2022－2023学年人教版数学九年级上册第21章 一元二次方程 培优训练卷（含解析）

人教版2022年九年级上册第21章《一元二次方程》培优训练卷
一．选择题
1．若关于x的一元二次方程（k﹣2）x2+x+k2﹣4＝0有一个根是0，则k的值是（　　）
A．﹣2 B．2 C．0 D．﹣2或2
2．已知一元二次方程（x﹣3）2＝1的两个解恰好分别是等腰△ABC的底边长和腰长，则△ABC的周长为（　　）
A．10 B．10或8 C．9 D．8
3．已知一元二次方程x2﹣10x+24＝0的两个根是菱形的两条对角线长，则这个菱形的面积为（　　）
A．6 B．10 C．12 D．24
4．某厂家2020年1～5月份的口罩产量统计如图所示．设从2月份到4月份，该厂家口罩产量的平均月增长率为x，根据题意可得方程（　　）
A．180（1﹣x）2＝461 B．180（1+x）2＝461
C．368（1﹣x）2＝442 D．368（1+x）2＝442
5．已知一元二次方程：x2﹣3x﹣1＝0的两个根分别是x1、x2，则x12x2+x1x22的值为（　　）
A．﹣3 B．3 C．﹣6 D．6
6．下列一元二次方程最适合用因式分解法来解的是（　　）
A．（x﹣2）（x+5）＝1 B．3（x﹣2）2＝x2﹣4
C．x2﹣3x+1＝0 D．9（x﹣1）2＝5
7．如果关于x的方程（x﹣9）2＝m+4可以用直接开平方法求解，那么m的取值范围是（　　）
A．m＞3 B．m≥3 C．m＞﹣4 D．m≥﹣4
8．某公司今年10月的营业额为2500万元，按计划第四季度的总营业额要达到9100万元，求该公司11、12两个月营业额的月均增长率，设该公司11、12两个月营业额的月均增长率为x，则根据题意可列的方程为（　　）
A．2500（1+x）2＝9100
B．2500[1+（1+x）+（1+x）2]＝9100
C．2500[（1+x）+（1+x）2]＝9100
D．9100（1+x）2＝2500
9．已知（x2+y2）（x2+y2﹣2）﹣8＝0，则x2+y2的值是（　　）
A．﹣2 B．4 C．﹣2或4 D．2
10．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm．动点P，Q分别从点A，B同时开始移动，点P的速度为1cm/秒，点Q的速度为2cm/秒，点Q移动到点C后停止，点P也随之停止运动．下列时间瞬间中，能使△PBQ的面积为15cm2的是（　　）
A．2秒钟 B．3秒钟 C．4秒钟 D．5秒钟
二．填空题
11．已知（m﹣1）x|m|+1﹣2x+1＝0是关于x的一元二次方程，则m＝　 　．
12．若一元二次方程ax2＝b（ab＞0）的两个根是m+1与2m﹣7，则m的值是 　 　．
13．已知关于x的方程ax2﹣bx﹣c＝0（a≠0）的系数满足a﹣b﹣c＝0，且4a+2b﹣c＝0，则该方程的根是 　 　．
14．关于x的一元二次方程3x2﹣10x﹣17＝0的两个根分别为x1和x2，则＝　 　．
15．设α、β是方程x2+2020x﹣2＝0的两根，则（α2+2020α﹣1）（β2+2020β+2）＝　 　．
三．解答题
16．解下列方程：
（1）x2﹣7x+1＝0；
（2）2（2x﹣1）＝3（1﹣2x）．
17．有一人患了流感，经过两轮传染后共有144人患了流感．
（1）求每轮传染中平均一个人传染了几个人？
（2）如果不及时控制，三轮传染后，患流感的有多少人？
18．解方程x4﹣5x2+4＝0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：
设x2＝y，那么x4＝y2，于是原方程可变为y2﹣5y+4＝0 ①，解得y1＝1，y2＝4．
当y＝1时，x2＝1，∴x＝±1；
当y＝4时，x2＝4，∴x＝±2；
∴原方程有四个根：x1＝1，x2＝﹣1，x3＝2，x4＝﹣2．
请你按照上述解题思想解方程（x2+x）2﹣4（x2+x）﹣12＝0．
19．（9分）某大型果品批发商场经销一种高档坚果，原价每千克64元，连续两次降价后每千克49元．
（1）若每次下降的百分率相同，求每次下降的百分率；
（2）若该坚果每千克盈利10元，每天可售出500千克．经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价1元，日销售量将减少40千克．现该商场要保证销售该坚果每天盈利4500元，且要减少库存，那么每千克应涨价多少元？
