等比数列
一、 等比数列概念及通项公式
1. 等比数列概念
（1）等比数列的概念：一般地，如果数列 从第 项起，每一项与它的前一项之比都等于同一非零常
数 ，即 恒成立，则称 为等比数列，其中 称为等比数列的 ．
（2）等比中项的概念：如果 ， ， 是等比数列，那么称 为 与 的等比中项．利用等比数列的定义可
得： ，进而计算得到： ．
关于等比中项
（1）只有非零同号的两数才有等比中项，并且有两个等比中项，它们互为相反数.
（2）一个等比数列从第 项起，每一项（有穷数列末项除外）是前一项与其后一项的等比中项，即
.
经典例题
若 ， ， 成等比数列， 是 ， 的等比中项， 是 ， 的等比中项，则（ ）．
A. B. C. ， ， 同号 D. 与 同号
巩固练习
在等比数列 中， ， ，则 与 的等比中项为（ ）．
A. B. C. D.
2. 等比数列的通项公式
（1）等比数列通项公式的变形： ，其中 是任意两个正整数，且
， 必须是同一等比数列的项.
（2）通项公式中含有四个量，即首项 ，公比 ，项数 ，第 项 ，只要知道其中的三个，就可以求出
另外一个.
（3）在记忆公式时，要注意 的指数比项数 小 这一特点.
经典例题
1. 已知等比数列 的各项均为正数，且 ， ．
1
（ 1 ）求数列 的通项公式．
2. 在等比数列 中， ， ．
（ 1 ）求首项 和公比 ．
3. 已知 是等比数列，且 ， ．
（ 1 ）求数列 的通项公式．
巩固练习
1. 已知 是递增的等比数列， ，且 ．
（ 1 ）求数列 的通项公式．
2. 已知等比数列 中，公比 ，且 ， ．
2
（ 1 ）求通项公式 ．
3. 等比数列的性质
（1）当 时，有 ；特别地，若 是 和 的等差中项时， 是
和 的等比中项．
（2）等比数列 的单调性如下：
当 时，
①若 ，则 是递增数列；
②若 ，则 是递减数列；
③若 ，即 ，则 是常数列，即 ．
当 时，
不单调，此时 的各项数值在正负之间徘徊，我们称 为摆动数列（或震荡数列），它的所有
奇数项和偶数项（排列顺序不变）保持同号，但是彼此异号．
等比数列中巧设“对称项”
在解决等比数列问题的过程中，需要设未知量，为了尽量减少未知数的个数，常采用以下技巧：
（1）当三个数成等比数列时，可设这三个数分别为 ；
（2）当四个数成等比数列时，可设这四个数分别为
经典例题
1. 在等比数列 中， ， 且 ，若 ，则 （ ）．
A. B. C. D.
2. 已知 是等比数列，且 ， ，那么 的值为（ ）．
A. B. C. D.
3. 在各项均为正数的等比数列 中，若 ，则 的值为（
）．
A. B. C. D.
3
4. 解答下列各题．
（ 1 ）已知三个数成等比数列，它们的积为 ，它们的平方和为 ，求这三个数．
（ 2 ）已知四个数成等比数列，其积为 ，第二项与第三项之和为 ，求这四个数．
5. 设等比数列 满足 , ，则 的最大值为 ．
6. 正项等比数列 满足 ，且 ， ， 成等差数列，则 取得最
小值时的 值为 ．
7. 已知等比数列 满足 ， ，则使得 取得最大值的 为（ ）．
A. B. C. D.
巩固练习
1. 等比数列 中， ，那么 的值是 ．
2. 已知 为等比数列， ， ，则 （ ）．
A. B. 或 C. D.
3. 已知四个数，前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，中间两个数之积为 ，第一个数与第四
个数之积为 ，请求出这四个数．
4. 已知等比数列 满足 , ， ，且 ，则当 时，
（ ）．
A. B. C. D.
5. 在等比数列 中，公比 ，且 ，则 等于（ ）．
A. B. C. D.
4
6. 设 是各项均为正数的等比数列， 为其前 项和．已知 ， ，若存在 使得
的乘积最大，则 的一个可能值是( )
A. B. C. D.
7. 设等比数列 满足 ， ，则 的最大值为 ．
二、 等比数列的前n项和及性质
1. 等比数列的前 项和公式
对于首项为 ，公比为 的等比数列 ，其前 项和为： ．
（1）等比数列的前 项和公式可看做函数关系 , 是不为 的常数,且 不为
（2）应用公式求和时，应注意 的使用条件为 .当 时，应按长数列求和，即
.在解含字母参数的等比数列求和问题时，应分别讨论 与 两种情况.
