直线与圆锥曲线的位置关系（3）
一、 设点法
设点法：
特点：题中涉及到的点需要用到具体的坐标来求解，区别于韦达定理中的点“设而不求”．
思路：设点的坐标，代入圆锥曲线方程得到关于该点坐标的一个方程，将其中的一个坐标用另一个坐标
的式子表示，利用消元的思路来求值或者范围．
经典例题
已知椭圆 过点 ，其左、右顶点分别为 ， ，左、右焦点
为 ， ，其中 ．
（ 1 ）求椭圆 的方程．
（ 2 ）设 为椭圆 上异于 ， 两点的任意一点， 于点 ，直线
，设过点 且与 轴垂直的直线与直线 交于点 ，证明：直线 经过
线段 的中点．
巩固练习
1. 已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ， 是椭圆 上的
点，且 的面积为 ．
（ 1 ）求椭圆 的方程．
（ 2 ）若斜率为 且在 轴上的截距为 的直线 与椭圆 相交于两点 ， ，若椭圆 上存在点 ，满
足 ，其中 是坐标原点，求 的值．
1
2. 已知椭圆的中心在坐标原点 ，焦点在 轴上，短轴长为 ，且两个焦点和短轴的两个端点恰为一个
正方形的顶点，过右焦点 与 轴不垂直的直线 交椭圆于 ， 两点．
（ 1 ）求椭圆的方程．
（ 2 ）当直线 的斜率为 时，求 的面积．
（ 3 ）在线段 上是否存在点 ，使得以 ， 为邻边的平行四边形是菱形？若存在，
求出 的取值范围；若不存在，请说明理由．
二、 定值定点问题
圆锥曲线中的定值、定点问题题目逻辑性较强.解决这类问题一般有两种方法：
（1）根据题意求出相关的表达式，再根据已知条件列出方程组，消去参数，求出定值或定点坐标；
（2）先利用特殊情况确定定值或定点坐标，再从一般情况进行验证.
定值问题：
形式：证明……，直线是否过定点，求证谁为定值等等形式
特点：这种问题是动态的，在某些东西（如斜率）变化的时候，所求的量保持不变，而定值问题是可以
利用特殊值的手段提前判断出答案来的，所以是较为简单一种形式。
方程与未知数的关系：方程的个数 ＝ 未知数的个数 （因为动，一定有字母消不掉，一般是一个，
而求解过程中最后一个字母自动消去）
韦达定理中判别式的写法：只需写出判别式 即可
经典例题
1. 已知椭圆 的右焦点为 ，且点 在椭圆 上．
（ 1 ）求椭圆 的标准方程；
2
（ 2 ）已知动直线 过点 ，且与椭圆 交于 两点．试问 轴上是否存在定点 ，使得
恒成立？若存在，求出点 的坐标；如果不存在，请说明理由．
2. 已知椭圆 的右焦点 的坐标为 ，且椭圆上的点到焦点 距离最大
值为 ．
（ 1 ）求椭圆 的标准方程．
（ 2 ）过右焦点 的直线 与椭圆 相交于 ， 两点，点 关于 轴的对称点为 ，证明：直线
经过定点 ，并求出 的值．
3. 已知椭圆 的两个焦点分别为 ， ，点 与
椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直．
（ 1 ）求椭圆 的方程；
（ 2 ）过点 的直线 与椭圆 相交于 ， 两点,设点 ，记直线 ， 的斜率分别为
， ，求证： 为定值．
4. 已知椭圆 ： 的两个焦点分别为 ， ，离心率为 ，且过点
．
（ 1 ）求椭圆 的标准方程．
3
（ 2 ） ， ， ， 是椭圆 上的四个不同的点，两条都不和 轴垂直的直线 和 分别过点
， ，且这两条直线互相垂直，求证： 为定值．
巩固练习
1. 已知椭圆 ： （ ）过点 ，且椭圆 的离心率为 ．
（ 1 ）求椭圆 的方程．
（ 2 ）若动点 在直线 上，过 作直线交椭圆 于 ， 两点，且 为线段 中点，再过
作直线 ．证明：直线 恒过定点，并求出该定点的坐标．
2. 椭圆 ： 的离心率为 ，其左焦点到点 的距离为 ．
（ 1 ）求椭圆 的标准方程；
（ 2 ）若直线 ： 与椭圆 相交于 ， 两点（ ， 不是左右顶点），且以 为直径的
圆过椭圆 的右顶点．求证：直线 过定点，并求出该定点的坐标．
3. 已知椭圆 的左右焦点分别为 ， ，直线 与椭圆 交于 ， 两
点． 为坐标原点．
（ 1 ）若直线 过点 ，且 ，求 的值．
4
（ 2 ）若以 为直径的圆过原点 ，试探究点 到直线 的距离是否为定值？若是，求出该定
值；若不是，请说明理由．
4. 已知椭圆 的离心率为 ，过椭圆的焦点且与长轴垂直的弦长为 .
