空间向量运算
一、 空间向量及其运算
1. 已知点 是正方形 的中心，点 为正方形 所在平面外一点，则
（ ）．
A. B. C. D.
2. 如图，空间四边形 中， ， ， ，点 在 上，且
，点 为 中点，则 等于 ．（用向量 ， ， 表示）
3. 如图，空间四边形 中， ， ， ，点 在 上，且
，点 为 中点，则 （ ）．
A. B.
C. D.
4. 在平行六面体 中，设 ，则 等于(
)．
A. B. C. D.
1
5. 已知 ， ， 三点不共线，点 是平面 外的任意一点，若点 分别满足下列关系:
（1） ；
（2） ．
试判断点 是否与点 ， ， 共面．
6. 对于空间任意一点 和不共线的三点 ， ， ，有如下关系： ，则（
）．
A. 四点 ， ， ， 共面 B. 四点 ， ， ， 共面
C. 四点 ， ， ， 共面 D. ， ， ， ， 共面
7. 设空间任意一点 和不共线的三点 ， ， ，若点 满足向量关系
，试问：， ， ， 四点是否共面？并说明理由．
8. 已知三个向量 ， ， 不共面，且 ， ， ．试
问向量 ， ， 是否共面．
二、 空间向量的数量积运算
2
1. 如图，在平行六面体 中，底面 是边长为 的正方形，侧棱 且
，则 的长度等于 ．
2. 如图，已知空间四边形 的每条边和对角线长都等于 ， ， ， 分别是 ， ， 的中
点，求下列向量的数量积．
（ 1 ） ．
（ 2 ） ．
（ 3 ） ．
（ 4 ） ．
三、 空间向量基本定理
1. 以下四个命题中正确的是 ．（只填序号）
①基底 中可以有零向量；
②空间任何三个不共面的向量都可构成空间向量的一个基底；
3
③ 为直角三角形的充要条件是 ；
④空间向量的基底只能有一个．
2. 下列关于空间向量的命题中，正确的有 ．
①若向量 ， 与空间任意向量都不能构成基底，则 ；
②若非零向量 ， ， 满足 ， ，则有 ；
③若 ， ， 是空间的一组基底，且 ，则 ， ， ， 四点
共面；
④若向量 ， ， ，是空间一组基底，则 ， ， 也是空间的一组基底．
3. 已知 是空间的一个基底，且 ， ，
，试判断 能否作为空间的一个基底．
4. 已知 是空间的一个基底，且 ， ，
，试判断 能否作为空间的一个基底？若能，试以此基底表示向
量 ；若不能，请说明理由．
5. 已知 平面 ，四边形 为正方形， 为 的重心， ， ，
，试用基底 表示 ， ， ．
4
四、 空间向量的坐标运算
1. 设点 是点 关于平面 的对称点，则 ( )
A. B. C. D.
2. 已知 ， ， ， 四点满足 ， ， ，且 ， ， ，
四点共面，则 （ ）．
A. B. C. D.
3. 已知空间三点 ， ， 是 ， 的中点，设 ， ．
（ 1 ）若向量 与 互相垂直，求实数 的值．
（ 2 ）若向量 与 同向，求实数 的值．
5空间向量运算
一、 空间向量及其运算
1. 已知点 是正方形 的中心，点 为正方形 所在平面外一点，则
（ ）．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
，
又四边形 是正方形， 是它的中心，
所以 ，故原式 ．
故选 ．
【标注】【知识点】空间向量的线性运算（非坐标）
2. 如图，空间四边形 中， ， ， ，点 在 上，且
，点 为 中点，则 等于 ．（用向量 ， ， 表示）
【答案】
【解析】 ．
【标注】【知识点】空间向量基本定理；空间向量的线性运算（非坐标）
1
3. 如图，空间四边形 中， ， ， ，点 在 上，且
，点 为 中点，则 （ ）．
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由题意 ．
．
．
．
又∵ ， ， ．
∴ ．
故选： ．
【标注】【素养】数学运算
【知识点】空间向量的线性运算（非坐标）
4. 在平行六面体 中，设 ，则 等于(
)．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】略．
2
【标注】【素养】数学运算
【素养】直观想象
【知识点】空间向量的概念
【知识点】空间向量的线性运算（非坐标）
5. 已知 ， ， 三点不共线，点 是平面 外的任意一点，若点 分别满足下列关系:
（1） ；
（2） ．
试判断点 是否与点 ， ， 共面．
【答案】证明见解析．
【解析】方法一：（1）因为
，所以
，即 ．根据共面向量定理知： 与点 ， ， 共
面．
（2）设 ，则 ，
所以 ，令 显然此方
程组无解，故点 与点 ， ， 不共面．
方法二：（1）由题意， ，因为 ，所以点 与
点 ， ， 共面．
（2）因为 ，而 ，所以点 与点 ， ， 不共
面．
【标注】【知识点】空间向量的线性运算（非坐标）；空间向量基本定理
6.
