空间向量运算
学习目标
1．理解空间向量概念及相关概念．
2．掌握向量的加（减）、数乘运算及数量积运算．
3．掌握空间向量运算的坐标表示．
一、 空间向量及其运算
1. 空间向量及其运算
（1）空间向量的概念
①在空间中，把具有大小和方向的量叫做空间向量．
②向量的大小叫做向量的长度或模长．
③空间向量的表示法：
几何方法：用有向线段表示；
字母表示法：用一个字母表示，如 ，若向量的起点是 ，终点是 ，可记作 ，其模记为 或 ．
（2）其他相关概念
①零向量：长度为 的向量叫做零向量，记为 ．
②单位向量：模长为 的向量称为单位向量．
③相等向量：方向相同且模长相等的向量称为相等向量．在空间中，同向且等长的有向线段表示同一向
量或相等向量．
④相反向量：与向量 长度相同而方向相反的向量，为 的相反向量，记为 ．
⑤共线向量：如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向
量或平行向量．
（3）加法、减法及数乘运算
如下图：
①
②
③当 时，
当 时，
1
当 时，
（4）线性运算满足的运算规律（ ）
①交换律：
②结合律： ,
③分配律： , ,
（5）方向向量
①空间向量共线的充要条件：类似于平面向量共线的充要条件，对任意两个空间向量 ( ），
的充要条件是存在实数 ，使 ．
如图， 是直线上一点，在直线上取非零向量 ,则对于直线上任意一点 ,由数乘向量的定义及向量共
线的充要条件可知，存在实数 ，使得 λ .我们把与向量 平行的非零向量称为直线的方向向
量．
（6）共面向量
如图，如果表示向量 的有向线段 所在的直线 与直线平行或重合，那么称向量 平行于直线 .如
果直线 平行于平面 或在平面 内，那么称向量 平行于平面 .平行于同一平面的向量，叫做共面向
量．
2
共面向量定理：如果两个向量 、 不共线，那么向量 与向量 、 共面的充要条件是存在唯一的有序实
数对 ，使 ;
推论 :空间一点 位于平面 的充要条件是存在唯一的有序实数对 ，使 ;或对
空间任意一点 ，有 ;
推论 :空间一点 位于平面 的充要条件是存在实数组 ，对空间任一点 ，有
,其中
经典例题
1. 已知点 ， 分别是空间四面体 的边 和 的中点， 为线段 的中点，若
，则实数 ．
2. 如图，四面体 中， 为 中点，点 在 上， ，则 （ ）．
A. B.
C. D.
巩固练习
1. 设 是 所在平面外的一点， 是 的重心．
求证： ．
2.
3
已知 ， ， 是三个不共面的向量，若 ， ， ，若向量
， ， 共面，则 （ ）．
A. B. C. D.
2. 空间向量的数量积运算
如图已知两个非零向量 ，在空间中任取一点 ，作 ，则 叫做向量 的
夹角，记作 ．
如果 ，那么 与 垂直，记作 ．
已知两个非零向量 ，则 叫做 的数量积，记作 ，即
．
①特别地，零向量与任意向量的数量积为 ．
②由向量的数量积定义，可以得到：
经典例题
1. 已知 为正方体，给出下列四个命题：
① ；
② ；
③向量 与向量 的夹角是 ；
④正方体 的体积为 ．
其中正确的序号是 ．
2. 如图，正四面体 的棱长为 ，点 、 分别为棱 ， 的中点，则 的值为（ ）．
4
A. B. C. D.
3. 如图所示，正方体 的棱长为 ，若动点 在线段 上运动，则 的取值范围
是 ．
巩固练习
1. 已知四面体 ， ， ， ， ，则
．
2. 平行六面体（由六个平行四边形所围成的多面体） 中，若 ， ，
，且 ， ， 两两均成 角，则对角线 的长度为 ．
3. 已知 ， 是空间两个单位向量，它们的夹角为 ，那么 ．
4. 已知正四面体 的棱长为 ，点 ， 分别是棱 ， 的中点，则 的值是（ ）．
A. B. C. D.
3. 知识总结
（1）共线向量：如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共
线向量或平行向量.
（2）线性运算的运算规律（ ）
①交换律：
5
②结合律： ,
③分配律：
, ,
（3）空间向量的数量积运算
．
①特别地，零向量与任意向量的数量积为 .
②由向量的数量积定义，可以得到：
二、 空间向量基本定理与坐标运算
1. 空间向量基本定理
定理：如果三个向量 不共面，那么对空间任一向量 ，存在一个唯一的有序实数组 ，使
．任意三个不共面的空间向量都可以构成空间的一个基底．
如果三个向量 不共面，则 的线性组合 能生成所有的空间向量，这时
叫做空间的一个基底，记作 ，其中 都叫做基向量．
据此，任意三个不共面的空间向量都可以构成空间的一个基底．
特别地，如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为 ，那么这个基底叫做单位正交基
底，常用 表示.由空间向量基本定理可知，对空间中任意向量 ，均可以分解为三个向量
6
，使 ．像这样，把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把
空间向量进行正交分解．
经典例题
1. 已知 是空间的一个基底，且 ， ，
，试判断 能否作为空间的一个基底．
2. 已知 ， ， 是不共面向量， ， ， ，
若 ， ， 三个向量共面，则实数 ．
巩固练习
1. 已知空间向量 ， ， ， ，若存在实数组 和 ，满足 ，
，且 ，试证明向量 ， ， 共面．
2. 已知 平面 ，四边形 为正方形， 为 的重心， ， ， ，
试用基底 表示 ， ， ．
3.