经典例题
1. 已知数列 为等比数列， 是它的前 项和，若 ，且 与 的等差中项为 ，则 (
)
A. B. C. D.
2. 已知数列 中， ，等比数列 的公比 满足 ，且 ，则
（ ）．
A. B. C. D.
3. 《九章算术》中有如下问题：今有蒲生一日，长 尺，莞生一日，长 尺、蒲生日自半，莞生日自
倍，问几何日而长等？意思是：今有蒲第一天长高 尺，莞第一天长高 尺，以后蒲每天长高前一天
的一半，莞每天长高前一天的 倍，若蒲、莞长度相等，则所需时间为（ ）．（结果精确到 ．参
考数据： ， ．）
A. 天 B. 天 C. 天 D. 天
4. 已知等比数列 的前 项和为 ， ，则 的值为（ ）．
A. B. C. D.
5. 已知正项等比数列 的前 项和 ，满足 ，则 的最小值为（ ）．
A. B. C. D.
5
巩固练习
1. 已知 为等比数列 的前 项和，且 ，则 （ ）．
A. B. C. D.
2. 若 为等比数列 的前 项的和， ，则 ．
3. 等比数列 的前 项和为 ，则 =（ ）．
A. B. C. D.
4. 我国古代数学著作《九章算术》中记载问题：“今有垣厚八尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠日半
尺，大鼠日增倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”，意思是“今有土墙厚 尺，两鼠从墙两侧同时打
洞，大鼠第一天打洞一尺，小鼠第一天打洞半尺，大鼠之后每天打洞长度比前一天多一倍，小鼠之
后每天打洞长度是前一天的一半，问两鼠几天打通相逢？”两鼠相逢需要的最少天数为( )
A. B. C. D.
2. 等比数列的前n项和的性质
（1）数列 为等比数列，公比为 的等比数列，记 为其前 项和，则有：
①当 时， ，……可构成等比数列，且公比为
②当 且 为奇数时， ……可构成等比数列.
（2）若等比数列 共有偶数项，则偶数项之和与奇数项之和的比值为公比
经典例题
1. 已知正项等比数列 的前 项和 ，满足 ，则 的最小值为（ ）．
A. B. C. D.
2. 设 是等比数列 的前 项和，且满足 ， ，则 （ ）．
A. B. C. 或 D. 或
3. 等比数列 共有奇数项，所有奇数项和 奇 ，所有偶数项和 偶 ，末项是 ，则首项
（ ）．
A. B. C. D.
巩固练习
1. 已知一个等比数列的前 项和为 ，前 项和为 ，则前 项和为 ．
2. 已知正项等比数列 的前 项和为 ，若 ， ， 成等差数列，则 ，
的最小值为 ．
6
3. 已知一个等比数列首项为 ，项数是偶数，其奇数项之和为 ，偶数项之和为 ，则这个数列的公比
和项数分别为（ ）．
A. ， B. ， C. ， D. ，
3. 证明或判断数列是等比数列的常用方法
（1）定义法： 为等比数列；
（2）等比中项法： 为等比数列；
（3）通项公式法： 为等比数列
（4）前n项和公式法：
①若数列 的前 项和 可以写成 （ 为常数）的形式，则 为常数列，满足 ，特别
地，当 时， 是公比为 的等比数列；
②若数列 的前 项和 可以写成 （ 为常数且 ， ， ）的形
式，则 是公比不为 等比数列．
其中（1）（2）常用于证明，（3）（4）常用于判断.
经典例题
1. 数列 的前 项和 ，那么 （ ）．
A. 一定是等比数列 B. 一定是等差数列 C. 不可能为等差数列 D. 可能为等比数列
2. 若数列 是等比数列，下列命题正确的是（ ）．
A. ， 是等比数列 B. 成等差数列
C. ， 成等比数列 D. ， 成等比数列
3. 已知数列 的前 项和 ，求证： 是等比数列．
巩固练习
1. 若数列 满足 ，则（ ）．
A. 数列 不是等比数列 B. 数列 是公比为 的等比数列
C. 数列 是公比为 的等比数列 D. 数列 是公比为 的等比数列
7
2. 若 是等比数列，下列结论中不正确的是（ ）．
A. 一定是等比数列 B. 一定是等比数列
C. 一定是等比数列 D. 一定是等比数列
3. 设数列 ，以下命题正确的是( )
