2022-2023学年华东师大版九年级数学上册第21章二次根式 优生辅导训练题 （含解析）

2022-2023学年华东师大版九年级数学上册《第21章二次根式》优生辅导训练题（附答案）
一．选择题
1．下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
2．能使等式成立的x的取值范围是（　　）
A．x＞0 B．x≥0 C．x＞2 D．x≥2
3．若二次根式有意义，且关于x的分式方程+2＝有正数解，则符合条件的整数m的和是（　　）
A．﹣7 B．﹣6 C．﹣5 D．﹣4
4．已知a满足|2020﹣a|+＝a，则a﹣20202＝（　　）
A．0 B．1 C．2021 D．2020
5．若2＜a＜3，则等于（　　）
A．5﹣2a B．1﹣2a C．2a﹣5 D．2a﹣1
6．有理数a和b在数轴上的位置如图所示，则﹣|a﹣b|等于（　　）
A．a B．﹣a C．2b+a D．2b﹣a
7．已知：a＝，b＝，则a与b的关系是（　　）
A．a﹣b＝0 B．a+b＝0 C．ab＝1 D．a2＝b2
8．如果f（x）＝并且f（）表示当x＝时的值，即f（）＝＝，f（）表示当x＝时的值，即f（）＝，那么f（）+f（）+f（）+f（）+的值是（　　）
A．n B．n C．n D．n+
9．在△ABC中，a、b、c为三角形的三边，化简﹣2|c﹣a﹣b|的结果为（　　）
A．3a+b﹣c B．﹣a﹣3b+3c C．a+3b﹣c D．2a
10．若a＝2021×2022﹣20212，b＝1013×1008﹣1012×1007，c＝，则a，b，c的大小关系是（　　）
A．c＜b＜a B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a
二．填空题
11．将根号外的因式移到根号内：　 　．
12．已知a，b为实数，ab＝3，a+b＝﹣6．
（1）a2b+ab2＝　 　；
（2）a+b＝　 　．
13．已知m＝1+，n＝1﹣，则代数式的值为　 　．
14．当m＜0时，化简的结果是　 　．
15．观察：①＝﹣1，②＝﹣，③＝2﹣．……按此规律，第8个等式的是 　 　．
16．已知|x+2|+|1﹣x|＝9﹣﹣，则x+y的最小值为　 　．
三．解答题
17．先阅读下列材料，再解决问题：
阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方公式及一次根式的性质化去一层根号．
例如：＝＝＝＝|1+|＝1+．
解决问题：
化简下列各式：
（1）； （2）．
18．[问题提出]
在学习二次根式时，发现一些含有根号的式子可以化成另一式子的平方，例如：；．
[尝试应用]
（1）请你按照上述方法将化成一个式子的平方；
（2）请你参考上述方法，计算；
[拓展创新]
若，且a、m、n均为正整数，则a＝　 　．
19．已知实数x，y，z满足等式x+y+z＝8.5，x+y+2z＝13.5．
（1）若z＝﹣1，求的值；
（2）若实数m＝++，求m的平方根．
20．已知x为实数且x2+3x+1＝0．
①求x+的值；
②求﹣的值．
像...这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，如：；再如：
．请用上述方法探索并解决下列问题：
（1）化简：＝　 　，＝　 　；
（2）若a+6＝（m+n）2，且a，m，n为正整数，求a的值．
22．实践与探索
（1）填空：＝　 　；＝　 　．
（2）观察第（1）的结果填空：当a≥0时，＝　 　；当a＜0时，＝　 　．
（3）利用你总结的规律计算：，其中x的取值范围在数轴上表示．
23．阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方．如3+2，善于思考的小明进行了以下探索，若设a+b（其中，a，b，m，n均为整数），则有a＝m2+2n2，b＝2mn，这样小明就找到一种把类似a+b的式子化为平方式的方法．请你依照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）若a+b，当a，b，m，n均为整数时，用含m，n的式子分别表示a，b，得：a＝　 　，b＝　 　．
