直线与圆锥曲线的位置关系（3）
一、 设点法
已知椭圆 ： 的长轴长为 ， 为坐标原点．
（ 1 ）求椭圆C的方程和离心率；
（ 2 ）设动直线 与 轴相交于点 点，点 关于直线 的对称点 在椭圆 上，求 的最小
值．
二、 定值定点问题
1. 已知圆 ，点 ， 为平面内一动点，以线段 为直径的圆内切于圆 ，设动点
的轨迹为曲线 ．
（ 1 ）求曲线 的方程．
（ 2 ） ， 是曲线 上的动点，且直线 经过定点 ，问在 轴上是否存在定点 ，使得
，若存在，请求出定点 ，若不存在，请说明理由．
2. 已知椭圆 经过点 ，离心率为 ．
（ 1 ）求椭圆 的方程；
（ 2 ）直线 与椭圆 交于 两点，点 是椭圆 的右顶点．直线 与直线
分别与 轴交于点 ，试问以线段 为直径的圆是否过 轴上的定点？若是，求出定
1
点坐标；若不是，说明理由．
3. 在平面直角坐标系 中，动点 到定点 的距离与它到直线 的距离相等．
（ 1 ）求动点 的轨迹 的方程．
（ 2 ）设动直线 与曲线 相切于点 ，与直线 相交于点 ．
证明：以 为直径的圆恒过 轴上某定点．
4. 已知椭圆 ： （ ）的两个焦点是 ， ，点 在椭圆 上，且
．
（ 1 ）求椭圆 的方程．
（ 2 ）设点 关于 轴的对称点为 ， 是椭圆 上一点，直线 和 与 轴分别相交于点 ，
， 为原点．证明： 为定值．
5. 已知椭圆的两个焦点 ， ，过 且与坐标轴不平行的直线 与椭圆相交于 ，
两点，如果 的周长等于 ．
（ 1 ）求椭圆的方程；
（ 2 ）若过点 ， 的直线 与椭圆交于不同两点 ， ，试问在 轴上是否存在定点 ，
，使 恒为定值？若存在，求出 的坐标及定值；若不存在，请说明理由．
2
6. 如图，已知椭圆 的离心率为 ，且经过点 ，过椭圆的左
顶点 作直线 轴，点 为直线 上的动点（点 与点 不重合），点 为椭圆右顶点，直线
交椭圆 于点 ．
（ 1 ）求椭圆 的方程．
（ 2 ）求证： ．
（ 3 ）试问： 是否为定值？若是定值，请求出该定值；若不是，请说明理由．
3直线与圆锥曲线的位置关系（3）
一、 设点法
已知椭圆 ： 的长轴长为 ， 为坐标原点．
（ 1 ）求椭圆C的方程和离心率；
（ 2 ）设动直线 与 轴相交于点 点，点 关于直线 的对称点 在椭圆 上，求 的最小
值．
【答案】（ 1 ）椭圆 的方程为 ．
所以离心率 ．
（ 2 ） 的最小值为 ．
【解析】（ 1 ）因为椭圆C： ，
所以 ， ，
故 ，解得 ，
所以椭圆 的方程为 ．
因为 ，
所以离心率 ．
（ 2 ）由题意，直线 的斜率存在，设点 ，
则线段 的中点 的坐标为 ，
且直线 的斜率 ，
由点 关于直线 的对称点为 ，得直线 ，
故直线 的斜率为 ，且过点 ，
所以直线 的方程为： ，
1
令 ，得 ，则 ，
由 ，得 ， 化简，得 ．
所以 ．
当且仅当 ，即 时等号成立．
所以 的最小值为 ．
【标注】【知识点】设点法；最值问题
二、 定值定点问题
1. 已知圆 ，点 ， 为平面内一动点，以线段 为直径的圆内切于圆 ，设动点
的轨迹为曲线 ．
（ 1 ）求曲线 的方程．
（ 2 ） ， 是曲线 上的动点，且直线 经过定点 ，问在 轴上是否存在定点 ，使得
，若存在，请求出定点 ，若不存在，请说明理由．
【答案】（ 1 ） ．
（ 2 ）存在定点 ，当斜率不存在时定点 也符合题意．
【解析】（ 1 ）设 的中点为 ，切点为 ，连 ， ，
则 ，取 关于 轴的对称点 ，连 ，故
．
所以点 的轨迹是以 ， 为焦点，长轴长为 的椭圆．
其中， ， ，曲线 方程为 ．
（ 2 ）假设存在满足题意的定点 ，设 ，
设直线 的方程为 ， ， ，
2
由 消去 ，得 ，
由直线 过椭圆内一点 作直线故 ，
由求根公式得： ， ，
由得 ，得直线得 与 斜率和为零，
故
，
．
所以 ，
存在定点 ，当斜率不存在时定点 也符合题意．
【标注】【知识点】定点问题；求点的轨迹
2. 已知椭圆 经过点 ，离心率为 ．
（ 1 ）求椭圆 的方程；
（ 2 ）直线 与椭圆 交于 两点，点 是椭圆 的右顶点．直线 与直线
分别与 轴交于点 ，试问以线段 为直径的圆是否过 轴上的定点？若是，求出定
点坐标；若不是，说明理由．
【答案】（ 1 ） ．
（ 2 ）以线段 为直径的圆过 轴上的定点 ．
【解析】（ 1 ）由题意得 ,解得 ，
3
所以椭圆 的方程是 ．
（ 2 ）以线段 为直径的圆过 轴上的定点．
由
