直线与圆的综合
一、 求圆的切线的方法
1. 若直线 过点 ，且与圆 相切，求直线 的方程．
2. 过圆 上的一点 )的圆的切线方程是（ ）．
A. B. C. D.
二、 求圆的切线长
1. 由直线 上一点向圆 引切线，则切线长的最小值为 ．
2. 已知直线 是圆 的对称轴．过点
作圆 的一条切线，切点为 ，则 （ ）．
A. B. C. D.
3. 已知圆 与直线 及 都相切，圆心在直线 上，则圆 的方程为（
）．
A. B.
C. D.
三、 直线与圆相交的弦长问题
1. 直线 过点 且与圆 交于 两点，如果 ，那么直线 的方程
为（ ）．
A. B. 或
C. D. 或
1
2. 若圆 ： 被直线 ： 分成的两段弧长之比是 ，则满足条
件的圆 ( )
A. 有一个 B. 有两个 C. 有三个 D. 有四个
3. 已知圆 截直线 所得弦的长度为 ，则实数 的值是( )
A. B. C. D.
四、 圆与圆的位置关系
1. 圆 与圆 的位置关系是（ ）．
A. 相交 B. 内切 C. 外切 D. 内含
2. 两圆 与 的公共弦长的最大
值是( )
A. B. C. D.
3. 圆 与圆 相交于 、 两点，则直线 的方程
为 ．
五、 轨迹问题
1. 动点 在圆 上移动时，它与定点 的连线中点 的轨迹方程是（ ）．
A. B. C. D.
2. 若平面内两定点 ， ，动点 满足 ．
（ 1 ）求点 的轨迹方程．
3. 点 与圆 上任一点所连线段的中点轨迹方程是（ ）．
A. B.
C. D.
2
六、 最值问题
1. 如果实数 ， 满足 ，那么 的最大值为 ．
2. 已知两点 ， ，点 是圆 上任意一点，则 的面积最小值是（
）．
A. B. C. D.
3. 若 ， 分别是直线 与 轴， 轴的交点，圆 上有任意一
点 ，则 的面积的最大值是（ ）．
A. B. C. D.
七、 对称问题
1. 已知圆 与圆 关于原点对称，则圆 的方程为（ ）．
A. B. C. D.
2. 已知圆 ： ，圆 与圆 关于直线 对称，则圆 的方程为
（ ）．
A. B.
C. D.
3直线与圆的综合
一、 求圆的切线的方法
1. 若直线 过点 ，且与圆 相切，求直线 的方程．
【答案】 或 ．
【解析】方法一：因为 ，所以点 在圆外．
①若直线 的斜率存在，
设 ，即 ，
因为直线 与圆 相切，
所以 ，
解得 ．
所以直线 的方程为 ，即 ．
②若直线 的斜率不存在，即 ，符合要求．
所以直线 的方程为 或 ．
方法二：①若直线 的斜率存在，
设 ，即 ，
与圆的方程联立，消去 得 ，
整理得 ，
所以 ，
解得 ．
所以直线 的方程为 ，即 ．
②若直线 的斜率不存在，
即 ，符合要求．
1
所以直线 的方程为 或 ．
【标注】【知识点】已知直线和圆的位置关系求直线的方程
2. 过圆 上的一点 )的圆的切线方程是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为点 在圆上，故切线只有一条，
且切线与直线 垂直，
，所以切线的斜率为 ，
故切线方程为 ，
即 ．
【标注】【知识点】已知直线和圆的位置关系求直线的方程
二、 求圆的切线长
1. 由直线 上一点向圆 引切线，则切线长的最小值为 ．
【答案】
【解析】要使切线长最小，必须直线 上的点到圆心的距离最小，
此最小值即为圆心 到直线的距离 ，
由点到直线的距离公式得 ，
由勾股定理求得切线长的最小值为 ．
【标注】【知识点】圆的切线的相关问题
2. 已知直线 是圆 的对称轴．过点
作圆 的一条切线，切点为 ，则 （ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
2
【解析】由题意知，直线 过圆心 ，求得 ．
点 到圆心距离为 ，圆的半径为 ，
故 ．
故选 ．
【标注】【知识点】圆的切线的相关问题
3. 已知圆 与直线 及 都相切，圆心在直线 上，则圆 的方程为（
）．
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由于圆心在直线 上，故可设圆心的坐标为 ，
所以 ，
解得 ，
所以半径 ，
故圆的方程为 ．
故选 ．
【标注】【知识点】已知直线和圆的位置关系求圆的方程
三、 直线与圆相交的弦长问题
1. 直线 过点 且与圆 交于 两点，如果 ，那么直线 的方程
为（ ）．
A. B. 或
C. D. 或
【答案】D
【解析】当切线的斜率不存在时，直线 的方程为 ，经检验，此直线和圆相切，满足条
件． 当切线的斜率存在时，设直线 的方程为 ，
即 ，
3
则圆心 到直线 的距离为 ．再由 ，
得 ，
∴ ，
∴直线 的方程为 ，
即 ．
故选 ．
【标注】【知识点】圆的弦长的相关问题；已知直线和圆的位置关系求直线的方程
2. 若圆 ： 被直线 ： 分成的两段弧长之比是 ，则满足条
件的圆 ( )
A. 有一个 B. 有两个 C. 有三个 D. 有四个
【答案】B
【解析】解：由圆 ： ，得圆心为 ，半径为 .
