2022-2023学年 人教版八年级数学上册第11章 三角形 精选题（含解析）
文档属性
| 名称 | 2022-2023学年 人教版八年级数学上册第11章 三角形 精选题（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 426.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-09-20 11:09:15 | ||
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文档简介
第11章 三角形精选题（含答案）-人教版八年级上册
一．选择题
1．如图，∠B＝30°，∠CAD＝65°且AD平分∠CAE，则∠ACD等于（ ）
A．95° B．65° C．50° D．80°
2．如图，在△ABC中，O是三个内角的平分线的交点，过点O作∠ODC＝∠AOC，交边BC于点D．若∠ABC＝n°，则∠BOD的度数为（ ）
A．90°+n° B．45°+n° C．90°﹣n° D．90°
3．如图，在△ABC中，AF平分∠BAC交BC于点F、BE平分∠ABC交AC于点E，AF与BE相交于点O，AD是BC边上的高，若∠C＝50°，BE⊥AC，则∠DAF的度数为（ ）
A．10° B．12° C．15° D．20°
4．如图所示，考古学家发现在地下A处有一座古墓，古墓上方是煤气管道，为了不影响管道，准备在B和C处开工挖出“V”字形通道，如果∠DBA＝120°，∠ECA＝125°，则∠A的度数是（ ）
A．65° B．80° C．85° D．90°
5．如图，四边形ABCD为一长方形纸带，AD∥BC，将四边形ABCD沿EF折叠，C、D两点分别与C′、D′对应，若∠1＝2∠2，则∠3的度数为（ ）
A．50° B．54° C．58° D．62°
6．如图，大建从A点出发沿直线前进8米到达B点后向左旋转的角度为α，再沿直线前进8米，到达点C后，又向左旋转α角度，照这样走下去，第一次回到出发地点时，他共走了72米，则每次旋转的角度α为（ ）
A．30° B．40° C．45° D．60°
7．如图，在△ABC中，以点B为圆心，AB为半径画弧交BC于点D，以点C为圆心，AC为半径画弧交BC于点E，连接AE，AD．设∠ACB＝α，∠EAD＝β，则∠B的度数为（ ）
A．2β﹣α B．α﹣β C．2α﹣β D．α+β
8．如图，在△ABC中，∠A＝80°，∠B＝36°，将△ABC沿直线BC向右平移到△DEF的位置，则∠F的度数是（ ）
A．80° B．36° C．64° D．116°
9．如图1所示，将长为6的矩形纸片沿虚线折成3个矩形，其中左右两侧矩形的宽相等，若要将其围成如图2所示的三棱柱形物体，则图中a的值可以是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．如图，∠ABC＝∠ACB，AD、BD、CD分别平分△ABC的外角∠EAC、内角∠ABC、外角∠ACF，以下结论：①AD∥BC，②∠ACB＝∠ADB，③∠ADC+∠ABD＝90°，④∠ADB＝45°﹣∠CDB，其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二．填空题
．如图，直线a∥直线b，Rt△ABC的直角顶点A落在直线a上，点B落在直线b上，若∠1＝18°，∠2＝32°，则∠ABC的大小为 ．
．如图，三角形ABC中，∠A＝64°，∠B＝90°，∠C＝26°．点D是AC边上的定点，点E在BC边上运动，沿DE折叠三角形CDE，点C落在点G处．当三角形DEG的三边与三角形ABC的三边有一组边平行时，∠ADG＝ ．
．如图，已知BD是△ABC的中线，AB＝5，BC＝3，且△ABD的周长为12，则△BCD的周长是 ．
．如图①，我们知道，光线射向一个平面镜被反射后，两条光线与平面镜的夹角相等（∠1＝∠2）．如图②，光线照射到平面镜甲上，会反射到平面镜乙，然后光线又会射到平面镜甲上，……．若∠α＝55°，∠γ＝75°，则∠β＝ °．
．如图，在△ABC中，BD、BE分别是△ABC的高线和角平分线，点F在CA的延长线上，FH⊥BE交BD于点G，交BC于点H．写出∠FGD，∠ABE，∠C的之间的数量关系： ．
