直线与圆锥曲线的位置关系（1）
学习目标
1．掌握弦长公式并熟练利用弦长公式熟练求解弦长问题．
2．掌握圆锥曲线中有关面积问题的求解方法并熟练运用．
3．掌握弦中点有关的问题并熟练运用．
【备注】1.本讲的重点是掌握弦长公式并熟练利用弦长公式熟练求解弦长问题、掌握圆锥曲线中求
解有关三角形面积问题的方法、掌握利用三个结论与点差法求解弦中点问题；难点是掌握
圆锥曲线中求解有关四边形面积问题的方法．
2.关联知识：椭圆、双曲线、抛物线．
一、 弦长问题
弦长公式：
设圆锥曲线 与直线 相交于 ， 两点
则弦长
或
【备注】由于 容易与椭圆中的表示混淆，所以 这个公式是不能直接使用的
弦长问题求解方法：
特点：弦长问题主要就是直线与曲线相交情况下，求解相交线段的长度问题
在弦长问题中求解方法：
（1）根据题意，讨论特殊情况
（2）设出直线方程与交点坐标
（3）联立，关于 或 的方程
（4） ；利用韦达定理，表示出 或者
（5） 利用适当的弦长公式求解
经典例题
1. 已知直线 与双曲线 ．
1
（ 1 ）当 时，直线与双曲线 的一渐近线交于点 ，求点 到另一渐近线的距离．
（ 2 ）若直线与双曲线 交于 ， 两点，若 ，求 的值．
【备注】本题利用弦长公式求参
【答案】（ 1 ） ．
（ 2 ） ， ．
【解析】（ 1 ）双曲线 渐近线方程为 ．
由 得 ，
则 到 的距离为 ．
（ 2 ）联立方程组 ，消去 得 ，
∵直线与双曲线有两个交点，
∴ ，解得 且 ，
∴ ， ，
且 ．
，
解得 ，或 ，
∴ ， ．
【标注】【知识点】弦长求解问题
2. 若直线 与椭圆 相交．
（ 1 ）求 的范围．
（ 2 ）当截得弦长最大时，求 的值．
2
【备注】本题同样考查弦长公式
【答案】（ 1 ） ．
（ 2 ） ．
【解析】（ 1 ）联立 ，
．
（ 2 ） ，当 时， 最大．
【标注】【知识点】最值问题；弦长求解问题；直线与圆锥曲线的位置关系判断；直线和椭圆的
位置关系
巩固练习
1. 斜率为 的直线与椭圆 相交于 、 两点，则 的最大值为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】设 ， 两点的坐标分别为 ， ，直线的方程为 ，
联立 ，消去 ，得 ， ，即 ，
则 ， ．
∴
．
故当 时， ．
故选 ．
【标注】【知识点】弦长求解问题；直线和椭圆的位置关系
3
2. 已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为 轴，且抛物线过点 ．
（ 1 ）求抛物线的标准方程．
（ 2 ）过抛物线焦点 的直线交抛物线于 、 两点，且 ，求直线的方程．
【答案】（ 1 ） ．
（ 2 ） 或 ．
【解析】（ 1 ）∵对称轴为 轴，则设 ，
又∵ 在曲线上，
∴ ， ，
则 ．
（ 2 ） ， ，
①斜率不存在时， ，
，则 ， ，
（舍）；
②斜率存在时，设斜率为 ， ，
，
，
，
，
解得 ，
则直线的方程为 或 ．
【标注】【知识点】弦长求解问题；直线和抛物线的位置关系
二、 中点弦问题
4
解决弦的中点问题的两种方法：
（1）利用“待定系数法”结合根与系数的关系求出待定系数 ;
（2）用"设而不求"法，利用端点在曲线上，坐标满足方程，作差构造出中点坐标和斜率的关系．
1、点差法：
（1)步骤：
①若点 在曲线 上，且弦 的中点为
第一步：设点
第二步：代点作差，
、 代入曲线，有
两式作差，得 第三步：左右两边同除 ，得
整理得： ( 为曲线的离心率)
②若是抛物线 ,任意弦 的中点为 ，则
(2)点差法基本题型：
①求以定点为中点的弦所在直线的方程
②过定点的弦和平行弦的中点轨迹问题
③求与中点弦有关的圆锥曲线问题
④圆锥曲线上两点关于某直线对称问题
【备注】点差法在解决有关弦中点、弦所在直线的斜率、弦中点与原点连线斜率问题是，可以简化
运算．
2、三个结论
（1）结论1
如下图直线 与椭圆交于两点 ， 的中点为 连接 则有
5
（2）结论2
如下图过原点的直线 与焦点在 轴上的椭圆交于两点 ，椭圆上任意一点 连接 ， ，只要 ，
斜率存在，就有
【备注】
根据结论1的思想，若做直线 的中点为 连接 ,能得到
