数列及等差数列
一、 数列的相关概念、分类及表示方法
1. 观察数列前几项，求出下列数列的一个通项公式．
（ 1 ） ， ， ， ， ．
（ 2 ） ， ， ， ， ．
（ 3 ） ， ， ， ， ．
（ 4 ） ， ， ， ， ．
（ 5 ） ， ， ， ， ， ．
（ 6 ） ， ， ， ， ， ．
2. 已知数列 满足： ， ，则 （ ）．
A. B. C. D.
二、 由 与 关系求通项
1. 已知数列 的前 项和为 ，且 ，则 ．
2. 《九章算术》是我国第一部数学专著，下有源自其中的一个问题：“今有金箠（chuí），长五尺，
斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤．问金箠重几何？”其意思为：“今有金杖（粗细均匀变
化）长 尺，截得本端 尺，重 斤，截得末端 尺，重 斤．问金杖重多少？”则答案是 ．
三、 等差数列概念及相关公式
1. 已知 是一个公差大于 的等差数列，且满足 ， ．求数列 的通项公
式．
1
2. 在等差数列 中， ，则 的值为 ．
3. 《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有这样一道题：把 个面包分成 份，使
每份的面包数成等差数列，且较多的三份之和恰好是较少的两份之和的 倍，则最少的那份面包个数
为（ ）．
A. B. C. D.
4. 已知数列 是等差数列， 是其前 项和．若 ， ，则 的值
是 ．
四、 等差数列的性质
1. 在等差数列 中， ，则此数列的前 项的和为（ ）．
A. B. C. D.
2. 等差数列 、 中，其前 项和分别为 和 ， ，则 ．
3. 等差数列 前 项和分别为 ， ，若 ，则 = ．
五、 等差数列的判定
1. 已知数列 满足 ， ，令 ．
（ 1 ）求证：数列 是等差数列．
2. 数列 满足 ，且 对任意 均成立，则 ．
2
六、 等差数列前 项和的最值问题
1. 已知数列 满足 ，且 ．若 ，则正整数 （ ）．
A. B. C. D.
2. 设 为等差数列 的前 项和，若 ， ，则当 取得最大值时， 的值为 ．
3. 已知等差数列 的前 项和为 ，且 ， ，则 的最小值是（ ）．
A. B. C. D.
3数列及等差数列
一、 数列的相关概念、分类及表示方法
1. 观察数列前几项，求出下列数列的一个通项公式．
（ 1 ） ， ， ， ， ．
（ 2 ） ， ， ， ， ．
（ 3 ） ， ， ， ， ．
（ 4 ） ， ， ， ， ．
（ 5 ） ， ， ， ， ， ．
（ 6 ） ， ， ， ， ， ．
【答案】（ 1 ） 为奇数或 （可以不讲）或 为偶数 ．
（ 2 ） 或 为奇数为偶数．
（ 3 ） ．
（ 4 ） ．
（ 5 ） ．
（ 6 ） ．
【解析】（ 1 ）略．
（ 2 ）略．
（ 3 ）略．
（ 4 ）略．
（ 5 ）观察分子觉得分子可能为 ， ， ， ， ，从而得到分母为 ， ， ， ， ．
（ 6 ）观察分母得分母都为 ，将分母整理为 ， ， ， ， ，得到规律．
1
【标注】【知识点】常见数列的通项公式
2. 已知数列 满足： ， ，则 （ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵ ，
∴ ， ，
， ，
．
故选 ．
【标注】【知识点】根据递推关系求数列的某一项（非周期类）
二、 由 与 关系求通项
1. 已知数列 的前 项和为 ，且 ，则 ．
【答案】
【解析】 ．
故答案为： ．
【标注】【知识点】利用Sn与an的关系求通项
2. 《九章算术》是我国第一部数学专著，下有源自其中的一个问题：“今有金箠（chuí），长五尺，
斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤．问金箠重几何？”其意思为：“今有金杖（粗细均匀变
化）长 尺，截得本端 尺，重 斤，截得末端 尺，重 斤．问金杖重多少？”则答案是 ．
【答案】
【解析】由题意可知等差数列中 ， ，