解答题
．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，BE平分∠ABC交AD于点E．
（1）若∠C＝50°，∠BAC＝60°，求∠ADB的度数；
（2）若∠BED＝45°，求∠C的度数．
．在△ABC中，D是BC边上一点，且∠CDA＝∠CAB，MN是经过点D的一条直线．
（1）直线MN⊥AC，垂足为点E，在图1中画出直线MN．若∠CAB＝70°，∠DAB＝20°，求∠CAD，∠CDE的度数；
（2）直线MN∥AB交AC边于点F，在图2中画出直线MN，求证：∠CDF＝∠CAD．（提示：三角形内角和等于180°）
．如图所示，在△ABC中，CD⊥AB于点D，EF⊥CD于点G，∠ADE＝∠EFC．
（1）证明AB∥EF．
（2）请说明∠AED＝∠ACB的理由．
（3）若∠BDE＝2∠B+36°，求∠DEF的度数．
．已知：在△ABC中，AE平分∠BAC，BF平分∠ABC，AE、BF交于点G．
（1）如图1：若∠C＝60°，求∠AGB的度数；
（2）如图2：点D是AE延长线上一点，连接BD、CD，∠ADC＝∠ABG+∠BAG，求证：CD∥BF；
（3）如图3：在（2）的条件下，过点G作GK∥AB，交BD于点K，点M在线段DC的延长线上，连接KM，若∠ACB＝∠BDA，∠ABC+∠BAE＝2∠DKM，∠M＝16°，求∠BAC的度数．
．（1）如图（1）所示，△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，求证：∠BOC＝90°+∠A；
（2）如图（2）所示，∠ABC，∠ACD的平分线交于点O，求证：∠BOC＝A；
（3）如閔（3）所示，∠CBD，∠BCE的平分线交于点O，请直接写出∠BOC与∠A的关系．
参考答案与试题解析
一．选择题
1．【解答】解：∵∠CAD＝65°，AD平分∠CAE，
∴∠CAE＝2∠CAD＝130°，
∴∠BAC＝180°﹣130°＝50°，
∵∠B＝30°，
∴∠ACD＝∠B+∠BAC＝30°+50°＝80°．
故选：D．
2．【解答】解：∵∠ABC＝n°，
∴∠BAC+∠BCA＝180°﹣∠ABC＝180°﹣n°，
∵O是三个内角的平分线的交点，
∴∠OBC＝ABC＝n°，∠OCA＝BCA，∠OAC＝BAC，
∴∠OAC+∠OCA＝（∠BAC+∠BCA）＝（180°﹣n°）＝90°﹣n°，
∴∠AOC＝180°﹣（∠OAC+∠OCA）＝180°﹣（90°﹣n°）＝90°+n°，
∵∠ODC＝∠AOC，
∴∠ODC＝∠AOC＝90°+n°，
∵∠ODC＝∠OBC+∠BOD，∠OBC＝n°，
∴∠BOD＝90°，
故选：D．
3．【解答】解：∵BE⊥AC，BE平分∠ABC，
∴∠AEB＝∠CEB＝90°，∠ABE＝∠CBE，
∵BE＝BE，
∴△ABE≌△CBE（ASA），
∴∠BAC＝∠C＝50°，
∴∠ABC＝190°﹣∠BAC﹣∠C＝80°，
∵AF平分∠BAC，
∴∠BAF＝∠BAC＝25°，
∵BE⊥AC，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BAD＝10°
∴∠DAF＝∠BAF﹣∠DAB＝15°，
故选：C．
4．【解答】解：∵∠DBA＝120°，∠ECA＝125°，
∴∠ABC＝180°﹣∠DBA＝60°，∠ACB＝180°﹣∠ECA＝55°，
∴∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣60°﹣55°＝65°，即∠A＝65°．
故选：A．
5．【解答】解：如图，过点D′作D′G∥AD，则∠2＝∠ED′G，
∵AD∥BC，
∴BC∥D′G，
∴∠3＝∠C′D′G，
∵AD∥BC，
∴∠1＝∠4，
根据折叠的性质得：∠4＝∠5，
∵∠1＝2∠2，
∴∠4＝∠5＝2∠2，
∴2∠2+2∠2+∠2＝180°，
∴∠2＝36°，
∵∠ED′C′＝∠D＝90°，
∴∠2+∠3＝90°，
∴∠3＝90°﹣36°＝54°，
故选：B．
6．【解答】解：∵72÷8＝9，
∴360°÷9＝40°．
∴每次旋转的角度α＝40°．
故选：B．
7．【解答】解：∵以点B为圆心，AB为半径画弧交BC于点D，以点C为圆心，AC为半径画弧交BC于点E，
