空间向量的应用
学习目标
1．熟练掌握利用空间向量证明直线、平面的平行或垂直．
2．掌握利用空间向量求距离的方法．
3．掌握利用空间向量求角的方法．
【备注】1．本讲的重点是掌握利用空间向量证明平行、垂直以及求角和距离的方法；难点是存在性
问题的求解方法．
2．关联知识：空间向量、立体几何．
一、 用空间向量研究直线、平面的位置关系
1. 利用空间向量证明直线与直线的平行或垂直
（1）方向向量：一般地，如果是空间中的一条直线， 是空间中的一个非零向量，且表示 的有向线
段所在的直线与平行或重合，则称 是直线的一个方向向量.
（2）设直线 和 的方向向量分别为 和 ，则有：
；
．
【备注】证明直线与直线的平行或垂直首选方法是利用判定定理来证明，如果判定定理不能直接判
定，选择空间向量来证明直线与直线的平行或垂直.
经典例题
1. 已知向量 ， 分别是直线 ， 的方向向量，若 ，则（ ）．
A. ， B. ， C. ， D. ，
【备注】判断两直线平行应用数乘运算 建立方程求解即可
【答案】D
【解析】∵ ，
∴存在非零实数 使得 ，
1
∴ 得 ．
故选 ．
【标注】【知识点】向量法解决空间中的平行问题；空间向量的正交分解及其坐标表示；空间向
量线性运算的坐标表示
2. 如图，在四棱锥 中， 底面 ，底面 为正方形， ， ， 分别是
， 的中点．
（ 1 ）求证： ．
【备注】建立空间直角坐标系，表示出向量，利用两个向量垂直向量点乘为 求解即可
【答案】（ 1 ）证明见解析．
（ 2 ） 为 的中点．
【解析】（ 1 ）由题意知：分别以 ， ， 所在直线为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系，
如图：
2
设 ，则 ， ， ， ，
， ， ，
所以 ，
所以 ．
（ 2 ）设点 ，则 平面 ，且 ，
要使 平面 ，只需 ， ．
因为
，
，
所以 ， ．
故点 的坐标为 ，
即点 为 的中点．
【标注】【知识点】向量法解决空间中的垂直问题；向量法解决异面直线所成角问题；向量法解
决空间中的平行问题
巩固练习
1. 的方向向量为 ， 的方向向量为 ，若 ，则 等于（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵ ，
3
∴ ，则 ，
∴ ．
【标注】【知识点】直线的方向向量与平面的法向量；空间向量线性运算的坐标表示
2. 如图所示，在正方体 中， 为 的中点．
（ 1 ）求证： ．
（ 2 ）求证： ．
【答案】（ 1 ）证明见解析．
（ 2 ）证明见解析．
【解析】（ 1 ）以 为坐标原点，分别以 ， ， ，所在直线为 轴、 轴、 轴建立如图所示
的空间直角坐标系 ．
设正方体的棱长为 ，则 ， ， ， ， ，
．
4
， ，
因为 ，
所以 ，所以 ．
（ 2 ） ，
因为 ，
所 ，所以 ．
【标注】【知识点】向量法解决空间中的垂直问题；向量法解决异面直线所成角问题
2. 利用空间向量证明直线与平面平行或垂直
（1）法向量
①定义：如果 是空间中的一个平面， 是空间中的一个非零向量，且表示 的有向线段所在的直线与
平面 垂直，则称 为平面 的一个法向量．此时，也称 与平面 垂直，记作 ．
②性质：
（i）如果直线垂直平面 ，则直线的任意一个方向向量都是平面 的一个法向量；
（ii）如果 是平面 的一个法向量，则对任意的实数 ，空间向量 也是平面 的一个法向量，而且
平面 的任意两个法向量都平行；
（iii）如果 为平面 的一个法向量， 为平面 上一个已知的点，则对于平面 上任意一点 ，向量 一
定与向量 垂直，即 ，从而可知平面 的位置可由 和 唯一确定.
（2）利用空间向量证明直线与平面平行、垂直
设 是平面 的一个法向量， 是直线的方向向量，则：
；
或 .
【备注】证明直线与平面的平行、垂直首选方法是利用判定定理来证明，如果判定定理不能直接判
定，选择空间向量来证明直线与平面的平行、垂直.
