抛物线
学习目标
1．掌握抛物线的定义及四种标准方程并熟练运用．
2．掌握抛物线的一系列几何性质并熟练运用几何性质解题．
3．掌握求轨迹方程的的几种方法并熟练运用．
【备注】1.本讲的重点是掌握抛物线的定义，四种标准方程，抛物线的性质并会运用；难点是性质
中的焦半径的求法并会运用，抛物线的焦点弦，求轨迹方程的的几种方法并会运用．
2.关联知识包括椭圆、双曲线、直线与圆等.
一、 抛物线的定义及标准方程
1. 定义及标准方程
（1）抛物线的定义
平面内与一个定点 和一条定直线 的距离相等的点的轨迹 叫做抛物线．
定点 叫做抛物线的 焦点 ，定直线叫做抛物线的 准线 ．
重要解读：
①定义的实质可归结为“一动三定”
一个动点，设为 ；
一个定点，设为 ；
一条定直线（抛物线的准线）；
一个定值（即点 到点 的距离与它到定直线的距离之比等于 ）.
②定点 不在定直线上，否则动点 的轨迹就是过点 且垂直于直线的一条直线.
【备注】对于②的解释，例如：
到定点 与定直线 的距离相等的动点轨迹为过定点 且与定直线垂直的直
线 .
（2）抛物线的标准方程
1
标准方程
图象
坐标
焦点
位置 轴正半轴 轴负半轴 轴正半轴 轴负半轴
准线
开口 向右 向左 向上 向下
【备注】抛物线标准方程的推导过程——根据抛物线的定义来求它的标准方程
过点 作直线的垂线，垂足为 ，以直线 为 轴，线段 的中垂线为 轴建立平面直角坐
标系 ，如下图：
设 是抛物线上任意一点，焦点 ，准线方程是
则 到 的距离
到直线的距离为 ，所以 ，
上式两边平方，整理可得
注意：
①求解抛物线的标准方程，先根据题意分析焦点以及准线的位置，从而待定出上述四种标准方程中的一
种，再根据题目条件抽象出抛物线的定义或者直接获得抛物线上定点的坐标，求解出参数 带回原方程
即可；
②利用抛物线方程求解焦点坐标或者准线方程时，一定要化成标准形式后再由标准方程读出焦点坐标和
准线方程．如抛物线 标准化之后为 ，相当于 ，故焦点坐标为 ，准线方程为
.