∴AB＝BD，AC＝CE，
∴∠BAD＝∠BDA，∠CAE＝∠CEA，
∵∠ACB＝α，
∴∠CAE＝∠CEA＝（180°﹣∠ACB）＝90，
∵∠DAE＝β，
∴∠CAD＝∠CAE﹣∠DAE＝（90°﹣）﹣β＝90°﹣﹣β，
∴∠BAD＝∠BDA＝∠C+∠CAD＝α+（90°﹣﹣β）＝90°+﹣β，
∴∠B＝180°﹣∠BAD﹣∠BDA
＝180°﹣（90°+﹣β）﹣（90°+﹣β）
＝180°﹣90°﹣+β﹣90°﹣+β
＝2β﹣α，
故选：A．
8．【解答】解：∵∠A＝80°，∠B＝36°，
∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣80°﹣36°＝64°，
∵将△ABC沿直线BC向右平移到△DEF的位置，
∴∠F＝∠ACB＝64°，
故选：C．
9．【解答】解：长为6的线段围成等腰三角形的腰长为a．则底边长为6﹣2a．
由题意得，．
解得＜a＜3．
所给选项中分别为：1，2，3，4．
∴只有2符合上面不等式组的解集．
∴a只能取2．
故选：B．
10．【解答】解：∵AD平分∠EAC，
∴∠EAC＝2∠EAD，
∵∠EAC＝∠ABC+∠ACB，∠ABC＝∠ACB，
∴∠EAD＝∠ABC，
∴AD∥BC，故①正确；
∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠DBC，
∵BD平分∠ABC，∠ABC＝∠ACB，
∴∠ABC＝∠ACB＝2∠DBC，
∴∠ACB＝2∠ADB，故②错误；
在△ADC中，∠ADC+∠CAD+∠ACD＝180°，
∵CD平分△ABC的外角∠ACF，
∴∠ACD＝∠DCF，
∵AD∥BC，
∴∠ADC＝∠DCF，∠ADB＝∠DBC，∠CAD＝∠ACB
∴∠ACD＝∠ADC，∠CAD＝∠ACB＝∠ABC＝2∠ABD，
∴∠ADC+∠CAD+∠ACD＝∠ADC+2∠ABD+∠ADC＝2∠ADC+2∠ABD＝180°，
∴∠ADC+∠ABD＝90°
∴∠ADC＝90°﹣∠ABD，
即∠ADC+∠ABD＝90°，故③正确；
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC，
∵∠ADB＝∠DBC，
∴∠ABD＝∠ADB，
∵90°﹣∠ABC＝90° ∠ABD＝∠DBC+∠BDC＝∠ABD+∠BDC，
∴∠BDC＝90°﹣2∠ABD，
∴∠ADB＝45°﹣∠CDB，④错误；
故选：B．
二．填空题
．【解答】解：如图，作CK∥a．
∵a∥b，CK∥a，
∴CK∥b，
∴∠1＝∠3，∠4＝∠2，
∴∠ACB＝∠1+∠2＝18°+32°＝50°，
∵∠CAB＝90°，
∴∠ABC＝90°﹣50°＝40°，
故答案为：40°．
．【解答】解：如图，当DG∥AB时，则∠ADG＝180°﹣∠A＝180°﹣64°＝116°；
如图，当DG∥BC时，∠ADG＝∠C＝26°；
如图，当EG∥AC时，∠ADG＝∠G＝∠C＝26°；
如图，当EG∥AB时，
则∠A＝∠CFE＝64°，∠B＝∠CEG＝90°，
由折叠可知，∠DEG＝∠DEC＝45°，
∴∠EDF＝∠C+∠DEC＝26°+45°＝71°，
∴∠ADG＝∠EDG﹣∠EDF＝∠CDE﹣∠EDF＝109°﹣71°＝38°；
如图，当DG∥AB时，
则∠ADG＝∠A＝64°，
如图，
∵AB∥EG，
∴∠GEB＝∠B＝90°，
∴∠CEG＝90°，
由折叠性质得：∠DEC＝∠DEG＝＝135°，
∵∠C＝26°，
∴∠GDE＝∠CDE＝180°﹣135°﹣26°＝19°，
∴∠ADG＝180°﹣19°﹣19°＝142°；
综上，其他所有情况下∠ADG的度数为26°或38°或64°或116°或142°．
故答案为：26°或38°或64°或116°或142°．
．【解答】解：∵BD是△ABC的中线，即点D是线段AC的中点，
∴AD＝CD．
∵AB＝5，△ABD的周长为12，
∴AB+BD+AD＝12，即5+BD+AD＝12．
解得BD+AD＝7．
∴BD+CD＝7．
则△BCD的周长是BC+BD+CD＝3+7＝10．
故答案为：10．
．【解答】解：如图，由题意知：∠α＝∠1＝55°，∠β＝∠2，∠γ＝∠3＝75°，