A. 若 ， ，则 为等比数列
B. 若 ， ，则 为等比数列
C. 若 ， 、 ，则 为等比数列
D. 若 ， ，则 为等比数列
思维导图
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出门测
1. 在各项均为正数的等比数列 中，若 ，则 等于（ ）．
A. B. C. D.
2. 一个项数是偶数的等比数列，它的偶数项的和是奇数项和的 倍，又它的首项为 ，且中间两项的和
为 ，则此等比数列的项数为（ ）．
A. B. C. D.
3. 已知数列 满足 ， （ 且 ），则下列说法错误的是（ ）．
A. B. 是 与 的等比中项
C. 数列 是等比数列 D. 在 中，只有有限个大于 的项
4. 若数列 是等比数列，则下列数列一定是等比数列的是（ ）．
A. B. C. D.
5. 已知等比数列 的前 项和为 ，且 ，则 的公比 的值为 ．
8等比数列
学习目标
1．掌握等比数列的概念、通项公式及推导过程，并会运用它们解决数学问题．
2．掌握等比数列的性质并能熟练运用．
3．掌握等比数列前n项和公式并能熟练运用．
4．掌握等比数列前n项和公式的性质并能熟练运用．
【备注】1．本讲的内容的重点是等比数列的概念，等比数列的通项公式及推导过程，等比数列前
项和公式；难点是上述重点内容的应用，等比数列的性质及应用，等比数列前 项和的性质
及其应用，等差数列和等比数列的综合应用．
2．关联知识：函数、等差数列．
一、 等比数列概念及通项公式
1. 等比数列概念
（1）等比数列的概念：一般地，如果数列 从第 项起，每一项与它的前一项之比都等于同一非零常
数 ，即 恒成立，则称 为等比数列，其中 称为等比数列的 公比 ．
（2）等比中项的概念：如果 ， ， 是等比数列，那么称 为 与 的等比中项．利用等比数列的定义可
得： ，进而计算得到： ．
【备注】需要让学生注意的是：
（1）由于等比数列的每一项都可能作为分母，因此每一项均不为 ，因此 也不能为 ;
（2）“从第 项起”是因为首项没有“前一项”;
（3） 均为同一个常数，即比值相等，同时还要注意公比是每一项与其前一项之比，防
止前后次序颠倒;
（4）如果一个数列不是从第2项起而是从第3项或第4项起每一项与其前一项的比都是同一
个常数，那么此数列不是等比数列.这时可以说此数列从第2项起或第3项起是一个等比数
列； （5）如果一个数列从第 项起，每一项与其前一项的比尽管是一个与 无关的常数，
但却是不同的常数，那么此数列不是等比数列；
（6）常数列都是等差数列，但却不一定是等比数列.若常数列是各项都为 的数列，则它就
不是等比数列.当常数列各项不为 时，是等比数列，此时公比 .
关于等比中项
1
（1）只有非零同号的两数才有等比中项，并且有两个等比中项，它们互为相反数.
（2）一个等比数列从第 项起，每一项（有穷数列末项除外）是前一项与其后一项的等比中项，即
.
经典例题
若 ， ， 成等比数列， 是 ， 的等比中项， 是 ， 的等比中项，则（ ）．
A. B. C. ， ， 同号 D. 与 同号
【备注】本题考查的是：只有非零同号的两数才有等比中项
【答案】C
【解析】∵ ， ， 成等比数列，
∴ ，
∴ 同号，
∵ 是 ， 的等比中项，
∴ ，
∴ 同号，
∵ 是 ， 的等比中项，
∴ ，
∴ 同号，
∴ ， ， 同号．
故选 ．
【标注】【知识点】等比中项
巩固练习
在等比数列 中， ， ，则 与 的等比中项为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】在等比数列 中， ， ，
则 与 的等比中项 ，
，
又 ，故 ， ，
2
故选： ．
【标注】【素养】数学运算
【知识点】等比中项；等比数列求通项问题
2. 等比数列的通项公式
（1）等比数列通项公式的变形： ，其中 是任意两个正整数，且
， 必须是同一等比数列的项.
（2）通项公式中含有四个量，即首项 ，公比 ，项数 ，第 项 ，只要知道其中的三个，就可以求出
另外一个.
（3）在记忆公式时，要注意 的指数比项数 小 这一特点.