2
【备注】其他注意的地方：
就顶点附近的形状来说，抛物线与双曲线很相似，但是抛物线绝对不是半支双曲线，二者
的图形在遥远的地方就显示出了很大的差别，以标准方程为 的抛物线为例，
当 逐渐增大时，抛物线向右延伸愈加平缓；而对于标准方程为 的
双曲线来说，随着 的增大，曲线向渐近线的方向延伸，显然后期双曲线要比抛物线开阔得
多．
经典例题
1. 已知点 在抛物线 的准线上，记 的焦点为 ，则直线 的斜率为 ．
【备注】本题考查抛物线与直线的斜率综合；首先根据点 是在准线上确定标准方程，并确定抛物线
焦点，根据斜率公式求解直线斜率
【答案】
【解析】由点 在抛物线 ： 的准线上，
即 ，则 ，
故抛物线的焦点坐标为： ，
则直线 的斜率 ，
故答案为： ．
【标注】【知识点】斜率计算；抛物线的标准方程
2. 根据下列条件，求抛物线的标准方程．
（ 1 ）焦点为 ．
（ 2 ）准线为 ．
（ 3 ）焦点到准线的距离是 ．
（ 4 ）过点 ．
【备注】本题考查根据条件求解抛物线标准方程问题，需要注意：
1.注意判断焦点位置，会匹配标准方程类型
3
2.要注意在不能准确匹配标准方程类型时，注意对焦点位置的讨论
3.焦点到准线的距离为
本题（4）注意所过的点在第一象限，此种抛物线方程有两种，需要进行分类讨论
【答案】（ 1 ） ．
（ 2 ） ．
（ 3 ） ， ， ， ．
（ 4 ） 或 ．
【解析】（ 1 ）焦点在 轴负半轴上， ，即 ，故抛物线的标准方程为 ．
故答案为： ．
（ 2 ）焦点在 轴正半轴上， ，即 ，故抛物线的标准方程为 ．
故答案为： ．
（ 3 ） ，故抛物线的标准方程有四种形式： ， ， ， ．
故答案为： ， ， ， ．
（ 4 ）点 在第一象限，分两种情形：
当抛物线焦点在 轴上时，设其方程为 ，则 ，
解得 ，此时抛物线的标准方程为 ；
当抛物线焦点在 轴上时，设其方程为 ，则 ，
解得 ，此时抛物线的标准方程为 ．
故答案为： ．
【标注】【知识点】抛物线的定义；抛物线的标准方程
3. 为坐标原点， 为抛物线 ： 的焦点， 为 上一点，若 ，则 的面积为（
）．
A. B. C. D.
【备注】本题相对比较综合，过点 向 轴作垂线，垂足为 ;
利用抛物线的定义求出 点横坐标，求得 ,进而可求得
【答案】C
【解析】 抛物线 的方程为 ．
，可得 ， 得焦点 ．
设 ，根据抛物线的定义，得 ， 即 ，解得 ．
点 在抛物线 上，得 ， ．
， 的面积为 ． 故选 ．
4
【标注】【知识点】抛物线坐标的取值范围
4. 已知抛物线方程为 ，定点 ，点 为抛物线上的动点， 到抛物线的准线的距离为 ，
则 最小值为（ ）．
A. B. C. D.
【备注】根据抛物线的定义将 转化为 ,当三点共线时，取最小值
【答案】D
【解析】设抛物线 的焦点为 ，准线为，
则 ，： ，
由抛物线的定义可知： ，
∴ ，
当 、 、 三点共线，且 在线段 中间时，取最小值 ．
故选： ．
【标注】【知识点】抛物线的定义
巩固练习
1. 抛物线 的焦点到直线 的距离 （ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】抛物线 的焦点为 ，
则直线 到焦点的距离 ．
故选 ．
【标注】【知识点】抛物线的基本量求解；点到直线的距离公式
5
2. 经过点 的抛物线的标准方程为 ．
【答案】 或
【解析】设抛物线方程为 或 ，
∵抛物线过点 ，
∴ ， ，
解得 ， ，
∴抛物线的标准方程为 或 ．
【标注】【知识点】抛物线的标准方程
3. 抛物线的顶点在坐标原点，焦点与双曲线 的一个焦点重合，则该抛物线的标准方程可能
是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由双曲线 可知 ， ，则 ，且焦点在 轴上，
所以焦点坐标为： ， ，
①当焦点 时，抛物线的标准方程为： ，
②当焦点 时，抛物线的标准方程为： ．
故选 ．
【标注】【知识点】抛物线的标准方程
2. 知识总结
（1）抛物线的定义
平面内与一个定点 和一条定直线 的距离相等的点的轨迹 叫做抛物线．
定点 叫做抛物线的 焦点 ，定直线叫做抛物线的 准线
（2）抛物线的标准方程
6
标准方程
图象
坐标
焦点
位置 轴正半轴 轴负半轴 轴正半轴 轴负半轴
准线
开口 向右 向左 向上 向下
二、 抛物线的性质
1. 基本性质
（1）范围
标准方程
图象
范围
【备注】标准方程
因为 ，故由上述方程可知抛物线上任意一点 满足 ，因此抛物线严格位于
轴右侧；而且当 增大时， 也随之增大，这说明抛物线向右上方和右下方无线延伸，开口
向右．
其他标准方程可作类似推导.
（2）顶点
抛物线与它的轴的交点叫做抛物线的顶点；由 ，故抛物线的顶点为 坐标原点．
7
（3）对称性
以 为例
用 代替 ，抛物线的标准方程不变，因此这条抛物线是以 轴为对称轴的轴对称图形，此时， 轴为抛
物线的对称轴（或轴）．
抛物线对称轴及开口的判断方法： 对称轴要看一次项，其系数正负号决定图象开口方向 .
【备注】对上述判断方法的解释：
抛物线的标准方程 或 的特点是等号一边是某变元的完全
平方，等号另一边是另一变元的一次项.这个形式与位置特征相对应：
当对称轴为 轴时，方程中的一次项就是 的一次项，且该负系数的正负号指出了抛物线的
开口方向，及该项系数为正时，开口向着 轴的正方向，该项系数为负时，开口向着 轴的
负方向；
当对称轴为 轴时，方程中的一次项就是 的一次项，且符号指出了抛物线的开口方向，即
该项系数为正时，开口向着 轴的正方向，该项系数为负时，开口向着 轴的负方向.