（ 1 ）求椭圆 的方程．
（ 2 ）设点 为椭圆上位于第一象限内一动点， ， 分别为椭圆的左顶点和下顶点，直线 与
轴交于点 ，直线 与轴交于点 ，求证：四边形 的面积为定值．
思维导图
你学会了吗？画出思维导图总结本课所学吧！
出门测
1. 如图，已知抛物线 的焦点为 ．过点 的直线交抛物线于 ， 两点，
直线 ， 分别与抛物线交于点 ， ．
5
（ 1 ）求 的值；
（ 2 ）记直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 ．证明： 为定值．
2. 已知椭圆 的两个顶点分别为 ， ，焦点在 轴上，离心率为 ．
（ 1 ）求椭圆 的方程．
（ 2 ）已知点 是椭圆上一点，求以点 为切点的椭圆的切线方程．
（ 3 ）设点 是直线 ： 上一动点，过点 作椭圆 的两条切线 ， ，切点分别为 ，
，直线 是否过定点？如果是，请求出定点坐标；如果不是，请说明理由．
6直线与圆锥曲线的位置关系（3）
学习目标
1．针对设点法会正确设置点的坐标，并消元求解．
2．会判别定值问题，掌握定值问题的方法．
【备注】1.本讲的重点是正确运用设点求解的方法解决部分圆锥曲线问题、会判别定值问题；难点
是针对设点法找准合适的点，并正确消元、定点问题、函数求值域．
2.关联知识：直线与方程、椭圆、双曲线、抛物线．
一、 设点法
设点法：
特点：题中涉及到的点需要用到具体的坐标来求解，区别于韦达定理中的点“设而不求”．
思路：设点的坐标，代入圆锥曲线方程得到关于该点坐标的一个方程，将其中的一个坐标用另一个坐标
的式子表示，利用消元的思路来求值或者范围．
经典例题
已知椭圆 过点 ，其左、右顶点分别为 ， ，左、右焦点
为 ， ，其中 ．
（ 1 ）求椭圆 的方程．
（ 2 ）设 为椭圆 上异于 ， 两点的任意一点， 于点 ，直线
，设过点 且与 轴垂直的直线与直线 交于点 ，证明：直线 经过
线段 的中点．
【备注】利用题中条件表示出线段 的中点坐标，将中点坐标代入直线 证明点在直线
1
【答案】（ 1 ） ．
（ 2 ）证明见解析．
【解析】（ 1 ）由题意，
，
， ， ，故椭圆的方程为 ．
（ 2 ）由 知 ， ，
过点 且与 轴垂直的直线的方程为 ，
结合方程 ，得点 ，
直线 的斜率 ，
则直线 的方程为 ，
因为 于点 ，所以 ，线段 的中点坐标为 ，
令 ，得 ，
因为 ，所以 ，
所以直线 经过线段 的中点 ．
【标注】【知识点】设点法；椭圆的标准方程
巩固练习
1. 已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ， 是椭圆 上的
点，且 的面积为 ．
（ 1 ）求椭圆 的方程．
（ 2 ）若斜率为 且在 轴上的截距为 的直线 与椭圆 相交于两点 ， ，若椭圆 上存在点 ，满
足 ，其中 是坐标原点，求 的值．
2
【答案】（ 1 ） ．
（ 2 ） ．
【解析】（ 1 ）
设椭圆的焦距为 ，由题意知 ，
解得 ， ，
故椭圆方程： ．
（ 2 ）由题意得 ，
设 ， ， ，
由 ，
∴ ，
， ，
∴ ， ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
，
，
∴ ．
∵点 在椭圆上，
∴ ，
∴ ，解得 ．
【标注】【知识点】椭圆的标准方程；直线和椭圆的位置关系；设点法
3
2. 已知椭圆的中心在坐标原点 ，焦点在 轴上，短轴长为 ，且两个焦点和短轴的两个端点恰为一个
正方形的顶点，过右焦点 与 轴不垂直的直线 交椭圆于 ， 两点．
（ 1 ）求椭圆的方程．
（ 2 ）当直线 的斜率为 时，求 的面积．
（ 3 ）在线段 上是否存在点 ，使得以 ， 为邻边的平行四边形是菱形？若存在，
求出 的取值范围；若不存在，请说明理由．
【答案】（ 1 ） ．
（ 2 ） ．