经典例题
5
1. 如图，在正方体 中， 为 的中点， 为 的中点．
（ 1 ）求证： 平面 ．
【备注】建立空间直角坐标系，求出平面 的法向量，再用直线 的方向向量点乘平面 的
法向量证明即可
【答案】（ 1 ）证明见解析．
（ 2 ） ．
【解析】（ 1 ）以点 为坐标原点， 、 、 所在直线分别为 、 、 轴，
建立如下图所示的空间直角坐标系 ，
设正方体 的棱长为 ，
则 、 、 、
、 、 ，
， ， ，
6
设平面 的法向量为 ，
则 ，得 ，
令 ，则 ， ，则 ，
因为 ，
所以 ，
因为 平面 ，
所以 平面 ．
（ 2 ）设直线 与平面 所成角为 ，
所以 ，
因此，线 与平面 所成角的正弦值为 ．
【标注】【知识点】向量法解决线面角问题；向量法解决空间中的平行问题
2. 已知点 ， ， ，点 ，若 平面 ，则点 的坐标为（ ）．
A. B. C. D.
【备注】本题考查利用直线与平面垂直求解参数；若直线垂直平面，则直线垂直平面内的任意直线
本题做题思路：求解出平面内的两条直线的方向向量， 与其点乘为零求参即可
【答案】C
【解析】∵ ， ， ，点 的坐标为 ，
∴ ， ， ，
又∵ 平面 ，
∴ ， ，
则 ，
解方程组可得 ，
故 点的坐标为 ．
故选 ．
【标注】【知识点】向量法解决空间中的垂直问题
3. 在正方体 中， ， 分别是 ， 的中点，
7
求证： 平面 ．
【备注】本题利用方法一求解：建系；求平面两条相交直线的方向向量， 与其点乘为 即可
【答案】证明见解析．
【解析】方法一：设正方体的棱长为 ，如图，建立空间直角坐标系，则 ， ,
， ， ，
∴ ，
，
．
∴ ．
,
∴ ， ．
又 ，
∴ 平面 ．
8
方法二：设 ， ， ，则 ，如图，连接 ，
则
．
∵ ，
∴
，
∴ ，即 ．
同理 ．
又 ，
∴ 平面 ．
【标注】【知识点】建立空间直角坐标系；向量法解决空间中的垂直问题；向量法解决空间中的
平行问题；空间向量的数量积及其坐标表示
巩固练习
1. 如图，在三棱锥 中， 底面 ， ，点 ， ， 分别为棱 ， ， 的中
点， 是线段 的中点， ， ．
9
（ 1 ）求证： 平面 ．
【答案】（ 1 ）证明见解析．
（ 2 ） ．
【解析】（ 1 ）由题意可知 ， ， 两两垂直，
故可以 为原点， ， ， 分别为 轴， 轴和 轴建立如图所示的空间直角坐标系，
由题意可得：
， ， ， ，
， ， ， ，
， ，
设 是平面 的法向量，
则 ，即 ，
令 得 ，
又 ，
10
故 ，
∵ 平面 ，
∴ 平面 ．
（ 2 ）由题可知 是平面 的一个法向量，
设 是平面 的法向量，
由 ， ，
则 即 ，
令 得 ，
故 ，
由题可知二面角 是锐角，
故二面角 的余弦值是 ．
【标注】【知识点】向量法解决空间中的平行问题；向量法解决二面角问题
2. 如图，在四棱锥 中，底面 是矩形， 平面 ， ， ，
， 分别是 ， 的中点．证明： 平面 ．
【答案】证明见解析．
【解析】如图所示，以 为坐标原点， ， ， 所在直线分别为 ， ， 轴建立空间直角坐标
系．
11
∵ ， ，四边形 是矩形，
∴ ， ， ， ．
又 ， 分别是 ， 的中点，
∴ ， ．
∴ ，
， ．
∴ ， ．
∴ ， ．
∴ ， ．
又 ，∴ 平面 ．
【标注】【知识点】向量法解决空间中的平行问题；向量法解决空间中的垂直问题；直线和平面
垂直的判定
3. 利用空间向量证明平面与平面平行或垂直
设平面 的法向量分别是 ，则
；
或 与 重合.
【备注】证明平面与平面的平行、垂直首选方法是利用判定定理来证明，如果判定定理不能直接判
定，选择利用空间向量来证明平面与平面的平行、垂直.
12
经典例题
1. 已知平面 的一个法向量为 ，平面 的一个法向量为 ，若 ，则实数 的值为（
）．
A. B. C. D.
【备注】两个平面平行其两个平面的法向量也平行
【答案】C
【解析】若 ，则向量 与向量 共线，
∴存在实数 使 ，
∴ ，
∴ ， ．
故选 ．
【标注】【知识点】向量法解决空间中的平行问题；向量法解决二面角问题
2. 如图，正方体 中， 、 分别为 、 的中点．
（ 1 ）用向量法证明平面 平面 ．
【备注】证明两个向量平行只需证明两个平面的法向量相互平行即可
【答案】（ 1 ）证明见解析．
（ 2 ）证明见解析．
13
【解析】（ 1 ）建立如图所示的坐标系，设正方体的棱长为 ，则 ， ， ，
， ， ，
设平面 的法向量为 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴取 ，
同理平面 的法向量为 ，
∴ ，
∴平面 平面 ．
（ 2 ）∵ 、 分别为 、 的中点，
∴ ，
∴ ，
∴ 面 ．
【标注】【知识点】向量法解决空间中的平行问题；向量法解决二面角问题
3. 设 ， 分别是平面 ， 的法向量．若 ，则实数 的值是（ ）．
A. B. C. D.
【备注】利用两个平面垂直其法向量也相互垂直，向量点乘为 求参即可
【答案】B
【解析】由题意知， ，
则 ，
解得 ．
故选 ．
【标注】【知识点】向量法解决二面角问题；向量法解决空间中的垂直问题
14
4. 已知平行四边形 中 ， ，平面 平面 ，三角形 为等边三角
形， ．
（ 1 ）求证：平面 平面 ．
【备注】证明平面与平面相互垂直先证明平面 内的直线与另一个平面 垂直,再说明此直线在平面
内即可
【答案】（ 1 ）证明见解析．
（ 2 ）1 ．
2 ．
【解析】（ 1 ）平行四边形 中，
∵ ， ，
由余弦定理可得 ，
由勾股定理可得 ，
如图，以 为原点建立空间直角坐标系 ，
∴ ， ， ，
， ，
15
∴ ， ， ，
∴ ， ，
∴ ， ．
又 ，∴ 平面 ．
又∵ 平面 ，∴平面 平面 ．
（ 2 ）1 ∵ ，
∴设 ，
∴ ， ．
∵ 平面 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
， ，
∴ ，
∴异面直线 与 所成角的余弦值为 ．
2 ∵ ，
∴设 ，
∴ ， ．
∵ 平面 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
设 为平面 的法向量，
则 可得 ，
设 为平面 的法向量，
则 可得 ，
16
∴ ， ，
∴二面角 的正弦值为 ．
【标注】【知识点】向量法解决二面角问题；向量法解决异面直线所成角问题
巩固练习
1. 已知向量 ， ，若 ， 分别是平面 ， 的法向量，且 ，则 （ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵向量 ， ，
， 分别是平面 ， 的法向量，且 ，
∴ ，
解得 ．
故选 ．
【标注】【知识点】向量法解决空间中的垂直问题；坐标表示平面向量的垂直
2. 已知正方体 的棱长为 ， ， ， 分别为 ， ， 的中点，求证：平面
平面 ．
【答案】证明见解析．
【解析】建立如图所示的空间直角坐标系 ，
17
则 ， ， ， ， ， ， ．
得 ， ， ，
， ， ， ．
设 为平面 的法向量，
则 ，即 ，
令 ，可得 ， ，
∴ ，
设 为平面 的法向量，
则 ，
即 ，
令 ，可得 ， ，
∴ ．
∴ ，
∴平面 平面 ．
【标注】【知识点】向量法解决空间中的平行问题；向量法解决二面角问题
3. 如图，在四棱锥 中， 平面 ， 平面 ， ，
．
求证：平面 平面 ．
18
【答案】证明见解析．
【解析】取 的中点 ，连接 ，则 ，
又 平面 ，
∴以 为原点建立空间直角坐标系 ，如图所示．
则 ， ， ， ．
设平面 的法向量为 ，
则 ，
．
令 ，则 ， ，
∴ ，
又 平面 ，
∴ ，
∴ 平面 ，
∴平面 的法向量可取为 ．
∵ ，
∴ ，
19
∴平面 平面 ．
【标注】【知识点】向量法解决二面角问题
4. 知识总结
（1）直线与直线的平行与垂直关系
设直线 和 的方向向量分别为 和 ，则
或 与 重合 或者
或者
（2）平面的法向量求解步骤
①设向量
②选向量
③列方程组
④解方程组
⑤赋非零值
⑥得结论
（2）直线与平面、平面与平面的平行与垂直关系
① 设 是平面 的一个法向量， 是直线的方向向量，则：
；
或 ．
② 设 ， 分别是平面 的法向量，则：
或 与 重合 ；
.