【备注】如果等比数列 的首项是 ，公比是 ，则等比数列的通项公式为： ．
推导过程如下：
一般地，如果等比数列 的首项是 ，公比是 ，我们根据等比数列的定义，可以得到
，
，
，
…
，
．
将这 个式子的等号两边分别相乘，得到： ，
整理得到：
．
上述推导方法，我们称为累乘法．
经典例题
1. 已知等比数列 的各项均为正数，且 ， ．
（ 1 ）求数列 的通项公式．
3
【备注】本题考查等比数列求通项
【答案】（ 1 ） ．
（ 2 ） ．
【解析】（ 1 ）设等比数列 的公比为 ，依题意 ． 因为 两式相除得 ：
，
解得 ， （舍去）． 所以 ． 所以数列 的通项公式为
．
（ 2 ）由已知可得 ， ，
因为 为等差数列， 所以数列 是首项为 ，公差为 的等差数列． 所以
．
则 ．
因此数列 的前 项和：
．
【标注】【知识点】等比数列求通项问题；分组法求和
2. 在等比数列 中， ， ．
（ 1 ）求首项 和公比 ．
【备注】本题考查等比数列求通项；等比数列求通项的计算方法还是要注意，第一项可写成
从而得到 ,第二等式可提取公因式 ,代入消元即可
【答案】（ 1 ） 或 ．
（ 2 ） 或 ．
4
【解析】（ 1 ）在等比数列中，
由已知得 ，
解得 或 ．
（ 2 ）当 时， ，
当 时， ，
∴ 的值为 或 ．
【标注】【知识点】求等比数列的基本量；等比数列求和问题
3. 已知 是等比数列，且 ， ．
（ 1 ）求数列 的通项公式．
【备注】本题考查等比数列求通项；本题计算时，在第一个式子提取公因式 得 ,第二
个式子提取公因式 得 ） ，作比消元 求解；注意:这里不能同时消掉 ，
会出现丢解情况
【答案】（ 1 ） ．
（ 2 ） ．
【解析】（ 1 ）已知 是等比数列，且 ， ，
得 ，
解得： ， 或 （不合题意舍去）．
则 ．
综上所述，结论是：数列 的通项公式是 ．
（ 2 ）由（ ）得： ，
则数列 的前 项和
．
综上所述，结论是：数列 的前 项和为 ．
【标注】【知识点】分组法求和；等比数列求通项问题
5
巩固练习
1. 已知 是递增的等比数列， ，且 ．
（ 1 ）求数列 的通项公式．
【答案】（ 1 ） ．
（ 2 ） ．
【解析】（ 1 ）∵ ，
∴ 或 （舍）．
又 ，
∴ ，
∴ 或 （舍），
∴ ，
∴ ．
（ 2 ） ，
．
【标注】【知识点】等比数列求通项问题；分组法求和
2. 已知等比数列 中，公比 ，且 ， ．
（ 1 ）求通项公式 ．
6
【答案】（ 1 ） ， ．
（ 2 ） ， ．
【解析】（ 1 ）∵等比数列 中，公比 ，
， ，
，
，
，
解得 或 （舍去），
由 ，则 ，
，
∴ ， ．
（ 2 ）∵
．
∴
，
．
所以 ， ．
【标注】【知识点】分组法求和；等比数列求通项问题
3. 等比数列的性质
（1）当 时，有 ；特别地，若 是 和 的等差中项时， 是
和 的等比中项．
（2）等比数列 的单调性如下：
当 时，
①若 ，则 是递增数列；
②若 ，则 是递减数列；
③若 ，即 ，则 是常数列，即 ．
当 时，
7
不单调，此时 的各项数值在正负之间徘徊，我们称 为摆动数列（或震荡数列），它的所有
奇数项和偶数项（排列顺序不变）保持同号，但是彼此异号．
【备注】除上述性质外，还有其他性质：
（1）如果数列 是等比数列，那么其中序号成等差数列的项仍然成等比数列.例如 是
等比数列，则 , , ...和 , , ...各自构成等比数列.
（2）如果 是等比数列， 是不等于 的常数，那么 仍为等比数列.
（3）若 ， 为项数一致的等比数列，且公比分别为 （ ，且 ），则
有：
① 仍为等比数列，且公比为 ；
② 仍为等比数列，且公比为 .
（4）当数列 是各项为正数，公比为 的等比数列时，数列 是公差为 的等差数
列.
等比数列中巧设“对称项”
在解决等比数列问题的过程中，需要设未知量，为了尽量减少未知数的个数，常采用以下技巧：
（1）当三个数成等比数列时，可设这三个数分别为 ， ， ；
（2）当四个数成等比数列时，可设这四个数分别为 ， ， ， ．
经典例题
1. 在等比数列 中， ， 且 ，若 ，则 （ ）．
A. B. C. D.
【备注】本题是对性质的考查，当 时，有 ；特别地，若
是 和 的等差中项时， 是 和 的等比中项
【答案】C
【解析】∵等比数列 ，
∴ ．
故选 ．
【标注】【素养】数学运算
【知识点】等比数列角标和性质的应用
2. 已知 是等比数列，且 ， ，那么 的值为（ ）．
A. B. C. D.
8
【备注】本题还是对等比中项的考查，可以观察所求的和已知的有什么关系，从而进行转化.
【答案】A
【解析】 ，
又 ，故 ．
故选 ．
【标注】【知识点】等比数列的性质及应用
3. 在各项均为正数的等比数列 中，若 ，则 的值为（
）．
A. B. C. D.
【备注】本题是等比数列和对数运算性质的结合;需要应用对数函数性质 转
化
【答案】D
【解析】在各项均为正数的等比数列 中，
若 ，
可得 ，
则
．
故选： ．
【标注】【知识点】等比数列角标和性质的应用
4. 解答下列各题．
（ 1 ）已知三个数成等比数列，它们的积为 ，它们的平方和为 ，求这三个数．
（ 2 ）已知四个数成等比数列，其积为 ，第二项与第三项之和为 ，求这四个数．
9
【备注】本题是对巧设问题的直接考察.