（ 3 ） ．
【解析】（ 1 ）由已知，椭圆方程可设为 ．
因为两个焦点和短轴的两个端点恰为正方形的顶点，且短轴长为 ，
所以 ，
所求椭圆方程为 ．
（ 2 ）因为直线 过椭圆右焦点 ，且斜率为 ，所以直线 的方程为 ．
设 ，
由 ， ，解得 ， ．
所以 ．
（ 3 ）假设在线段 上存在点 ，使
得以 ， 为邻边的平行四边形是菱形．因为直线 与 轴不垂直，
所以设直线 的方程为 ．
由 ，得 ，
因为 ，
所以 ，
设 ， ， 中点为 ，
4
所以 ，
因为以 ， 为邻边的平行四边形是菱形，
所以 ， ，
所以 ，
整理得 ，
．
所以 ，
所以 ．
【标注】【知识点】面积问题；设点法；直线和椭圆的位置关系；椭圆的基本量求解
二、 定值定点问题
圆锥曲线中的定值、定点问题题目逻辑性较强.解决这类问题一般有两种方法：
（1）根据题意求出相关的表达式，再根据已知条件列出方程组，消去参数，求出定值或定点坐标；
（2）先利用特殊情况确定定值或定点坐标，再从一般情况进行验证.
定值问题：
形式：证明……，直线是否过定点，求证谁为定值等等形式
特点：这种问题是动态的，在某些东西（如斜率）变化的时候，所求的量保持不变，而定值问题是可以
利用特殊值的手段提前判断出答案来的，所以是较为简单一种形式。
方程与未知数的关系：方程的个数 ＝ 未知数的个数 （因为动，一定有字母消不掉，一般是一个，
而求解过程中最后一个字母自动消去）
韦达定理中判别式的写法：只需写出判别式 即可
经典例题
1. 已知椭圆 的右焦点为 ，且点 在椭圆 上．
（ 1 ）求椭圆 的标准方程；
（ 2 ）已知动直线 过点 ，且与椭圆 交于 两点．试问 轴上是否存在定点 ，使得
恒成立？若存在，求出点 的坐标；如果不存在，请说明理由．
5
【备注】本题考查定点问题；
本题注意几点：①求存在性问题，假设存在,以存在为条件，进行推理求解
②需要讨论斜率是否为
③已知经过定点在 轴上，所以直线设为
【答案】（ 1 ） ．
（ 2 ）存在点 ，使得 恒成立．
【解析】（ 1 ）
由题意知： . 根据椭圆的定义得： ，即
．
所以 ．
所以椭圆 的标准方程为 ．
（ 2 ）假设在 轴上存在点 ，使得 恒成立．
当直线 的斜率为 时， ．则
．解得 ．
当直线 的斜率不存在时， ．由于
，
所以 ．
下面证明 时， 恒成立．显然 直线 的斜率为 时，
．
当直线 的斜率不为 时，设直线 的方程为： ， ．
由 ．
可得： ．显然 ．
6
因为 ， ，
所以
．
综上所述：在 轴上存在点 ，使得 恒成立．
【标注】【知识点】定点问题；向量问题
2. 已知椭圆 的右焦点 的坐标为 ，且椭圆上的点到焦点 距离最大
值为 ．
（ 1 ）求椭圆 的标准方程．
（ 2 ）过右焦点 的直线 与椭圆 相交于 ， 两点，点 关于 轴的对称点为 ，证明：直线
经过定点 ，并求出 的值．
【备注】本题考查定点问题；表示出直线 ,令 表示出
【答案】（ 1 ） ．
（ 2 ）证明见解析； ．
（ 3 ） ．
【解析】（ 1 ）∵ 的坐标为 ，
∴ ，
又∵椭圆上的点到焦点 距离最大值为 ，
∴ ，
∴ ，则 ，
∴椭圆的标准方程为 ．
（ 2 ）由题意设 点坐标为 ， ，
7
∴ ，
∴直线 为 ，
令 ，解得 ，
则 ，
设直线 为 ，
与椭圆方程联立 ，
得 ，
∴ ， ，
，
∴
，
∴ ．
（ 3 ）由（ ）知 经过定点 ，
∴设直线 为 ，即 ，
与椭圆联立 得 ，
∴ ， ，
∴
，
点 到直线 的距离 ，
∴
，
8
令 ，则 ，
∴
，
，
∴ ，
∴ ．
综上所述 的面积最大值为 ．
【标注】【知识点】面积问题；定点问题；最值问题；直线和椭圆的位置关系；椭圆的标准方程
3. 已知椭圆 的两个焦点分别为 ， ，点 与
椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直．