7
已知三个向量 ， ， 不共面，并且 ， ，
，向量 ， ， 是否共面？
2. 空间直角坐标系
（1）空间直角坐标系
如图，在空间选定一点 和一个单位正交基底 ．以点 为原点，分别以 的方向为正
方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴： 轴、 轴、 轴，它们都叫做坐标轴．这时就建立了一个
空间直角坐标系 ， 叫做原点， 都叫做坐标向量，通过每两条坐标轴的平面叫做坐标平
面，称为 平面， 平面， 平面．
画空间坐标系 时，一般使 或 ．
在空间直角坐标系中，让右手拇指指向 轴的方向，食指指向 轴的正方向，如果中指指向 轴的正方
向，则称这个坐标系为右手直角坐标系．
（2）空间向量的坐标表示
在空间直角坐标系 中， 为坐标向量，对空间任意一点 ，对应一个向量 ，且点 的位置由向
量 唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组 ，使 ．
8
在单位正交基底 下与向量 对应的有序实数组 ，叫做点 在空间直角坐标系中的坐
标，记作 ，其中 叫做点 的横坐标， 叫做点 的纵坐标， 叫做点 的竖坐标．
若 ，则 ，可简记为 ．
经典例题
1. 在空间直角坐标系中，点 关于 轴的对称点的坐标是（ ）．
A. B. C. D.
2. 在空间直角坐标系中，点 关于平面 对称的点的坐标为（ ）．
A. B. C. D.
巩固练习
1. 点 关于 平面的对称点的坐标为（ ）．
A. B. C. D.
2. 在空间直角坐标系中，已知点 ，给出下列 条描述：
①点 关于 轴的对称点的坐标是 ，
②点 关于 平面的对称点的坐标是 ，
③点 关于 轴的对称点的坐标是 ，
④点 关于原点的对称点的坐标是 ．
其中正确的个数是（ ）．
A. B. C. D.
3. 空间向量运算的坐标表示
（1）空间两点的中点坐标公式
设点 ，点 ，则线段 的中点 的坐标为：
9
（2）空间向量运算的坐标表示
设 ，
．
设 ， ，
（1） ， ， ；
（2） ．
设 ， ，则
， ．
．
（3）空间相关运算公式
设 ，
经典例题
1. 已知 ， ， ．
（ 1 ）求 ， ．
（ 2 ）计算： ， ， ．
（ 3 ）写出与向量 平行的单位向量．
（ 4 ）写出与向量 ， 同时垂直的，且长度为 的向量．
（ 5 ）当实数 的值为多少时， ．
10
2. 已知向量 ， ， ．
（ 1 ）当 时，若向量 与 垂直，求实数 和 的值．
（ 2 ）若向量 与向量 ， 共面，求实数 的值．
3. 已知空间三点 ， ， ，设 ， ．
（ 1 ）求 和 的夹角的余弦．
（ 2 ）若向量 与 互相垂直，求 的值．
4. 点 是棱长为 的正方体 的底面 上一点，则 的取值范围是 ．
巩固练习
1. 已知 ， ，计算：
（ 1 ） ．
（ 2 ） ．
（ 3 ） ．
（ 4 ） ．
（ 5 ） ，且 ，求 ， 的值．
（ 6 ）若 ，且 ，则 ．
11
2. 在棱长为 正方体 中， 为棱 的中点，点 是侧面 上一动点，且
，则线段 的取值范围为（ ）．
A. B. C. D.
3. 已知空间三点 ， ， 是 ， 的中点，设 ， ．
（ 1 ）若向量 与 互相垂直，求实数 的值．
（ 2 ）若向量 与 同向，求实数 的值．
4. 设 ， ， ，点 是线段 上的一个动点，且满足 ，若
，则实数 的取值范围是 ．
4. 知识总结
（1）空间向量运算的坐标表示
设 ，
① ；
② ；
③ ；
④ ， ， ；
⑤ ；
⑥ ， ；
⑦ ．
（2）空间中常用公式
设 ，
①
②线段 的中点 的坐标
12
思维导图
你学会了吗？画出思维导图总结本节课所学吧！
出门测
1. 如图，在四面体 中，设 是 的中点，则 等于（ ）．
A. B. C. D.
2. 平行六面体 中，向量 、 、 两两的夹角均为 ，且 ， ，
，则 等于 ．
3. 已知 是空间的一个基底，且 ， ，
，试判断 能否作为空间的一个基底？若能，试以此基底表示向量 ；
若不能，请说明理由．
4. 点 ， ， 为线段 上一点，且 ，则点 坐标为（ ）．
A. B. C. D.
5. 若 ， ，且 与 的夹角为钝角，则 的取值范围是 ．
学习目标
1．理解空间向量概念及相关概念．
2．掌握向量的加（减）、数乘运算及数量积运算．
3．掌握空间向量运算的坐标表示．
13
三、 空间向量及其运算
1. 空间向量及其运算
（1）空间向量的概念
①在空间中，把具有大小和方向的量叫做空间向量．