（4）离心率
抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离之比叫做抛物线的离心率，用 表示．
根据抛物线的描述定义， ．
【备注】抛物线的定义：平面内与一个定点 和一条定直线 的距离相等的点的轨迹叫做抛物
线．
（5）焦半径
标准方程
焦半径
注： 为抛物线上一点
【备注】焦半径公式可以用抛物线定义直接推导，也便于学生理解
设抛物线方程为 ， 为抛物准线， ， 是抛物线上任意一点，
过 作
根据抛物线的定义，
经典例题
1. 若抛物线 （ ）上任意一点到焦点的距离恒大于 ，则 的取值范围是（ ）．
8
A. B. C. D.
【备注】本题实际考查焦半径问题；根据标准方程找到焦半径公式列出不等式求解即可
【答案】D
【解析】根据抛物线的定义，
曲线上的点到焦点的距离等于该点到准线的距离，
设该点为 ，
则此距离为 ，又 ，
故解得 ．
【标注】【知识点】抛物线的顶点
2. 按要求填空．
（ 1 ）以双曲线 的右焦点为焦点，且以原点为顶点的抛物线的标准方程为 ．
【备注】本题考查抛物线与双曲线综合；找到焦点 ，判断抛物线的标准方程形式，求出
【答案】（ 1 ）
（ 2 ）
【标注】【知识点】双曲线的标准方程；抛物线的标准方程
3. 已知抛物线 的动弦 的中点的横坐标为 ，则 的最大值为（ ）．
A. B. C. D.
【备注】此题考查焦半径公式，利用方法一求解
【答案】B
【解析】方法一：抛物线焦点坐标为 ，设 ，
则有 ，
9
所以 的最大值为 ．
方法二：设 ， ，则 ，∴ ，
设直线 的方程为 ，由 ，得 ，
， ，
，
，
，
，
， 当 时， 最大， ．
故选 ．
【标注】【知识点】抛物线的对称性
【素养】数学运算
巩固练习
1. 已知抛物线 的焦点为 ，准线为， 为抛物线上一点， ，垂足为 ．如果 是
边长为 的正三角形，则此抛物线的焦点坐标为 ，点 的横坐标 ．
【答案】 ;
【解析】∵抛物线 的焦点为 ，准线为 ，
为抛物线上一点， ，垂足为 ．
根据抛物线的定义 点到准线的距离为 ，又 ，
所以 就是 点到准线的距离，即 垂直于 ，
10
∵ 是边长为 的正三角形，
∴ 到准线 的距离为 ，即 ， 到 轴的距离为 ，
∴抛物线的焦点坐标为 ，
则 点的纵坐标 ，
∴ ，
解得 ．
【标注】【知识点】抛物线的标准方程
2. 已知点 ，抛物线 的焦点是 ，若抛物线上存在一点 ，使得 最小，则 点的坐
标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】根据抛物线的定义，点 到焦点 的距离等于它到准线的距离；
设点 到准线 的距离为 ，
则所求的 最小值，即 的最小值；
根据平面几何知识，可得当 、 、 三点共线时 最小，
∴ 的最小值为 到准线的距离；
此时 的纵坐标为 ，代入抛物线方程得 的横坐标为 得
故选：D
【标注】【知识点】抛物线的顶点
3. 如图所示，点 是抛物线 的焦点，点 ， 分别在抛物线 及圆 的实线部
分上运动，且 总是平行于 轴，则 的周长的取值范围是 ．
11
【答案】
【解析】抛物线的准线 ，焦点 ，
由抛物线定义可得： ，
∴ 的周长 ，
由抛物线 及圆 ，得交点的横坐标为 ，
∴ ，∴ ，
∴ 的周长的取值范围是 ．
【标注】【知识点】抛物线的定义
2. 抛物线的焦点弦
1、抛物线的焦点弦（1）
是抛物线 过 的一条弦，设 ， ，线段 的中点 ，相应的准线
方程为，有如下结论：
（1） (焦点弦长与中点关系)；
（2）抛物线 过焦点的弦长 ，其中 ， ；
（3）以过焦点的弦为直径的圆和准线相切；
（4） , 在准线上的投影分别为 , ,若 为 的中点，则 ．
【备注】推导过程
（1）
12
（2）
2、抛物线的焦点弦（2）
（5）抛物线 种，设 为焦点弦， 为准线与 轴的交点，则 ；
（6）已知 是抛物线 的焦点弦，且 ， ,则： ， ；
（7）若 的延长线交准线于点 ,则 平行于 轴，反之，若过点 平行于 轴的直线交准线于点 ,则
, , 三点共线 ．
3、抛物线的焦点弦（3）
（8）已知 是过抛物线 焦点 的弦，则 ．
4、抛物线的焦点弦（4）
（9）已知 是抛物线 的焦点弦，且直线 的倾斜角为 ，则 ．并
且焦点弦中，通径（过焦点且垂直于抛物线对称轴的弦）最短，为 ．
经典例题
1. 设点 是抛物线 的焦点，直线过点 且与抛物线 交于 、 两点，若 是 的中点
且 ，则 的值是（ ）．
13
A. B. C. D.
【备注】本题考查中点坐标公式与交点弦综合；根据 求解即可
【答案】C
【解析】设 ， ，则 ，
故 ，
即： ．
所以 选项是正确的．
【标注】【知识点】中点弦问题；抛物线的定义
2. 设 为抛物线 的焦点， 、 、 为该抛物线上三点．若 ，则
．
【备注】本题考查焦半径公式，比较简单，根据题中条件求解即可
【答案】
【解析】设点 ， ， ，由题意知 ，则有
，即 .所以 .