∵∠1+∠3+∠4＝180°，
∴∠4＝50°，
∵∠2+∠4+∠β＝180°，
∴∠β＝65°，
故答案为：65．
．【解答】解：∵∠AEB＝∠EBC+∠C，
∵BE是△ABC的角平分线，
∠ABE＝∠CBE，
∴∠AEB＝∠ABE+∠C，
∵BD⊥FC，FH⊥BE，
∴∠FGD＝∠AEB，
∴∠FGD＝∠ABE+∠C，
故答案为：∠FGD＝∠ABE+∠C．
三．解答题
．【解答】解：（1）∵AD平分∠BAC，∠BAC＝60°，
∴．
∵∠ADB是△ADC的外角，∠C＝50°，
∴∠ADB＝∠C+∠DAC＝80°；
（2）∵AD平分∠BAC，BE平分∠ABC，
∴∠BAC＝2∠BAD，∠ABC＝2∠ABE．
∵∠BED是△ABE的外角，∠BED＝45°，
∴∠BAD+∠ABE＝∠BED＝45°．
∴∠BAC+∠ABC＝2（∠BAD+∠ABE）＝90°．
∵∠BAC+∠ABC+∠C＝180°，
∴∠C＝180°﹣（∠BAC+∠ABC）＝90°．
．【解答】（1）解：如图1中，
∵∠CAB＝70°，∠DAB＝20°，
∴∠CAD＝∠CAB﹣∠DAB＝70°﹣20°＝50°，
∵DE⊥AC，
∴∠AED＝90°，
∴∠ADE＝90°﹣50°＝40°，
∵∠ADC＝∠CAB＝70°，
∴∠CDE＝∠ADC﹣∠ADE＝70°﹣40°＝30°；
（2）证明：
∵MN∥AB，
∴∠ADF＝∠DAB，
∵∠ADC＝∠CAB，
∴∠CDF＝∠CAD．
．【解答】解：（1）证明：∵CD⊥AB于点D，EF⊥CD于点G，
∴∠BDC＝∠FGC，＝90°，
∴AB∥EF（同位角相等，两直线平行）．
（2）证明：由（1）得AB∥EF，
∴∠B＝∠EFC（两直线平行，同位角相等），
又∵∠ADE＝∠EFC．
∴∠B＝∠ADE；
（3）由（2）得∠B＝∠ADE，
∴DE∥BC，
由（1）得AB∥EF，
∴四边形BDEF是平行四边形（两组对边平行的四边形是平行四边形），
∴∠DEF＝∠B（平行四边形对角相等），
∵∠B＝∠ADE，∠BDE＝2∠B+36°，
∴180°﹣∠B＝2∠B+36°，
∴∠B＝48°，
∴∠DEF＝48°．
．【解答】（1）证明：如图1，
∵AE、BF分别平分∠BAC与∠ABC，
∴，，
在△ABC中，∠ABC+∠ACB+∠C＝180°，∠C＝60°，
∴∠ABC+∠BAC＝180°﹣60°＝120°，
∴∠ABF+∠BAE＝∠ABC+∠BAC＝（∠ABC+∠BAC）＝×120°＝60°，
∴∠AGB＝180°﹣60°＝120°；
（2）证明：如图2，
∵∠BGD是△ABG得一个外角，
∴∠BGD＝∠BAG+∠ABG，
∵∠ADC＝∠BAG+∠ABG，
∴∠BGD＝∠ADC，
∴CD∥BF；
（3）解：如图3，
∵∠BED＝∠AEC，∠ACB＝∠BDA，
∴∠CAE＝∠DBE，
∵AE平分∠BAC，BF平分∠ABC，
设∠ABF＝∠CBF＝α，∠BAD＝∠CAD＝∠DBC＝β，
∴∠AEC＝2α+β，
∵∠ABC+∠BAE＝2∠DKM，
∴，
∵GK∥AB，
∴∠BGK＝∠ABG＝α，
∴∠GKD＝∠GBK+∠BGK＝2α+β，
∴，
∵GB∥DM，∠M＝16°，
∴∠GBK+∠MDK＝180°，
∵∠GBK+∠GKB+∠BGK+∠MKD+∠KDM+∠M＝360°，∠BKG+∠MKD＝180°﹣∠GKM，
∴180°+180°﹣∠GKM+∠BGK+∠M＝360°，
∴∠GKM＝∠BGK+∠M，
∴，
∴β＝32°，
∴∠BAC＝2×32°＝64°．
．【解答】证明：（1）∵在△ABC中，OB、OC分别是∠ABC、∠ACB的平分线，
∴∠1＝∠ABC，∠2＝∠ACB，
∴∠1+∠2＝（∠ABC+∠ACB）
＝（180°﹣∠A）
＝×（180°﹣x°）
＝90°﹣∠A，
∴∠BOC＝180°﹣（∠1+∠2）
＝180°﹣（90°﹣∠A）
＝90°+∠A；
（2）∵∠OCD是△BCO的外角，
∴∠O＝∠2﹣∠1，
又∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACD，
∴∠1＝∠ABC，∠2＝∠ACD，
∴∠O＝（∠ACD﹣∠ABC），
∵∠A＝∠ACD﹣∠ABC，
∴∠O＝∠BAC；
（3）∵BO、CO为△ABC中∠ABC、∠ACB外角的平分线，