②向量的大小做向量的长度或模长．
③空间向量的表示法：
几何方法：用有向线段表示；
字母表示法：用一个字母表示，如 ，若向量的起点是 ，终点是 ，可记作 ，其模记为 或 ．
（2）其他相关概念
①零向量：长度为 的向量叫做零向量，记为 ．
②单位向量：模长为 的向量称为单位向量．
③相等向量：方向相同且模长相等的向量称为相等向量．在空间中，同向且等长的有向线段表示同一向
量或相等向量．
④相反向量：与向量 长度相同而方向相反的向量，为 的相反向量，记为 ．
⑤共线向量：如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向
量或平行向量．
（3）加法、减法及数乘运算
如下图：
①
②
③当 时，
当 时，
当 时，
（4）线性运算满足的运算规律（ ）
14
①交换律：
②结合律： ,
③分配律： , ,
（5）方向向量
①平面向量共线的充要条件：类似于平面向量共线的充要条件，对任意两个空间向量 ( ），
的充要条件是存在实数 ，使 ．
如图， 是直线上一点，在直线上取非零向量 ,则对于直线上任意一点 ,由数乘向量的定义及向量共
线的充要条件可知，存在实数 ，使得 λ .我们把与向量 平行的非零向量称为直线的方向向
量．
（6）共面向量
如图，如果表示向量 的有向线段 所在的直线 与直线平行或重合，那么称向量 平行于直线 .如
果直线 平行于平面 或在平面 内，那么称向量 平行于平面 .平行于同一平面的向量，叫做共面向
量．
共面向量定理：如果两个向量 、 不共线，那么向量 与向量 、 共面的充要条件是存在唯一的有序实
数对 ，使 ;
推论 :空间一点 位于平面 的充要条件是存在唯一的有序实数对 ，使 ;或对
空间任意一点 ，有 ;
推论 :空间一点 位于平面 的充要条件是存在实数组 ，对空间任一点 ，有
,其中
经典例题
15
巩固练习
2. 空间向量的数量积运算
如图已知两个非零向量 ，在空间中任取一点 ，作 ，则 叫做向量 的
夹角，记作 ．
如果 ，那么 与 垂直，记作 ．
已知两个非零向量 ，则 叫做 的数量积，记作 ，即
．
①特别地，零向量与任意向量的数量积为 ．
②由向量的数量积定义，可以得到：
经典例题
巩固练习
3. 知识总结
（1）共线向量：如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共
线向量或平行向量.
（2）线性运算的运算规律（ ）
①交换律：
②结合律： ,
③分配律：
, ,
16
（3）空间向量的数量积运算
．
①特别地，零向量与任意向量的数量积为 .
②由向量的数量积定义，可以得到：
四、 空间向量基本定理与坐标运算
1. 空间向量基本定理
定理：如果三个向量 不共面，那么对空间任一向量 ，存在一个唯一的有序实数组 ，使
．任意三个不共面的空间向量都可以构成空间的一个基底．
如果三个向量 不共面，则 的线性组合 能生成所有的空间向量，这时
叫做空间的一个基底，记作 ，其中 都叫做基向量．
据此，任意三个不共面的空间向量都可以构成空间的一个基底．
特别地，如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为 ，那么这个基底叫做单位正交基
底，常用 表示.由空间向量基本定理可知，对空间中任意向量 ，均可以分解为三个向量
，使 ．像这样，把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把
空间向量进行正交分解．
经典例题
巩固练习
17
2. 空间直角坐标系
（1）空间直角坐标系
如图，在空间选定一点 和一个单位正交基底 ．以点 为原点，分别以 的方向为正
方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴： 轴、 轴、 轴，它们都叫做坐标轴．这时就建立了一个
空间直角坐标系 ， 叫做原点， 都叫做坐标向量，通过每两条坐标轴的平面叫做坐标平
面，称为 平面， 平面， 平面．
画空间坐标系 时，一般使 或 ．
在空间中交坐标系中，让右手拇指指向 轴的方向，食指指向 轴的正方向，如果中指指向 轴的正方
向，则称这个坐标系为右手直角坐标系．
（2）空间向量的坐标表示
在空间直角坐标系 中， 为坐标向量，对空间任意一点 ，对应一个向量 ，且点 的位置由向
量 唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组 ，使 ．