本题（2）可根据：当四个数成等比数列时，可设这四个数分别为 ， ， ， 这样设法
求解
【答案】（ 1 ）所求的三个数为： ， ， 或 ， ， 或 ， ， 或 ， ， ．
（ 2 ）这四个数分别是： ， ， ， 或 ， ， ， ．
【解析】（ 1 ）设这三个数分别是 ， ， ，由已知得
，
联立方程消去 ， 或 ，
∴ 或 ．
故所求的三个数为： ， ， 或 ， ， 或 ， ， 或 ， ， ．
（ 2 ）设这四个数分别为 ， ， ， ．
则 ① ，
②
由①得 ，
由②得 ，
∴ ．解得 或 ．
当 时， ；
当 时， ．
∴这四个数分别是： ， ， ， 或 ， ， ， ．
【标注】【知识点】等比数列求通项问题
5. 设等比数列 满足 , ，则 的最大值为 ．
【备注】本题考查等比数列的求积问题；根据题意求得 的指数是开口向下的二次函数，所以可根据
二次函数的性质求得最大值；注意：数列的项数是整数
【答案】
【解析】设等比数列的公比为 ，
由 得: ，
解得 ．
10
所以 ，
于是当 或 时, 取得最大值 ．
【标注】【知识点】等比数列的求积问题；等比数列中最值问题
6. 正项等比数列 满足 ，且 ， ， 成等差数列，则 取得最
小值时的 值为 ．
【备注】本题考查等比数列求积问题；本题注意求最值是利用等比数列得前两项是小于 的数，而从
第三项开始是大于 的整数，所以前两项乘积取最小值
【答案】
【解析】正项等比数列 满足 ，
即 ，
由 ， ， 成等差数列，
则 ，
，
，
，
解得 或 （舍去），
将 代入 中，得 ，
所以 ，
则
，
所以 取得最小值时 的值为 ．
【标注】【知识点】等比数列的求积问题
7. 已知等比数列 满足 ， ，则使得 取得最大值的 为（ ）．
A. B. C. D.
【备注】本题同样考查求最值问题；这里注意由于，公比是 ，所以最大值在第 项时，乘积中需
要出现偶数个负数项，其次每个项中的数的绝对值应大于
【答案】B
11
【解析】∵等比数列 中， ， ，
∴ ，
解得 ， ，
．
则 取最大值为 ．
．
故 正确．
【标注】【素养】数学运算；逻辑推理
【知识点】利用方程组求等比数列；等比数列中最值问题；等比数列的求积问题
巩固练习
1. 等比数列 中， ，那么 的值是 ．
【答案】
【解析】∵ 是等比差数列，且 ，
∴ ．
【标注】【知识点】等比数列角标和性质的应用
2. 已知 为等比数列， ， ，则 （ ）．
A. B. 或 C. D.
【答案】C
【解析】∵ ，
∴ ，
即 ， 为方程 的两个根，
解得 或 ，
设等比数列 的公比为 ，
则当 时， ，
所以 ，
当 时， ，
12
所以 ，
故选： ．
【标注】【知识点】等比数列角标和性质的应用
3. 已知四个数，前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，中间两个数之积为 ，第一个数与第四
个数之积为 ，请求出这四个数．
【答案】 ， ， ， 或 ， ， ， ．
【解析】依题意设后三个数分别为 ， ， ，且 ， ，
又∵前三个数成等差数列，∴第一个数为 ，
①
由已知得 ，
②
由①得 ，③
由②得 ，④
将③代入④并整理，得 ，
解得 或 ．
又 ，∴ ，∴ ，∴ ．
当 时，所求的四个数分别为 ， ， ， ，
当 时，所求的四个数分别为 ， ， ， ．
【标注】【知识点】等比数列求通项问题
4. 已知等比数列 满足 , ， ，且 ，则当 时，
（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
13
【解析】由等比数列的性质可得 ，
∵ ，
∴ ，故数列首项 ，公比 ，
故
．
故选 ．
【标注】【知识点】对数的运算；等比数列角标和性质的应用
5. 在等比数列 中，公比 ，且 ，则 等于（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由等比数列定义可知 ，同理 ，
设 ，有题可知 ， ，所以 ， ．
【标注】【知识点】等比数列的求积问题
6. 设 是各项均为正数的等比数列， 为其前 项和．已知 ， ，若存在 使得
的乘积最大，则 的一个可能值是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】解：等比数列 中，公比 ，
由 ，
所以 ，
又 ，
所以 ，解得： 或 ，
若 时，可得 ，可得 的值为 ， ， ， ，不会存在 使得 的
乘积最大，
14
若 时，可得 ，可得 的值为 ， ， ， ， ，观察可知存在 ，
使得 的乘积最大，
综上，可得 的一个可能值是 ．
故选： ．
【标注】【知识点】等比数列角标和性质的应用
7. 设等比数列 满足 ， ，则 的最大值为 ．
【答案】
【解析】设该等比数列的公比为 ，
， ，
解得： ， ，
，
解得： ，即当 时，
有最大值，
所以
．
故答案为： ．
【标注】【知识点】等比数列的求积问题
二、 等比数列的前n项和及性质
1. 等比数列的前 项和公式
对于首项为 ，公比为 的等比数列 ，其前 项和为： ．
（1）等比数列的前 项和公式可看做函数关系 , 是不为 的常数,且 不为
（2）应用公式求和时，应注意 的使用条件为 .当 时，应按长数列求和，即
.在解含字母参数的等比数列求和问题时，应分别讨论 与 两种情况.