3
对于空间任意一点 和不共线的三点 ， ， ，有如下关系： ，则（
）．
A. 四点 ， ， ， 共面 B. 四点 ， ， ， 共面
C. 四点 ， ， ， 共面 D. ， ， ， ， 共面
【答案】B
【解析】由已知得 ，
∴ ，
又 ，
∴ ， ， ， 四点共面．
故选： ．
【标注】【知识点】空间向量的线性运算（非坐标）；空间向量基本定理
7. 设空间任意一点 和不共线的三点 ， ， ，若点 满足向量关系
，试问：， ， ， 四点是否共面？并说明理由．
【答案】 ， ， ， 四点共面．
【解析】 ， ， ， 四点共面．
理由如下：
∵ ，
∴ ，
即 ，
由共面定理可知向量 ， ， 共面，
∴ ， ， ， 四点共面．
【标注】【知识点】空间向量的线性运算（非坐标）；空间向量基本定理
4
8. 已知三个向量 ， ， 不共面，且 ， ， ．试
问向量 ， ， 是否共面．
【答案】证明见解析．
【解析】假设三个向量共面，则设出实数 ， ，使得 ，
则 ，
所以 ，解得 ，
所以存在 ， 值使得 ，成立，
所以向量 ， ， 共面．
【标注】【知识点】空间向量的线性运算（非坐标）；空间向量基本定理
二、 空间向量的数量积运算
1. 如图，在平行六面体 中，底面 是边长为 的正方形，侧棱 且
，则 的长度等于 ．
【答案】
5
【解析】因为底面 是边长为 的正方形，
侧棱 ，且 ，
所以 ， ， ，
，
，
则
．
故答案为： ．
【标注】【知识点】向量法解决异面直线所成角问题；空间向量的数量积（非坐标）
2. 如图，已知空间四边形 的每条边和对角线长都等于 ， ， ， 分别是 ， ， 的中
点，求下列向量的数量积．
（ 1 ） ．
（ 2 ） ．
（ 3 ） ．
（ 4 ） ．
6
【答案】（ 1 ） ．
（ 2 ） ．
（ 3 ） ．
（ 4 ） ．
【解析】（ 1 ）在空间四边形 中，
， ，
．
（ 2 ） ， ， ，
．
（ 3 ） ， ，又 ，
．
．
（ 4 ） ， ， ，
．
．
【标注】【知识点】空间向量的数量积及其坐标表示
三、 空间向量基本定理
1. 以下四个命题中正确的是 ．（只填序号）
①基底 中可以有零向量；
②空间任何三个不共面的向量都可构成空间向量的一个基底；
③ 为直角三角形的充要条件是 ；
④空间向量的基底只能有一个．
7
【答案】②
【解析】因为零向量与任意两个非零向量都共面，故①不正确；
由空间向量基底的定义知，②正确；
为直角三角形并不一定有 ，
可能有 ，
也可能有 ，
故③不正确；
空间向量的基底可以有无数多个，故④不正确．
【标注】【知识点】空间向量的线性运算（非坐标）；空间向量基本定理
2. 下列关于空间向量的命题中，正确的有 ．
①若向量 ， 与空间任意向量都不能构成基底，则 ；
②若非零向量 ， ， 满足 ， ，则有 ；
③若 ， ， 是空间的一组基底，且 ，则 ， ， ， 四点
共面；
④若向量 ， ， ，是空间一组基底，则 ， ， 也是空间的一组基底．
【答案】①③④
【解析】①若向量 ， 与空间任意向量都不构成基底，
只能两个向量为共线向量，则 ．
①正确；
②若非零向量 ， ， 满足 ， ，
则 不正确．
故②错误；
③若 ， ， 是空间的一组基底，则 ， ， 三点不共线，
且 ，