∴∠2＝∠BCE，∠1＝∠DBC，
∵∠BCE＝∠A+∠ABC，∠DBC＝∠A+∠ACB，
∴∠2＝（∠A+∠ABC）、∠1＝（∠A+∠ACB），
由三角形内角和定理得，
∠BDC＝180°﹣∠1﹣∠2
＝180°﹣[∠A+（∠A+∠ABC+∠ACB）]
＝180°﹣（∠A+180°）
＝90°﹣∠A．
一．选择题
1．如图，∠B＝30°，∠CAD＝65°且AD平分∠CAE，则∠ACD等于（ ）
A．95° B．65° C．50° D．80°
2．如图，在△ABC中，O是三个内角的平分线的交点，过点O作∠ODC＝∠AOC，交边BC于点D．若∠ABC＝n°，则∠BOD的度数为（ ）
A．90°+n° B．45°+n° C．90°﹣n° D．90°
3．如图，在△ABC中，AF平分∠BAC交BC于点F、BE平分∠ABC交AC于点E，AF与BE相交于点O，AD是BC边上的高，若∠C＝50°，BE⊥AC，则∠DAF的度数为（ ）
A．10° B．12° C．15° D．20°
4．如图所示，考古学家发现在地下A处有一座古墓，古墓上方是煤气管道，为了不影响管道，准备在B和C处开工挖出“V”字形通道，如果∠DBA＝120°，∠ECA＝125°，则∠A的度数是（ ）
A．65° B．80° C．85° D．90°
5．如图，四边形ABCD为一长方形纸带，AD∥BC，将四边形ABCD沿EF折叠，C、D两点分别与C′、D′对应，若∠1＝2∠2，则∠3的度数为（ ）
A．50° B．54° C．58° D．62°
6．如图，大建从A点出发沿直线前进8米到达B点后向左旋转的角度为α，再沿直线前进8米，到达点C后，又向左旋转α角度，照这样走下去，第一次回到出发地点时，他共走了72米，则每次旋转的角度α为（ ）
A．30° B．40° C．45° D．60°
7．如图，在△ABC中，以点B为圆心，AB为半径画弧交BC于点D，以点C为圆心，AC为半径画弧交BC于点E，连接AE，AD．设∠ACB＝α，∠EAD＝β，则∠B的度数为（ ）
A．2β﹣α B．α﹣β C．2α﹣β D．α+β
8．如图，在△ABC中，∠A＝80°，∠B＝36°，将△ABC沿直线BC向右平移到△DEF的位置，则∠F的度数是（ ）
A．80° B．36° C．64° D．116°
9．如图1所示，将长为6的矩形纸片沿虚线折成3个矩形，其中左右两侧矩形的宽相等，若要将其围成如图2所示的三棱柱形物体，则图中a的值可以是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．如图，∠ABC＝∠ACB，AD、BD、CD分别平分△ABC的外角∠EAC、内角∠ABC、外角∠ACF，以下结论：①AD∥BC，②∠ACB＝∠ADB，③∠ADC+∠ABD＝90°，④∠ADB＝45°﹣∠CDB，其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二．填空题
．如图，直线a∥直线b，Rt△ABC的直角顶点A落在直线a上，点B落在直线b上，若∠1＝18°，∠2＝32°，则∠ABC的大小为 ．
．如图，三角形ABC中，∠A＝64°，∠B＝90°，∠C＝26°．点D是AC边上的定点，点E在BC边上运动，沿DE折叠三角形CDE，点C落在点G处．当三角形DEG的三边与三角形ABC的三边有一组边平行时，∠ADG＝ ．
．如图，已知BD是△ABC的中线，AB＝5，BC＝3，且△ABD的周长为12，则△BCD的周长是 ．
．如图①，我们知道，光线射向一个平面镜被反射后，两条光线与平面镜的夹角相等（∠1＝∠2）．如图②，光线照射到平面镜甲上，会反射到平面镜乙，然后光线又会射到平面镜甲上，……．若∠α＝55°，∠γ＝75°，则∠β＝ °．
．如图，在△ABC中，BD、BE分别是△ABC的高线和角平分线，点F在CA的延长线上，FH⊥BE交BD于点G，交BC于点H．写出∠FGD，∠ABE，∠C的之间的数量关系： ．
解答题
．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，BE平分∠ABC交AD于点E．
（1）若∠C＝50°，∠BAC＝60°，求∠ADB的度数；
（2）若∠BED＝45°，求∠C的度数．