15
【备注】关于（1）的说明
整理可得
令 ，则 , 是不为 的常数,且 不为
经典例题
1. 已知数列 为等比数列， 是它的前 项和，若 ，且 与 的等差中项为 ，则 (
)
A. B. C. D.
【备注】本题考查等比数列的求和公式及等差数列的等比中项综合
【答案】C
【解析】设等比数列 的公比为 ，
，
，
又 ，
， ，
故 ，
故选 ．
【标注】【知识点】等比数列求和问题
2. 已知数列 中， ，等比数列 的公比 满足 ，且 ，则
（ ）．
A. B. C. D.
【备注】本题考查等比数列求和；本题难点 只需将首相及公比变为正数求解即可
【答案】B
【解析】∵ ，
，
∴ ，
，
∴ ．
16
【标注】【知识点】等比数列求通项问题
3. 《九章算术》中有如下问题：今有蒲生一日，长 尺，莞生一日，长 尺、蒲生日自半，莞生日自
倍，问几何日而长等？意思是：今有蒲第一天长高 尺，莞第一天长高 尺，以后蒲每天长高前一天
的一半，莞每天长高前一天的 倍，若蒲、莞长度相等，则所需时间为（ ）．（结果精确到 ．参
考数据： ， ．）
A. 天 B. 天 C. 天 D. 天
【备注】本题是等比数列的实际应用问题，根据题意，判断构成等比数列，找到首项及公比求得前
项和即可
【答案】B
【解析】设蒲每天长高的长度成等比数列 ，首项 ，公比 ，前 项和 ，
设莞每天长高的长度成等比数列 ，首项 ，公比 ，前 项和为 ，
则 ， ，
设蒲，莞长度相所需时间约为 天，
则 ，
化简得 ，计算得 ， （舍），
∴ ．
故选 ．
【标注】【知识点】等比数列求和问题；对数的概念及其运算
4. 已知等比数列 的前 项和为 ， ，则 的值为（ ）．
A. B. C. D.
【备注】本题方法一考查等比数列得函数特性，利用等比数列求和公式判断出前三项，再利用等比
中项，求参
方法二利用等比数列求和公式建立等量关系从而求参
【答案】C
【解析】方法一：∵ ，
∴ ，
17
， ，
由中项公式得 ，
即 ，
解得 或 （舍去），
∴ ．
方法二： ，
由定义形式可知， ．
．
【标注】【知识点】等比数列的函数特性
5. 已知正项等比数列 的前 项和 ，满足 ，则 的最小值为（ ）．
A. B. C. D.
【备注】本题考查等比数列与均值不等式综合；利用均值不等式求解最值
【答案】D
【解析】根据题意，设该等比数列的首项为 ，公比为 ，
若 ，则有
，
又由数列 为正项的等比数列，则 ，
则 ，
则
，
当且仅当 时等号成立；
即 的最小值为 ；
故选： ．
【标注】【知识点】等比数列中最值问题
巩固练习
1. 已知 为等比数列 的前 项和，且 ，则 （ ）．
A. B. C. D.
18
【答案】B
【解析】∵ 为等比数列 的前 项和，且 ，
∴ ，
，
，
∵ ， ， 是等比数列，
∴ ，
∴ ，
解得 或 （舍），
∴ ， ，
∴ ，
∴ ．
故选 ．
【标注】【素养】逻辑推理；数学运算
【知识点】等比数列求和问题
2. 若 为等比数列 的前 项的和， ，则 ．
【答案】
【解析】由 ，得到 ，
则 ．
故答案为： ．
【标注】【知识点】等比数列求和问题
3. 等比数列 的前 项和为 ，则 =（ ）．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】∵ 等比数列 的前 项和为 ，
19
∴ ，
，
，
∵等比数列 中， ，
∴ ，解得 ，
故选： ．
【标注】【素养】数学运算
【知识点】等比数列求和问题
4. 我国古代数学著作《九章算术》中记载问题：“今有垣厚八尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠日半
尺，大鼠日增倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”，意思是“今有土墙厚 尺，两鼠从墙两侧同时打
洞，大鼠第一天打洞一尺，小鼠第一天打洞半尺，大鼠之后每天打洞长度比前一天多一倍，小鼠之
后每天打洞长度是前一天的一半，问两鼠几天打通相逢？”两鼠相逢需要的最少天数为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】将大鼠小鼠每天所打的长度分别看作数列 ， ，它们的前 项和分别为 ， ，
则 是以 为首项,2为公比的等比数列，
是以 为首项， 为公比的等比数列，
， ，
令 ，即 ，解得 ，
故选： ．
【标注】【知识点】等比数列中最值问题；等比数列求和问题；数列的实际应用
2. 等比数列的前n项和的性质
（1）数列 为等比数列，公比为 的等比数列，记 为其前 项和，则有：
①当 时， ， ， ，……可构成等比数列，且公比为 ；
②当 且 为奇数时， ， ， ， ……可构成等比数列.