（ 1 ）求椭圆 的方程；
（ 2 ）过点 的直线 与椭圆 相交于 ， 两点,设点 ，记直线 ， 的斜率分别为
， ，求证： 为定值．
【备注】本题考查定值问题；注意讨论直线斜率是否存在；求解定值问题一般有两种形式：①从特
殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；
②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值
本题属于①，首先考虑斜率不存在情况，再考虑斜率存在情况
【答案】（ 1 ）椭圆的方程为 ．
（ 2 ）证明见解析．
【解析】（ 1 ）依题意，由已知得 ， ，由已知易得 ,
解得 ．
则椭圆的方程为 ．
9
（ 2 ）①当直线 的斜率不存在时，由 解得 ．
设 ， ，则 为定值．
②当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为： ．
将 代入 整理化简，得 ．
依题意，直线 与椭圆 必相交于两点，设 ， ，
则 ， ．
又 ， ，
所以
．
综上得 为常数 ．
【标注】【知识点】定值问题（证明、探究）
4. 已知椭圆 ： 的两个焦点分别为 ， ，离心率为 ，且过点
．
（ 1 ）求椭圆 的标准方程．
（ 2 ） ， ， ， 是椭圆 上的四个不同的点，两条都不和 轴垂直的直线 和 分别过点
， ，且这两条直线互相垂直，求证： 为定值．
【备注】
10
本题这个用的很巧妙，利用椭圆的对称性，将 代入 中就得到 式子
【答案】（ 1 ）椭圆 的方程为 ．
（ 2 ）证明见解析．
【解析】（ 1 ）由已知 ，
所以 ．
所以 ．
所以 ： ，即 ．
因为椭圆 过点 ，
得 ， ．
所以椭圆 的方程为 ．
（ 2 ）由（ ）知椭圆 的焦点坐标为 ， ．
根据题意，可设直线 的方程为 ，
由于直线 与直线 互相垂直，则直线 的方程为 ．
设 ， ．
由方程组 消 得
．
则 ．
所以 ．
由椭圆对称性得， 与过 斜率为 的直线截椭圆得到的弦长长度相等.
可得 ．
所以 ．
【标注】【知识点】弦长求解问题；定值问题（证明、探究）；直线和椭圆的位置关系
巩固练习
11
1. 已知椭圆 ： （ ）过点 ，且椭圆 的离心率为 ．
（ 1 ）求椭圆 的方程．
（ 2 ）若动点 在直线 上，过 作直线交椭圆 于 ， 两点，且 为线段 中点，再过
作直线 ．证明：直线 恒过定点，并求出该定点的坐标．
【答案】（ 1 ）椭圆 的方程为 ．
（ 2 ）直线 恒过定点 ．
【解析】（ 1 ）因为点 在椭圆 上，
所以 ， 所以 ，
因为椭圆 的离心率为 ，
所以 ，即 ，
解得 ，
所以椭圆 的方程为 ．
（ 2 ）设 ， ，
①当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为 ， ，
，由 ，
得 ，
所以 ，
因为 为 中点，
所以 ，即 ． 所以 ，
因为直线 ，所以 ，
所以直线 的方程为 ，
即 ，
显然直线 恒过定点 ．
12
②当直线 的斜率不存在时，直线 的方程为 ，
此时直线 为 轴，也过点 ．
综上所述直线 恒过定点 ．
【标注】【知识点】定点问题
2. 椭圆 ： 的离心率为 ，其左焦点到点 的距离为 ．
（ 1 ）求椭圆 的标准方程；
（ 2 ）若直线 ： 与椭圆 相交于 ， 两点（ ， 不是左右顶点），且以 为直径的
圆过椭圆 的右顶点．求证：直线 过定点，并求出该定点的坐标．
【答案】（ 1 ） ．
（ 2 ）证明见解析．
【解析】（ 1 ）由题： ；（1）
左焦点 到点 的距离为：
．（2）
由（1）（2）可解得： ， ， ．
所求椭圆 的标准方程为： ．
（ 2 ）设 ， ，
由 ，
得 ，
， ．
， ．
．
以 为直径的圆过椭圆的右顶点 ， ，
13
， ，
，
，解得