而直线 与直线 位置关系是平行；根据三角形中位线性质即可求出
（3）结论3
如下图焦点在 轴上的椭圆的长轴端点为 ，椭圆上任意一点 连接 ， ，则有
6
【备注】注：结论3是结论2的特殊形式，此处不予证明
经典例题
1. 已知椭圆与双曲线 的焦点相同，且它们的离心率之和等于 ．
（ 1 ）求椭圆方程．
（ 2 ）过椭圆内一点 作一条弦 ，使该弦被点 平分，求弦 所在直线方程．
【备注】本题利用点差法求得直线的斜率，再利用点斜式求解直线方程即可
【答案】（ 1 ） ．
（ 2 ） ．
【解析】（ 1 ）双曲线 的焦点为 ， ，
离心率为 ，
则椭圆的方程为 ，
且离心率 ，
由于 ，则 ， ，
则椭圆方程为 ．
（ 2 ）设 ， ，
则 ， ，
， ，
两式相减可得， ，
即有 ，
则直线 所在方程为 ，
由于 在椭圆内，则弦 存在，
则所求直线 的方程为： ．
【标注】【知识点】椭圆的标准方程；直线和椭圆的位置关系；中点弦问题
7
2. 已知椭圆 的一个顶点为 ，离心率 ，直线交椭圆于 、 两点．
（ 1 ）若直线的方程为 ，求弦 的长．
（ 2 ）如果 的重心恰好为椭圆的右焦点 ，求直线方程的一般式．
【备注】本题同样对点差法的考查；重心的性质：
【答案】（ 1 ）所求弦长 ．
（ 2 ）直线方程为 ．
【解析】（ 1 ）由已知椭圆 的一个顶点为 ，
∴ ，
又∵离心率 ，
即 ，
∴ ，解得 ，
∴椭圆方程为 ，
由 与 联立，
消去 得 ，
∴ ， ，
∴所求弦长 ．
（ 2 ）椭圆右焦点 的坐标为 ，
设线段 的中点为 ，
由三角形重心的性质知 ，又 ，
8
∴ ，
故得 ， ，
求得 的坐标为 ，
设 ， ，则 ， ，
且 ， ，
以上两式相减得 ，
∴ ，
故直线 的方程为 ，即 ．
【标注】【知识点】中点弦问题；弦长求解问题
巩固练习
已知中心在原点，顶点 、 在 轴上，其渐近线方程是 ，双曲线过点 ．
（ 1 ）求双曲线方程 ．
（ 2 ）动直线经过的 重心 ，与双曲线交于不同的两点 、 ，问是否存在直线，使 平分
线段 ，证明你的结论．
【答案】（ 1 ） ．
（ 2 ）直线不存在 ．
【解析】（ 1 ）如图，设双曲线方程为
由已知渐近线方程是 ，双曲线过点 ，得
解得
所以所求双曲线方程为 ．
9
y
P
N
A1 G x
O A2
M
（ 2 ） 、 、 的坐标依次为 、 、 ，
∴其重心 的坐标为
假设存在直线，使 平分线段 ，
设 ， 则有 ，
∵ ，
∴两式相减可得 ，∴
∴ 的方程为
代入双曲线方程，消去 ，整理得
∵ ，∴所求直线不存在 ．
【标注】【知识点】中点弦问题
三、 面积问题
1. 求范围与最值方式方法
（一）范围问题得特点
形式：求什么的取值范围，求什么的最大值最小值等等
特点：这种问题的图也是动的，最难算的一种问题，一般转化成一个函数求值域的问题
方程与未知数的关系：方程的个数 ＝ 未知数的个数 （最后要留一个未知数，表示成这个未知数的函
数，写出这个未知数的范围做定义域，然后求值域）
韦达定理中判别式的写法：需要把判别式 解出来，因为一般 里有范围限制，作为定义域。
（二）范围问题得方法
（1）分式转化为二次函数
（2）分式转化为均值不等式
（3）利用导数求值域
【备注】转化二次函数举例：
弦长公式通常为这样的形式：
10
你会求它的值域吗？
分式的形式求值域一般把分子或者分母换成单项式
令 ，则 ，
所以 ，
关于 的函数在 上单调递增，所以 ，所以
转化均值不等式举例：
有时我们可能遇到这样的形式：
你会求它的值域吗？
遇到这样的问题我们还是同时除以单项式
①当 时，
②当 时，
当且仅当 取等
③当 时，
当且仅当 取等
所以
弦长问题中我们同样可能遇到可以用均值直接求解的情况：
我们还可以这样做：
待定系数：
即 解得
所以
当且仅当 时取等
2. 三角形面积
1、普通三角形面积求解方法
11
三角形的面积（如上图）：
直线 方程： ， ，
．
【备注】对于面积问题：在找图形时尽量去发现求解面积中不动的长度
2、过焦点的三角形面积求解方法
直线 过焦点 ， 的面积为：
．
【备注】注意：① ．这个公式是不能直接使用的.
②：过焦点的三角形面积问题，也可用普通三角形面积求解方法，同学们可因题而异，使
用方便解题的方法.
