等比数列
一、 数列概念及通项公式
1. 已知等比数列 是递减数列， ， ．
（ 1 ）求数列 的通项公式．
2. 在递增的等比数列 中， ， ，其中 ．
（ 1 ）求数列 的通项公式．
3. 已知数列 是等比数列，若 ， ，则 （ ）．
A. B. C. D.
二、 性质
1. 等比数列 满足 ，则 ；
．
2. 设各项均为正的等比数列 满足 ，则 等于（ ）．
A. B. C. D.
3. 已知等比数列 中， ， ，记 ．则数列 （ ）．
A. 有最大项，有最小项 B. 有最大项，无最小项
1
C. 无最大项，有最小项 D. 无最大顶，无最小项
4. 已知等比数列 ，且 ，则 的值为（ ）．
A. B. C. D.
5. 等比数列 的各项均为正数，且 ，则
．
6. 若等比数列 的各项均为正数，且 ，则
．
三、 前n项和及性质
1. 若数列 的前 项和为 ，且 ， ， ，则 （
）．
A. B. C. D.
2. 在等比数列 中，若 ， ，则公比 ； ．
3. 设各项均为正数的等比数列 的前 项和为 ，若 ， ，则公比 ，
．
4. 已知一个等比数列首项为 ，项数是偶数，其奇数项之和为 ，偶数项之和为 ，则这个数列的项
数为（ ）．
A. B. C. D.
5. 等比数列 共有 项，其中 ，偶数项和为 ，奇数项和为 ，则 （ ）．
A. B. C. D.
6. 已知正项等比数列 的前 项和为 ，且 ，则 的最小值为（ ）．
A. B. C. D.
四、 证明及判定等比数列
1. 下列命题中正确的是（ ）．
①若数列 是等差数列,且 ,则 ；
②若 是等差数列 的前 项的和,则 ， ， 成等差数列；
③若 是等比数列 的前 项的和，则 ， ， 成等比数列；
2
④若 是等比数列 的前 项的和，且 ；（其中 , 是非零常数， ），则
为零．
A. ①② B. ②③ C. ②④ D. ③④
2. 已知数列 是公比 的等比数列，给出下列留个数列：（ ） ；（ ） ；
（ ） ；（ ） ；（ ） ；（ ） ，其中仍能构成等比数列的个数为
（ ）．
A. B. C. D.
3. 对数列 ，记前 项和为 （ ）．下列四个结论中一定成立的是（ ）．
A. 若 （ 、 、 是常数），则 是等差数列
B. 若 （ ），则 既是等差数列又是等比数列
C. 若 ，则 是等比数列
D. 若 是等比数列，则 ， ， （ ）也成等比数列
3等比数列
一、 数列概念及通项公式
1. 已知等比数列 是递减数列， ， ．
（ 1 ）求数列 的通项公式．
【答案】（ 1 ） ．
（ 2 ） ．
【解析】（ 1 ）等比数列 是递减数列， ， ，
即有 ，解得 ， （舍去）或 ， ，
可得公比 ， ．
（ 2 ） ，
则前 项和
．
【标注】【知识点】分组法求和；等比数列求通项问题
2. 在递增的等比数列 中， ， ，其中 ．
（ 1 ）求数列 的通项公式．
1
【答案】（ 1 ） ．
（ 2 ） ．
【解析】（ 1 ）设数列 的公比为 ，则 ，
又 ，
∴ ， 或 ， （舍），
∴ ，即 ，
故 ．
（ 2 ）由（ ）得， ，
∴
．
【标注】【知识点】等比数列求通项问题；分组法求和
3. 已知数列 是等比数列，若 ， ，则 （ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】数列 是等比数列，且 ， ，
所以由通项公式可得 ，解得 ．
所以
代入 ，
2
可得
，
故选 ．
【标注】【知识点】求等比数列的基本量
二、 性质
1. 等比数列 满足 ，则 ；
．
【答案】 ;