二、 用空间向量研究距离、夹角问题
1. 空间中的距离
（1）空间中两点间的距离公式
已知空间两点 和 ，则两点之间的距离
．
（2）点到直线的距离
20
点 是直线外一点，若 是直线的垂线段，则 的长度就是点 到直线的距离，这一距离也等于 .
（3）点到平面的距离
求平面 外一点 到平面 的距离的解题步骤：
①建立适当的空间直角坐标系；
②找到平面 内一定点，如 ，求出向量 的坐标；
③求出平面 的法向量 ；
④利用公式 ，求出点 到平面 的距离 ．
（4）相互平行的直线与平面间的距离
直线与平面 平行， 是平面 的一个法向量， 分别是上和 内的点，则直线与平面 之间的距离
为： .
（5）相互平行的平面与平面间的距离
如果平面 和平面 平行， 是平面 的一个法向量（当然也是平面 的一个法向量）， 和 分别是平面
和平面 内的点，则平面 和平面 之间的距离为： .
经典例题
长方形 中， ， ， 分别是 ， 的中点（图 ）．将此长方形沿 对
折，使二面角 为直二面角， 是 的中点（图 ）．
图 图
（ 1 ）求 到面 的距离．
（ 2 ）求 到 的距离．
21
【备注】第（1）问考查利用空间向量法求点到平面的距离，先求平面的法向量，再在平面内选一点
，利用 和平面法向量求出点 到平面的距离；
第（2）问在三角形中利用等面积法求点到直线的距离.
【答案】（ 1 ） ．
（ 2 ） ．
（ 3 ）存在， ．
【解析】（ 1 ）由题可知， ， ， ，
又∵ ，
平面 ，
平面 ，
则三棱柱 为直三棱柱，
由 ， ，
平面 平面 ，
故：二面角 为 ，
建立如图所示的空间直角坐标系 ，
得 ， ， ， ，
得 ， ， ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，得 ，
令 ，得 ，
故 ．
设 到平面 的距离为 ，
则 ，
22
故 到面 的距离为 ．
（ 2 ）由 可知， ， ， ，
∴ ， ， ，
得 ，
故 ，
， ， ，
故 中设 到 的距离为 ，
则 ，
，
解得： ，
故 到 的距离为 ．
（ 3 ）设 ，
又∵ ， ，
则 ， ，
得
，
故 ，
又∵ ，
则 ，
由 可知 一条法向量为 ，
则 ，
，
故 为 中点，
此时 ，
．
【标注】【知识点】平行的探索性问题；向量法求空间距离；向量法解决空间中的平行问题
巩固练习
1. 在正四棱锥 中， 为顶点 在底面 内的正投影， 为侧棱 的中点，且
，则异面直线 与 的距离为（ ）．
23
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵ 为正四棱锥且 是 在底面 内的正投影，
∴ 面 ，
连接 、 ，则 且交于 ，
∵ 、 面 ，
∴ 、 ，
∴以 、 、 为 、 、 轴建立
如图所示的空间直角坐标系，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
设异面直线 与 的公垂线向量为 ，
则有 即 ，
得 不妨令 ，则 ，
又∵ ，
∴异面直线 与 的距离 ，
∴异面直线 与 的距离为 ．
故选 ．
【标注】【知识点】向量法求空间距离
2.
24
如图所示，在长方体 中， ， ，点 是棱 的中点，则点
到平面 的距离为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】如图，以 为坐标原点，直线 ， ， 分别为 ， ， 轴建立空间直角坐标系，
则 ， ， ， ，
， ， ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，取 ，得 ，
点 到平面 的距离为：
，
25
故选 ．
【标注】【知识点】向量法求空间距离
2. 向量法求异面直线所成的角
设两条异面直线所成的角为 ，则 ， ．
设两条异面直线的方向向量分别为 ，则其夹角 与 相等或互补．
．
注意：两条直线夹角的范围： ；两条异面直线夹角的范围： ， ．
【备注】①两条异面直线的公垂线段在【立体几何初步】中《空间中的角与距离》已经讲解过，在
这里不作细讲.
和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线，在公垂线上两垂足之间的
线段叫做这两条异面直线的共垂线段．两条异面直线的公垂线段的长度，叫做这两条异面
直线的距离．
如图， ， 为异面直线， 且 和 相交于点 ； 且 和 相交于 ，则 的长
度为异面直线 ， 间的距离．
②求两条直线所成的角运用的方法与求两条异面直线所成的角一致，只是其夹角的范围不
同.
（1）利用向量法求异面直线所成角的步骤：
①建系：选择三条两两垂直的直线建立空间直角坐标系；
②定向量：确定异面直线上两个点的坐标,从而确定异面直线的方向向量；
③计算：利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值；
④下结论：两异面直线所成角的余弦值等于两方向向量夹角余弦值的绝对值.
（2）注意向量法求异面直线所成角与向量夹角的区别，尤其是取值范围.