， ，且满足 ．
当 时， ： ，直线过定点 ，与已知矛盾；
当 时， ： ，直线过定点 ．
综上可知，直线 过定点，定点坐标为 ．
【标注】【知识点】定点问题
3. 已知椭圆 的左右焦点分别为 ， ，直线 与椭圆 交于 ， 两
点． 为坐标原点．
（ 1 ）若直线 过点 ，且 ，求 的值．
（ 2 ）若以 为直径的圆过原点 ，试探究点 到直线 的距离是否为定值？若是，求出该定
值；若不是，请说明理由．
【答案】（ 1 ） ．
（ 2 ）是，定值为 ．
【解析】（ 1 ）∵直线 过点 ，
∴ ，即直线 的方程为 ．
设 ， ．
联立 ，整理得 ．
∴ ， ．
由弦长公式得：
14
，
整理得 ，解得 ．
∴ ．
（ 2 ）设直线 方程 ， ， ．
联立 ，整理得 ．
∴ ， ．
以 为直径的圆过原点 ，即 ．
∴ ．
将 ， 代入，整理得：
．
将 ， 代入，
整理得 ．
设点 到直线 的距离为 ，于是 ，
故 到直线 的距离是定值为 ．
【标注】【知识点】焦点弦问题；定值问题（证明、探究）；直线和椭圆的位置关系
4. 已知椭圆 的离心率为 ，过椭圆的焦点且与长轴垂直的弦长为 .
（ 1 ）求椭圆 的方程．
（ 2 ）设点 为椭圆上位于第一象限内一动点， ， 分别为椭圆的左顶点和下顶点，直线 与
轴交于点 ，直线 与轴交于点 ，求证：四边形 的面积为定值．
15
【答案】（ 1 ） ．
（ 2 ）证明见解析．
【解析】（ 1 ）
由已知可得： 解得： ，
所以椭圆 的方程为： ．
（ 2 ）因为椭圆 的方程为： ，所以 ， ，
设 ，则 ，即 ，
则直线 的方程为： ，令 ，得 ，
同理：直线 的方程为： ，令 ，得 ，
所以
，
即四边形 的面积为定值 ．
【标注】【知识点】面积问题；定值问题（证明、探究）
思维导图
你学会了吗？画出思维导图总结本课所学吧！
【备注】
16
出门测
1. 如图，已知抛物线 的焦点为 ．过点 的直线交抛物线于 ， 两点，
直线 ， 分别与抛物线交于点 ， ．
（ 1 ）求 的值；
（ 2 ）记直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 ．证明： 为定值．
【答案】（ 1 ） ．
（ 2 ）证明见解析．
【解析】（ 1 ）依题意，设直线 的方程为 ．
将其代入 ，消去 ，整理得 ．
从而 ．
（ 2 ）证明：设 ， ．
则 ．
设直线 的方程为 ，将其代入 ，
消去 ，整理得 ．
所以 ．
同理可得 ．
故 ．
17
由（ ）得 ，为定值．
【标注】【知识点】定值问题（证明、探究）；直线和抛物线的位置关系
2. 已知椭圆 的两个顶点分别为 ， ，焦点在 轴上，离心率为 ．
（ 1 ）求椭圆 的方程．
（ 2 ）已知点 是椭圆上一点，求以点 为切点的椭圆的切线方程．
（ 3 ）设点 是直线 ： 上一动点，过点 作椭圆 的两条切线 ， ，切点分别为 ，
，直线 是否过定点？如果是，请求出定点坐标；如果不是，请说明理由．
【答案】（ 1 ）椭圆 的方程为 ．
（ 2 ）切线方程为 ．
（ 3 ）是， 恒过定点 ．
【解析】（ 1 ）设椭圆 的方程为 ．
由题意得 解得 ．
所以 ．
所以椭圆 的方程为 ．
（ 2 ）（i）如果 ，则切线的斜率存在，
设切线方程为 ，即
与椭圆 联立，消去 整理得：
，
18
因为直线与椭圆相切，所以方程 中，
，
得 ，
又因为点 在椭圆上，所以 代入①，
得 ，
所以 ，
所以切线方程为 ，即 ；
（ii）如果 坐标为 ，则切线方程为 ，满足 ，
（iii）如果 坐标为 ，则切线方程为 ，满足 ，
综上所述，切线方程为 ．
（ 3 ）设 ， ， ，
则由（ ）可知， 方程为 ①，
方程为 ②，
由①②解得 ，由 ，
即 ，
又 的方程为 ，
令 得， ，
所以 恒过定点 ．
【标注】【知识点】切线综合问题；定点问题
19