【解析】
，
对应相等 ，
故 ，
．
【标注】【知识点】等比数列角标和性质的应用
2. 设各项均为正的等比数列 满足 ，则 等于（ ）．
A. B. C. D.
3
【答案】C
【解析】∵ 为等比数列
∴
化简：
∴
．
故选 ．
【标注】【知识点】等比数列的求积问题
3. 已知等比数列 中， ， ，记 ．则数列 （ ）．
A. 有最大项，有最小项 B. 有最大项，无最小项
C. 无最大项，有最小项 D. 无最大顶，无最小项
【答案】A
【解析】已知数列 为等比数列， ， ，
∴ ，
所以
，
所以当 为奇数时， ，当 为偶数时， ，
令 ，所以当 或 时， 为最大值，
所以当 时， ，有最大值，
当 时， ，有最小值，
故选： ．
【标注】【知识点】等比数列中最值问题
4. 已知等比数列 ，且 ，则 的值为（ ）．
4
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题意知： ，
∵ ，
∴ ．
故选 ．
【标注】【知识点】等比数列角标和性质的应用
【素养】数学运算
5. 等比数列 的各项均为正数，且 ，则
．
【答案】
【解析】∵等比数列 的各项均为正数，且 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
，
．
故答案为 ．
【标注】【知识点】等比数列角标和性质的应用
6. 若等比数列 的各项均为正数，且 ，则
．
【答案】
【解析】∵数列 为等比数列，且 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
5
【标注】【知识点】等比数列的性质及应用
三、 前n项和及性质
1. 若数列 的前 项和为 ，且 ， ， ，则 （
）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由题意有 ，
所以数列 是等比数列．
因为 ， ，
所以 ，
所以等比数列 的首项为 ，公比为 ．
所以 ，
所以 ．
故选 ．
【标注】【知识点】等比数列求通项问题
2. 在等比数列 中，若 ， ，则公比 ； ．
【答案】 ;
【解析】 ；设数列 为首项为 ，公比为
的等比数列，所以 ．
故答案为 ， ．
【标注】【知识点】等比数列求和问题
3. 设各项均为正数的等比数列 的前 项和为 ，若 ， ，则公比 ，
．
6
【答案】 ;
【解析】由各项均为正数的等比数列 ，∴ ．
由 ， ，
则 ，∴ ， ，
解得： ， ．
．
故答案为： ， ．
【标注】【知识点】求等比数列的基本量；等比数列求和问题
4. 已知一个等比数列首项为 ，项数是偶数，其奇数项之和为 ，偶数项之和为 ，则这个数列的项
数为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】设该等比数列的前 项和为 ，
∵一个等比数列首项为 ，项数是偶数，其奇数项之和为 ，偶数项之和为 ，
∴公比 ．
∴ ．
解得 ，故选 ．
答案： ．
【标注】【知识点】等比数列求和问题
5. 等比数列 共有 项，其中 ，偶数项和为 ，奇数项和为 ，则 （ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题意可得： ，
，即 ，
∴ ，
解得 ，
7
∴ ，解得 ．
故选 ．
【标注】【知识点】等比数列求和问题；求等比数列的基本量
6. 已知正项等比数列 的前 项和为 ，且 ，则 的最小值为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】 是等比数列，
∵ ，即 ，
∴ ， ， 也是等比数列，
且 ，
∴ ，
可得：
．
当且仅当 时取等号，
∴ 的最小值为 ．
故选 ．
【标注】【知识点】等比数列前n项和的性质
四、 证明及判定等比数列
1. 下列命题中正确的是（ ）．
①若数列 是等差数列,且 ,则 ；
②若 是等差数列 的前 项的和,则 ， ， 成等差数列；
③若 是等比数列 的前 项的和，则 ， ， 成等比数列；
④若 是等比数列 的前 项的和，且 ；（其中 , 是非零常数， ），则
为零．
8
A. ①② B. ②③ C. ②④ D. ③④
【答案】C
【解析】①取数列 为常数列,对任意 ， ， ， ，都有 ，故错；
②设等差数列 的首项为 ，公差为 ．
则 ．
．
同理：
．
∴ ．
∴ ， ， 是等差数列，此选项正确．
③设 ，则 ， ， ．
∴此数列不是等比数列，此选项错；
④∵ ．
∴此数列为首项是 ，公比为 的等比数列，则 ．
∴ , ，∴ ，故正确；
故选： ．
【标注】【知识点】等差数列角标和性质的应用；等差数列前n项和的性质；等比数列前n项和的
性质
【素养】数学运算
2. 已知数列 是公比 的等比数列，给出下列留个数列：（ ） ；（ ） ；
（ ） ；（ ） ；（ ） ；（ ） ，其中仍能构成等比数列的个数为
（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】利用等比数列的定义判断，除 不是等比数列外，其余均是等比数列．
故选 ．
【标注】【知识点】等比数列的判定与证明
9
3. 对数列 ，记前 项和为 （ ）．下列四个结论中一定成立的是（ ）．
A. 若 （ 、 、 是常数），则 是等差数列
B. 若 （ ），则 既是等差数列又是等比数列
C. 若 ，则 是等比数列
D. 若 是等比数列，则 ， ， （ ）也成等比数列
【答案】C
【解析】A 选项：若 为等差数列 的前 项和则 ，即 ，故 错误；
B 选项：若 则 不是等比数列，故 错误；
C 选项： 时， ； 时， ，则
，
若 为偶数，则 ；若 为奇数， ，则 以为 为首项，
以 为公比的等比数列，故 正确；
D 选项：同 选项， ， ， ，故 ， ， 不成等比数
列，故 错误；
故选 C .
【标注】【知识点】等差数列的判定与证明问题；等比数列的判定与证明
10