（2）若等比数列 共有偶数项，则偶数项之和与奇数项之和的比值为公比 ．
经典例题
20
1. 已知正项等比数列 的前 项和 ，满足 ，则 的最小值为（ ）．
A. B. C. D.
【备注】本题考查性质：当 时， ， ， ，……可构成等比数列；利用此性
质建立等式再利用均值不等式求解最值
【答案】A
【解析】∵ ，
∴ ，
∵数列 是正项等比数列，
∴ ，
依据等比数列的性质 ， ， 成等比数列，
∴ ，
，
∴
（当且仅当 ，即 时取等号），
∴ 的最小值为 ，
故选 ．
【标注】【知识点】等比数列中最值问题；等比数列前n项和的性质
2. 设 是等比数列 的前 项和，且满足 ， ，则 （ ）．
A. B. C. 或 D. 或
【备注】本题考查性质：当 时， ， ， ，……可构成等比数列，且公比为
.
【答案】D
【解析】∵ 是等比数列，
∴ ， ， 是等比数列，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
21
，
∴ ， ， 成等比数列，
∴ ，
令 ，则 ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ 或 ．
∴故选 ．
【标注】【知识点】等比数列的性质及应用
3. 等比数列 共有奇数项，所有奇数项和 奇 ，所有偶数项和 偶 ，末项是 ，则首项
（ ）．
A. B. C. D.
【备注】本题考查性质：若等比数列 共有偶数项，则偶数项之和与奇数项之和的比值为公比
【答案】C
【解析】方法一：设等比数列有 项，则奇数项有 项，偶数项有 项，设公比为 ，
得到奇数项为奇数项为 ，
偶数项为 ，
所以 ，
即 ，
可得： ，解得 ．
所以所有奇数项和 奇 ，末项是 ， ，
即： ，
解得 ．是共有 项， ，解得 ．
故选： ．
方法二：∵ ，
∴ 偶 ．
奇
又 奇 偶，
∴ ，
22
解得 ．
故选 ．
【标注】【知识点】等比数列求和问题
巩固练习
1. 已知一个等比数列的前 项和为 ，前 项和为 ，则前 项和为 ．
【答案】
【解析】由题意可得 ， ，
又 ， ， 仍成等比数列，
∴ ，
代入数据可得 ，
解得 ．
故答案为： ．
【标注】【知识点】等比数列前n项和的性质
2. 已知正项等比数列 的前 项和为 ，若 ， ， 成等差数列，则 ，
的最小值为 ．
【答案】 ;
【解析】因为 ， ， 成等差数列，
所以 ，
则 ．
又由等比数列的性质得 ， ， 成等比数列，且已知 ，
所以
，
当且仅当 ，即 时等号成立，
所以 的最小为 ．
【标注】【知识点】等比数列前n项和的性质；等比数列中最值问题
23
3. 已知一个等比数列首项为 ，项数是偶数，其奇数项之和为 ，偶数项之和为 ，则这个数列的公比
和项数分别为（ ）．
A. ， B. ， C. ， D. ，
【答案】D
【解析】设等比数列项数为 项，所有奇数项之和为 奇所有偶数项之和为 偶，
根据题意得： 奇 ， 偶 ，
∴ 偶 ，又 ，
奇
∴ 奇 ，整理得：
即 ，
解得： ，
则这个等比数列的项数为 .
故选 ．
【标注】【知识点】等比数列的性质及应用
3. 证明或判断数列是等比数列的常用方法
（1）定义法： 为等比数列；
（2）等比中项法： 为等比数列；
（3）通项公式法： 均是不为 的常数 为等比数列
（4）前n项和公式法：
①若数列 的前 项和 可以写成 （ 为常数）的形式，则 为常数列，满足 ，特别
地，当 时， 是公比为 的等比数列；
②若数列 的前 项和 可以写成 （ 为常数且 ， ， ）的形
式，则 是公比不为 等比数列．
其中（1）（2）常用于证明，（3）（4）常用于判断.
经典例题
1. 数列 的前 项和 ，那么 （ ）．
A. 一定是等比数列 B. 一定是等差数列 C. 不可能为等差数列 D. 可能为等比数列
【备注】本题考查的是利用数列的前n项和判断数列.
