抛物线
一、 定义及标准方程
1. 经过点 的抛物线的标准方程是（ ）．
A. 或 B. 或 C. 或 D. 或
2. 抛物线 的焦点坐标是（ ）．
A. B. C. D.
3. 若顶点在原点的抛物线经过四个点 ， ， ， 中的 个点，则该抛物线的标准方
程可以是 ．
4. 已知直线 （ ）恒过定点 ，则过点 抛物线的标准方程是
（ ）.
A. 或 B. 或
C. 或 D. 或
5. 过抛物线 ： 的焦点 的直线与抛物线 交于 ， 两点， 的中点为 ，且点
到抛物线 的准线的距离为 ，则 （ ）．
A. B. C. D.
6. 已知点 是抛物线 ： 的焦点，过焦点 的直线 交抛物线 于不同的两点 ， ，设
，点 为 的中点，则 到抛物线准线的距离为（ ）．
A. B. C. D.
二、 性质
1. 已知抛物线 ： 的焦点为 ， 是 上一点， ，则 （ ）．
A. B. C. D.
2. 已知抛物线 的焦点为 ，准线为 ， 在 上，线段 与抛物线交于 点，若
，则 （ ）．
A. B. C. D.
1
3. 点 ，抛物线 的焦点为 ，若对于抛物线上的任意点 ， 的
最小值为 ，则 的值等于 ．
4. 在 上有一点 ，它到 的距离与它到焦点的距离之和最小，则点 的坐标是（ ）．
A. B. C. D.
5. 若直线 过抛物线 的焦点，与抛物线相交于 ， 两点，且 ，则线段 的中点
到 轴的距离为（ ）．
A. B. C. D.
三、 轨迹方程
1. 到两定点 、 的距离之差的绝对值等于 的点 的轨迹（ ）．
A. 椭圆 B. 线段 C. 双曲线 D. 两条射线
2. 点 ，点 在 轴上运动， 在 轴上运动， 为动点，且 ，
，则点 的轨迹方程为 ．
3. 设点 是抛物线 上的动点，点 到 轴的距离为 ，点 是圆 上的动
点，当 最小时，点 的坐标为 ．
4. 设抛物线的顶点在原点，其焦点在 轴上，又抛物线上的点 与焦点 的距离为 ，则 （
）．
A. B. 或 C. D. 或
5. 已知双曲线 的一条渐近线方程为 ，它的一个焦点坐标为 ，求
双曲线的方程（ ）．
A. B. C. D.
2抛物线
一、 定义及标准方程
1. 经过点 的抛物线的标准方程是（ ）．
A. 或 B. 或 C. 或 D. 或
【答案】D
【解析】由于点 在第四象限，
故抛物线可能开口向右，
也可能开口向下，
故可设抛物线的标准方程为 或 ，
把点 代入方程可得 ，或 ，
故抛物线的标准方程为 或 ．
故选 ．
【标注】【知识点】抛物线的标准方程
2. 抛物线 的焦点坐标是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】抛物线 的焦点坐标为 ．
【标注】【知识点】抛物线的定义
3. 若顶点在原点的抛物线经过四个点 ， ， ， 中的 个点，则该抛物线的标准方
程可以是 ．
【答案】 或
【解析】①若抛物线方程为 ，则 ，
1
四个点 ， ， ， ，
故抛物线过 和 抛物线方程为 ．
②若抛物线方程为 ，则 ，
∵ ， ， ， ，
∴抛物线过 和 抛物线方程为 ．
综上所述，抛物线方程为 或 ．
【标注】【知识点】抛物线的标准方程
4. 已知直线 （ ）恒过定点 ，则过点 抛物线的标准方程是
（ ）.
A. 或 B. 或
C. 或 D. 或
【答案】C
【解析】直线
恒过定点 ，则过点 的抛物线的标准方程为 或 .