（2）若a+6，当a，m，n均为正整数时，求a的值．
（3）化简：和．
24．先化简，再求值：[﹣﹣]÷（﹣） （+），其中x＝3，y＝2．
25．问题提出：在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如、、、一样的式子，如何将他们化简呢？
问题探究：
探究一：已知﹣1＞；；2﹣﹣2；﹣＞﹣……则　 　（填“＞”“＜”或“＝”）．
探究二：．可以用以下方法化简：＝＝＝＝﹣1，
试仿照探究所用的方法化简．
探究三：﹣1；
﹣1；
；；
则＝　 　＝　 　；＝　 　＝　 　；
一般规律：（n为正整数）＝　 　；
规律应用：
应用一：求的值．
应用二：求
的值．
拓展提高：
拓展一：．
拓展二：
||+||+||+...+||．
参考答案
一．选择题
1．解：A．（﹣）2＝3，故A符合题意；
B.＝3，故B不符合题意；
C.＝，故C不符合题意；
D.3＝3×，故D不符合题意；
故选：A．
2．解：由题意得：
，
解得：x≥2，
故选：D．
3．解：去分母得，﹣m+2（x﹣1）＝3，
解得，x＝，
∵关于x的分式方程+2＝有正数解，
∴＞0，
∴m＞﹣5，
又∵x＝1是增根，当x＝1时，＝1，即m＝﹣3
∴m≠﹣3，
∵有意义，
∴2﹣m≥0，
∴m≤2，
因此﹣5＜m≤2且m≠﹣3，
∵m为整数，
∴m可以为﹣4，﹣2，﹣1，0，1，2，其和为﹣4，
故选：D．
4．解：由题意得：
a﹣2021≥0，
∴a≥2021，
∴|2020﹣a|＝a﹣2020，
∵|2020﹣a|+＝a，
∴a﹣2020+＝a，
∴＝2020，
∴a﹣2021＝20202，
∴a﹣20202＝2021，
故选：C．
5．解：∵2＜a＜3，
∴
＝a﹣2﹣（3﹣a）
＝a﹣2﹣3+a
＝2a﹣5．
故选：C．
6．解：观察数轴可知：
，当b＜0时，，
所以原式＝﹣b﹣（a﹣b）＝﹣b﹣a+b＝﹣a．
故选：B．
7．解：分母有理化，可得a＝2+，b＝2﹣，
∴a﹣b＝（2+）﹣（2﹣）＝2，故A选项错误；
a+b＝（2+）+（2﹣）＝4，故B选项错误；
ab＝（2+）×（2﹣）＝4﹣3＝1，故C选项正确；
∵a2＝（2+）2＝4+4+3＝7+4，b2＝（2﹣）2＝4﹣4+3＝7﹣4，
∴a2≠b2，故D选项错误；
故选：C．
8．解：代入计算可得，f（）+f（）＝1，f（）+f（）＝1，…，f（）+f（）＝1，
所以，原式＝+（n﹣1）＝n﹣．
故选：A．
9．解：∵a、b、c为三角形的三边，
∴a+c＞b，a+b＞c，
即a﹣b+c＞0，c﹣a﹣b＜0；
∴﹣2|c﹣a﹣b|＝（a﹣b+c）+2（c﹣a﹣b）＝﹣a﹣3b+3c．
故选：B．
10．解：a＝2021×2022﹣20212
＝2021×（2022﹣2021）
＝2021×1
＝2021；
b＝1013×1008﹣1012×1007
＝（1012+1）（1007+1）﹣1012×1007
＝1012×1007+1012+1007+1﹣1012×1007
＝1012+1007+1
＝2020；
c＝
＝
＝
＝；
∴2020＜＜2021，
∴b＜c＜a，
故选：D．
二．填空题
11．解：由题意得：
≥0，
∴≤0，
∵x≠0，
∴＜0，
∴x3＜0，
∴x＜0，
∴将＝﹣（﹣x）
＝﹣
＝﹣，
故答案为：﹣．
12．解：（1）原式＝ab（a+b）
＝3×（﹣6）
＝﹣18；
（2）∵ab＝3＞0，
∴a，b同号，
又∵a+b＝﹣6＜0，
∴a＜0，b＜0．
原式＝﹣（﹣a）﹣（﹣b）
＝﹣﹣
＝﹣﹣
＝﹣2
＝﹣2．
故答案为：（1）﹣18；（2）﹣2．
13．解：∵m＝1+，n＝1﹣，
∴（m+n）2＝＝22＝4，