【标注】【知识点】抛物线中向量相关问题（小题）
3. 是抛物线 的一条过焦点的弦， ， 、 垂直于 轴， 、 分别为垂足，则梯形
的中位线长是（ ）．
A. B. C. D.
【备注】本题同样是考查焦点弦内容，要注意本题 、 是垂直与 轴的，不是准线
【答案】B
【解析】准线 ，
由抛物线的定义 和 等于点 、 到准线的距离，
则 到准线的距离加 到准线的距离 ，
准线到 轴的距离为 ，
所以 ，
所以中位线的长度为 ．
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【标注】【知识点】抛物线的定义
4. 设抛物线 的焦点为 ，直线过 且与抛物线交于 ， 两点．若 ，且
，则 ．
【备注】本题考查抛物线的焦点弦（3）；老师利用方法二讲解
【答案】
【解析】方法一：抛物线 的焦点为 ，
直线过 ， 代入抛物线方程， 可得： ，
，可得 ，
即： ，解得 ，不妨取 ，
可得 ， ，则 ，
所以： ．
故答案为： ．
方法二：∵直线过 且与抛物线交于 、 两点，且 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ,
∵直线过抛物线 的焦点，由过抛物线焦点的弦的性质可分 ，
得 ，
将 代入 ，
得 或 ．
∵ ，
∴ ，
∴ ．
【标注】【知识点】弦长求解问题；抛物线的定义；直线和抛物线的位置关系
5. 设 为抛物线 ： 的焦点，过 且倾斜角为 的直线交 于 ， 两点，则 （ ）．
A. B. C. D.
【备注】本题老师利用抛物线的焦点弦（4）求解，
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【答案】C
【解析】依题意，抛物线焦点坐标为 ，
直线 的方程为 ，
代入抛物线方程得 ，
所以 根据抛物线的定义，
可知 ．
【标注】【知识点】弦长求解问题；直线和抛物线的位置关系
巩固练习
1. 已知抛物线 的焦点为 ，过点 的直线交抛物线于 ， 两点，若 ，则线段 的中点到
轴的距离为 ．
【答案】
【解析】设 ， ， 为焦点，抛物线准线方程 ，
根据梯形的中位线定理，
得所求的距离为： ，
由抛物线定义，
（两边之和大于第三边且 ， ， 三点共线时取等号）．
故答案为： ．
【标注】【知识点】抛物线的定义
2. 已知以 为焦点的抛物线 上的两点 、 满足 ，则弦 的中点到准线的距离
为 ．
【答案】
【解析】方法一：过点 ， 分别作 ， 垂直于准线，垂足分别为 ， ．
过点 作 垂直 于 ，交 轴于点 ，
记准线与 轴交点为 ．
设 ，由抛物线的定义知 ， ，
在 中， ， ，
故 ．
16
于是 ，解得 ．
的中点到准线的距离 ．
y
x
O
方法二：不妨取 斜率为正，
∵ ，∴
则
所求距离 ．
y
x
O
【标注】【知识点】焦点弦问题；抛物线的定义
3. 已知抛物线 的焦点为 ，直线 与此抛物线相交于 两点，则 （
）．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】方法一：由抛物线 可得焦点 ，因此直线 过焦点．
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设 ，则 ， ．
联立 ．化为 ．
， ， ．
．
故选： ．
方法二： y
x
O
过定点 ，即过
．
【标注】【知识点】焦点弦问题；直线和抛物线的位置关系
4. 设 为抛物线 ： 的焦点，过 且倾斜角为 的直线交 于 ， 两点，则 （ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】方法一：∵ ，
∴焦点为 ，准线为 ，
∵直线方程为 ，
∴ ，设 ， ，
联立 ，
18
∴ ，
∴
．
故选 ．
方法二：
因为 ，
，
所以 ．
y A
B x
【标注】【知识点】直线和抛物线的位置关系
5. 如图，已知 、 、 、 分别为抛物线 的焦点 的直线 与抛物线和圆 的交
点，若直线 的倾斜角为 ，则 等于
【答案】
【解析】∵
∴焦点 准线方程
由定义得
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又∵
∴
同理
∵直线 的倾斜角是
∴
∴ 代入抛物线方程得
则
∴
【标注】【知识点】焦点弦问题
3. 抛物线的通径
过焦点且与焦点所在的轴垂直的直线与抛物线相交于两点，连接这两点的线段叫做抛物线的通径.
抛物线 ，将 代入 得 ,故抛物线 的通径长为 .
这就是抛物线标准方程中 的一种几何意义.通径是 所有焦点弦中最短的弦 .
经典例题
在圆锥曲线中，我们把过焦点最短的弦称为通径，那么抛物线 的通径为 ，则 （ ）．
A. B. C. D.
【备注】本题考查通径长与 的关系
【答案】C
【解析】由题意， ，∴ ．
故选 ．
【标注】【知识点】抛物线的定义；直线和抛物线的位置关系
巩固练习
已知抛物线 的焦点到准线的距离为 ，则此抛物线的所有经过焦点的弦之中最短弦长
为 ．
【答案】
20
【解析】
由题意知，抛物线 的焦点到准线距离 ，
∴此抛物线的所有焦点弦长最短的通径
故最短弦长为 ．
故答案为： ．
【标注】【知识点】抛物线的标准方程；抛物线的定义
4. 知识总结
（一）范围
标准方程
图象
范围
（二）顶点
抛物线的顶点为 坐标原点．
（三）对称性
抛物线对称轴及开口的判断方法： 对称轴要看一次项，其系数正负号决定图象开口方向 .
（四）离心率
抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离之比 叫做抛物线的离心率，用 表示．
．
（五）焦半径
21
标准方程
焦半径
（六）抛物线的焦点弦
是抛物线 过 的一条弦，设 ， ，线段 的中点 ，相应的准线
方程为，有如下结论：
（1） (焦点弦长与中点关系)；
（2） .
（3）以过焦点的弦为直径的圆和准线相切；
（4） , 在准线上的投影分别为 , ,若 为 的中点，则 ．
（5）抛物线 种，设 为焦点弦， 为准线与 轴的交点，则 ；
（6）已知 是抛物线 的焦点弦，且 ， ,则： ， ；
（7）若 的延长线交准线于点 ,则 平行于 轴，反之，若过点 平行于 轴的直线交准线于点 ,则
, , 三点共线 ．
（8）已知 是过抛物线 焦点 的弦，则 ．
（9）已知 是抛物线 的焦点弦，且直线 的倾斜角为 ，则 ．并
且焦点弦中，通径（过焦点且垂直于抛物线对称轴的弦）最短，为 ．
（七）抛物线的通径
抛物线 的通径长为 .这就是抛物线标准方程中 的一种几何意义.通径是 所有焦点弦
中最短的弦 .