．在△ABC中，D是BC边上一点，且∠CDA＝∠CAB，MN是经过点D的一条直线．
（1）直线MN⊥AC，垂足为点E，在图1中画出直线MN．若∠CAB＝70°，∠DAB＝20°，求∠CAD，∠CDE的度数；
（2）直线MN∥AB交AC边于点F，在图2中画出直线MN，求证：∠CDF＝∠CAD．（提示：三角形内角和等于180°）
．如图所示，在△ABC中，CD⊥AB于点D，EF⊥CD于点G，∠ADE＝∠EFC．
（1）证明AB∥EF．
（2）请说明∠AED＝∠ACB的理由．
（3）若∠BDE＝2∠B+36°，求∠DEF的度数．
．已知：在△ABC中，AE平分∠BAC，BF平分∠ABC，AE、BF交于点G．
（1）如图1：若∠C＝60°，求∠AGB的度数；
（2）如图2：点D是AE延长线上一点，连接BD、CD，∠ADC＝∠ABG+∠BAG，求证：CD∥BF；
（3）如图3：在（2）的条件下，过点G作GK∥AB，交BD于点K，点M在线段DC的延长线上，连接KM，若∠ACB＝∠BDA，∠ABC+∠BAE＝2∠DKM，∠M＝16°，求∠BAC的度数．
．（1）如图（1）所示，△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，求证：∠BOC＝90°+∠A；
（2）如图（2）所示，∠ABC，∠ACD的平分线交于点O，求证：∠BOC＝A；
（3）如閔（3）所示，∠CBD，∠BCE的平分线交于点O，请直接写出∠BOC与∠A的关系．
参考答案与试题解析
一．选择题
1．【解答】解：∵∠CAD＝65°，AD平分∠CAE，
∴∠CAE＝2∠CAD＝130°，
∴∠BAC＝180°﹣130°＝50°，
∵∠B＝30°，
∴∠ACD＝∠B+∠BAC＝30°+50°＝80°．
故选：D．
2．【解答】解：∵∠ABC＝n°，
∴∠BAC+∠BCA＝180°﹣∠ABC＝180°﹣n°，
∵O是三个内角的平分线的交点，
∴∠OBC＝ABC＝n°，∠OCA＝BCA，∠OAC＝BAC，
∴∠OAC+∠OCA＝（∠BAC+∠BCA）＝（180°﹣n°）＝90°﹣n°，
∴∠AOC＝180°﹣（∠OAC+∠OCA）＝180°﹣（90°﹣n°）＝90°+n°，
∵∠ODC＝∠AOC，
∴∠ODC＝∠AOC＝90°+n°，
∵∠ODC＝∠OBC+∠BOD，∠OBC＝n°，
∴∠BOD＝90°，
故选：D．
3．【解答】解：∵BE⊥AC，BE平分∠ABC，
∴∠AEB＝∠CEB＝90°，∠ABE＝∠CBE，
∵BE＝BE，
∴△ABE≌△CBE（ASA），
∴∠BAC＝∠C＝50°，
∴∠ABC＝190°﹣∠BAC﹣∠C＝80°，
∵AF平分∠BAC，
∴∠BAF＝∠BAC＝25°，
∵BE⊥AC，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BAD＝10°
∴∠DAF＝∠BAF﹣∠DAB＝15°，
故选：C．
4．【解答】解：∵∠DBA＝120°，∠ECA＝125°，
∴∠ABC＝180°﹣∠DBA＝60°，∠ACB＝180°﹣∠ECA＝55°，
∴∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣60°﹣55°＝65°，即∠A＝65°．
故选：A．
5．【解答】解：如图，过点D′作D′G∥AD，则∠2＝∠ED′G，
∵AD∥BC，
∴BC∥D′G，
∴∠3＝∠C′D′G，
∵AD∥BC，
∴∠1＝∠4，
根据折叠的性质得：∠4＝∠5，
∵∠1＝2∠2，
∴∠4＝∠5＝2∠2，
∴2∠2+2∠2+∠2＝180°，
∴∠2＝36°，
∵∠ED′C′＝∠D＝90°，
∴∠2+∠3＝90°，
∴∠3＝90°﹣36°＝54°，
故选：B．
6．【解答】解：∵72÷8＝9，
∴360°÷9＝40°．
∴每次旋转的角度α＝40°．
故选：B．
7．【解答】解：∵以点B为圆心，AB为半径画弧交BC于点D，以点C为圆心，AC为半径画弧交BC于点E，
∴AB＝BD，AC＝CE，
∴∠BAD＝∠BDA，∠CAE＝∠CEA，
∵∠ACB＝α，
∴∠CAE＝∠CEA＝（180°﹣∠ACB）＝90，
∵∠DAE＝β，
∴∠CAD＝∠CAE﹣∠DAE＝（90°﹣）﹣β＝90°﹣﹣β，
∴∠BAD＝∠BDA＝∠C+∠CAD＝α+（90°﹣﹣β）＝90°+﹣β，