经典例题
如图，在所有棱长均为 的直三棱柱 中， 、 分别为 、 的中点，则异面直线
、 所成角的余弦值为（ ）．
26
A. B. C. D.
【备注】本题考查异面直线的所成角的余弦值，利用上面的求解方法求解即可
【答案】C
【解析】在所有棱长均为 的直三棱锥 中， 、 分别为 、 的中点，
以 为原点，在平面 中过 作 的垂线为 轴， 为 轴，
为 轴，建立空间直角坐标系，
， ， ， ，
， ，
设异面直线 、 所成角为 ，
则 ，
∴异面直线 、 所成角的余弦值为 ．
故选 ．
【标注】【知识点】向量法解决异面直线所成角问题
巩固练习
27
1. 如图，四棱锥 中， 平面 ， ， ， ，则
异面直线 与 所成角的余弦值为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】以 为原点， ， ， 为 ， ， 轴，
由题意知： ， ， ， ，
∴ ， ，
∴ ．
故选 ．
【标注】【知识点】向量法解决异面直线所成角问题
2. 如图，在三棱锥 ， 为等边三角形， 为等腰直角三角形， ，平面
平面 ， 为 的中点，则异面直线 与 所成角的余弦值为 ．
【答案】
28
【解析】取 的中点 ，连结 ， ，
∵ ，
∴ ，
∵平面 平面 ，
平面 平面 ，
平面 ，
∴ 平面 ，
又∵ ，
∴ ，
以 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
T
∵ 是等腰直角三角形， ，
为等边三角形，
∴ ， ， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴异面直线 与 所成角的余弦值为 ．
故答案为： ．
【标注】【知识点】向量法解决异面直线所成角问题
3. 向量法求线面角
直线与其在平面内的射影所成的角称为直线与平面所成的角．
29
由此得出：
①若直线与平面垂直，则直线与平面所成角为 ；
②若直线与平面平行，则直线与平面所成角为 ．
直线与平面所成角的取值范围是 ．
求解直线与平面 所成角的步骤：
①建立合理的空间直角坐标系；
②求出直线的方向向量 和平面 的法向量 ；
③设直线与平面 所成角为 ，则 ．
向量法求线面角的两大途径：
①分别求出斜线和它所在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角（或其补角）.
②通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线和平
面所成的角.
一般都选择第②个途径来求线面角.
经典例题
1. 如图正三棱柱 的底面边长为 ，侧棱长为 ，则 与侧面 所成的角
为 ．
【备注】本题考查线面角的求法，利用上面的求解方法求解即可，注意强调线面角夹角的范围；
这里带学生回忆正三棱柱的知识，底面是正多边形的直棱柱；
正多边形：所有边相等，角也相等；直棱柱：侧棱都与底面垂直
【答案】
【解析】
30
如图所示，取 中心点 ，连接 ，
∵三棱柱 ，为正三棱柱，
∴ 平面 ，即 平面 ，
即 ， ，
又∵ ，
∴如图以 为坐标原点建立空间直角坐标系，
∴ ， ， ， ， ，
∴ ， ， ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，
令 ，则 ，
∴ ，
∴直线 与平面 所成角为 ．
【标注】【知识点】向量法解决线面角问题；向量法解决空间中的平行问题
2. 在正方体 中， 为线段 的中点，点 在线段 上，则直线 与平面 所
成角的正弦值的取值范围是（ ）．
A. B. C. D.
31
【备注】本题的重点通过向量的线性关系用参数 表示E点的坐标（注意参数 的取值范围），再根
据二次函数的单调性求直线与平面夹角的取值范围.
【答案】B
【解析】以 为原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴，建立空间直角坐标系，
设正方体 中棱长为 ，
则 ， ， ， ，
则 ， ，
设平面 的法向量为 ，
32
则 ，取 ，得 ，
设 ， ， ，
则 ，
解得 ，∴ ，
设直线 与平面 所成角为 ，
则 ，
∵ ，∴ 或 时， ， 时， ．
∴直线 与平面 所成角的正弦值的取值范围是 ．
故选 ．
【标注】【知识点】向量法解决线面角问题
3. 如图，在四棱台 中，底面 为正方形，侧棱 平面 ，
．
（ 1 ）求证：平面 平面 ．
（ 2 ）在线段 上是否存在一点 ，使 与平面 所成的角的正弦值为 若存在，指出
点 的位置，若不存在，说明理由．
33
【备注】本题属于立体几何与空间向量的综合题.
第（1）问利用定义证明面面垂直：在一个平面内找一条直线证明其与另一个平面垂直；
第（2）问属于动点问题中的存在性问题，利用向量的线性关系用参数表示点 的坐标
注意：本题的 点坐标也可以这样求：设 ，由
， .
【答案】（ 1 ）证明见解析．
（ 2 ）存在， ，即点 在线段 的中点位置．
【解析】（ 1 ）由题设可知 平面 ， 为正方形，所以 ．
因为 平面 ，
所以 ，
又因为 ，
所以 平面 ，
因为 平面 ，
所以平面 平面 ．
（ 2 ）以 为坐标原点， ， ， 所在直线分别为 ， ， 轴建立空间直角坐标系，如图所
示，
由题设可知 是边长为 的正方形， 是边长为 的正方
形， 平面 ，且 ，
34
所以 ， ， ， ， ，
因为 在线段 上，
所以可设 ，
因为 ，
所以 ，
所以 ， ，设平面 的法向量为 ，
根据 ， ，
令 ，
可得 ，
所以 ，
设 与平面 所成的角为 ，
所以
，所以 ，即点 在线段 的中点位置．
【标注】【知识点】向量法解决空间中的平行问题；向量法解决线面角问题；平面和平面垂直的
判定；面面垂直的证明问题
巩固练习
1. 在三棱锥 中， ， ，点 是 的中点， 底面 ，则直线 与
平面 所成角的正弦值为 ．
【答案】
35
【解析】∵ 平面 ， ， ，
∴ ， ，以 为原点， ， ， 为 ， ， 轴建立如图所示的空间直角坐标系，
设 ，则 ， ，
则 ， ， ， ，
， ， ，
设平面 的法向量 ，
则 ，即 ，
令 ， ， ，
所以平面 的一个法向量 ，
∴ ，
∴ 与平面 所成角的正弦值为 ．
故答案为： ．
【标注】【知识点】向量法解决线面角问题
2. 如图，在正方体 中，点 是线段 上的动点，则直线 与平面 所成的最大
角的余弦值为 ．
【答案】
36
【解析】
以 为原点建立如图坐标系，
设 ， ， ， ， ， ，
，
，
， ， ，
，
，
设面 法向量为 ，
， ，
，
，
令 ，
则 ， ，
，
设 与面 所成角为 ，
，
线面角 ， 在 上单调递增，
当 最大时， 最大，
当 最小，即 时， 最大，
时，
，
，
37
答案为 ．
【标注】【知识点】向量法解决线面角问题；向量法解决空间中的平行问题
3. 如图，四棱锥 中， 菱形 所在的平面， ， 是 中点， 是 上的
点．
（ 1 ）求证：平面 平面 ．
（ 2 ）若 是 的中点，当 时，是否存在点 ，使直线 与平面 的所成角的正弦值为
？若存在，请求出 的值，若不存在，请说明理由．
【答案】（ 1 ）证明见解析．
（ 2 ）存在， 为 或 ．
【解析】（ 1 ）连接 ，∵底面 为菱形， ，
∴ 是正三角形，
∵ 是 的中点，
∴ ，
又 ，
38
∴ ，
∵ 平面 ， 平面 ，
∴ ，
又 ，
∴ 平面 ，
又 平面 ，所以平面 平面 ．
（ 2 ）以 为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，
不妨设 ， ，
则 ， ， ， ， ， ，
设 ，
则
，
又 ，
设 是平面 的一个法向量，则 ，
取 ，得 ，
设直线 与平面 所成角为 ，由 ，
得：
，
化简得： ，解得 或 ，
故存在点 满足题意，此时 为 或 ．
【标注】【知识点】向量法解决线面角问题
4. 向量法求二面角
39
平面 与平面 相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于 的二面角称为平面 与平面 的
夹角．
所形成的二面角的大小与两个平面的夹角相等或互补．
所以平面与平面的夹角的范围是 ， ，二面角的范围是 ．
分别求出两个平面的法向量 ，设二面角为 ， ，
若 为锐角，则 ；
若 为钝角，则 .