在单位正交基底 下与向量 对应的有序实数组 ，叫做点 在空间直角坐标系中的坐
标，记作 ，其中 叫做点 的横坐标， 叫做点 的纵坐标， 叫做点 的竖坐标．
若 ，则 ，可简记为 ．
经典例题
18
巩固练习
3. 空间向量运算的坐标表示
（1）空间两点的中点坐标公式
设点 ，点 ，则线段 的中点 的坐标为：
（2）空间向量运算的坐标表示
设 ，
．
设 ， ，
（1） ， ， ；
（2） ．
设 ， ，则
， ．
．
（3）空间相关运算公式
设 ，
经典例题
巩固练习
4. 知识总结
（1）空间向量运算的坐标表示
设 ，
19
① ；
② ；
③ ；
④ ， ， ；
⑤ ；
⑥ ， ；
⑦ ．
（2）空间中常用公式
设 ，
①
②线段 的中点 的坐标
思维导图
你学会了吗？画出思维导图总结本节课所学吧！
出门测
20空间向量运算
学习目标
1．理解空间向量概念及相关概念．
2．掌握向量的加（减）、数乘运算及数量积运算．
3．掌握空间向量运算的坐标表示．
【备注】1．重点是理解空间向量相关概念、掌握向量的加（减）、数乘运算及数量积运算、掌握空
间向量运算的坐标表示；难点是空间向量的共面向量定理及空间向量运算的坐标运算的综
合运算．
2．关联知识：立体几何．
一、 空间向量及其运算
1. 空间向量及其运算
（1）空间向量的概念
①在空间中，把具有大小和方向的量叫做空间向量．
②向量的大小叫做向量的长度或模长．
③空间向量的表示法：
几何方法：用有向线段表示；
字母表示法：用一个字母表示，如 ，若向量的起点是 ，终点是 ，可记作 ，其模记为 或 ．
（2）其他相关概念
①零向量：长度为 的向量叫做零向量，记为 ．
②单位向量：模长为 的向量称为单位向量．
③相等向量：方向相同且模长相等的向量称为相等向量．在空间中，同向且等长的有向线段表示同一向
量或相等向量．
④相反向量：与向量 长度相同而方向相反的向量，为 的相反向量，记为 ．
⑤共线向量：如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向
量或平行向量．
（3）加法、减法及数乘运算
如下图：
1
①
②
③当 时，
当 时，
当 时，
（4）线性运算满足的运算规律（ ）
①交换律：
②结合律： ,
③分配律： , ,
（5）方向向量
①空间向量共线的充要条件：类似于平面向量共线的充要条件，对任意两个空间向量 ( ），
的充要条件是存在实数 ，使 ．
如图， 是直线上一点，在直线上取非零向量 ,则对于直线上任意一点 ,由数乘向量的定义及向量共
线的充要条件可知，存在实数 ，使得 λ .我们把与向量 平行的非零向量称为直线的方向向
量．
（6）共面向量
如图，如果表示向量 的有向线段 所在的直线 与直线平行或重合，那么称向量 平行于直线 .如
果直线 平行于平面 或在平面 内，那么称向量 平行于平面 .平行于同一平面的向量，叫做共面向
量．
2
共面向量定理：如果两个向量 、 不共线，那么向量 与向量 、 共面的充要条件是存在唯一的有序实
数对 ，使 ;
推论 :空间一点 位于平面 的充要条件是存在唯一的有序实数对 ，使 ;或对
空间任意一点 ，有 ;
推论 :空间一点 位于平面 的充要条件是存在实数组 ，对空间任一点 ，有
,其中
经典例题
1. 已知点 ， 分别是空间四面体 的边 和 的中点， 为线段 的中点，若
，则实数 ．
【备注】本题运用向量的加法运算及数乘运算求解即可
【答案】
【解析】如图所示，
．
3
即 ．
故答案为： ．
【标注】【知识点】空间向量线性运算的坐标表示；空间向量的线性运算（非坐标）
2. 如图，四面体 中， 为 中点，点 在 上， ，则 （ ）．
A. B.
C. D.
【备注】本题同样考查空间向量的运算；作出空间几何体，运用向量的加法及数乘运算即可
【答案】B
【解析】四面体 中， 为 中点，点 在 上， ，
∴
．
故选 ．
【标注】【知识点】空间向量的线性运算（非坐标）
巩固练习
4
1. 设 是 所在平面外的一点， 是 的重心．
求证： ．
【答案】
【解析】连接 ，延长后交 于 ，由 为 的重心，知 为 的中点，且 ．
∴ ．
∴
．
【标注】【知识点】空间向量的线性运算（非坐标）；空间向量线性运算的坐标表示
2. 已知 ， ， 是三个不共面的向量，若 ， ， ，若向量
， ， 共面，则 （ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【标注】【知识点】空间向量的线性运算（非坐标）