3、其他求解方法
（1）
（2） ( 是内切圆半径)
（3） ( 是外接圆半径)
12
（4）三角形面积公式的向量坐标形式
①设平面上三点 , , ,且不共线，
则
②设平面上两点 , ， 为坐标原点，则 的面积
【备注】这四种三角形面积不是很常见，老师可根据学生的情况自行拓展
经典例题
1. 设椭圆的中心为坐标原点 ，焦点在 轴上，焦距为 ， 为右焦点， 为下顶点， 为上顶点，
．
（ 1 ）求椭圆的方程．
（ 2 ）若直线同时满足下列三个条件：①与直线 平行：②与椭圆交于两个不同的点 、 ；③
，求直线的方程．
【备注】本题考查求三角形面积，本题利用弦长公式求得底边长，利用点到直线的距离公式求高
【答案】（ 1 ） ．
（ 2 ） 或 或 ．
【解析】（ 1 ）设椭圆的方程为 ，
由题意知， ，∴ ，
由 得 ，∴ ，
从而 ，
∴所求椭圆方程为 ．
（ 2 ）假设存在满足条件的直线，
∵直线 的斜率等于 ， ，故可设的方程为 ，
由 得 ，
由题意， ，解得 ，
且 ， ，
13
∴
，
点 到直线 的距离为 ，
由 ，
得 ，
解得 或 ，∴ 或 ， 显然满足 ，
但当 时，直线 与 重合，故舍去，
∴存在满足条件的直线，这样的直线共 条，
其方程为： ， ﹒
【标注】【知识点】面积问题；直线和椭圆的位置关系
2. 在平面直角坐标系 中，已知抛物线 ： 的焦点为 ，过 的直线交抛物线 于 、 两点．
（ 1 ）求线段 的中点 的轨迹方程．
（ 2 ）已知 的面积是 面积的 倍，求直线的方程．
【备注】本题利用三角形面积关系找到点 、 的纵坐标的关系；
注：一般与横向抛物线联立时，直线方程设为
【答案】（ 1 ） ．
（ 2 ） ．
【解析】（ 1 ）因为抛物线方程为 ，所以 （ ， ）．（ 分）
设 （ ， ）， （ ， ）．
因为点 为线段 的中点，则 ， ，
则 ， ，代入抛物线方程，得 ，
即点 的轨迹方程为 ．
（ 2 ）设 （ ， ）， （ ， ），不妨设 ， ，
设 和 的面积分别为 ， ．
14
因为 的面积是 面积的 倍，即 ，所以
因为 ， ，则 ①．
设直线 ： ②，与 联立，消去 ，得 ，
， ③， ④．
由①③④可得 ，代入②，得直线： ；
同理当 ， 时，得直线： ．
综上，直线的方程为 ．
【标注】【知识点】面积问题
3. 已知抛物线 ，过点 引抛物线的两条弦 , ,分别交抛物线于 ， 两点，且
．
（ 1 ）求证：直线 过定点 ，并求出这个定点坐标．
（ 2 ）若点 ，求 面积的最小值．
【备注】本题求面积的最值问题，利用求弦长公式可得到关于 的二次函数，利用二次函数图象与性
质求解即可
【答案】（ 1 ）证明见解析； ．
（ 2 ） ．
【解析】（ 1 ）设 ， ，
15
∴ ，
∴ ，
∴ ，
通过 ， 两点可求直线的解析式：
，
∴ ，
∴定点 为 ．
（ 2 ）由（ ）可得：
，
设 ，联立 可得：
，
∴ ， ，
∴
，
∴ ，
∴ 的最小值为 ．
【标注】【知识点】面积问题；最值问题；定点问题；抛物线的标准方程；直线和抛物线的位置
关系
4. 如图，点 是椭圆 的一个顶点， 的长轴是圆 的直
径． 是过点 且互相垂直的两条直线，其中 交圆 于 ， 两点， 交椭圆 于另一点 ．
（ 1 ）求椭圆 的方程；
（ 2 ）求 面积取最大值时直线 的方程.
16
【备注】本题求面积的最值问题，利用均值不等式求最值情况
【答案】（ 1 ）椭圆C的方程为 .
（ 2 ）直线 的方程为 .
【解析】（ 1 ）由题意得 ，所以椭圆C的方程为 .
（ 2 ）设 ， ， ，
由题意知直线 的斜率存在，不妨设其为 ，
则直线 的方程为 ，又圆 ，
故点 到直线 的距离 ，
所以 又 ，
故直线 的方程为 ，由 ，消去 ，
整理得 ，
故 ，所以 ，
设 的面积为 ，则 ，
所以 ，
当且仅当 时取等号，
所以所求直线 的方程为 .
【标注】【知识点】面积问题；最值问题
5. 在平面直角坐标系 中，一动圆经过点 且与直线 相切，若该动圆圆心的轨迹为曲线 ．
（ 1 ）求曲线 的方程．
（ 2 ）已知点 ，倾斜角为 的直线与线段 相交(不经过点 或点 )且与曲线 交于 、 两
点，求 的面积的最大值，及此时直线的方程．
17
【备注】本题利用导数求面积最值情况
【答案】（ 1 ）
（ 2 ） ，此时直线的方程为
【解析】（ 1 ）由题意可知圆心到 的距离等于到直线 的距离， 由抛物线的定义可知，
圆心的轨迹方程: ．
（ 2 ）方法一：由题意，可设的方程为 ，其中 ， 由方程组 ，消去
，得 ①， 当 时，方程①的判别式
成立． 设 ， ，则 ，
， ， 又因为点 到直线的距离为
， ， 令
，
， 所以函数 在 上单调递增，
在 上单调递减． 当 时， 有最大值 ， 故当直线的方程为 时，
的最大面积为 ．
方法二：由题意，可设与 轴相交于 ，的方程为 ，其中 由方程
组 ，消去 ，得 ①， 直线与抛物线有两个不同交点 、 ，
方程①的判别式 必成立， 设 ， 则
， ，
． 令 ，
， 所以函数 在 上单调递增，
在 上单调递减． 当 时， 有最大值 ， 故当直线的方程为 时，
的最大面积为 ．
【标注】【知识点】直线和抛物线的位置关系；面积问题；最值问题
巩固练习
1.