【备注】①对于某些平面的法向量要注意题目中条件隐含着，不用单独求；
②注意判断二面角的平面角是锐角还是钝角，可结合图形进行分析，以防结论错误.
经典例题
1. 如图，四棱锥 中， 平面 ，底面 是正方形， ， 为 上一
点，当 为 的中点时， 平行于平面 ．
（ 1 ）求证： 平面 ；
（ 2 ）求二面角 的余弦值．
【备注】本题考查二面角的求法，利用上面的求解方法求解即可，注意强调二面角夹角的范围；
40
求解二面角需要去图中观察是钝二面角还是锐二面角，从而判断二面角的余弦值是正的还
是负的
【答案】（ 1 ）证明见解析．
（ 2 ）
【解析】（ 1 ）证明：∵ 平面 ，
∴ ，
又∴正方形 中，
， ，
∴ 平面 ，
又∵ 平面 ，
∴ ，
∵ ，当 为 的中点时， 平行平面 ，所以 是 的中点， ，
，
∴ 平面 ．
（ 2 ）以点 为坐标原点，分别以直线 ， ， 为 轴， 轴， 轴，建立如图所示的空间直角
坐标系，由题意知： ， ， ， ，
，
设平面 的法向量为 ，则 ， ，
∴ ，令 ，得到 ，
∴
又∵ ， ， ，且 平面 ，
∴平面 的一个法向量 设二面角 的平面角为 则
， ．
∴二面角 的余弦值为 ．
41
【标注】【知识点】直线和平面垂直的判定；线面垂直的证明问题；向量法解决二面角问题
2. 在如图所示的几何体中，四边形 是正方形，四边形 是梯形， ， ，平
面 平面 ，且 ．
（ 1 ）求证： 平面 ．
（ 2 ）求二面角 的正弦值．
【备注】本题考查求二面角的正弦值，注意求解二面角的正弦值是先求出二面角的余弦值利用同角
三角函数关系式 求解；注意由于二面角的范围是 ，所以二面角的正弦
值都是正的
【答案】（ 1 ）证明见解析．
（ 2 ） ．
（ 3 ） ．
42
【解析】（ 1 ）∵平面 平面 ，平面 平面 ，
平面 ， ，∴直线 平面 ．
由题意，以点 为原点，分别以 ， ， 的方向为 轴， 轴， 轴的正向建立如图空间
直角坐标系，
则可得： ， ， ，
， ， ．
依题意，易证： 是平面 的一个法向量，
又 ，
∴ ，
又∵直线 平面 ，
∴ 平面 ．
（ 2 ）∵ ， ．
设 为平面 的法向量，
则 ，即 ．
不妨设： ，可得 ．
设 为平面 的法向量，
又∵ ， ，
则 ，即 ．
不妨设 ，可得 ，
∴ ，
∴二面角 的正弦值为 ．
（ 3 ）设 ，
则 ，又 ，
又 ，
即 ，
43
∴ ，解得 或 （舍去）．
故所求线段 的长为 ．
【标注】【知识点】向量法解决空间中的平行问题；向量法解决异面直线所成角问题；向量法解
决二面角问题
3. 如图，在四棱锥 中， 平面 ，底面 是菱形， ， ．
（ 1 ）求证：直线 平面 ．
（ 2 ）求直线 与平面 所成角的正切值．
（ 3 ）设点 在线段 上，且二面角 的余弦值为 ，求点 到底面 的距离．
【备注】本题第（1）问利用空间向量证明线面垂直，即证明直线所在的方向向量与平面的法向量平
行，也可以直接用定义法进行证明；
第（2）问利用空间向量求线面角，正确运用公式求解；
第（3）动点问题中的存在性问题，根据向量的线性关系用一个参数表示 点的坐标，再进
行求解.