得 ．
设 ，则有 ， ．
又因为点 是椭圆 的右顶点，所以点 ．
由题意可知直线 的方程为 ，故点 ．
直线 的方程为 ，故点 ．
若以线段 为直径的圆过 轴上的定点 ，则等价于 恒成立．
又因为 ， ，
所以 恒成立．
又因为
，
，
所以 ．
解得 ．
故以线段 为直径的圆过 轴上的定点 ．
【标注】【知识点】定点问题；直线和椭圆的位置关系
3. 在平面直角坐标系 中，动点 到定点 的距离与它到直线 的距离相等．
（ 1 ）求动点 的轨迹 的方程．
（ 2 ）设动直线 与曲线 相切于点 ，与直线 相交于点 ．
证明：以 为直径的圆恒过 轴上某定点．
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【答案】（ 1 ） ．
（ 2 ）证明见解析．
【解析】（ 1 ）设动点 的坐标为 ． 由抛物线定义知，动点 的轨迹为以 为焦点，
为准线抛物线．
所以动点 的轨迹 的方程为： ．
（ 2 ）设直线 的方程为： ．（显然 ） 由 得 ．
因为直线 与抛物线相切， 所以 ， ． 所以直线 的方程为
． 令 ，得 ， 所以 ．
设切点坐标 ，则 ，解得 ．
设 ，
则
．
． 当 时， ．
所以以 为直径的圆恒过 轴上定点 ．
【标注】【知识点】定点问题；向量问题
4. 已知椭圆 ： （ ）的两个焦点是 ， ，点 在椭圆 上，且
．
（ 1 ）求椭圆 的方程．
（ 2 ）设点 关于 轴的对称点为 ， 是椭圆 上一点，直线 和 与 轴分别相交于点 ，
， 为原点．证明： 为定值．
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【答案】（ 1 ） ．
（ 2 ）证明见解析．
【解析】（ 1 ）由椭圆的定义，得 ， ．
将点 的坐标代入 ，得 ，
解得 ．
所以，椭圆 的方程是 ．
（ 2 ）依题意，得 ．
设 ，则有 ， ， ．
直线 的方程为 ，
令 ，得 ，
所以 ．
直线 的方程为 ，
令 ，得 ，
所以 ．
所以
．
所以 为定值．
【标注】【知识点】定值问题（证明、探究）；直线和椭圆的位置关系
5. 已知椭圆的两个焦点 ， ，过 且与坐标轴不平行的直线 与椭圆相交于 ，
两点，如果 的周长等于 ．
（ 1 ）求椭圆的方程；
（ 2 ）若过点 ， 的直线 与椭圆交于不同两点 ， ，试问在 轴上是否存在定点 ，
，使 恒为定值？若存在，求出 的坐标及定值；若不存在，请说明理由．
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【答案】（ 1 ） .
（ 2 ）当 ， 时， 为定值 .
【解析】（ 1 ）由题意知 ， ，
所以 ， ，
所以，椭圆的方程为 .
（ 2 ）当直线 的斜率存在时，设其斜率为 ，则 的方程为 ， 因为点 在椭圆
内，
所以直线 与椭圆有两个交点， .
由 消去 得 ，
设 ， ， ， ，
则由根与系数关系得 ， ，
所以 ，
则 ， ， ， ，
所以
要使上式为定值需 ，解得 ，
所以 为定值 .
当直线 的斜率不存在时 ， ， ， ，
由 ， 可得 ， ， ， ，
所以 ，
综上所述：当 ， 时， 为定值 .
【标注】【知识点】定值问题（证明、探究）；向量问题
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6. 如图，已知椭圆 的离心率为 ，且经过点 ，过椭圆的左
顶点 作直线 轴，点 为直线 上的动点（点 与点 不重合），点 为椭圆右顶点，直线
交椭圆 于点 ．
（ 1 ）求椭圆 的方程．
（ 2 ）求证： ．
（ 3 ）试问： 是否为定值？若是定值，请求出该定值；若不是，请说明理由．
【答案】（ 1 ） ．
（ 2 ）证明见解析．
（ 3 ）是．
．
【解析】（ 1 ）∵椭圆 离心率为 ，
∴ ．则 ．
∵ 过 ，
∴ ．
∴ ， ．
∴椭圆 ．
（ 2 ）设直线 的斜率为 ，则直线 的方程为 ．
设 ，
8
，
得 ， ．
∴ ．
∴ ．
令 ，得 ，
∴ ， ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
（ 3 ）
．
【标注】【知识点】定值问题（证明、探究）；向量问题；椭圆的标准方程；直线和椭圆的位置
关系
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