三、 轨迹方程求法
一般地，一条曲线可以看成动点依某种条件运动的轨迹，所以曲线的方程又常称为满足某种条件的点的
轨迹方程．
22
“轨迹方程”与“轨迹”区别
轨迹方程是坐标关系式，是一个方程；有时在方程后，根据需要指明变量的取值范围；
轨迹是点的集合，是曲线，所以说求轨迹方程和求轨迹是优不同要求的，求轨迹需要说明是什么曲线，
求轨迹方程则不需要说明.
【备注】建议教师在讲解时，可帮助学生举例说明：
一、轨迹方程的简单表示形式
1.轨迹方程为 ；而轨迹为以 为圆心，以 为半径的圆；
2.到坐标原点的距离等于 的点的轨迹方程方程是 ；轨迹是单位圆；
3.到坐标轴距离相等的点的轨迹方程是 ；轨迹是两条垂直的直线；
二、一个二元方程总可以通过移项写成 的形式，其中 是关于 ， 的代数表
达式．
例如， 可以写成 ， 可以写成 ．
三、有的轨迹方程中除变量 之外还含有参数，此时描述轨迹的时候就有一定的难度，因
为随着参数取值的变化，轨迹方程所对应的曲线也会随之变化．
例如：
针对于轨迹方程 ，随着六个参数值得不同，可以对应出如下
多种图形：
① ， ，轨迹是两条相交直线；
② ， ，轨迹是一个点（坐标原点）；
③ ， ， 合理取值，轨迹是圆；
④ ， ，轨迹是我们熟知的抛物线；
1. 直接法与定义法
（一）直接法
定义：将动点满足的几何条件（本身就是一些几何量的等量关系或这些几何条件简单明了且易于表达）
“翻译成”含 的等式就得到曲线的轨迹方程.
求解步骤：
①建立直角坐标系；
②设动点 的坐标为 ；
③把几何条件转化为坐标表示；
④等价化简，根据范围或几何意义验证除去或补上相关的点．
【备注】一般来说，建立平面直角坐标系尽量遵从垂直性和对称性的原则，其目的是简化运算而且
会使图形美观，常见的技巧如下：
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以已知定点为坐标原点；以已知定直线为坐标轴；以已知定线段中点为坐标原点，线段及
线段的中垂线为坐标轴；以互相垂直的直线（线段）为坐标轴；尽量让更多的定点落在坐
标轴上．
教师可以下题为例讲解具体求解方法：
【例题】已知线段 ，平面上的 点满足 ，求 点的轨迹方程．
【分析与解】由于曲线方程是要依赖于坐标系存在的，因此题目中若没有给我们提供平面
直角坐标系，那我们需要自行构建平面直角坐标系．
①建立适当的平面直角坐标系：以线段 所在的直线为 轴，线段 中垂线为 轴建立如下
图的平面直角坐标系，此时有 ， ．
②将已知条件代数化：设 ，根据题意有 ，下面要将线段 与 的长度与
点 的坐标关联起来，根据两点之间的距离公式，有：
，同理 ．则题目中的条件
等价为代数表达式 ．
③整理化简表达式：上式形式太过复杂，而且我们无法由表达式知悉点 的轨迹所具有的几
何特性，因此要对其进行化简．此处需要注意的是：整理和化简的每一步必须保证是恒等
变换，否则就会出现丢解与多解的情况．
两边平方： ；
移项展开合并同类项： ；
配方： ；
④检验以方程的解为坐标的点是否都在曲线上．对于本题的条件，经检验以上述方程的解
为坐标的点都满足条件.
若将题目改为在 中满足 ，则我们需要考虑构成三角形的条件，因此要将
点的轨迹方程增加限制条件为 ，即在平面直角坐标系下， 点的轨
迹为以 为圆心，以 为半径的圆（去除两点），图形如下：
24
（二）定义法
若能确定动点的轨迹满足某已知曲线的定义（如圆、椭圆、双曲线、抛物线等），则可用曲线定义直接
写出方程.
常见曲线轨迹的定义
①在平面内，到两定点的距离相等的点的轨迹是连接两定点的线段的垂直平分线；
②平面内到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；
③平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹是以这个定点为圆心，以定长为半径的圆；
④平面内到定直线的距离等于某一定值的点的轨迹与这条直线平行的两条直线；
⑤平面内与两个定点 ， 距离之和等于常数（大于 ）的点的轨迹是椭圆；
⑥平面内与两个定点 ， 的距离的差的绝对值等于常数（小于 且不等于零）的点的轨迹是双曲
线；
⑦平面内与一个定点 和一条定直线 的距离相等的点的轨迹是抛物线．
【备注】根据圆锥曲线的第二定义
⑤⑥⑦可统一看为平面内到定点的距离与到定直线的距离之比等于常数的点的轨迹是圆锥
曲线.
当常数大于 时,表示双曲线;
当常数等于 时,表示抛物线;
当常数大于 而小于 时,表示椭圆.
定点和定直线分别是圆锥曲线的焦点和相应的准线.