18
设椭圆 的左焦点为 ，右顶点为 ，离心率为 ．已知 是抛物线
的焦点， 到抛物线的准线的距离为 ．
（ 1 ）求椭圆的方程和抛物线的方程．
（ 2 ）设上两点 ， 关于 轴对称，直线 与椭圆相交于点 （ 异于点 ），直线 与 轴相交于
点 ．若 的面积为 ，求直线 的方程．
【答案】（ 1 ）椭圆的方程为 ，抛物线的方程为 ．
（ 2 ）直线 的方程为 ，或 ．
【解析】（ 1 ）设 的坐标为 ．依题意， ， ， ，解得 ， ，
，于是 ．
所以，椭圆的方程为 ，抛物线的方程为 ．
（ 2 ）设直线 的方程为 ，
与直线的方程 联立，可得 ，故 ，
联立方程 ，消去 整理得 ，解得 或 ．
由点 异于点 ，可得 ，
由 ，可得直线 的方程为 ，
令 ，解得 ，故 ，
所以 ，
又因为 的面积为 ，
故 ，整理得 ，
解得 ，所以 ，
所以，直线 的方程为 ，或 ．
【标注】【知识点】面积问题；直线和椭圆的位置关系
2. 已知圆 ： 的切线与椭圆 ： 相交于 ， 两点．
（ 1 ）求椭圆 的离心率．
19
（ 2 ）求证： ．
（ 3 ）求 面积的最大值．
【答案】（ 1 ） ．
（ 2 ）证明过程见解析．
（ 3 ） ．
【解析】（ 1 ）由题意可知 ， ，所以 ．
所以 ．所以椭圆 的离心率为 ．
（ 2 ）若切线的斜率不存在，则： ． 在 中令 得 ．
不妨设 ， ，则 ．所以 ． 同理，当： 时，也
有 ． 若切线的斜率存在，设： ，依题意 ，即 ．
由 ，得 ．显然 ．
设 ， ，则 ， ．
所以 ．
所以
． 所以 ．
综上所述，总有 成立．
（ 3 ）因为直线 与圆 相切，则圆 半径即为 的高， 当的斜率不存在时，由（Ⅱ）可知
．
则 ．
当的斜率存在时，由（Ⅱ）可知，
20
．
所以
（当且仅当 时，等号成立）．
所以 ．此时， ．
综上所述，当且仅当 时， 面积的最大值为 ．
【标注】【知识点】坐标表示平面向量的垂直；向量问题；面积问题；直线和椭圆的位置关系；
求椭圆的离心率
3. 已知圆 的圆心为 ，点 是圆 上的动点，点 ，点 在线段 上，且满
足 ．
（ 1 ）求点 的轨迹 的方程．
（ 2 ）过点 作斜率不为 的直线与（ ）中的轨迹 交于 ， 两点，点 关于 轴的对称点为
，连接 交 轴于点 ，求 面积的最大值．
【答案】（ 1 ） ．
（ 2 ） ．
【解析】（ 1 ） ， ．
∵ ，
∴ ，
即 ．
又 在线段 上，
21
∴ ．
又 ，
∴ 点轨迹是以 ， 为焦点的椭圆，
设 的轨迹方程为 ，
则 ，即 ， ，
∴ ，
∴点 的轨迹方程为 ．
（ 2 ）方法一：：设斜率为 ，设 ， ，则 ，
则 ，
，
∴ ，
， ，
∴ ， ，
，
．
所在直线： ，
当 时， ，∴ ，
点 到直线的距离为
，
．
令 ，
则
，
令 ，
，
令 ，则 ，最大值在此处取得．
∴ ， ，
22
．
方法二：由题意可知直线斜率存在且不为 ，
设直线的方程为 ， ， ，则 ，
联立方程组 ，消元得： ，
由 可得 ，解得 ．
由根与系数的关系可得： ， ，
∴
，
直线 的方程为 ，
令 可得
，
即 ，
∴ 到直线 的距离 ，
∴
，
令 ，则 ，
∴ ．
∴当 时， 取得最大值 ，
∴ 的最大值为 ．
【标注】【知识点】最值问题
4. 已知动圆 经过点 ，且和直线 相切．
23
（ 1 ）求该动圆圆心 的轨迹 的方程．
（ 2 ）已知点 ，若斜率为 的直线与线段 相交（不经过坐标原点 和点 ），且与曲线 交
于 、 两点，求 面积的最大值．
【答案】（ 1 ） ．
（ 2 ） ．
【解析】（ 1 ）由题意可知点 到点 距离等于点 到直线距离，所以动点 的轨迹是以 为焦
点，直线 为准线的抛物线，
故：曲线 的方程是 ．
（ 2 ）设直线的方程为 ，其中 ．联立方程组 ，消去 ，得
， 恒大于零， ．
设 ， ，由求根公式得： , ，
∴ ，
点 到直线的距离为点 到直线的距离为 ，
∴ ， ，令 ， ，
∴ ，
令 ， ，
，
∴函数 在 上单调递增，在 上单调递减．
当 时，即 时取得最大值． 的最大面积为 ．
【标注】【知识点】面积问题；最值问题；求点的轨迹
3. 四边形面积
1、不规则四边形面积求解方法
求解不规则四边形 的面积时，采用的方法有：
①分割法
24
将四边形 看成2个及2个以上的三角形面积和，再利用四边形 面积 ,
求得四边形 的面积
②当对角线相互垂直时，
③当对角线的角度为 时，
④ ,其中 ,
2、特殊四边形面积求解方法
平行四边形：
解题思路：在求解平行四边形面积过程中有两种方法：
1）直接法