2. 空间向量的数量积运算
5
如图已知两个非零向量 ，在空间中任取一点 ，作 ，则 叫做向量 的
夹角，记作 ．
如果 ，那么 与 垂直，记作 ．
已知两个非零向量 ，则 叫做 的数量积，记作 ，即
．
①特别地，零向量与任意向量的数量积为 ．
②由向量的数量积定义，可以得到：
经典例题
1. 已知 为正方体，给出下列四个命题：
① ；
② ；
③向量 与向量 的夹角是 ；
④正方体 的体积为 ．
其中正确的序号是 ．
【备注】本题比较难，首先可画出草图，根据图形，可判断 、 、 相互垂直，所以可得
①正确；在③中主要对向量进行平移然后观察夹角即可
【答案】①②
【解析】①中，
，
故①正确，
②中， ，
因为 ，故②正确，
6
③中，两异面直线 与 所成的角为 ，
但 与 的夹角为 ，故③不正确，
④中， ，故④也不正确．
【标注】【知识点】空间向量的数量积及其坐标表示
2. 如图，正四面体 的棱长为 ，点 、 分别为棱 ， 的中点，则 的值为（ ）．
A. B. C. D.
【备注】本题考查向量的线性运算及数量积运算；本题难点主要是运用向量的线性运算进行转换；
由于 是与 点乘，所以将 转化为与 有交点的边
【答案】C
【解析】∵ ，
∴
．
故选 ．
【标注】【知识点】空间向量的数量积及其坐标表示；空间向量的线性运算（非坐标）
3. 如图所示，正方体 的棱长为 ，若动点 在线段 上运动，则 的取值范围
是 ．
7
【备注】本题利用同样考查空间向量的线性运算，根据正方体中角的特殊性，转化求解即可
【答案】
【解析】由题意，设 ，其中 ，
，
因此 的取值范围是 ．
故答案为： ．
【标注】【知识点】空间向量的线性运算（非坐标）；空间向量的数量积及其坐标表示
巩固练习
1. 已知四面体 ， ， ， ， ，则
．
【答案】
【解析】∵已知四面体 ．
．
， ， ．
∴ ．
8
．
．
则 ．
．
故答案为： ．
【标注】【知识点】空间向量的数量积及其坐标表示
2. 平行六面体（由六个平行四边形所围成的多面体） 中，若 ， ，
，且 ， ， 两两均成 角，则对角线 的长度为 ．
【答案】
【解析】平行六面体 中，
向量 、 、 两两夹角为 ，
， ， ，
∴ ，
∴
，
∴ ，
∴答案为 ．
【标注】【知识点】空间向量的数量积及其坐标表示
3. 已知 ， 是空间两个单位向量，它们的夹角为 ，那么 ．
【答案】
【解析】∵ ， ；
∴ ；
∴ ．
【标注】【知识点】空间向量的数量积及其坐标表示
9
4. 已知正四面体 的棱长为 ，点 ， 分别是棱 ， 的中点，则 的值是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】如图所示，
∵正四面体 的棱长为 ,点 ， 分别是棱 ， 的中点，
∴ ， ．
∴
．
故选 ．
【标注】【素养】逻辑推理
【素养】数学运算
【素养】直观想象
【知识点】空间向量的数量积及其坐标表示
3. 知识总结
（1）共线向量：如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共
线向量或平行向量.
（2）线性运算的运算规律（ ）
①交换律：
②结合律： ,
③分配律：
10
, ,
（3）空间向量的数量积运算
．
①特别地，零向量与任意向量的数量积为 .
②由向量的数量积定义，可以得到：
二、 空间向量基本定理与坐标运算
1. 空间向量基本定理
定理：如果三个向量 不共面，那么对空间任一向量 ，存在一个唯一的有序实数组 ，使
．任意三个不共面的空间向量都可以构成空间的一个基底．
如果三个向量 不共面，则 的线性组合 能生成所有的空间向量，这时
叫做空间的一个基底，记作 ，其中 都叫做基向量．
据此，任意三个不共面的空间向量都可以构成空间的一个基底．
特别地，如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为 ，那么这个基底叫做单位正交基
底，常用 表示.由空间向量基本定理可知，对空间中任意向量 ，均可以分解为三个向量
，使 ．像这样，把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把
空间向量进行正交分解．
11
经典例题
1. 已知 是空间的一个基底，且 ， ，
，试判断 能否作为空间的一个基底．
【备注】本题考查向量共面的充要条件：存在唯一的有序实数对 ，使 ；
及构成空间的基底的条件：三个向量不共面
【答案】不可以构成空间的一个基底．
【解析】假设 ， ， 共面，由向量共面的充要条件知存在实数 ， ，
使 成立．
所以
得 ，解得 ，
故 ， ， 共面，不可以构成空间的一个基底．
【标注】【知识点】空间向量的线性运算（非坐标）；空间向量基本定理
2. 已知 ， ， 是不共面向量， ， ， ，
若 ， ， 三个向量共面，则实数 ．
【备注】共面向量定理的考查：如果两个向量 、 不共线，那么向量 与向量 、 共面的充要条件是
存在唯一的有序实数对 ，使 ;
本题转化为 的形式,建立二元一次方程组，求解出 、 ，再求 即可
【答案】
【解析】∵ ， ， 三个向量共面，∴可以写成 的形式，整理可得
，解得 ， ，
12
∵ ，∴ ．
【标注】【知识点】空间向量的线性运算（非坐标）
【素养】数学运算
【素养】逻辑推理
巩固练习
1. 已知空间向量 ， ， ， ，若存在实数组 和 ，满足 ，
，且 ，试证明向量 ， ， 共面．
【答案】证明见解析．
【解析】∵存在实数组 和 ，满足 ，
，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴向量 ， ， 共面．
【标注】【知识点】空间向量的线性运算（非坐标）；空间向量基本定理
2. 已知 平面 ，四边形 为正方形， 为 的重心， ， ， ，
试用基底 表示 ， ， ．
13
【答案】 ， ， ．
【解析】如图所示，
延长 ，交 于点 ，则 为 的中点．
，
，
．
故答案为： ， ， ．
【标注】【知识点】空间向量的线性运算（非坐标）；空间向量基本定理
3. 已知三个向量 ， ， 不共面，并且 ， ，
，向量 ， ， 是否共面？
14
【答案】向量 ， ， 共面．
【解析】假设存在实数 ， ，使 ，
则 ．
， ， 不共面， 解得
即存在实数 ， ，使 ， 向量 ， ， 共面．
【标注】【知识点】空间向量的线性运算（非坐标）
2. 空间直角坐标系
（1）空间直角坐标系
如图，在空间选定一点 和一个单位正交基底 ．以点 为原点，分别以 的方向为正
方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴： 轴、 轴、 轴，它们都叫做坐标轴．这时就建立了一个