mn＝（1+）×（1﹣）＝1﹣2＝﹣1，
∴m2+n2﹣3mn
＝（m+n）2﹣2mn﹣3mn
＝（m+n）2﹣5mn
＝4﹣5×（﹣1）
＝9，
∴＝＝3．
故答案为：3．
14．解：m＜0，
∴﹣＝﹣＝1，
故答案为：1．
15．解：通过观察等式的中被开方数与等式的序号的关系找到规律为：
第n个式子为：，
∴第8个等式的是：＝，
即：＝3﹣2．
故答案为：＝3﹣2．
16．解：∵|x+2|+|1﹣x|＝9﹣﹣，
∴|x+2|+|x﹣1|+|y+1|+|y﹣5|＝9，
∵|x+2|+|x﹣1|可理解为在数轴上，数x的对应的点到﹣2和1两点的距离之和；|y+1|+|y﹣5|可理解为在数轴上，数y的对应的点到﹣1和5两点的距离之和，
∴当﹣2≤x≤1，|x+2|+|x﹣1|的最小值为3；
当﹣1≤y≤5时，|y+1|+|y﹣5|的最小值为6，
∴x的范围为﹣2≤x≤1，y的范围为﹣1≤y≤5，
当x＝﹣2，y＝﹣1时，x+y的值最小，最小值为﹣3．
故答案为﹣3．
三．解答题
17．解：（1）
＝
＝
＝2+；
（2）
＝
＝
＝﹣2．
18．解：（1）
＝（3+7）+2
＝（）2+（）2+2×
＝（+）2；
（2）
＝
＝2
＝2
＝2
＝2
＝2（﹣）
＝2﹣2；
（3）∵，
∴a+2＝m+2+n，
∴m+n＝a，mn＝15，
∵a、m、n均为正整数，
∴m，n的值为3和5或1和15，
∴a的值为8或16，
故答案为：8或16．
19．解：由题意得：
，
①+②得：
x+y﹣3＝22，
∴x+y＝30，
∴＝；
（2）∵m＝++，
∴x﹣3y＝0，
∴x＝3y，
把x＝3y代入等式x+y+z＝8.5，x+y+2z＝13.5中并化简，
可得：，
①×6得：18y+12z＝102③，
③﹣②得：7y＝21，
解得：y＝3，
把y＝3代入①得：9+2z＝17，
解得：z＝4，
∴原方程组的解为：，
∵x＝3y，
∴x＝9，
∵m＝++，
∴m＝＝＝4，
∴m的平方根是：±2．
20．解：①∵x2+3x+1＝0，
∴x≠0，
∴x+3+＝0，
∴x+＝﹣3；
②﹣
＝﹣
＝﹣
＝|（x﹣1）+|﹣，
∵x+＝﹣3，
∴x＜0，
∴x﹣1＜0，＜0，
∴原式＝1﹣x++
＝1﹣x+
＝
＝，
∵x2+3x+1＝0，
∴x2＝﹣3x﹣1，
∴原式＝
＝
＝5．
21．解：（1）＝＝＝＝．
＝＝＝＝﹣3．
（2）∵＝m2+5n2＝a+6．
∴．
∵m，n，a均为正整数．
∴或．
∴a＝1+45＝46或a＝9+5＝14．
a＝46或14．
22．解：（1）＝3，＝5．
故答案为：3，5；
（2）当a≥0时，＝a；当a＜0时，＝﹣a．
故答案为：a，﹣a；
（3）由数轴可得x的取值范围为2＜x＜4，
∴原式＝（x﹣2）﹣（x﹣4）＝2．
23．解：（1）∵a+b，
∴a+b＝m2+2mn+7n2（a，b，m，n均为整数），
∴a＝m2+7n2，b＝2mn，
故答案为：m2+7n2，2mn；
（2）∵a+6，
∴a+6＝m2+2nm+3n2（a，b，m，n均为整数），
∴a＝m2+3n2，2mn＝6，
∴mn＝3，
①m＝1，n＝3，a＝28，
②m＝3，n＝1，a＝12，
综上所述：a＝28或12；
（3）∵＝4﹣2×2×+3＝7﹣4，
＝3+2+3＝5+2，
∴＝＝2﹣，
＝＝+，
∴．
24．解：原式＝（+）÷ （+）
＝ （+）
＝ （+）
＝﹣
当x＝3，y＝2时，
原式＝﹣．
答：原式的值为﹣．
25．解：探究一、＞
探究二、＝＝＝﹣；
探究三、＝＝﹣，
＝＝﹣，
＝＝﹣，
应用一、原式＝﹣1+﹣+ +﹣
＝﹣1
＝10﹣9
＝9；
应用二、原式＝（﹣1+﹣+ +﹣）×（+1）
＝（﹣1）×（+1）
＝2020﹣1
＝2019；
拓展一、原式＝+++ +
＝+++ +
＝；
拓展二、原式＝|﹣1﹣（﹣）|+|﹣﹣（﹣）|+|﹣）﹣（﹣|+ +|﹣﹣（﹣）|
＝（﹣1）﹣（﹣）+（﹣）﹣（﹣）+（﹣）﹣（﹣）+ +（﹣）﹣（﹣）
＝（﹣1）﹣（﹣）
＝﹣1﹣+
＝﹣+9，