【标注】【知识点】抛物线的标准方程
5. 过抛物线 ： 的焦点 的直线与抛物线 交于 ， 两点， 的中点为 ，且点
到抛物线 的准线的距离为 ，则 （ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】如图，设点 到抛物线 的准线的距离为 ，则 ．过点 ， 分别作准线的垂线，
垂足分别为 ， ，则 ．
2
故选 ．
【标注】【知识点】抛物线的焦点弦问题（小题）
6. 已知点 是抛物线 ： 的焦点，过焦点 的直线 交抛物线 于不同的两点 ， ，设
，点 为 的中点，则 到抛物线准线的距离为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】设 ， ，
由题意可知 ，
∵ ， ，
∴ ，
即 ①，
由 结合抛物线的定义得 ， ②，
由①②可得 ， ，
则 到抛物线准线的距离为 ．
故选 ．
【标注】【知识点】抛物线中向量相关问题（小题）；抛物线的标准方程
二、 性质
1. 已知抛物线 ： 的焦点为 ， 是 上一点， ，则 （ ）．
A. B. C. D.
3
【答案】A
【解析】抛物线 ： 的焦点为 ，准线方程为 ，因为 是 上一点，
所以 ，又因为 ，所以 ，解得 ，故答案为 ．
【标注】【知识点】抛物线坐标的取值范围
2. 已知抛物线 的焦点为 ，准线为 ， 在 上，线段 与抛物线交于 点，若
，则 （ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】如图，过 作准线的垂线 ， 垂足为 ． 根据抛物线
的定义可知 ， 在 中，
，则 ．
在 中， ， 所以 ． 而
． 所以 ． 故选 ．
【标注】【知识点】抛物线的对称性
3. 点 ，抛物线 的焦点为 ，若对于抛物线上的任意点 ， 的
最小值为 ，则 的值等于 ．
【答案】 或
【解析】由抛物线的定义可知：抛物线上的点到焦点距离 到准线的距离，
过 做抛物线的准线的垂线，垂足为 ，则 ，
4
当 位于抛物线内，
∴ ，
当 ， ， 共线时， 的距离最小，
由最小值为 ，即 ，解得： ，
当 位于抛物线外，
当 ， ， 共线时， 取最小值，
即 ，解得： 或 ，
由当 时， ，则点 在抛物线内，舍去，
故答案为： 或 ．
【标注】【知识点】抛物线的定义
4. 在 上有一点 ，它到 的距离与它到焦点的距离之和最小，则点 的坐标是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】如图所示，
直线 为抛物线 的准线，
为其焦点， ， ，
由抛物线的定义知， ，
∴ ，
当且仅当 、 、 三点共线时取等号，
∴ 点的横坐标与 点的横坐标相同即为 ，
∴ ．
5
故选 ．
【标注】【知识点】抛物线的对称性
5. 若直线 过抛物线 的焦点，与抛物线相交于 ， 两点，且 ，则线段 的中点
到 轴的距离为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】设 ， ，根据抛物线定义， ，
，可知 ，
∴ ，
线段 的中点 到 轴的距离为 ．
故选 ．
【标注】【知识点】抛物线的焦点弦问题（小题）
三、 轨迹方程
1. 到两定点 、 的距离之差的绝对值等于 的点 的轨迹（ ）．
A. 椭圆 B. 线段 C. 双曲线 D. 两条射线
【答案】D
【解析】两个定点的距离之差的绝对值小于两个定点间距离的点的轨迹是双曲线，等于两个定点
间距离时，双曲线退化成了两条射线，分别以两个定点为射线的两个端点．
时，这三点共线，且点 在点 ， 之外；
也可通过求轨迹方程的办法求出，此时要注意自变量的取值范围．
【标注】【知识点】双曲线的定义
2. 点 ，点 在 轴上运动， 在 轴上运动， 为动点，且 ，
，则点 的轨迹方程为 ．
6
【答案】
【解析】设 ，
∵ ，
∴ ， ，
，
．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【标注】【知识点】求点的轨迹
3. 设点 是抛物线 上的动点，点 到 轴的距离为 ，点 是圆 上的动
点，当 最小时，点 的坐标为 ．
【答案】
【解析】设圆心为 ，抛物线焦点为 ．
∴ ．
此时 所在直线方程为 ，即 ．
由 ，得 或 （舍去）．
【标注】【知识点】抛物线的标准方程
4. 设抛物线的顶点在原点，其焦点在 轴上，又抛物线上的点 与焦点 的距离为 ，则 （
）．
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A. B. 或 C. D. 或
【答案】D
【解析】∵抛物线以 轴为对称轴，原点为顶点，
∴设抛物线方程为 ， ，其准线方程为 ，
∵抛物线上的一点 到焦点的距离为 ，
∴点 到准线的距离为 ，
∴ ，解得 ，
∴抛物线方程为 ．
当 时， 或 ．
故选 ．
【标注】【知识点】抛物线的定义
5. 已知双曲线 的一条渐近线方程为 ，它的一个焦点坐标为 ，求
双曲线的方程（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】依题有 ．
【标注】【知识点】双曲线的标准方程
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