【答案】（ 1 ）证明见解析．
（ 2 ） ．
（ 3 ） 或 ．
【解析】（ 1 ）
44
如图，建立空间直角坐标系 ，
原题意得： ， ， ， ， ，
， ， ，设平面 的法向量为 ，
由 得 ，
∵ ，
∴ ，
∴直线 平面 ．
（ 2 ）设平面 的法向量为 ，
由 ， 及 得 ，
令 ，得 ，
又求得 ，
设 与平面 所成角为 ，则，
，
由题意知， 为锐角，则 ，
∴直线 与平面 所成角的正切值为 ．
（ 3 ）设 ， ，
计算得 ，
且 ，
则 ，
又 ，
，
设平面 的法向量为 ，
平面 的法向量为 ，
45
由 ，
解得 ，
由 ，
解得 ，
由 ，
得 ，
化简得 ，
解得 或 ，
此时 或 ，
即 到底面 的距离为 或 ．
【标注】【知识点】直线的方向向量与平面的法向量；向量法解决空间中的垂直问题；向量法解
决线面角问题；向量法求空间距离
巩固练习
1. 如图在直角 中， 为直角， ， ， 分别为 ， 的中点，将 沿 折起，使
点 到达点 的位置，连接 ， ， 为 的中点．
（ 1 ）证明： 面 ．
（ 2 ）若 ，求二面角 的余弦值．
46
【答案】（ 1 ）证明见解析．
（ 2 ） ．
【解析】（ 1 ）取 中点 ，连结 、 ，
∵ ， ，
∴四边形 是平行四边形．
∵ ， ， ，
∴ 平面 ，
∴ ，
∴ ．
在 中， ，
又∵ 为 的中点，
∴ ．
又∵ ，
∴ 平面 ．
（ 2 ）∵ ， ， ，
∴ 平面 ．
以 为原点， 、 、 所在直线分别为 ， ， 轴，建立空间直角坐标系，
设 ，则 ， ， ， ，
∴ ， ， ．
47
设平面 的法向量 ，
则 ，取 ，得 ，
同理，得平面 的法向量 ，
设二面角 的平面角为 ，
则 ，
∴二面角 的余弦值为 ．
【标注】【知识点】直线和平面垂直的判定；线面垂直的证明问题；向量法解决二面角问题
2. 如图，在四棱锥 中， 平面 ， ， ， ， ，
．
（ 1 ）证明 丄 ；
（ 2 ）求二面角 的正弦值；
【答案】（ 1 ）证明见解析．
（ 2 ） ．
（ 3 ） ．
【解析】（ 1 ）如图，以点 为原点建立空间直角坐标系，
48
依题意得 ， ， ， ， ．
易得 ， ，
于是 ，所以 ．
（ 2 ） ， ．
则 ，即 不妨令 ，
可得 ．
可取平面 的法向量 ．
于是 ，从而 ．
所以二面角 的正弦值为 ．
（ 3 ）设点 的坐标为 ，其中 ．因此得 ．
由 ，故．
，
所以， ，解得 ，即 ．
【标注】【知识点】向量法解决异面直线所成角问题；向量法解决二面角问题
3. 如图，在四棱锥 中，平面 平面 ，且四边形 为矩形， ，
， ， ， 分别为 ， 的中点， 在线段 上（不包括端点）．
49
（ 1 ）求证： 平面 ．
（ 2 ）求证：平面 平面 ．
（ 3 ）是否存在点 ，使得二面角 的大小为 ？若存在，求 ；若不存在，说明理由．
【答案】（ 1 ）证明见解析．
（ 2 ）证明见解析．
（ 3 ）在 上存在点 使二面角 的大小为 ， ．
【解析】（ 1 ）证明：在矩形 中， ，
∵ 分别为 的中点，
∴ ，且 ，
∴ ，
∵ 平面 ， 平面 ，
∴ 平面 ．
（ 2 ）证明：在矩形 中， ，
∵矩形 平面 ，且平面 平面 ，
∴ 平面 ，
又 平面 ，
∴ ，
∵ ， 为 的中点，
∴ ，
又 ，
∴ 平面 ，
50
∵ 平面 ，
∴平面 平面 ．
（ 3 ）方法一：在平面 内作 的垂线，如图建立空间直角坐标系 ，
∵ ， ， ，
∴ ， ， ，
， ， ，
设 ，∴
，
∴ ，
∴ ， ，
设平面 的法向量为 ，
∴ ，即
令 ，则 ，
∴ 是平面 的一个法向量，
∵ 平面 ，
∴平面 的法向量为 ，
∵二面角 的大小
∴ ，解得 ，
∵ 在线段 上，∴ ．
方法二：存在点 ，使得二面角 的大小为 ， ．
理由如下：以 为原点， ， 所在直线分别为 ， 轴建立空间直角坐标系，
如图，则 ， ， ，
设 ，
∴ ， ，
设平面 的法向量为 ，
51
则 ，即 ，
令 ，则 ， ，即 ，
易知平面 的法向量为 ．
∵二面角 的大小为 ，
∴ ，
解得 ．
故在 上存在点 使二面角 的大小为 ， ．
【标注】【知识点】直线和平面平行的判定；线面平行的证明问题；面面垂直的证明问题；平面
和平面垂直的判定；向量法解决二面角问题
5. 知识总结
（1）利用空间向量研究距离问题
①点到直线距离公式
②点到平面距离公式
③相互平行的直线与平面间的距离
向量法求线线角
向量法求线面角
向量法求二面角
求二面角的大小，先求出两个半平面的法向量的夹角，然后根据二面角与其大小相等或互补求出二面角
的大小．
思维导图
你学会了吗？画出思维导图总结本课所学吧！
【备注】
52
出门测
1. 如图，在四棱锥 中，底面 是正方形，侧棱 底面 ， ， 是 的中
点， ．
53
（ 1 ）证明： 平面 ．
（ 2 ）证明： 平面 ．
【答案】（ 1 ）证明见解析．
（ 2 ）证明见解析．
【解析】（ 1 ）以 为坐标原点，射线 ， ， 分别为
， ， 轴的正半轴建立空间直角坐标系．
连结 ，交 于点 ，连结 ．
设 ．
则 ， ， ， ， ．
因为底面 是正方形，
所以 是此正方形的中心，
故点 的坐标为 ，
则 ，
又 ，
所以 ，
所以 ，
又 平面 ，
且 平面 ，
所以 平面 ．
54
（ 2 ）因为 ， ，
故 ，
所以 ，
又 ，且 ，
所以 平面 ．
【标注】【知识点】向量法解决空间中的平行问题；向量法解决空间中的垂直问题；直线和平面
垂直的判定；直线和平面平行的判定
2. 如图所示，四棱锥 中，底面 是一个边长为 的正方形， 平面 ， ，那
么点 到平面 的距离为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵ 平面 ， 平面 ， 平面 ，
∴ 且 ，
∵底面 为正方形，
∴ ，
∴以点 为坐标原点建立如图所示空间直角坐标，
∴ ， ， ， ， ，
∴ ， ， ，
设平面 的法向量为 ，
55
则 ，
令 ，则 ，
∴点 到平面 的距离 ．
故选 ．
【标注】【知识点】向量法求空间距离
3. 如图，在四棱锥 中，底面 为正方形，平面 平面 ，点 在线段 上，
平面 ， ， ．
（ 1 ）求证： 为 中点．
（ 2 ）求二面角 的大小．
（ 3 ）求直线 与平面 所成角的正弦值．
【答案】（ 1 ）证明见解析．
（ 2 ） ．
（ 3 ） ．
【解析】（ 1 ）设 与 交于点 ，连结 ．
平面 ， 平面 ，
平面 平面 ，
，
为 中点，
为 中点．
56
（ 2 ）设 中点为 ．
， ，
平面 平面 ，
平面 平面 ，
平面 ，
平面 ．
底面 为正方形， ，
， ．
以 为坐标原点，分别以 ， ， 为 ， ， 轴建立如图所示的空间直角坐标系．
， ， ， ，
，
设 ， 分别为平面 与平面 的一个法向量，
设 ，易得
， ，
设 ，则 ，
．
．
显然所求二面角 为锐角，所以二面角 是 ．
（ 3 ）设 ， ， ，
设直线 与平面 所成角为 ．
所以
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 ．
【标注】【知识点】线线平行的证明问题；直线和平面平行的性质；向量法解决空间中的平行问
题；向量法解决二面角问题；向量法解决线面角问题
57
58空间向量的应用
一、 用空间向量研究直线、平面的位置关系
1. 利用空间向量证明直线与直线的平行或垂直
（1）方向向量：一般地，如果是空间中的一条直线， 是空间中的一个非零向量，且表示 的有向线
段所在的直线与平行或重合，则称 是直线的一个方向向量.