面积=底×高
2）间接法
如图，设直线 与 轴交于点
可先求出 ,再利用平行四边形 面积 ,求得平行四边形的面积
【备注】①求解四边形面积的思路
②对于面积问题：在找图形时尽量去发现求解面积中不动的长度
矩形：
求解矩形的面积和求解平行四边形的面积思路一样，可采用：直接法与间接法
直接法：在矩形中，由于矩形邻边互相垂直，所以在矩形 中,若求出矩形相邻边长，
常见的分割法也是利用矩形 面积 ,求得矩形的面积
菱形：
求解矩形的面积和求解平行四边形的面积思路一样，可采用：直接法与间接法
同时由于菱形的对角线互相垂直，菱形 面积也可表示为：
25
经典例题
1. 已知椭圆 的离心率为 右焦点到左顶点的距离是 ．
（ 1 ）求椭圆 的方程．
（ 2 ）设点 为椭圆上位于第一象限内一动点， ， 分别为椭圆的左顶点和下顶点，直线 与 轴
交于点 ，直线 与 轴交于点 ，求证：四边形 的面积为定值．
【备注】本题由于对角线相互垂直，所以利用对角线相乘除 求解即可
【答案】（ 1 ） ．
（ 2 ） ．
【解析】（ 1 ）
由已知可得， ，
解得： ，
所以椭圆 的方程为： ．
（ 2 ）因为椭圆 的方程为， ，
所以 ， ，
设 ，
则 ，
即 ，
则直线 的方程为： ，
令 ，得 ，
同理：直线 的方程为 ，
令 ，得
26
．
即四边形 的面积为定值 ．
【标注】【知识点】已知椭圆的离心率求其他参数；椭圆的顶点与轴；定值问题（证明、探
究）；面积问题
2. 已知椭圆 的左右焦点分别为 和 ，由 个点 、 、 和 组成了
一个高为 ，面积为 的等腰梯形．
（ 1 ）求椭圆的方程．
（ 2 ）过点 的直线和椭圆交于两点 、 ，求 面积的最大值．
【备注】本题求面积的最值问题，利用均值不等式求最值情况
【答案】（ 1 ） ．
（ 2 ） ．
【解析】（ 1 ）由题意知 ， ，所以 ①，
又 ，即 ②，
联立①②解得 ， ，
所以椭圆方程为： ．
（ 2 ）由（ ）知 ，
设 ， ，过点 的直线方程为 ，
由 得 ， 成立，
且 ， ，
的面积
，
又 ，所以 递增，
27
所以 ，
所以 ，当且仅当 时取得等号，
所以 面积的最大值为 ．
【标注】【知识点】直线和椭圆的位置关系
3. 已知动点 与两个定点 ， 的距离的比值为 ，点 的轨迹为曲线 ．
（ 1 ）求曲线 的轨迹方程．
（ 2 ）过点 作直线与曲线 交于 ， 两点，设点 坐标为 ，求 面积的最大值．
【备注】本题求面积的最值问题，利用二次函数求最值情况
【答案】（ 1 ） ．
（ 2 ） ．
【解析】（ 1 ）设 ，∵ 即 ，
∴ ，即 ，
∴曲线 的方程为 ．
（ 2 ）由题意可知，直线的斜率存在，设直线方程为 ，
由（ ）可知，点 是圆 的圆心，
点 到直线的距离为 ，
由 得 ，
即 ，
又 ，
所以 ，
令 ，所以 ， ，
则
28
，
所以
，
当 ，即 ，此时 ，符合题意，
即 时取等号，所以 面积的最大值为 ．
【标注】【知识点】曲线与方程；面积问题
4. 已知椭圆 的左，右焦点分别为 ， ， ，过点 且斜率为 的直线
和以椭圆的右顶点为圆心，短半轴为半径的圆相切．
（ 1 ）求椭圆的方程．
（ 2 ）椭圆的左，右顶点分为 ， ，过右焦点 的直线交椭圆于 ， 两点，求四边形 面积的
最大值．
【备注】本题利用导数求面积最值情况
【答案】（ 1 ） ．
（ 2 ） ．
【解析】（ 1 ）设椭圆的焦距为 ，故由题可知 ，
则椭圆的左焦点 ，
故直线方程为 ，
以右顶点 为圆心，
为半径的圆的方程为 ，
则 ，
29
解得 或 （舍去），故 ， ，
∴椭圆的方程为 ．
（ 2 ）设直线的方程为 ，
， ，
联立 ，
整理得 ，显然 ，
则 ， ，
，
故四边形 的面积 ．
设 ，则 ，
可设函数 ，则 ，
∴函数 在 上单调递增，
则 ，则 ，
当且仅当 时等号成立，四边形 的面积取得最大值为 ．
【标注】【知识点】面积问题；直线和椭圆的位置关系；椭圆的标准方程
巩固练习
1. 已知椭圆 ： 的左、右焦点分别为 ， ，离心率为 ，点 是椭圆上一点，
的周长为 ．
（ 1 ）求椭圆 的方程；
（ 2 ）直线： 与椭圆 交于 ， 两点，且四边形 为平行四边形，求证：四边形
的面积为定值．
【答案】（ 1 ） ．
（ 2 ）证明见解析．
30
【解析】（ 1 ）因为 的周长为 ，
所以 ，即 ，
又离心率 ，解得 ， ，
，
∴椭圆 的方程为 ．
（ 2 ）设 ， ， ，
将 代入 ，
消去 并整理得 ，
则 ， ，
，
∵四边形 为平行四边形，
∴ ，
得 ，
将 点坐标代入椭圆 方程得 ，