∴∠B＝180°﹣∠BAD﹣∠BDA
＝180°﹣（90°+﹣β）﹣（90°+﹣β）
＝180°﹣90°﹣+β﹣90°﹣+β
＝2β﹣α，
故选：A．
8．【解答】解：∵∠A＝80°，∠B＝36°，
∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣80°﹣36°＝64°，
∵将△ABC沿直线BC向右平移到△DEF的位置，
∴∠F＝∠ACB＝64°，
故选：C．
9．【解答】解：长为6的线段围成等腰三角形的腰长为a．则底边长为6﹣2a．
由题意得，．
解得＜a＜3．
所给选项中分别为：1，2，3，4．
∴只有2符合上面不等式组的解集．
∴a只能取2．
故选：B．
10．【解答】解：∵AD平分∠EAC，
∴∠EAC＝2∠EAD，
∵∠EAC＝∠ABC+∠ACB，∠ABC＝∠ACB，
∴∠EAD＝∠ABC，
∴AD∥BC，故①正确；
∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠DBC，
∵BD平分∠ABC，∠ABC＝∠ACB，
∴∠ABC＝∠ACB＝2∠DBC，
∴∠ACB＝2∠ADB，故②错误；
在△ADC中，∠ADC+∠CAD+∠ACD＝180°，
∵CD平分△ABC的外角∠ACF，
∴∠ACD＝∠DCF，
∵AD∥BC，
∴∠ADC＝∠DCF，∠ADB＝∠DBC，∠CAD＝∠ACB
∴∠ACD＝∠ADC，∠CAD＝∠ACB＝∠ABC＝2∠ABD，
∴∠ADC+∠CAD+∠ACD＝∠ADC+2∠ABD+∠ADC＝2∠ADC+2∠ABD＝180°，
∴∠ADC+∠ABD＝90°
∴∠ADC＝90°﹣∠ABD，
即∠ADC+∠ABD＝90°，故③正确；
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC，
∵∠ADB＝∠DBC，
∴∠ABD＝∠ADB，
∵90°﹣∠ABC＝90° ∠ABD＝∠DBC+∠BDC＝∠ABD+∠BDC，
∴∠BDC＝90°﹣2∠ABD，
∴∠ADB＝45°﹣∠CDB，④错误；
故选：B．
二．填空题
．【解答】解：如图，作CK∥a．
∵a∥b，CK∥a，
∴CK∥b，
∴∠1＝∠3，∠4＝∠2，
∴∠ACB＝∠1+∠2＝18°+32°＝50°，
∵∠CAB＝90°，
∴∠ABC＝90°﹣50°＝40°，
故答案为：40°．
．【解答】解：如图，当DG∥AB时，则∠ADG＝180°﹣∠A＝180°﹣64°＝116°；
如图，当DG∥BC时，∠ADG＝∠C＝26°；
如图，当EG∥AC时，∠ADG＝∠G＝∠C＝26°；
如图，当EG∥AB时，
则∠A＝∠CFE＝64°，∠B＝∠CEG＝90°，
由折叠可知，∠DEG＝∠DEC＝45°，
∴∠EDF＝∠C+∠DEC＝26°+45°＝71°，
∴∠ADG＝∠EDG﹣∠EDF＝∠CDE﹣∠EDF＝109°﹣71°＝38°；
如图，当DG∥AB时，
则∠ADG＝∠A＝64°，
如图，
∵AB∥EG，
∴∠GEB＝∠B＝90°，
∴∠CEG＝90°，
由折叠性质得：∠DEC＝∠DEG＝＝135°，
∵∠C＝26°，
∴∠GDE＝∠CDE＝180°﹣135°﹣26°＝19°，
∴∠ADG＝180°﹣19°﹣19°＝142°；
综上，其他所有情况下∠ADG的度数为26°或38°或64°或116°或142°．
故答案为：26°或38°或64°或116°或142°．
．【解答】解：∵BD是△ABC的中线，即点D是线段AC的中点，
∴AD＝CD．
∵AB＝5，△ABD的周长为12，
∴AB+BD+AD＝12，即5+BD+AD＝12．
解得BD+AD＝7．
∴BD+CD＝7．
则△BCD的周长是BC+BD+CD＝3+7＝10．
故答案为：10．
．【解答】解：如图，由题意知：∠α＝∠1＝55°，∠β＝∠2，∠γ＝∠3＝75°，
∵∠1+∠3+∠4＝180°，
∴∠4＝50°，
∵∠2+∠4+∠β＝180°，
∴∠β＝65°，
故答案为：65．
．【解答】解：∵∠AEB＝∠EBC+∠C，
∵BE是△ABC的角平分线，
∠ABE＝∠CBE，
∴∠AEB＝∠ABE+∠C，
∵BD⊥FC，FH⊥BE，
∴∠FGD＝∠AEB，