则 ，
∴金杖重 斤．
2
故答案为： 斤．
【标注】【知识点】等差数列求和问题
三、 等差数列概念及相关公式
1. 已知 是一个公差大于 的等差数列，且满足 ， ．求数列 的通项公
式．
【答案】 ．
【解析】设等差数列 的公差为 ，由已知条件得：
①
②
由②得 ，③
将③代入①，并整理得 ．
即 ，∴ ．
又∵ ，∴ ．
将 代人②，得 ．
∴ ．
【标注】【知识点】等差数列求通项问题
2. 在等差数列 中， ，则 的值为 ．
【答案】
【解析】由题意知， ；则
．
故答案为： ．
3
【标注】【知识点】等差数列的性质及应用；等差数列求通项问题
3. 《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有这样一道题：把 个面包分成 份，使
每份的面包数成等差数列，且较多的三份之和恰好是较少的两份之和的 倍，则最少的那份面包个数
为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】记这五份面包的个数依次为 ， ， ， ， ，公差为 ．
由 ，得 ，
解得 ．
故选 ．
【标注】【知识点】数列的实际应用
4. 已知数列 是等差数列， 是其前 项和．若 ， ，则 的值
是 ．
【答案】16
【解析】解：设等差数列 的首项为 ，公差为 ，
则 ，解得 ．
．
故答案为： ．
【标注】【知识点】等差数列求和问题
四、 等差数列的性质
1. 在等差数列 中， ，则此数列的前 项的和为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】A
4
【解析】∵ ， ．∴ ．∵
，∴ ．
故选 ．
【标注】【知识点】等差数列的概念与通项公式
2. 等差数列 、 中，其前 项和分别为 和 ， ，则 ．
【答案】
【解析】
，
∵ ，
∴ ．
【标注】【知识点】等差数列的性质及应用
3. 等差数列 前 项和分别为 ， ，若 ，则 = ．
【答案】
【解析】由两数列均为等差数列可设， ， ，
∴ ，又∵ ，∴ ，
不妨设 ，则 ， ，则 ， ,
∴ ．
【标注】【知识点】等差数列的性质及应用
5
五、 等差数列的判定
1. 已知数列 满足 ， ，令 ．
（ 1 ）求证：数列 是等差数列．
【答案】（ 1 ）证明见解析．
（ 2 ） ．
【解析】（ 1 ）∵ ，
∴ ，
又 ，
∴
，
又 ，
∴数列 是首项为 ，公差为 的等差数列．
（ 2 ）由（ ）得 ，
∴ ，
∴ ．
【标注】【知识点】等差数列求通项问题
2. 数列 满足 ，且 对任意 均成立，则 ．
【答案】3031
【解析】解： 对任意 均成立，
6
当 时，可得： ，
两式相减可得： ，
当 时，可得： ，可得 ，
数列 是等差数列，首项为 ，公差为 ．
．
故答案为： ．
【标注】【知识点】等差数列求通项问题
六、 等差数列前 项和的最值问题
1. 已知数列 满足 ，且 ．若 ，则正整数 （ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由已知得： ，
所以数列 是以 为首项， 为公差的等差数列，
所以 ，
由此可知 为递减数列，
所以由 得 ，，
，
即
，
解得 ，所以 ．
故选 ．
【标注】【知识点】数列的函数特性；等差数列求通项问题；数列与不等式综合
2. 设 为等差数列 的前 项和，若 ， ，则当 取得最大值时， 的值为 ．
【答案】 或
【解析】由 （单调递减），
要使 最大，则须使 都大于小于 ，令 ，
7
∴ ，
又 ，
∴ 或 时， 最大．
故答案为： 或 ．
【标注】【素养】数学运算
【知识点】求等差数列前n项和的最值
3. 已知等差数列 的前 项和为 ，且 ， ，则 的最小值是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】 ， ，
由题知 最小值为 ．
故选 ．
【标注】【知识点】等差数列求和问题；等差数列角标和性质的应用；等差数列中最值问题
8