点 到直线 的距离为 ， ，
∴平行四边形 的面积为
，
故平行四边形 的面积为定值 ．
【标注】【知识点】定值问题（证明、探究）
2. 如图，过抛物线 ： 的焦点 作直线与 交于 ， 两点，与直线 交于点
，过点 作 的两条切线，切点分别为 ， ．
31
y
O x
（ 1 ）证明： ．
（ 2 ）求四边形 面积的最小值．
【答案】（ 1 ）证明见解析．
（ 2 ） ．
【解析】（ 1 ）设 ， ， ，
过 点切线斜率为 ，
则 点切线方程为 ，
联立 ，
得 ，
由 得 ，
所以 的切线方程方程 ，
同理 的切线方程方程 ，
代入 点得 ，
所以直线 的方程为 ，
即 ，
又因为 ，
所以 ．
（ 2 ）设直线： ，
代入 得 ，
设点 ， ，
32
则 ， ，
所以
，
同理 ，
所以四边形 的面积为：
，
当 时取到最小值．
【标注】【知识点】面积问题；最值问题
3. 已知椭圆 （ ）右焦点 ，离心率为 ，过 作两条互相垂直的弦 ，
．
（ 1 ）求椭圆的标准方程；
（ 2 ）求以 ， ， ， 为顶点的四边形的面积的取值范围．
【答案】（ 1 ）椭圆的方程为 ．
（ 2 ）四边形面积范围是 ．
【解析】（ 1 ）由题意： ， ，
33
∴ ， ，
则椭圆的方程为 ．
（ 2 ）①当两直线一条斜率不存在一条斜率为 时， ，
②当两直线斜率存在且都不为 时，
设直线 方程为 ，设 ， ，
将其代入椭圆方程整理得： ， ，
∴ ， ，
∴ ，
同理， ，
则
，
当 时，四边形面积为 ，
综上所述，四边形面积范围是 ．
【标注】【知识点】面积问题；最值问题；椭圆的基本量求解
4. 已知椭圆 的离心率为 ，以椭圆长、短轴四个端点为顶点的四边形的面积
为 ．
（ 1 ）求椭圆 的方程．
（ 2 ）如图所示，记椭圆的左、右顶点分别为 、 ，当动点 在定直线 上运动时，直线 、
分别交椭圆于两点 、 ，求四边形 面积的最大值．
34
【答案】（ 1 ） ．
（ 2 ） ．
【解析】（ 1 ）有题设知，
，
，
又 ，
∴ ， ， ，
∴ ．
（ 2 ）由对称性，可令 ，其中 ，
，
由 ，
得 ，
，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
，
由 ，
得 ，
∴ ，
由 ，
∴ ，
∴ ，
∴ 平行四边形
35
由于 ，
且 在 单调递增，
故 ，
从而， 平行四边形 ，
当且仅当 ，即 时，
四边形 的面积取最大值 ．
【标注】【知识点】直线和椭圆的位置关系；最值问题；面积问题
5. 已知 是椭圆 的右焦点，过 的直线交椭圆于 ， 两点，过 ， 两点椭圆的切线交于 ．
（ 1 ）当 的斜率为 时，求点 的坐标．
（ 2 ）过点 作 的垂线，交椭圆于 ， 两点．
1 求证： 在直线 上．
2 求四边形 面积的最大值．
注：本题可以直接应用定理，椭圆 上一点 处的切线方程是
．
【答案】（ 1 ） ．
（ 2 ）1 证明见解析．
2 ．
【解析】（ 1 ）由题意知： ， ，
∴ ： ， ： ，
∴点 ．
（ 2 ）1 令 ： ， ， ，
，
，
36
，
作差得 ，
所以 ， ，
∴ ： ， ，
恒过定点 ，
即 在 上．
2
，
，
∴ ，
令 ， ，
∴ ，
∴ ， ，
即 时， ．
【标注】【知识点】定值问题（证明、探究）；最值问题；面积问题；直线和椭圆的位置关系
思维导图
你学会了吗？画出思维导图总结本课所学吧！
【备注】
37
出门测
已知点 ，椭圆 的离心率为 ， 是椭圆 的右焦点，直线 的斜
率为 ， 为坐标原点．
（ 1 ）求椭圆 的方程．
（ 2 ）设过点 的动直线与 相交于 ， 两点，当 的面积最大时，求直线的方程．
【答案】（ 1 ） ．
（ 2 ） 或 ．
38
【解析】（ 1 ）设 ，由条件知 ，
得 ，
又 ，
所以 ， ，
故 的方程 ．
（ 2 ）依题意，当 轴，不合题意，故设直线 ，
设 ， ，
将 代入 ，得 ，
当 ，即 时， ，
从而 ，
又点 到直线 的距离 ，
所以 的面积 ，
设 ，则 ， ，
当且仅当 ， 时，等号成立，且满足 ，
所以当 的面积最大时，的方程为 或 ．
【标注】【知识点】直线和椭圆的位置关系；椭圆的标准方程；面积问题；最值问题
39直线与圆锥曲线的位置关系（1）
一、 弦长问题
弦长公式：
设圆锥曲线 与直线 相交于 ， 两点
则弦长
或
弦长问题求解方法：
特点：弦长问题主要就是直线与曲线相交情况下，求解相交线段的长度问题
在弦长问题中求解方法：
（1）根据题意，讨论特殊情况
（2）设出直线方程与交点坐标