（2）设直线 和 的方向向量分别为 和 ，则有：
经典例题
1. 已知向量 ， 分别是直线 ， 的方向向量，若 ，则（ ）．
A. ， B. ， C. ， D. ，
2. 如图，在四棱锥 中， 底面 ，底面 为正方形， ， ， 分别是
， 的中点．
（ 1 ）求证： ．
巩固练习
1
1. 的方向向量为 ， 的方向向量为 ，若 ，则 等于（ ）．
A. B. C. D.
2. 如图所示，在正方体 中， 为 的中点．
（ 1 ）求证： ．
（ 2 ）求证： ．
2. 利用空间向量证明直线与平面平行或垂直
（1）法向量
①定义：如果 是空间中的一个平面， 是空间中的一个非零向量，且表示 的有向线段所在的直线与
平面 垂直，则称 为平面 的一个法向量．此时，也称 与平面 垂直，记作 ．
②性质：
（i）如果直线垂直平面 ，则直线的任意一个方向向量都是平面 的一个法向量；
（ii）如果 是平面 的一个法向量，则对任意的实数 ，空间向量 也是平面 的一个法向量，而且
平面 的任意两个法向量都平行；
（iii）如果 为平面 的一个法向量， 为平面 上一个已知的点，则对于平面 上任意一点 ，向量 一
定与向量 垂直，即 ，从而可知平面 的位置可由 和 唯一确定.
（2）利用空间向量证明直线与平面平行、垂直
设 是平面 的一个法向量， 是直线的方向向量，则：
；
或 .
2
经典例题
1. 如图，在正方体 中， 为 的中点， 为 的中点．
（ 1 ）求证： 平面 ．
2. 已知点 ， ， ，点 ，若 平面 ，则点 的坐标为（ ）．
A. B. C. D.
3. 在正方体 中， ， 分别是 ， 的中点，
求证： 平面 ．
3
巩固练习
1. 如图，在三棱锥 中， 底面 ， ，点 ， ， 分别为棱 ， ， 的中
点， 是线段 的中点， ， ．
（ 1 ）求证： 平面 ．
2. 如图，在四棱锥 中，底面 是矩形， 平面 ， ， ，
， 分别是 ， 的中点．证明： 平面 ．
4
3. 利用空间向量证明平面与平面平行或垂直
设平面 的法向量分别是 ，则
；
或 与 重合.
经典例题
1. 已知平面 的一个法向量为 ，平面 的一个法向量为 ，若 ，则实数 的值为（
）．
A. B. C. D.
2. 如图，正方体 中， 、 分别为 、 的中点．
（ 1 ）用向量法证明平面 平面 ．
3. 设 ， 分别是平面 ， 的法向量．若 ，则实数 的值是（ ）．
A. B. C. D.
4.
5
已知平行四边形 中 ， ，平面 平面 ，三角形 为等边三角
形， ．
（ 1 ）求证：平面 平面 ．
巩固练习
1. 已知向量 ， ，若 ， 分别是平面 ， 的法向量，且 ，则 （ ）．
A. B. C. D.
2. 已知正方体 的棱长为 ， ， ， 分别为 ， ， 的中点，求证：平面
平面 ．
3. 如图，在四棱锥 中， 平面 ， 平面 ， ，
．
求证：平面 平面 ．
6
4. 知识总结
（1）直线与直线的平行与垂直关系
设直线 和 的方向向量分别为 和 ，则
或 与 重合 或者
或者
（2）平面的法向量求解步骤
①设向量
②选向量
③列方程组
④解方程组
⑤赋非零值
⑥得结论
（2）直线与平面、平面与平面的平行与垂直关系
① 设 是平面 的一个法向量， 是直线的方向向量，则：
；
或 ．
② 设 ， 分别是平面 的法向量，则：
或 与 重合 ；
二、 用空间向量研究距离、夹角问题
1. 空间中的距离
（1）空间中两点间的距离公式
已知空间两点 和 ，则两点之间的距离
．
7
（2）点到直线的距离
点 是直线外一点，若 是直线的垂线段，则 的长度就是点 到直线的距离，这一距离也等于 .
（3）点到平面的距离
求平面 外一点 到平面 的距离的解题步骤：
①建立适当的空间直角坐标系；
②找到平面 内一定点，如 ，求出向量 的坐标；
③求出平面 的法向量 ；
④利用公式 ，求出点 到平面 的距离 ．
（4）相互平行的直线与平面间的距离
直线与平面 平行， 是平面 的一个法向量， 分别是上和 内的点，则直线与平面 之间的距离
为：
（5）相互平行的平面与平面间的距离
如果平面 和平面 平行， 是平面 的一个法向量（当然也是平面 的一个法向量）， 和 分别是平面
和平面 内的点，则平面 和平面 之间的距离为： .