空间直角坐标系 ， 叫做原点， 都叫做坐标向量，通过每两条坐标轴的平面叫做坐标平
面，称为 平面， 平面， 平面．
画空间坐标系 时，一般使 或 ．
在空间直角坐标系中，让右手拇指指向 轴的方向，食指指向 轴的正方向，如果中指指向 轴的正方
向，则称这个坐标系为右手直角坐标系．
（2）空间向量的坐标表示
在空间直角坐标系 中， 为坐标向量，对空间任意一点 ，对应一个向量 ，且点 的位置由向
量 唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组 ，使 ．
15
在单位正交基底 下与向量 对应的有序实数组 ，叫做点 在空间直角坐标系中的坐
标，记作 ，其中 叫做点 的横坐标， 叫做点 的纵坐标， 叫做点 的竖坐标．
若 ，则 ，可简记为 ．
经典例题
1. 在空间直角坐标系中，点 关于 轴的对称点的坐标是（ ）．
A. B. C. D.
【备注】关于 轴对称，只需 、 值对应变为其相反数
【答案】A
【解析】点 关于 轴对称的点只需 值以及 值对应变为其相反数，
故其对称点坐标为 ．
故选 ．
【标注】【知识点】建立空间直角坐标系
2. 在空间直角坐标系中，点 关于平面 对称的点的坐标为（ ）．
A. B. C. D.
【备注】在空间直角坐标系，关于面对称，只需另一个轴的点变为相反数；如本题关于 面对称，
只需将 值变为相反数
【答案】C
【解析】在空间直角坐标系中，
点 关于平面 对称的点的坐标为 ．
故选 ．
16
【标注】【知识点】建立空间直角坐标系
巩固练习
1. 点 关于 平面的对称点的坐标为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】点关于 平面对称，
则横纵坐标不变，
竖坐标变为相反数，
则 关于 平面的对称点为 ．
故选 ．
【标注】【知识点】建立空间直角坐标系
2. 在空间直角坐标系中，已知点 ，给出下列 条描述：
①点 关于 轴的对称点的坐标是 ，
②点 关于 平面的对称点的坐标是 ，
③点 关于 轴的对称点的坐标是 ，
④点 关于原点的对称点的坐标是 ．
其中正确的个数是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】空间中， 关于 轴对称的点， 相等， ， 互为相反数，则 关于 轴对称点为
，故①错误，
关于 平面对称的两点， ， 相等， 互为相反数，则 关于 平面的对称点为 ，故②
错误，
关于 轴对称的两点 相等， ， 互为相反数，则 关于 轴对称点为 ，故③错误，
关于原点对称的两点 ， ， 皆互为相反数，则 关于原点的对称点为 ，故④正确．
【标注】【知识点】建立空间直角坐标系
17
3. 空间向量运算的坐标表示
（1）空间两点的中点坐标公式
设点 ，点 ，则线段 的中点 的坐标为：
（2）空间向量运算的坐标表示
设 ，
；
；
．
设 ， ，
（1） ， ， ；
（2） ．
设 ， ，则
， ．
．
（3）空间相关运算公式
设 ，
经典例题
1. 已知 ， ， ．
（ 1 ）求 ， ．
（ 2 ）计算： ， ， ．
（ 3 ）写出与向量 平行的单位向量．
（ 4 ）写出与向量 ， 同时垂直的，且长度为 的向量．
（ 5 ）当实数 的值为多少时， ．
18
【备注】向量的坐标运算考查，运用公式求解即可
【答案】（ 1 ） , ．
（ 2 ） , , ．
（ 3 ） 或 ．
（ 4 ） 或 ．
（ 5 ） ．
【解析】（ 1 ） ， ．
（ 2 ） ．
．
．
（ 3 ）∵ ，
故与 平行的单位向量为 ，即 或 ．
（ 4 ）设 是满足条件的向量，则有
，
故 ，又 ，故有 ，
解得 ，故满足条件的向量为 或 ．
（ 5 ） ，解得 ．
【标注】【知识点】空间向量线性运算的坐标表示
【素养】数学运算
2. 已知向量 ， ， ．
（ 1 ）当 时，若向量 与 垂直，求实数 和 的值．
（ 2 ）若向量 与向量 ， 共面，求实数 的值．
19
【备注】(1)利用 的模长求解 ,再利用两个向量垂直，向量点乘为 求
(2)利用向量共面定理求解即可
【答案】（ 1 ） ， ．
（ 2 ） ．
【解析】（ 1 ）∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ．
（ 2 ）∵向量 与向量 ， 共面，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【标注】【知识点】空间向量基本定理；空间向量的数量积及其坐标表示；空间向量线性运算的
坐标表示；空间向量的线性运算（非坐标）
3. 已知空间三点 ， ， ，设 ， ．
（ 1 ）求 和 的夹角的余弦．
（ 2 ）若向量 与 互相垂直，求 的值．
20
【备注】（1）空间向量数量积坐标运算
（2）空间向量垂直时向量点乘为 求参
【答案】（ 1 ）夹角的余弦值为 ．
（ 2 ） 或 ．
【解析】（ 1 ） ，
，
∴ ．
∴ 和 的夹角的余弦值为 ．
（ 2 ）方法一： ，
，
∵ ，
∴ ，
即 ，解得 或 ．
方法二：由（1）知 ， ， ，
∴
，
解得 或 ．
【标注】【知识点】空间向量的数量积及其坐标表示；空间向量基本定理
4. 点 是棱长为 的正方体 的底面 上一点，则 的取值范围是 ．