20．（9分）某校准备在一块长为25米，宽为20米的长方形花园内修建一个底部为正方形的亭子（如图所示），在亭子四周修四条宽度相同，且与亭子各边垂直的小路，亭子边长是小路宽度的5倍，花园内的空白地方铺草坪，设小路宽度为米．
（1）花园内的小路面积为 　　平方米（用含的代数式表示）．
（2）若草坪面积为440平方米时，求这时道路宽度的值．
21．已知：如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm．点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，当Q到达点C时，点Q、P同时停止移动．
（1）如果点P，Q分别从点A，B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积为4cm2？
（2）如果点P，Q分别从点A，B同时出发，那么几秒后，PQ的长度为5cm？
22．在实数范围内定义一种运算“*”，其运算法则为a*b＝a2﹣ab．如：2*1＝22﹣2×1＝2．根据这个法则，
（1）计算：3*2＝　 　；
（2）判断（t+2）*（2t+1）＝0是否为一元二次方程，并求解；
（3）判断方程（x+2）*1＝3的根是否为x1＝，x2＝，并说明理由．
23．请阅读下列材料：
我们可以通过以下方法求代数式x2+6x+5的最小值．
x2+6x+5＝x2+2 x 3+32﹣32+5＝（x+3）2﹣4，
∵（x+3）2≥0
∴当x＝﹣3时，x2+6x+5有最小值﹣4．
请根据上述方法，解答下列问题：
（1）x2+4x﹣1＝x2+2 x 2+22﹣22﹣1＝（x+a）2+b，则ab的值是　 　；
（2）求证：无论x取何值，代数式x2+2x+7的值都是正数；
（3）若代数式2x2+kx+7的最小值为2，求k的值．
参考答案
一．选择题
1．解：把x＝0代入（k﹣2）x2+x+k2﹣4＝0得：
k2﹣4＝0，
解得k1＝2，k2＝﹣2，
而k﹣2≠0，
所以k＝﹣2．
故选：A．
2．解：∵（x﹣3）2＝1，
∴x﹣3＝±1，
解得，x1＝4，x2＝2，
∵一元二次方程（x﹣3）2＝1的两个解恰好分别是等腰△ABC的底边长和腰长，
∴①当底边长和腰长分别为4和2时，4＝2+2，此时不能构成三角形；
②当底边长和腰长分别是2和4时，
∴△ABC的周长为：2+4+4＝10；
故选：A．
3．解：法1：方程x2﹣10x+24＝0，
分解得：（x﹣4）（x﹣6）＝0，
可得x﹣4＝0或x﹣6＝0，
解得：x＝4或x＝6，
∴菱形两对角线长为4和6，
则这个菱形的面积为×4×6＝12；
法2：设a，b是方程x2﹣10x+24＝0的两根，
∴ab＝24，
则这个菱形的面积为ab＝12．
故选：C．
4．解：从2月份到4月份，该厂家口罩产量的平均月增长率为x，根据题意可得方程：180（1+x）2＝461，
故选：B．
5．解：∵一元二次方程：x2﹣3x﹣1＝0的两个根分别是x1、x2，
∴x1+x2＝3，x1 x2＝﹣1，
∴x12x2+x1x22＝x1x2 （x1+x2）＝﹣1×3＝﹣3．
故选：A．
6．解：A、（x﹣2）（x+5）＝1适合于公式法解方程，故本选项不符合题意；
B、由原方程得到x2﹣6x+8＝0，适合于因式分解法解方程，故本选项符合题意；
C、x2﹣3x+1＝0适合于公式法解方程，故本选项不符合题意；
D、由原方程得到（x﹣1）2＝，最适合于直接开平方法解方程，故本选项不符合题意；
故选：B．
7．解：由题意得：
m+4≥0，
∴m≥﹣4，
故选：D．
8．解：设该公司11、12两个月营业额的月均增长率为x，
则可列方程为2500[1+（1+x）+（1+x）2]＝9100，
故选：B．
9．解：∵（x2+y2）（x2+y2﹣2）﹣8＝0，
设x2+y2＝t，
∴t（t﹣2）﹣8＝0，
∴t2﹣2t﹣8＝0，
∴（t﹣4）（t+2）＝0，
∴t1＝4，t2＝﹣2，
又∵x2+y2＝t≥0，
∴x2+y2＝t＝4，
故选：B．
10．解：设动点P，Q运动t秒后，能使△PBQ的面积为15cm2，
则BP为（8﹣t）cm，BQ为2tcm，由三角形的面积计算公式列方程得，
×（8﹣t）×2t＝15，