【答案】D
24
【解析】由题可知，
，
当 时或 时或 时， ，是常数列，既是等差数列也是等比数列．
当 且 且 时， ，不是等比数列．
【标注】【知识点】等比数列的判定与证明
【素养】数学运算
2. 若数列 是等比数列，下列命题正确的是（ ）．
A. ， 是等比数列 B. 成等差数列
C. ， 成等比数列 D. ， 成等比数列
【备注】本题考查等比数列通项公式形式，求得选项中得通项公式观察是等比数列还是等差数列
【答案】AC
【解析】A 选项：∵ 是等比数列，设 ，
， 是以 为首项， 为公比的等比数列；
， ，
∴ 是以 为首项， 为公比的等比数列，故 正确；
B 选项： ，当 时， 无意义，故 错误；
C 选项： ， ，
∴ 是以 为首项， 为公比的等比数列；
， ，
∴ 是以 为首项， 为公比的等比数列；
故 正确；
D 选项： ，当 时， 不为等比数列，故 错．
故选 A C .
【标注】【知识点】等比数列的判定与证明
3. 已知数列 的前 项和 ，求证： 是等比数列．
25
【备注】本题考查用定义法判断等比数列
【答案】证明见解析．
【解析】 时， ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
由 知 是等比数列．
【标注】【知识点】等比数列的判定与证明
巩固练习
1. 若数列 满足 ，则（ ）．
A. 数列 不是等比数列 B. 数列 是公比为 的等比数列
C. 数列 是公比为 的等比数列 D. 数列 是公比为 的等比数列
【答案】B
【解析】由 ，可得 ，则数列 是公比为 的等比数列．
故选 ．
【标注】【知识点】等比数列的判定与证明
2. 若 是等比数列，下列结论中不正确的是（ ）．
A. 一定是等比数列 B. 一定是等比数列
C. 一定是等比数列 D. 一定是等比数列
【答案】C
【解析】A 选项：∵ 是等比数列，
设 ，
∵ ，
∴ 一定是等比数列．
26
B 选项：∵ 是等比数列，
设 ，
∵ ，
∴ 一定是等比数列．
C 选项：∵ 是等比数列，
设 ，
当 时， ，
此时 不为等比数列，
∴ 选项不正确．
D 选项：∵ 是等比数列，
设 ，
．
∴ 一定是等比数列．
故选 C .
【标注】【知识点】等比数列的判定与证明
3. 设数列 ，以下命题正确的是( )
A. 若 ， ，则 为等比数列
B. 若 ， ，则 为等比数列
C. 若 ， 、 ，则 为等比数列
D. 若 ， ，则 为等比数列
【答案】C
【解析】 ，
，
数列 不一定为等比数列，故 错误；
，若 ， ，
则数列 不是等比数列，故 错误；
若 ， 、 ，
，
，
数列 为等比数列，故 正确；
27
，
若 ， ，则数列 不是等比数列，故 错误．
【标注】【知识点】等比数列的判定与证明
思维导图
你学会了吗？画出思维导图总结本课所学吧！
【备注】
出门测
28
1. 在各项均为正数的等比数列 中，若 ，则 等于（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】方法一：
由于 ， ，
．
方法二：由 ，根据等比数列的基本性质（ ），可得
．
故选 ．
【标注】【知识点】等比数列的性质及应用
【知识点】等差数列的前n项和
【知识点】等差数列的概念与通项公式
【知识点】对数的概念及其运算
【素养】数学抽象
2. 一个项数是偶数的等比数列，它的偶数项的和是奇数项和的 倍，又它的首项为 ，且中间两项的和
为 ，则此等比数列的项数为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】依题意，
，
∴ ．
所以 ．
已知 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ．
所以数列有 项．
故选 ．
【标注】【知识点】求等比数列的基本量
29
3. 已知数列 满足 ， （ 且 ），则下列说法错误的是（ ）．
A. B. 是 与 的等比中项
C. 数列 是等比数列 D. 在 中，只有有限个大于 的项
【答案】D
【解析】 ，
∴ 是以首项 ，公比 的等比数列，
∴ ，
∴ ，故 正确；
， ，
∴ ，故 正确；
∴
，
∴ 是以首项为 ，公比为 的等比数列，
故 正确，
中， 是由无限个关于 的项，故 错误．
【标注】【知识点】通项公式；等比数列的判定与证明；等比数列求通项问题；等比数列的性质
及应用
4. 若数列 是等比数列，则下列数列一定是等比数列的是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵数列 是等比数列，∴ ，
在 中， 不一定是常数，
故 不一定是等比数列；
在 中， 可能有项为 ，
故 不一定是等比数列；
在 中，利用等比数列的定义，可知 的公比是原来公比的倒数，
故 一定是等比数列；
在 中，当 时，数列 存在负项，此时 无意义，
30
故 不符合题意．
∴选 ．
【标注】【知识点】等比数列的判定与证明
5. 已知等比数列 的前 项和为 ，且 ，则 的公比 的值为 ．
【答案】 或
【解析】因为 是等比数列， 解得
故答案为 或 ．
【标注】【知识点】等比数列的概念与通项公式
31