【备注】建立空间直角坐标系，求出相应点中标运算即可；本题注意在化简完式子需要根据 、 的
范围找最值，所以在设坐标时不要忘记 、 的取值范围；其次在求解出下面的式子，主要
根据二次函数的性质找最值
21
【答案】
【解析】以点 为原点，以 所在的直线为 轴，以 所在的直线为 轴，以 所在的直线
为 轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
则点 ， ，
设点 的坐标为 ，由题意得 ， ， ．
∴ ， ．
∴ ， ．
由二次函数的性质可得，当 时， 取得最小值为 ；
当 或 ，且 或 时， 取得最大值为 ，
则 的取值范围是 ．
故答案为： ．
【标注】【知识点】空间向量的数量积及其坐标表示
巩固练习
1. 已知 ， ，计算：
（ 1 ） ．
（ 2 ） ．
（ 3 ） ．
（ 4 ） ．
（ 5 ） ，且 ，求 ， 的值．
22
（ 6 ）若 ，且 ，则 ．
【答案】（ 1 ）
（ 2 ）
（ 3 ）
（ 4 ）
（ 5 ） ； ．
（ 6 ）
【标注】【知识点】空间向量线性运算的坐标表示；空间向量的数量积及其坐标表示
2. 在棱长为 正方体 中， 为棱 的中点，点 是侧面 上一动点，且
，则线段 的取值范围为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】如图，以 为原点建立空间直角坐标系，则 ， ， ，设 ，
则 ， ，
∵ ，
∴ ，即 ，
则
23
，
∵ ，
∴当 时， 取得最小值 ，当 或 时， 取得最大值 ，
故线段 的取值范围是 ．
故选 ．
【标注】【知识点】空间向量的数量积及其坐标表示；向量法解决空间中的垂直问题
3. 已知空间三点 ， ， 是 ， 的中点，设 ， ．
（ 1 ）若向量 与 互相垂直，求实数 的值．
（ 2 ）若向量 与 同向，求实数 的值．
【答案】（ 1 ） 或 ．
（ 2 ） ．
【解析】（ 1 ）
．
点坐标为 ，
即 ，
∴
．
∵向量 与 互相垂直，
∴ ，
即 ，
又∵ ，
，
，
∴ ，
24
∴ ，
解得 或 ．
（ 2 ）由（ ）得： ， ，
∴
，
∵向量 与 同向，
∴ ，
∴ ，
解得： ．
【标注】【知识点】空间向量的数量积及其坐标表示；空间向量线性运算的坐标表示；空间向量
的线性运算（非坐标）
4. 设 ， ， ，点 是线段 上的一个动点，且满足 ，若
，则实数 的取值范围是 ．
【答案】
【解析】设 ，
则 ， ，
由 ，得 ， ， ，
∴ ，
由 ，得 ，
解得 ，又 ，
∴ ．
故答案为 ．
【标注】【知识点】空间向量的数量积及其坐标表示
4. 知识总结
（1）空间向量运算的坐标表示
设 ，
① ；
25
② ；
③ ；
④ ， ， ；
⑤ ；
⑥ ， ；
⑦ ．
（2）空间中常用公式
设 ，
①
②线段 的中点 的坐标
思维导图
你学会了吗？画出思维导图总结本节课所学吧！
【备注】
26
出门测
1. 如图，在四面体 中，设 是 的中点，则 等于（ ）．
A. B. C. D.
27
【答案】D
【解析】∵ 是 的中点，
∴ ．
【标注】【知识点】空间向量的线性运算（非坐标）
2. 平行六面体 中，向量 、 、 两两的夹角均为 ，且 ， ，
，则 等于 ．
【答案】
【解析】由平行六面体 可得：
，
，
．
故答案为： ．
【标注】【知识点】空间向量的线性运算（非坐标）；空间向量线性运算的坐标表示
3. 已知 是空间的一个基底，且 ， ，
，试判断 能否作为空间的一个基底？若能，试以此基底表示向量 ；
若不能，请说明理由．
【答案】能；证明见解析．
【解析】假设 ， ， 共面，由向量共面的充要条件知存在实数 ， 使 成
立，
28
所以
．
因为 是空间的一个基底，
所以 ， ， 不共面．
所以 ，此方程组无解，
即不存在实数 ， 使 成立．
所以 ， ， 不共面．
故 能作为空间的一个基底．
设 ，
则有
．
因为 为空间的一个基底，
所以 ，
解得 ．
所以 ．
【标注】【知识点】空间向量的线性运算（非坐标）
4. 点 ， ， 为线段 上一点，且 ，则点 坐标为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】设 点坐标 ，
则向量 ，
向量 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ， ，
29
因此点 的坐标为 ．
故选 ．
【标注】【知识点】空间向量线性运算的坐标表示
5. 若 ， ，且 与 的夹角为钝角，则 的取值范围是 ．
【答案】
【标注】【知识点】空间向量的数量积及其坐标表示
学习目标
1．理解空间向量概念及相关概念．
2．掌握向量的加（减）、数乘运算及数量积运算．
3．掌握空间向量运算的坐标表示．
【备注】1．重点是理解空间向量相关概念、掌握向量的加（减）、数乘运算及数量积运算、掌握空
间向量运算的坐标表示；难点是空间向量的共面向量定理及空间向量运算的坐标运算的综
合运算．
2．关联知识：立体几何．
三、 空间向量及其运算
1. 空间向量及其运算
（1）空间向量的概念
①在空间中，把具有大小和方向的量叫做空间向量．
②向量的大小做向量的长度或模长．
③空间向量的表示法：
几何方法：用有向线段表示；