解得t1＝3，t2＝5（当t＝5时，BQ＝10，不合题意，舍去）．
∴动点P，Q运动3秒时，能使△PBQ的面积为15cm2．
故选：B．
二．填空题
11．解：∵（m﹣1）x|m|+1﹣2x+1＝0是关于x的一元二次方程，
∴|m|+1＝2，m﹣1≠0，
解得：m＝﹣1．
故答案为：﹣1．
12．解：根据题意得m+1+2m﹣7＝0，
解得m＝2．
即m的值为2．
故答案为：2．
13．解：∵关于x的方程ax2﹣bx﹣c＝0（a≠0）的系数满足a﹣b﹣c＝0，且4a+2b﹣c＝0，
∴该方程的根是x1＝1，x2＝﹣2．
故答案为：x1＝1，x2＝﹣2．
14．解：∵一元二次方程3x2﹣10x﹣17＝0的两根是x1，x2，
∴，，
∴．
故答案是：．
15．解：∵α、β是方程x2+2020x﹣2＝0的两根，
∴α2+2020α﹣2＝0，
β2+2020β﹣2＝0
∴α2+2020α＝2，
β2+2020β＝2
∴（α2+2020α﹣1）（β2+2020β+2）
＝（2﹣1）（2+2）＝4．
故答案为4．
三．解答题
16．解：（1）Δ＝（﹣7）2﹣4×1×1＝45＞0，
x＝＝，
所以x1＝，x2＝；
（2）2（2x﹣1）﹣3（1﹣2x）＝0，
﹣5（1﹣2x）＝0，
解得x＝．
17．解：（1）设每轮传染中平均一个人传染了x人，
根据题意得：1+x+x（1+x）＝144，
解得：x1＝11，x2＝﹣13（不合题意，舍去）．
答：每轮传染中平均一个人传染了11个人；
（2）144+144×11＝1728（人）．
答：三轮传染后，患流感的有1728人．
18．解：y＝x2+x，则由原方程，得
y2﹣4y﹣12＝0，
整理，得
（y﹣6）（y+2）＝0，
解得y＝6或y＝﹣2，
当y＝6时，x2+x＝6，即（x+3）（x﹣2）＝0，
解得x1＝﹣3，x2＝2．
当y＝﹣2时，x2+x＝﹣2，即x2+x+2＝0，该方程无解．
综上所述，该方程的解为：x1＝﹣3，x2＝2．
19．【解析】解：（1）设每次下降的百分率为，根据题意，得：
，
解得：（舍去），，
答：每次下降的百分率为；
（2）设每千克应涨价元，由题意，得：
，
整理，得，
解得：，（不合题意舍去），
答：该商场要保证每天盈利4500元，那么每千克应涨价5元．
20．【解析】解：（1）小路宽度为米，亭子边长是小路宽度的5倍，
亭子边长是米，
花园内的小路面积为平方米．
故答案为：．
（2）依题意得：，
整理得：，
解得：，（不合题意，舍去）．
答：这时道路宽度的值为1．
21．解：当运动时间为ts时，AP＝tcm，BP＝（5﹣t）cm，BQ＝2tcm．
（1）依题意得：（5﹣t）×2t＝4，
整理得：t2﹣5t+4＝0，
解得：t1＝1，t2＝4，
当t＝1时，2t＝2×1＝2＜7，符合题意；
当t＝4时，2t＝2×4＝8＞7，不符合题意，舍去．
答：1s后，△PBQ的面积为4cm2．
（2）依题意得：（5﹣t）2+（2t）2＝25，
整理得：t2﹣2t＝0，
解得：t1＝0（不符合题意，舍去），t2＝2．
答：2s后，PQ的长度为5cm．
22．解：（1）根据题中的新定义得：3*2＝32﹣3×2＝9﹣6＝3，
故答案为：3；
（2）已知等式变形得：（t+2）2﹣（t+2）（2t+1）＝0，整理得t2+t﹣2＝0，是一元二次方程；
解方程得t2+t﹣2＝0，得（t+2）（t﹣1）＝0，即t+2＝0或t﹣1＝0，解得t1＝﹣2，t2＝1；
（3）方程变形得：（x+2）2﹣（x+2）＝3，
整理得：x2+4x+4﹣x﹣2﹣3＝0，即x2+3x﹣1＝0，
∵a＝1，b＝3，c＝﹣1，
∴x＝＝，
解得：x1＝，x2＝．
故方程（x+2）*1＝3的根不是x1＝，x2＝．
23．解：（1）∵x2+4x﹣1＝x2+2 x 2+22﹣22﹣1＝（x+2）2﹣5＝（x+a）2+b，
∴a＝2，b＝﹣5，
∴ab＝2×（﹣5）＝﹣10．
故答案是：﹣10；
（2）证明：x2+2x+7＝x2+2x+（）2﹣（）2+7＝（x+）2+1．
∵（x+）2≥0，
∴x2+2x+7的最小值是1，
∴无论x取何值，代数式x2+2x+7的值都是正数；
（3）2x2+kx+7＝（x）2+2 x k+（k）2﹣（k）2+7＝（x+k）2﹣k2+7．
∵（x+k）2≥0，
∴（x+k）2﹣k2+7的最小值是﹣k2+7，
∴﹣k2+7＝2，
解得k＝±2．