因为圆 被直线 ： 分成的两段弧长之比是 ，
所以劣弧所对的圆心角为直角,
则圆心到直线 的距离为 ，
解得 ，
所以满足条件的圆 有两个．
故选:B．
【标注】【知识点】点到直线的距离公式
【知识点】直线与圆的位置判断
3. 已知圆 截直线 所得弦的长度为 ，则实数 的值是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】解：圆 ,即 ，
故弦心距 ，
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再由勾股定理可得 ，解得 ．
故选：B．
【标注】【知识点】圆的切线的相关问题
四、 圆与圆的位置关系
1. 圆 与圆 的位置关系是（ ）．
A. 相交 B. 内切 C. 外切 D. 内含
【答案】C
【解析】圆 ，即 ，
圆心 ，半径为 ，
圆 即 ，
圆心 ，半径为 ，圆心距 ，等于半径之和，
所以两圆外切．
故选 ．
【标注】【知识点】圆与圆的位置判断
2. 两圆 与 的公共弦长的最大
值是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】解：圆 化成标准形式，得
，
该圆是以 为圆心， 为半径的圆，
同理，圆 是以 为圆心， 为半径的圆．
设两圆相交于 、 两点，当线段 恰好为圆 的直径时，
公共弦长达到最大值，即得两圆公共弦长的最大值为圆 的直径 ．
故选： ．
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【标注】【知识点】相交弦所在直线方程
3. 圆 与圆 相交于 、 两点，则直线 的方程
为 ．
【答案】
【解析】两个圆的方程两端相减，可得 ．
即 ．
【标注】【知识点】相交弦所在直线方程
五、 轨迹问题
1. 动点 在圆 上移动时，它与定点 的连线中点 的轨迹方程是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】动点 在 上，定点 ，设 ， 中点 ，
点 则根据题意： ，
则有 ，
∵ 满足 ，
则有 ．
故选
【标注】【知识点】求曲线方程的问题
2. 若平面内两定点 ， ，动点 满足 ．
（ 1 ）求点 的轨迹方程．
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【答案】（ 1 ） ．
（ 2 ） ．
【解析】（ 1 ）设 ，
∵动点 满足 ，
∴ ，
∴ ，
整理得 ，即为点 的轨迹方程．
（ 2 ）∵ ，
由（ ）得 ，
将其代入上式得 ，
∵ ，
∴当 时， 最大，最大值为 ．
【标注】【知识点】两点间距离公式；圆的轨迹相关问题；求曲线方程的问题
3. 点 与圆 上任一点所连线段的中点轨迹方程是（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】设圆上点坐标为 ， 中点 ，
则 ， ，
所以 ，
即 ，
故答案选
【标注】【知识点】圆的轨迹相关问题
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六、 最值问题
1. 如果实数 ， 满足 ，那么 的最大值为 ．
【答案】
【解析】∵ ，其几何意义为点 与 两点连线的斜率，
，
∴点 在以 为圆心，半径为 的圆上，如图：
由图知当 与圆相切时 会有最大值，
设直线 的方程为 ，
与圆相切时，有 ，
解得 ．
∴ 的最大值为 ．
【标注】【知识点】直线与圆相关的最值问题
2. 已知两点 ， ，点 是圆 上任意一点，则 的面积最小值是（
）．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题意可知，直线 方程为 ，
即 ，
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圆 可化为 ，
圆心 到直线的距离为：
，
∴圆上的点到直线距离最小值为 ，
∵ ，
∴ 面积最小为 ．
故选 ．
【标注】【知识点】直线与圆相关的最值问题
【素养】数学运算
3. 若 ， 分别是直线 与 轴， 轴的交点，圆 上有任意一
点 ，则 的面积的最大值是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】已知 ，点 到直线的最大距离为 ，所以最大面积为
．
故选 ．
【标注】【知识点】直线与圆相关的最值问题
七、 对称问题
1. 已知圆 与圆 关于原点对称，则圆 的方程为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由圆 知圆心为 ，半径为 ，
则圆 的圆心为 ，半径为 ，故圆 ： ．
故选 ．
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【标注】【素养】数学运算
【知识点】直线与圆的对称问题；圆的标准方程问题
2. 已知圆 ： ，圆 与圆 关于直线 对称，则圆 的方程为
（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】 ： 的圆心为 ，
它关于直线 对称的点为 ，对称后半径不变，
所以圆 的方程为 ．
【标注】【知识点】圆的标准方程问题
【素养】数学运算
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