字母表示法：用一个字母表示，如 ，若向量的起点是 ，终点是 ，可记作 ，其模记为 或 ．
（2）其他相关概念
①零向量：长度为 的向量叫做零向量，记为 ．
②单位向量：模长为 的向量称为单位向量．
30
③相等向量：方向相同且模长相等的向量称为相等向量．在空间中，同向且等长的有向线段表示同一向
量或相等向量．
④相反向量：与向量 长度相同而方向相反的向量，为 的相反向量，记为 ．
⑤共线向量：如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向
量或平行向量．
（3）加法、减法及数乘运算
如下图：
①
②
③当 时，
当 时，
当 时，
（4）线性运算满足的运算规律（ ）
①交换律：
②结合律： ,
③分配律： , ,
（5）方向向量
①平面向量共线的充要条件：类似于平面向量共线的充要条件，对任意两个空间向量 ( ），
的充要条件是存在实数 ，使 ．
如图， 是直线上一点，在直线上取非零向量 ,则对于直线上任意一点 ,由数乘向量的定义及向量共
线的充要条件可知，存在实数 ，使得 λ .我们把与向量 平行的非零向量称为直线的方向向
31
量．
（6）共面向量
如图，如果表示向量 的有向线段 所在的直线 与直线平行或重合，那么称向量 平行于直线 .如
果直线 平行于平面 或在平面 内，那么称向量 平行于平面 .平行于同一平面的向量，叫做共面向
量．
共面向量定理：如果两个向量 、 不共线，那么向量 与向量 、 共面的充要条件是存在唯一的有序实
数对 ，使 ;
推论 :空间一点 位于平面 的充要条件是存在唯一的有序实数对 ，使 ;或对
空间任意一点 ，有 ;
推论 :空间一点 位于平面 的充要条件是存在实数组 ，对空间任一点 ，有
,其中
经典例题
巩固练习
2. 空间向量的数量积运算
如图已知两个非零向量 ，在空间中任取一点 ，作 ，则 叫做向量 的
夹角，记作 ．
如果 ，那么 与 垂直，记作 ．
32
已知两个非零向量 ，则 叫做 的数量积，记作 ，即
．
①特别地，零向量与任意向量的数量积为 ．
②由向量的数量积定义，可以得到：
经典例题
巩固练习
3. 知识总结
（1）共线向量：如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共
线向量或平行向量.
（2）线性运算的运算规律（ ）
①交换律：
②结合律： ,
③分配律：
, ,
（3）空间向量的数量积运算
．
①特别地，零向量与任意向量的数量积为 .
②由向量的数量积定义，可以得到：
四、 空间向量基本定理与坐标运算
1. 空间向量基本定理
定理：如果三个向量 不共面，那么对空间任一向量 ，存在一个唯一的有序实数组 ，使
33
．任意三个不共面的空间向量都可以构成空间的一个基底．
如果三个向量 不共面，则 的线性组合 能生成所有的空间向量，这时
叫做空间的一个基底，记作 ，其中 都叫做基向量．
据此，任意三个不共面的空间向量都可以构成空间的一个基底．
特别地，如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为 ，那么这个基底叫做单位正交基
底，常用 表示.由空间向量基本定理可知，对空间中任意向量 ，均可以分解为三个向量
，使 ．像这样，把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把
空间向量进行正交分解．
经典例题
巩固练习
2. 空间直角坐标系
（1）空间直角坐标系
如图，在空间选定一点 和一个单位正交基底 ．以点 为原点，分别以 的方向为正
方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴： 轴、 轴、 轴，它们都叫做坐标轴．这时就建立了一个
空间直角坐标系 ， 叫做原点， 都叫做坐标向量，通过每两条坐标轴的平面叫做坐标平
面，称为 平面， 平面， 平面．
画空间坐标系 时，一般使 或 ．
34
在空间中交坐标系中，让右手拇指指向 轴的方向，食指指向 轴的正方向，如果中指指向 轴的正方
向，则称这个坐标系为右手直角坐标系．
（2）空间向量的坐标表示
在空间直角坐标系 中， 为坐标向量，对空间任意一点 ，对应一个向量 ，且点 的位置由向
量 唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组 ，使 ．
在单位正交基底 下与向量 对应的有序实数组 ，叫做点 在空间直角坐标系中的坐
标，记作 ，其中 叫做点 的横坐标， 叫做点 的纵坐标， 叫做点 的竖坐标．
若 ，则 ，可简记为 ．
经典例题
巩固练习
3. 空间向量运算的坐标表示
（1）空间两点的中点坐标公式
设点 ，点 ，则线段 的中点 的坐标为：
（2）空间向量运算的坐标表示
35
设 ，
；
；
．
设 ， ，
（1） ， ， ；
（2） ．
设 ， ，则
， ．
．
（3）空间相关运算公式
设 ，
经典例题
巩固练习
4. 知识总结
（1）空间向量运算的坐标表示
设 ，
① ；
② ；
③ ；
④ ， ， ；
⑤ ；
⑥ ， ；
36
⑦ ．
（2）空间中常用公式
设 ，
①
②线段 的中点 的坐标
思维导图
你学会了吗？画出思维导图总结本节课所学吧！
【备注】
37
出门测
38