（3）联立，关于 或 的方程
（4） ；利用韦达定理，表示出 或者
（5） 利用适当的弦长公式求解
经典例题
1. 已知直线 与双曲线 ．
（ 1 ）当 时，直线与双曲线 的一渐近线交于点 ，求点 到另一渐近线的距离．
（ 2 ）若直线与双曲线 交于 ， 两点，若 ，求 的值．
2. 若直线 与椭圆 相交．
（ 1 ）求 的范围．
（ 2 ）当截得弦长最大时，求 的值．
1
巩固练习
1. 斜率为 的直线与椭圆 相交于 、 两点，则 的最大值为（ ）．
A. B. C. D.
2. 已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为 轴，且抛物线过点 ．
（ 1 ）求抛物线的标准方程．
（ 2 ）过抛物线焦点 的直线交抛物线于 、 两点，且 ，求直线的方程．
二、 中点弦问题
解决弦的中点问题的两种方法：
（1）利用“待定系数法”结合根与系数的关系求出待定系数 ;
（2）用"设而不求"法，利用端点在曲线上，坐标满足方程，作差构造出中点坐标和斜率的关系．
1、点差法：
（1)步骤：
①若点 在曲线 上，且弦 的中点为
第一步：设点
第二步：代点作差，
、 代入曲线，有
两式作差，得 第三步：左右两边同除 ，得
2
整理得： ( 为曲线的离心率)
②若是抛物线 ,任意弦 的中点为 ，则
(2)点差法基本题型：
①求以定点为中点的弦所在直线的方程
②过定点的弦和平行弦的中点轨迹问题
③求与中点弦有关的圆锥曲线问题
④圆锥曲线上两点关于某直线对称问题
2、三个结论
（1）结论1
如下图直线 与椭圆交于两点 ， 的中点为 连接 则有
（2）结论2
如下图过原点的直线 与焦点在 轴上的椭圆交于两点 ，椭圆上任意一点 连接 ， ，只要 ，
斜率存在，就有
（3）结论3
如下图焦点在 轴上的椭圆的长轴端点为 ，椭圆上任意一点 连接 ， ，则有
3
经典例题
1. 已知椭圆与双曲线 的焦点相同，且它们的离心率之和等于 ．
（ 1 ）求椭圆方程．
（ 2 ）过椭圆内一点 作一条弦 ，使该弦被点 平分，求弦 所在直线方程．
2. 已知椭圆 的一个顶点为 ，离心率 ，直线交椭圆于 、 两点．
（ 1 ）若直线的方程为 ，求弦 的长．
（ 2 ）如果 的重心恰好为椭圆的右焦点 ，求直线方程的一般式．
4
巩固练习
已知中心在原点，顶点 、 在 轴上，其渐近线方程是 ，双曲线过点 ．
（ 1 ）求双曲线方程 ．
（ 2 ）动直线经过的 重心 ，与双曲线交于不同的两点 、 ，问是否存在直线，使 平分
线段 ，证明你的结论．
三、 面积问题
1. 求范围与最值方式方法
（一）范围问题得特点
形式：求什么的取值范围，求什么的最大值最小值等等
特点：这种问题的图也是动的，最难算的一种问题，一般转化成一个函数求值域的问题
方程与未知数的关系：方程的个数 ＝ 未知数的个数 （最后要留一个未知数，表示成这个未知数的函
数，写出这个未知数的范围做定义域，然后求值域）
韦达定理中判别式的写法：需要把判别式 解出来，因为一般 里有范围限制，作为定义域。
（二）范围问题得方法
（1）分式转化为二次函数
（2）分式转化为均值不等式
（3）利用导数求值域
2. 三角形面积
1、普通三角形面积求解方法
5
三角形的面积（如上图）：
直线 方程： ， ，
．
2、过焦点的三角形面积求解方法
直线 过焦点 ， 的面积为：
．
3、其他求解方法
（1）
（2） ( 是内切圆半径)
（3） ( 是外接圆半径)
（4）三角形面积公式的向量坐标形式
①设平面上三点 , , ,且不共线，
则
②设平面上两点 , ， 为坐标原点，则 的面积
经典例题
6
1. 设椭圆的中心为坐标原点 ，焦点在 轴上，焦距为 ， 为右焦点， 为下顶点， 为上顶点，
．
（ 1 ）求椭圆的方程．
（ 2 ）若直线同时满足下列三个条件：①与直线 平行：②与椭圆交于两个不同的点 、 ；③
，求直线的方程．
2. 在平面直角坐标系 中，已知抛物线 ： 的焦点为 ，过 的直线交抛物线 于 、 两点．
（ 1 ）求线段 的中点 的轨迹方程．
（ 2 ）已知 的面积是 面积的 倍，求直线的方程．
3. 已知抛物线 ，过点 引抛物线的两条弦 , ,分别交抛物线于 ， 两点，且
．
（ 1 ）求证：直线 过定点 ，并求出这个定点坐标．
（ 2 ）若点 ，求 面积的最小值．
7
4. 如图，点 是椭圆 的一个顶点， 的长轴是圆 的直
径． 是过点 且互相垂直的两条直线，其中 交圆 于 ， 两点， 交椭圆 于另一点 ．
（ 1 ）求椭圆 的方程；
（ 2 ）求 面积取最大值时直线 的方程.