经典例题
1. 已知点 ， ，直线 ， 相交于点 ，且它们的斜率之积为 ．
（ 1 ）求点 的轨迹方程．
【备注】本题考查直接法，设点，根据题中条件建立等式，整理变形即可
【答案】（ 1 ） ．
（ 2 ） ．
【解析】（ 1 ）设 ， ．
25
即： ．
∴ ．
∴ ．
∴ ．
（ 2 ） 的轨迹是取不到顶点的双曲线．
为右焦点，设左焦点为 ．
．
求 的最小值，知 在右交上．
∴
．
．
∴ ．
【标注】【知识点】双曲线的定义
2. 已知动圆 与圆 ，圆 均内切，则动圆圆心 的轨迹方程
是 ．
【备注】本题考查定义法，根据题中条件，可得 点的轨迹满足椭圆的定义
【答案】
【解析】设动圆圆心为 ，圆 半径 ，圆 半径 ，
∵ 与 ， 都内切，
∴ ，
，
∴ ，
∴椭圆 ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ．
【标注】【知识点】椭圆的定义；求点的轨迹
3. 平面内两个定点的距离为 ，则以两定点的中点为原点，两定点所在直线为坐标轴建立坐标系，到
这两个定点的距离之差的绝对值为 的点的轨迹方程为（ ）．
26
A. B.
C. 或 D. 或
【备注】根据上面的常见轨迹的定义，可判断本题是求双曲线的标准方程根据条件可得 ，
再根据 、 、 的关系，可求得
注意：根据焦点所在的不同位置分情况讨论双曲线的方程
【答案】C
【解析】由双曲线定义可知， ， ； ， ，注意坐标轴的不同建立．
【标注】【知识点】双曲线的定义；求曲线方程的问题
巩固练习
1. 若动点 到点 的距离比它到直线 的距离小 ，则点 的轨迹方程为 ．
【备注】根据题目所给条件列式，化简代数式，即可得到结果
【答案】
【解析】方法一：
由题意得
，
∴ 时有 ，
两边平方得 ，
即 ；
时，有 ，
两边平方得： ，
即 ，
，
∴ ，
与 矛盾，
∴ 的轨迹方程为 ．
方法二：
由题意知：点 到点 的距离比它到直线 的距离小 ，
可转化为点 到点 的距离与它到直线 的距离相等，
根据抛物线的定义可知，
27
点的轨迹是以 为焦点的抛物线，
故其轨迹方程为 ．
【标注】【知识点】抛物线的定义；求曲线方程的问题
2. 解答下列各题：
（ 1 ）动圆与定圆 外切，且与直线 相切，则动圆圆心 的轨迹是 （ ）．
A. 直线 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线
（ 2 ）动点 到直线 的距离减去它到点 的距离等于 ，则点 的轨迹是（ ）．
A. 直线 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线
（ 3 ）动点 到直线 的距离等于它到点 的距离，则点 的轨迹是（ ）．
A. 直线 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线
（ 4 ）点 到点 的距离比它到直线 的距离大 ，则点 的轨迹是（ ）．
A. 一条抛物线 B. 一条双曲线 C. 一个椭圆 D. 以上都不对
【答案】（ 1 ）D
（ 2 ）D
（ 3 ）A
（ 4 ）D
【解析】（ 1 ）法一：设圆心 到直线 的距离为 ， 点坐标为 ，
由题意可得 ， ，即
，
化简可得 ．
故选 ．
法二：
如图所示，设动圆圆心 ，过点 作 于点 ．作直线 ，过点 作 于
点 ．
∵动圆与定圆 外切，且和直线 相切，
28
∴ ，即点 到 的距离比到直线 的距离大 ，则点 到 的距离与到直
线 距离相等，
即 ．根据抛物线的定义，点 的轨迹是以 为焦点，直线 为准线的抛物
线．方程为 ．
（ 2 ）法一：设 是所求轨迹上任意一点，则 ，
若 ，则 ，即 ，
若 ，则 ，即 ，矛盾，
∴点 的轨迹方程为 ，轨迹是一条抛物线．
故选 ．
法二：根据所给条件，结合图形可知动点 到定直线 及定点 的距离相等，故选
．
（ 3 ）∵ 为直线上的点，动点 到点 的距离，
等于到直线 的距离，则点 的轨迹为过点 与直线 的垂直的直线
方程 ．
故选 ．
（ 4 ）设 是所求轨迹上任意一点，则
，
化简得 ）或 ，
轨迹是两条抛物线的一部分．
故选 ．
【标注】【知识点】求点的轨迹
3. 在 中 , ， 的周长是 ，则顶点 的轨迹方程是（ ）．
A. B.
C. D.
29
【答案】D
【解析】∵ ， ，
∴ ，
又∵ 的周长为 ，
∴ ，
∴顶点 的轨迹是一个以 、 为焦点的椭圆（不含左右端点）．
则 ， ， ，
∴顶点 的轨迹方程为 ．
故选 ．
【标注】【知识点】椭圆的定义
2. 待定系数法、相关点代入法与交轨法
（一）待定系数法
根据条件能知道曲线方程的类型，可设出其方程形式，再由条件确定其待定系数．
（二）相关点代入法
动点 依赖于另一动点 的变化而变化，并且 又在某已知曲线上，则可先用 , 的代数
式表示 ，再将 代入已知曲线得要求的轨迹方程．
（三）交轨法