∴∠FGD＝∠ABE+∠C，
故答案为：∠FGD＝∠ABE+∠C．
三．解答题
．【解答】解：（1）∵AD平分∠BAC，∠BAC＝60°，
∴．
∵∠ADB是△ADC的外角，∠C＝50°，
∴∠ADB＝∠C+∠DAC＝80°；
（2）∵AD平分∠BAC，BE平分∠ABC，
∴∠BAC＝2∠BAD，∠ABC＝2∠ABE．
∵∠BED是△ABE的外角，∠BED＝45°，
∴∠BAD+∠ABE＝∠BED＝45°．
∴∠BAC+∠ABC＝2（∠BAD+∠ABE）＝90°．
∵∠BAC+∠ABC+∠C＝180°，
∴∠C＝180°﹣（∠BAC+∠ABC）＝90°．
．【解答】（1）解：如图1中，
∵∠CAB＝70°，∠DAB＝20°，
∴∠CAD＝∠CAB﹣∠DAB＝70°﹣20°＝50°，
∵DE⊥AC，
∴∠AED＝90°，
∴∠ADE＝90°﹣50°＝40°，
∵∠ADC＝∠CAB＝70°，
∴∠CDE＝∠ADC﹣∠ADE＝70°﹣40°＝30°；
（2）证明：
∵MN∥AB，
∴∠ADF＝∠DAB，
∵∠ADC＝∠CAB，
∴∠CDF＝∠CAD．
．【解答】解：（1）证明：∵CD⊥AB于点D，EF⊥CD于点G，
∴∠BDC＝∠FGC，＝90°，
∴AB∥EF（同位角相等，两直线平行）．
（2）证明：由（1）得AB∥EF，
∴∠B＝∠EFC（两直线平行，同位角相等），
又∵∠ADE＝∠EFC．
∴∠B＝∠ADE；
（3）由（2）得∠B＝∠ADE，
∴DE∥BC，
由（1）得AB∥EF，
∴四边形BDEF是平行四边形（两组对边平行的四边形是平行四边形），
∴∠DEF＝∠B（平行四边形对角相等），
∵∠B＝∠ADE，∠BDE＝2∠B+36°，
∴180°﹣∠B＝2∠B+36°，
∴∠B＝48°，
∴∠DEF＝48°．
．【解答】（1）证明：如图1，
∵AE、BF分别平分∠BAC与∠ABC，
∴，，
在△ABC中，∠ABC+∠ACB+∠C＝180°，∠C＝60°，
∴∠ABC+∠BAC＝180°﹣60°＝120°，
∴∠ABF+∠BAE＝∠ABC+∠BAC＝（∠ABC+∠BAC）＝×120°＝60°，
∴∠AGB＝180°﹣60°＝120°；
（2）证明：如图2，
∵∠BGD是△ABG得一个外角，
∴∠BGD＝∠BAG+∠ABG，
∵∠ADC＝∠BAG+∠ABG，
∴∠BGD＝∠ADC，
∴CD∥BF；
（3）解：如图3，
∵∠BED＝∠AEC，∠ACB＝∠BDA，
∴∠CAE＝∠DBE，
∵AE平分∠BAC，BF平分∠ABC，
设∠ABF＝∠CBF＝α，∠BAD＝∠CAD＝∠DBC＝β，
∴∠AEC＝2α+β，
∵∠ABC+∠BAE＝2∠DKM，
∴，
∵GK∥AB，
∴∠BGK＝∠ABG＝α，
∴∠GKD＝∠GBK+∠BGK＝2α+β，
∴，
∵GB∥DM，∠M＝16°，
∴∠GBK+∠MDK＝180°，
∵∠GBK+∠GKB+∠BGK+∠MKD+∠KDM+∠M＝360°，∠BKG+∠MKD＝180°﹣∠GKM，
∴180°+180°﹣∠GKM+∠BGK+∠M＝360°，
∴∠GKM＝∠BGK+∠M，
∴，
∴β＝32°，
∴∠BAC＝2×32°＝64°．
．【解答】证明：（1）∵在△ABC中，OB、OC分别是∠ABC、∠ACB的平分线，
∴∠1＝∠ABC，∠2＝∠ACB，
∴∠1+∠2＝（∠ABC+∠ACB）
＝（180°﹣∠A）
＝×（180°﹣x°）
＝90°﹣∠A，
∴∠BOC＝180°﹣（∠1+∠2）
＝180°﹣（90°﹣∠A）
＝90°+∠A；
（2）∵∠OCD是△BCO的外角，
∴∠O＝∠2﹣∠1，
又∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACD，
∴∠1＝∠ABC，∠2＝∠ACD，
∴∠O＝（∠ACD﹣∠ABC），
∵∠A＝∠ACD﹣∠ABC，
∴∠O＝∠BAC；
（3）∵BO、CO为△ABC中∠ABC、∠ACB外角的平分线，
∴∠2＝∠BCE，∠1＝∠DBC，
∵∠BCE＝∠A+∠ABC，∠DBC＝∠A+∠ACB，
∴∠2＝（∠A+∠ABC）、∠1＝（∠A+∠ACB），
由三角形内角和定理得，
∠BDC＝180°﹣∠1﹣∠2
＝180°﹣[∠A+（∠A+∠ABC+∠ACB）]
＝180°﹣（∠A+180°）
＝90°﹣∠A．