5. 在平面直角坐标系 中，一动圆经过点 且与直线 相切，若该动圆圆心的轨迹为曲线 ．
（ 1 ）求曲线 的方程．
（ 2 ）已知点 ，倾斜角为 的直线与线段 相交(不经过点 或点 )且与曲线 交于 、 两
点，求 的面积的最大值，及此时直线的方程．
巩固练习
1. 设椭圆 的左焦点为 ，右顶点为 ，离心率为 ．已知 是抛物线
的焦点， 到抛物线的准线的距离为 ．
8
（ 1 ）求椭圆的方程和抛物线的方程．
（ 2 ）设上两点 ， 关于 轴对称，直线 与椭圆相交于点 （ 异于点 ），直线 与 轴相交于
点 ．若 的面积为 ，求直线 的方程．
2. 已知圆 ： 的切线与椭圆 ： 相交于 ， 两点．
（ 1 ）求椭圆 的离心率．
（ 2 ）求证： ．
（ 3 ）求 面积的最大值．
3. 已知圆 的圆心为 ，点 是圆 上的动点，点 ，点 在线段 上，且满
足 ．
（ 1 ）求点 的轨迹 的方程．
（ 2 ）过点 作斜率不为 的直线与（ ）中的轨迹 交于 ， 两点，点 关于 轴的对称点为
，连接 交 轴于点 ，求 面积的最大值．
4. 已知动圆 经过点 ，且和直线 相切．
（ 1 ）求该动圆圆心 的轨迹 的方程．
（ 2 ）已知点 ，若斜率为 的直线与线段 相交（不经过坐标原点 和点 ），且与曲线 交
于 、 两点，求 面积的最大值．
9
3. 四边形面积
1、不规则四边形面积求解方法
求解不规则四边形 的面积时，采用的方法有：
①分割法
将四边形 看成2个及2个以上的三角形面积和，再利用四边形 面积 ,
求得四边形 的面积
②当对角线相互垂直时，
③当对角线的角度为 时，
④ ,其中 ,
2、特殊四边形面积求解方法
平行四边形：
解题思路：在求解平行四边形面积过程中有两种方法：
1）直接法
面积=底×高
2）间接法
如图，设直线 与 轴交于点
可先求出 ,再利用平行四边形 面积 ,求得平行四边形的面积
矩形：
10
求解矩形的面积和求解平行四边形的面积思路一样，可采用：直接法与间接法
直接法：在矩形中，由于矩形邻边互相垂直，所以在矩形 中,若求出矩形相邻边长，
常见的分割法也是利用矩形 面积 ,求得矩形的面积
菱形：
求解矩形的面积和求解平行四边形的面积思路一样，可采用：直接法与间接法
同时由于菱形的对角线互相垂直，菱形 面积也可表示为：
经典例题
1. 已知椭圆 的离心率为 右焦点到左顶点的距离是 ．
（ 1 ）求椭圆 的方程．
（ 2 ）设点 为椭圆上位于第一象限内一动点， ， 分别为椭圆的左顶点和下顶点，直线 与 轴
交于点 ，直线 与 轴交于点 ，求证：四边形 的面积为定值．
2. 已知椭圆 的左右焦点分别为 和 ，由 个点 、 、 和 组成了
一个高为 ，面积为 的等腰梯形．
（ 1 ）求椭圆的方程．
（ 2 ）过点 的直线和椭圆交于两点 、 ，求 面积的最大值．
3. 已知动点 与两个定点 ， 的距离的比值为 ，点 的轨迹为曲线 ．
（ 1 ）求曲线 的轨迹方程．
（ 2 ）过点 作直线与曲线 交于 ， 两点，设点 坐标为 ，求 面积的最大值．
11
4. 已知椭圆 的左，右焦点分别为 ， ， ，过点 且斜率为 的直线
和以椭圆的右顶点为圆心，短半轴为半径的圆相切．
（ 1 ）求椭圆的方程．
（ 2 ）椭圆的左，右顶点分为 ， ，过右焦点 的直线交椭圆于 ， 两点，求四边形 面积的
最大值．
巩固练习
1. 已知椭圆 ： 的左、右焦点分别为 ， ，离心率为 ，点 是椭圆上一点，
的周长为 ．
（ 1 ）求椭圆 的方程；
（ 2 ）直线： 与椭圆 交于 ， 两点，且四边形 为平行四边形，求证：四边形
的面积为定值．
2. 如图，过抛物线 ： 的焦点 作直线与 交于 ， 两点，与直线 交于点
，过点 作 的两条切线，切点分别为 ， ．
12
y
O x
（ 1 ）证明： ．
（ 2 ）求四边形 面积的最小值．
3. 已知椭圆 （ ）右焦点 ，离心率为 ，过 作两条互相垂直的弦 ，
．
（ 1 ）求椭圆的标准方程；
（ 2 ）求以 ， ， ， 为顶点的四边形的面积的取值范围．
4. 已知椭圆 的离心率为 ，以椭圆长、短轴四个端点为顶点的四边形的面积
为 ．
（ 1 ）求椭圆 的方程．
（ 2 ）
13
如图所示，记椭圆的左、右顶点分别为 、 ，当动点 在定直线 上运动时，直线 、
分别交椭圆于两点 、 ，求四边形 面积的最大值．
5. 已知 是椭圆 的右焦点，过 的直线交椭圆于 ， 两点，过 ， 两点椭圆的切线交于 ．
（ 1 ）当 的斜率为 时，求点 的坐标．
（ 2 ）过点 作 的垂线，交椭圆于 ， 两点．
1 求证： 在直线 上．
2 求四边形 面积的最大值．
注：本题可以直接应用定理，椭圆 上一点 处的切线方程是
．
思维导图
你学会了吗？画出思维导图总结本课所学吧！
出门测
14
已知点 ，椭圆 的离心率为 ， 是椭圆 的右焦点，直线 的斜
率为 ， 为坐标原点．
（ 1 ）求椭圆 的方程．
（ 2 ）设过点 的动直线与 相交于 ， 两点，当 的面积最大时，求直线的方程．
15