在求动点轨迹时，有时会出现求两动曲线交点的轨迹问题，这类问题常常通过解方程组得出交点（含参
数）的坐标，再消去参数求出动点轨迹的方程，该方法经常与参数法并用．
经典例题
1. 求下列椭圆的标准方程：
（ 1 ）已知椭圆长轴是短轴的 倍，并且过点 ．
（ 2 ）已知椭圆经过两点 、 ．
30
【备注】本题考查利用待定系数法求解椭圆的标准方程
1.要注意第一问，没有说明焦点位置，因此要注意设两种方程
2.第二问已知椭圆两点求标准方程，可设一般方程
【答案】（ 1 ） 或 ．
（ 2 ） ．
【解析】（ 1 ）①焦点在 轴，
设椭圆方程 ，
∴ ， ， ，
， ，
∴ ，
∴椭圆方程 ．
②焦点在 轴，
设方程 ，
∴ ，
∴ ， ，
∴椭圆方程为 ，
故椭圆方程为 或 ．
（ 2 ）设椭圆方程为 ，
∴ ，
∴椭圆方程为 ．
【标注】【知识点】椭圆的顶点与轴；椭圆的标准方程；求曲线方程的问题
2. 如图，已知 ，直线： ，点 为平面上的动点，过 作直线的垂线，垂足为 ，
，求动点 的轨迹方程．
31
【备注】本题可理解为 随 变化，可设两点坐标，求得四个向量的坐标，再由坐标列出等式，化简
即可得到轨迹方程
【答案】 ．
【解析】设动点 ，则过 作直线的垂直，垂足为 ，点 ．
，
，化简得： ．
故动点 的轨迹方程为 ．
【标注】【知识点】求曲线方程的问题
3. 已知点 、 、 ，动圆 与直线 相切于点 ，分别过点 、 且与圆 相切的两条
直线相交于点 ，则点 的轨迹方程为（ ）．
A. B.
C. D.
【备注】本题涉及的点较多，圆的变化牵动着 点的变化，因此可以找与圆有关的条件，即切
线长；利用切线长相等可以求得 与 的关系，整理变形，可得轨迹为双曲线，求方
程即可
【答案】C
【解析】设切点分别为 ， ，
如上图，则
，所以所求曲线位双曲线的右支，
，
32
故点 的轨迹方程为 ，
由题意知， 点不可能与 点重合，
．
故选 ．
【标注】【知识点】求点的轨迹；双曲线的标准方程
4. 已知直线 ： 和 ∶ ，则此两直线的交点 的轨迹方
程为 ．
【备注】本题考查交轨法，联立，消参即可
【答案】
【解析】联立 ，
消去 得： ．
【标注】【知识点】求点的轨迹
巩固练习
1. 求适合下列条件的双曲线的标准方程：
（ 1 ）虚轴长为 ，离心率为 ．
（ 2 ）焦点在 轴上，且两顶点间的距离为 ，渐近线方程为 ．
【答案】（ 1 ） 或 ．
（ 2 ） ．
【解析】（ 1 ）当焦点在 轴上时，设所求的双曲线方程为 ，
33
由题意，得 ，解得 ，
所以焦点在 轴上时，双曲线的方程为 ，
同理，可求得当焦点在 轴上时双曲线的方程为 ，
因此所求的双曲线方程为 或 ．
（ 2 ）方法一：当焦点在 轴上时，设所求的双曲线方程为 ，
由题意，得 ，解得 ，
所以焦点在 轴上时，双曲线的方程为 ．
方法二：设以 为渐近线的双曲线的方程为 ，
因为双曲线的焦点在 轴上，所以 ，
由题意得 ，解得 ，
因此所求的双曲线方程为 ．
【标注】【知识点】求曲线方程的问题；求双曲线的离心率；双曲线的渐近线；双曲线的标准方
程
2. 已知 是抛物线 上的焦点， 是抛物线上的一个动点，若动点 满足 ，则 的轨迹
方程是 ．
【答案】
【解析】设 的坐标为 ， 的坐标为 ，
∵抛物线 中， ，可得 ，∴抛物线的焦点为 ．
由此可得 ， ．
又∵动点 满足 ，
∴ ，
可得 ，消去参数 可得 ，即为动点 的轨迹方程．
故答案为： ．
【标注】【知识点】求曲线方程的问题
3. 已知直线 ， ．
（ 2 ）求 与 的交点 的轨迹方程 ．
34
【答案】（ 1 ）证明见解析．
（ 2 ） 或 （除去 点）．
【解析】（ 1 ）方法一：联立方程组： ① ，
②
③
解得： ，
④
即点 的坐标为 ，无论 取何实数，点 均存在，
即 与 一定相交．
方法二：当 时， ， ，
两直线有交点 ，
当 时，直线 斜率为 ，
直线 的斜率 ，
令 ，对应 无解，
故两直线斜率不可能相等，即两直线必定相交．
（ 2 ）方法一：由①可知当 时，得： ，
代入② ，
整理得： ，
当 时，
由①得 ，
即交点坐标为 ，
故 点轨迹方程为： 或 （除去 点）．
方法二：由（ ）解法二可知， 时两直线垂直，
时， ，
即两条直线始终垂直，
又 过定点 ， 过定点 ，
则 与 的交点在以 和 为直径端点的圆周上．
可得交点 的轨迹方程为： ，
35
注意到 表示的过 点的直线中，不能表示 ，
同理， 表示的过 点的直线中，不能表示 ，
故交点 的轨迹中，应去掉点 ．
【标注】【知识点】求曲线方程的问题；求点的轨迹；判定两条直线的位置关系；两直线交点坐
标；直线的一般式方程
3. 知识总结
（1）“轨迹方程”与“轨迹”区别
轨迹方程是坐标关系式，是一个方程；有时在方程后，根据需要指明变量的取值范围；
轨迹是点的集合，是曲线，所以说求轨迹方程和求轨迹是优不同要求的，求轨迹需要说明是什么曲线，
求轨迹方程则不需要说明.