由空间向量基本定理得：
、 、 、 四点共面．
故③正确；
④若向量 ， ， 是空间一组基底，
则空间任何一个向量 ，存在唯一实数组 ，
8
，
则 、 、 也是空间中的一组基底，故④正确．
【标注】【知识点】空间向量基本定理；空间向量的平行与垂直
3. 已知 是空间的一个基底，且 ， ，
，试判断 能否作为空间的一个基底．
【答案】不可以构成空间的一个基底．
【解析】假设 ， ， 共面，由向量共面的充要条件知存在实数 ， ，
使 成立．
所以
得 ，解得 ，
故 ， ， 共面，不可以构成空间的一个基底．
【标注】【知识点】空间向量的线性运算（非坐标）；空间向量基本定理
4. 已知 是空间的一个基底，且 ， ，
，试判断 能否作为空间的一个基底？若能，试以此基底表示向
量 ；若不能，请说明理由．
9
【答案】能；证明见解析．
【解析】假设 ， ， 共面，由向量共面的充要条件知存在实数 ， 使
成立，
所以
．
因为 是空间的一个基底，
所以 ， ， 不共面．
所以 ，此方程组无解，
即不存在实数 ， 使 成立．
所以 ， ， 不共面．
故 能作为空间的一个基底．
设 ，
则有
．
因为 为空间的一个基底，
所以 ，
解得 ．
所以 ．
【标注】【知识点】空间向量的线性运算（非坐标）
5. 已知 平面 ，四边形 为正方形， 为 的重心， ， ，
，试用基底 表示 ， ， ．
10
【答案】 ， ，
．
【解析】如图所示，
延长 ，交 于点 ，则 为 的中点．
，
，
．
故答案为： ， ，
．
【标注】【知识点】空间向量的线性运算（非坐标）；空间向量基本定理
四、 空间向量的坐标运算
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1. 设点 是点 关于平面 的对称点，则 ( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】解： 点 是点 关于平面 的对称点，
点 的横坐标和纵坐标与点 相同，而竖坐标与点 相反，
，
直线 与 轴平行，
，
故选：A．
【标注】【知识点】空间直角坐标系点的坐标运算
2. 已知 ， ， ， 四点满足 ， ， ，且 ， ， ，
四点共面，则 （ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为 ， ， ， 四点共面，所以 ， ， 共面，
所以 ，
所以 ，解得 ， ， ．
故选 ．
【标注】【知识点】空间向量共面问题
3. 已知空间三点 ， ， 是 ， 的中点，设 ， ．
（ 1 ）若向量 与 互相垂直，求实数 的值．
（ 2 ）若向量 与 同向，求实数 的值．
12
【答案】（ 1 ） 或 ．
（ 2 ） ．
【解析】（ 1 ）
．
点坐标为 ，
即 ，
∴
．
∵向量 与 互相垂直，
∴ ，
即 ，
又∵ ，
，
，
∴ ，
∴ ，
解得 或 ．
（ 2 ）由（ ）得： ， ，
∴
，
∵向量 与 同向，
∴ ，
∴ ，
解得： ．
【标注】【知识点】空间向量的数量积及其坐标表示；空间向量线性运算的坐标表示；空间向量
的线性运算（非坐标）
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