直线与圆锥曲线的位置关系（1）
一、 中点弦问题
1. 已知椭圆的中心在原点，焦点为 ， ，且离心率 ．
（ 1 ）求椭圆的方程．
（ 2 ）求以点 为中点的弦所在的直线方程．
【答案】（ 1 ） ．
（ 2 ） ．
【解析】（ 1 ）设椭圆方程为 ，
由已知 ，又 ，
解得 ，所以 ，
故所求方程为 ．
（ 2 ）方法一：由题知直线的斜率 存在且不为 ，
所以设直线方程 ，
代入椭圆方程得 ，
即 ，
则 ，解得 ．
故直线方程是 ，
即 ．
方法二：由题知直线的斜率存在且不为 ，
设直线与椭圆相交 ， ，
1
代入椭圆方程得： ，
两式作差得 ，
即 且 ， ，∴
，
所以直线方程的斜率为 ，
直线方程为 ．
【标注】【知识点】直线和椭圆的位置关系；椭圆的标准方程；中点弦问题
2. 设双曲线 的焦点在 轴上，离心率为 ，其中一个顶点的坐标是 ．
（ 1 ）求双曲线 的标准方程．
（ 2 ）若直线 与该双曲线交于 、 两点，且 、 的中点为 ，求直线 的方程．
【答案】（ 1 ） ．
（ 2 ） ．
【解析】（ 1 ）由双曲线 的焦点在 轴上，
可设双曲线方程为： ，
由题可得： ，解得 ，
∴双曲线 的标准方程为： ．
（ 2 ）设 、 坐标为 , ,
， ， ， ，
则 ，
即 ， ，
∴直线 的方程为 ，
2
即： ．
【标注】【知识点】双曲线的标准方程；直线和双曲线的位置关系；中点弦问题
二、 面积问题
1. 已知椭圆 的方程为 ，离心率 ，且短轴长为 ．
（ 1 ）求椭圆 的方程．
（ 2 ）已知点 ， ，若直线 与圆 相切，且交椭圆 于 、 两点，记
的面积为 ，记 的面积为 ，求 的最大值．
【答案】（ 1 ）见解析
（ 2 ）见解析
【解析】（ 1 ）解：设椭圆 的焦距为 ，椭圆 的短轴长为 ，则 ，
由题意可得 ，解得 ，
因此，椭圆 的方程为： ．
（ 2 ）解：由题意知，直线 的斜率存在且斜率不为零，不妨设直线 的方程为
，设点 、 ，
由于直线 与圆 相切，则有 ，所以 ．
点 到直线 的距离为 ，点 到直线 的距离为
，
将直线 的方程与椭圆 的方程联立 ，消去 并整理得
．
3
由韦达定理可得 ， ．
由弦长公式可得
．
所以，
．
当且仅当 时，即当 时，等号成立．
因此， 的最大值为 ．
【标注】【知识点】直线和椭圆的位置关系；椭圆的标准方程；面积问题
2. 已知椭圆 的两个焦点与短轴的一个端点是等边三角形的三个顶点，且
长轴长为 ．
（ 1 ）求椭圆 的方程．
（ 2 ）过椭圆 左焦点 的直线 与椭圆 交于 ， 两点，设点 是线段 上的动点，原点 关于
点 的对称点为 ，求四边形 面积的最大值．
【答案】（ 1 ） ．
（ 2 ） ．
【解析】（ 1 ）由题意得： ，即 ， 即 ，
又 ，∴ ，
∴椭圆 的方程 ．
4
（ 2 ）设直线 的方程为： ， ， ，（由于直线 过左焦点，∴直线 的
斜率不为 ）
整理得： ， ，
，
点 到直线 的距离 ，
∴
，
令 ，
上式
，
∴当 时，面积有最大值， ．
【标注】【知识点】最值问题；面积问题；椭圆的基本量求解
3. 在平面直角坐标系 中，已知椭圆 的离心率为 ，且经过点
．
（ 1 ）求椭圆 的方程．
（ 2 ）设 ， ， ， 是椭圆 上互异的四点（点 在第一象限)，其中 ， 关于原点对称， ，
关于 轴对称，且 ，求四边形 面积的最大值．
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【答案】（ 1 ） ．
（ 2 ） ．
【解析】（ 1 ）
由已知条件可 ，
解得 ， ， ，
所以椭圆的方程为 ．
（ 2 ）设 ， ，
则点 ， ， ，
直线 的斜率为 ，
因为 ，
则直线 的方程为
联立 ，
得 ，
由韦达定理可得 ，
因为 ，
所以四边形 的面积为
所以 ，
令 ，
，
则 ，
6
当 时， ，
此时函数 单调递增，
当 时， ，此时函数 单调递减，
所以 ，
所以 ，
所以四边形 的面积的最大值为 ．
【标注】【知识点】面积问题
4. 已知抛物线 的焦点为 ，直线： 交抛物线 于 、 两点，
， ．
（ 1 ）若 的中点为 ，直线 的斜率为 ，证明： 为定值．
（ 2 ）求 面积的最大值．
【答案】（ 1 ）证明见解析．
（ 2 ） ．
【解析】（ 1 ）联立 ，
消去 得， ，
，即 ，
设 ， ，
7
由韦达定理得 ， ，
因为 ，
由抛物线定义得 ，得 ，
所以 的中点坐标为 ，
所以 ，
所以 ．
（ 2 ）由（ ）得 ，
，
设点 到直线 距离为 ，
则 ，
而由（ ）知， ，
则 ，即 ，
由 ，得 ，
所以
,
令 ， ，
， ，
，
时， ， 为增函数；
时， ， 为减函数，
当 ， ，
所以， 的最大值为 ．
【标注】【知识点】定值问题（证明、探究）；面积问题
8直线与圆锥曲线的位置关系（1）
一、 中点弦问题
1. 已知椭圆的中心在原点，焦点为 ， ，且离心率 ．
（ 1 ）求椭圆的方程．
（ 2 ）求以点 为中点的弦所在的直线方程．
2. 设双曲线 的焦点在 轴上，离心率为 ，其中一个顶点的坐标是 ．
（ 1 ）求双曲线 的标准方程．
（ 2 ）若直线 与该双曲线交于 、 两点，且 、 的中点为 ，求直线 的方程．
二、 面积问题
1. 已知椭圆 的方程为 ，离心率 ，且短轴长为 ．
（ 1 ）求椭圆 的方程．
（ 2 ）已知点 ， ，若直线 与圆 相切，且交椭圆 于 、 两点，记
的面积为 ，记 的面积为 ，求 的最大值．
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2. 已知椭圆 的两个焦点与短轴的一个端点是等边三角形的三个顶点，且
长轴长为 ．
（ 1 ）求椭圆 的方程．
（ 2 ）过椭圆 左焦点 的直线 与椭圆 交于 ， 两点，设点 是线段 上的动点，原点 关于
点 的对称点为 ，求四边形 面积的最大值．
3. 在平面直角坐标系 中，已知椭圆 的离心率为 ，且经过点
．
（ 1 ）求椭圆 的方程．
（ 2 ）设 ， ， ， 是椭圆 上互异的四点（点 在第一象限)，其中 ， 关于原点对称， ，
关于 轴对称，且 ，求四边形 面积的最大值．
4. 已知抛物线 的焦点为 ，直线： 交抛物线 于 、 两点，
， ．
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（ 1 ）若 的中点为 ，直线 的斜率为 ，证明： 为定值．
（ 2 ）求 面积的最大值．
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