经典例题
长方形 中， ， ， 分别是 ， 的中点（图 ）．将此长方形沿 对
折，使二面角 为直二面角， 是 的中点（图 ）．
图 图
（ 1 ）求 到面 的距离．
（ 2 ）求 到 的距离．
8
巩固练习
1. 在正四棱锥 中， 为顶点 在底面 内的正投影， 为侧棱 的中点，且
，则异面直线 与 的距离为（ ）．
A. B. C. D.
2. 如图所示，在长方体 中， ， ，点 是棱 的中点，则点
到平面 的距离为（ ）．
A. B. C. D.
2. 向量法求异面直线所成的角
设两条异面直线所成的角为 ，则 ， ．
设两条异面直线的方向向量分别为 ，则其夹角 与 相等或互补．
注意：两条直线夹角的范围： ；两条异面直线夹角的范围：
（1）利用向量法求异面直线所成角的步骤：
①建系：选择三条两两垂直的直线建立空间直角坐标系；
②定向量：确定异面直线上两个点的坐标,从而确定异面直线的方向向量；
③计算：利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值；
④下结论：两异面直线所成角的余弦值等于两方向向量夹角余弦值的绝对值.
（2）注意向量法求异面直线所成角与向量夹角的区别，尤其是取值范围.
9
经典例题
如图，在所有棱长均为 的直三棱柱 中， 、 分别为 、 的中点，则异面直线
、 所成角的余弦值为（ ）．
A. B. C. D.
巩固练习
1. 如图，四棱锥 中， 平面 ， ， ， ，则
异面直线 与 所成角的余弦值为（ ）．
A. B. C. D.
2. 如图，在三棱锥 ， 为等边三角形， 为等腰直角三角形， ，平面
平面 ， 为 的中点，则异面直线 与 所成角的余弦值为 ．
3. 向量法求线面角
直线与其在平面内的射影所成的角称为直线与平面所成的角．
由此得出：
①若直线与平面垂直，则直线与平面所成角为 ；
10
②若直线与平面平行，则直线与平面所成角为 ．
直线与平面所成角的取值范围是
求解直线与平面 所成角的步骤：
①建立合理的空间直角坐标系；
②求出直线的方向向量 和平面 的法向量 ；
③设直线与平面 所成角为 ，则
向量法求线面角的两大途径：
①分别求出斜线和它所在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角（或其补角）.
②通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线和平
面所成的角.
一般都选择第②个途径来求线面角.
经典例题
1. 如图正三棱柱 的底面边长为 ，侧棱长为 ，则 与侧面 所成的角
为 ．
2. 在正方体 中， 为线段 的中点，点 在线段 上，则直线 与平面 所
成角的正弦值的取值范围是（ ）．
A. B. C. D.
3.
11
如图，在四棱台 中，底面 为正方形，侧棱 平面 ，
．
（ 1 ）求证：平面 平面 ．
（ 2 ）在线段 上是否存在一点 ，使 与平面 所成的角的正弦值为 若存在，指出
点 的位置，若不存在，说明理由．
巩固练习
1. 在三棱锥 中， ， ，点 是 的中点， 底面 ，则直线 与
平面 所成角的正弦值为 ．
2. 如图，在正方体 中，点 是线段 上的动点，则直线 与平面 所成的最大
角的余弦值为 ．
3. 如图，四棱锥 中， 菱形 所在的平面， ， 是 中点， 是 上的
点．
12
（ 1 ）求证：平面 平面 ．
（ 2 ）若 是 的中点，当 时，是否存在点 ，使直线 与平面 的所成角的正弦值为
？若存在，请求出 的值，若不存在，请说明理由．
4. 向量法求二面角
平面 与平面 相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于 的二面角称为平面 与平面 的
夹角．
所形成的二面角的大小与两个平面的夹角相等或互补．
所以平面与平面的夹角的范围是 ，二面角的范围是
分别求出两个平面的法向量 ，设二面角为 ， ，
若 为锐角，则
若 为钝角，则
经典例题
1. 如图，四棱锥 中， 平面 ，底面 是正方形， ， 为 上一
点，当 为 的中点时， 平行于平面 ．
13
（ 1 ）求证： 平面 ；
（ 2 ）求二面角 的余弦值．
2. 在如图所示的几何体中，四边形 是正方形，四边形 是梯形， ， ，平
面 平面 ，且 ．
（ 1 ）求证： 平面 ．
（ 2 ）求二面角 的正弦值．
3. 如图，在四棱锥 中， 平面 ，底面 是菱形， ， ．
14
（ 1 ）求证：直线 平面 ．
（ 2 ）求直线 与平面 所成角的正切值．
（ 3 ）设点 在线段 上，且二面角 的余弦值为 ，求点 到底面 的距离．
巩固练习
1. 如图在直角 中， 为直角， ， ， 分别为 ， 的中点，将 沿 折起，使
点 到达点 的位置，连接 ， ， 为 的中点．
（ 1 ）证明： 面 ．
（ 2 ）若 ，求二面角 的余弦值．
2. 如图，在四棱锥 中， 平面 ， ， ， ， ，
．
15
（ 1 ）证明 丄 ；
（ 2 ）求二面角 的正弦值；
3. 如图，在四棱锥 中，平面 平面 ，且四边形 为矩形， ，
， ， ， 分别为 ， 的中点， 在线段 上（不包括端点）．
（ 1 ）求证： 平面 ．
（ 2 ）求证：平面 平面 ．
（ 3 ）是否存在点 ，使得二面角 的大小为 ？若存在，求 ；若不存在，说明理由．
5. 知识总结
16
（1）利用空间向量研究距离问题
①点到直线距离公式
②点到平面距离公式
③相互平行的直线与平面间的距离
向量法求线线角
向量法求线面角
向量法求二面角
求二面角的大小，先求出两个半平面的法向量的夹角，然后根据二面角与其大小相等或互补求出二面角
的大小．
思维导图
你学会了吗？画出思维导图总结本课所学吧！
出门测
1. 如图，在四棱锥 中，底面 是正方形，侧棱 底面 ， ， 是 的中
点， ．
（ 1 ）证明： 平面 ．
（ 2 ）证明： 平面 ．
17
2. 如图所示，四棱锥 中，底面 是一个边长为 的正方形， 平面 ， ，那
么点 到平面 的距离为（ ）．
A. B. C. D.
3. 如图，在四棱锥 中，底面 为正方形，平面 平面 ，点 在线段 上，
平面 ， ， ．
（ 1 ）求证： 为 中点．
（ 2 ）求二面角 的大小．
（ 3 ）求直线 与平面 所成角的正弦值．
18
