜sin20°＜sin55°＜tan70°．
10．解：如图：
∵∠C＝90°，BC＝8，tanA＝＝，
∴AC＝6，
∵AB2＝AC2+BC2，
∴AB2＝62+82＝100，
∴AB＝10．
故答案为：10．
11．解：∵|sinα﹣|+（tanβ﹣1）2＝0，
∴sinα﹣＝0，tanβ﹣1＝0，
∴sinα＝，tanβ＝1，
∴α＝30°，β＝45°，
则α+β＝30°+45°＝75°．
故答案为：75°．
12．解：在△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，
∴∠A＝30°，
∴∠ABC＝90°﹣∠A＝60°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC＝∠ABC＝30°，
在Rt△BDC中，CD＝，
∴tan30°＝，
∴BC＝＝＝3，
∴AB＝2BC＝6，
∴AB的长为6，
故答案为：6．
13．解：如图，作AE⊥CD，交CD延长线于E，作BF⊥AE于F，则四边形BCEF是矩形．
在Rt△BCD中，∵∠C＝90°，BD＝40，∠BDC＝65°，
∴BC＝BD sin∠BDC≈40×0.91＝36.4，∠CBD＝90°﹣∠BDC＝25°，
∴FE＝BC≈36.4．
∵∠CBF＝∠ABD＝90°，
∴∠ABF＝∠CBD＝25°，
∴∠BAF＝90°﹣∠ABF＝65°．
在Rt△ABF中，∵∠AFB＝90°，AB＝30，∠BAF＝65°，
∴AF＝AB cos∠BAF≈30×0.42＝12.6，
∴AE＝AF+FE≈12.6+36.4＝49.0．
即点A到CD的距离约为49.0．
故答案为：49.0．
14．解：过点B作BD⊥AC于点D，过点C作CE⊥AB于点E，则BD＝AD＝3，CD＝1，如图所示．
AB＝＝3，BC＝＝．
∵AC BD＝AB CE，即×2×3＝×3 CE，
∴CE＝，
∴sin∠ABC＝＝＝．
故答案为：．
15．解：过点A作AE⊥BC交BC的延长线于点E，
由题意得：BC＝12海里，∠ABC＝90°﹣60°＝30°，∠ACE＝90°﹣30°＝60°，
∴∠BAC＝∠ACE﹣∠ABC＝30°，
∴∠BAC＝∠ABC，
∴AC＝BC＝12海里，
在Rt△ACE中，sin∠ACE＝，
∴AE＝AC sin∠ACE＝12×＝6（海里），
即小岛A到航线BC的距离是6海里，
故答案为：6．
16．解：过点D作DE⊥AB于点E，过点C作CF⊥DE于点F，
则四边形BCFE是矩形，
由题意得，AB＝80米，DE＝20米，∠ADE＝90°﹣30°＝60°，∠CDF＝90°﹣45°＝45°．
在Rt△ADE中，∠AED＝90°，
∵tanADE＝＝tan60°＝，
∴AE＝DE＝60（米），
∴BE＝AB﹣AE＝80﹣60＝20（米），
∵四边形BCFE是矩形，
∴CF＝BE＝20米，
在Rt△DCF中，∠DFC＝90°，∠CDF＝∠DCF＝45°，
∴DF＝CF＝20米，
∴BC＝EF＝DE﹣DF＝20﹣20≈14（米）．
答：教学楼BC高约14米．
三．解答题（共6小题，满分40分）
17．解：
＝
＝
＝．
18．解：∵tan∠A＝＝，
∴AC＝2BC，
在Rt△ABC中，AC2+BC2＝AB2，
即（2BC）2+BC2＝102，
解得BC＝2，
∴AC＝2BC＝4，
sin∠B＝＝＝．
19．解：（1）∵AE⊥BC，cos∠B＝，
∴设AB＝5x，BE＝4x，
∵BA＝BC，
∴BC＝5x，
∵EC＝3，CE＝BC﹣BE，
∴5x﹣4x＝3，
解得x＝3，
∴AB＝5×3＝15，
BE＝4×3＝12，
在Rt△ABE中，根据勾股定理得，AE＝＝＝9；
（2）△ABE的面积＝BE AE＝×12×9＝54，
∵BP＝4，
∴△BPE的面积＝×54＝14.4．
20．解：（1）过点A作AE⊥MP，交MP的延长线于点E，连接BC并延长，交AE于点D．
则CD⊥AE，BM＝CN＝DE＝1.6m，BC＝MN＝16m，∠ABC＝22°，∠ACD＝45°，
设AD＝xm，则CD＝xm，BD＝（16+x）m，
在Rt△ABD中，
tan22°＝≈0.40，
∴x≈10.7m，
∴AE＝AD+DE＝10.7+1.6＝12.3（m）．
即观星台最高点A距离地面的高度约为12.3m．
（2）12.6﹣12.3＝0.3（m）．
∴本次测量结果的误差为0.3m．
21．解：过点E作EF⊥AB于点F，延长ED交BC于点G，
在Rt△CDG中，∠DCG＝30°，
∴GD＝CD＝2（米），CG＝CD cos∠DCG＝2（米），
∴BG＝CB+CG＝＝2+2＝4（米），
在Rt△AFE中，AF＝EF tan∠AEF＝4×＝3（米），
∴AB＝AF+BF＝AF+ED+DG＝3+1.5+2＝（3+3.5）米，
答：旗杆AB的高度为（3+3.5）m．
22．解：在Rt△BCD中，∠CDB＝α，BC＝m，
tanα＝，
∴BD＝，
∴BE＝BD﹣DE＝﹣n，
在Rt△AEB中，∠AEB＝β，
tanβ＝，
∴AB＝tanβ （﹣n）＝．
答：宝塔AB的高度为．