（2）求轨迹方法
直接法、相关点代入法、待定系数法、定义法、交轨法
思维导图
你学会了吗？画出思维导图总结本节课所学吧！
【备注】
36
出门测
1. 已知以 为焦点的抛物线 上的两点 、 满足 ， 为准线与 轴的交点，则：
（ 4 ）则 的值为 ．
【答案】（ 1 ） 或
（ 2 ） 或
（ 3 ）
（ 4 ）
37
（ 5 ）
【解析】（ 1 ）易知 ， ，设 ，
则 由
∴
而
∴ 或
∴
∴
∴ 或
（ 2 ）略．
（ 3 ）设 中点为 ，则
到准线的距离 ．
（ 4 ）
．
（ 5 ）由对称性不妨设 ，则
则 ，
∴ ．
【标注】【知识点】倾斜角和斜率的概念；两角和与差的正切；直线和抛物线的位置关系
2. 已知 为抛物线 ： 上一点，点 到 的焦点的距离为 ，到 轴的距离为 ，则 （
）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】解：如图， 为抛物线的焦点，为抛物线的准线，
过点 作 于点 ，交 轴于点 ，由题意知， ， ．
38
故选C．
【标注】【知识点】抛物线的基本量求解
3. 已知定点 ，它与抛物线 上的动点 连线的中点 的轨迹方程为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】设 ， ，则 ①，
又 为 中点，
∴ ，
，
∴ ， ，
代入①得， ，即 ．
【标注】【知识点】求点的轨迹
4. 且 ，直线 的方程为 ， ，则 ， 的交点轨迹方程为 ．
【答案】
【解析】 ，
∴ ， ，
， ，
39
∴ ，
∴ ．
【标注】【知识点】求点的轨迹；双曲线的标准方程；两直线交点坐标
40抛物线
一、 抛物线的定义及标准方程
1. 定义及标准方程
（1）抛物线的定义
叫做抛物线．
定点 叫做抛物线的 ，定直线叫做抛物线的 ．
重要解读：
①定义的实质可归结为“一动三定”
一个动点，设为 ；
一个定点，设为 ；
一条定直线（抛物线的准线）；
一个定值（即点 到点 的距离与它到定直线的距离之比等于 ）.
②定点 不在定直线上，否则动点 的轨迹就是过点 且垂直于直线的一条直线.
（2）抛物线的标准方程
标准方程
图象
坐标
焦点
位置
准线
开口
注意：
①求解抛物线的标准方程，先根据题意分析焦点以及准线的位置，从而待定出上述四种标准方程中的一
种，再根据题目条件抽象出抛物线的定义或者直接获得抛物线上定点的坐标，求解出参数 带回原方程
1
即可；
②利用抛物线方程求解焦点坐标或者准线方程时，一定要化成标准形式后再由标准方程读出焦点坐标和
准线方程．如抛物线 标准化之后为 ，相当于 ，故焦点坐标为 ，准线方程为
.
经典例题
1. 已知点 在抛物线 的准线上，记 的焦点为 ，则直线 的斜率为 ．
2. 根据下列条件，求抛物线的标准方程．
（ 1 ）焦点为 ．
（ 2 ）准线为 ．
（ 3 ）焦点到准线的距离是 ．
（ 4 ）过点 ．
3. 为坐标原点， 为抛物线 ： 的焦点， 为 上一点，若 ，则 的面积为（
）．
A. B. C. D.
4. 已知抛物线方程为 ，定点 ，点 为抛物线上的动点， 到抛物线的准线的距离为 ，
则 最小值为（ ）．
A. B. C. D.
巩固练习
1. 抛物线 的焦点到直线 的距离 （ ）．
A. B. C. D.
2. 经过点 的抛物线的标准方程为 ．
3. 抛物线的顶点在坐标原点，焦点与双曲线 的一个焦点重合，则该抛物线的标准方程可能
是（ ）．
A. B. C. D.
2
2. 知识总结
（1）抛物线的定义
叫做抛物线．
定点 叫做抛物线的 ，定直线叫做抛物线的
（2）抛物线的标准方程
标准方程
图象
坐标
焦点
位置
准线
开口
二、 抛物线的性质
1. 基本性质
（1）范围
标准方程
图象
范围
（2）顶点
抛物线与它的轴的交点叫做抛物线的顶点；由 ，故抛物线的顶点为
3
（3）对称性
以 为例
用 代替 ，抛物线的标准方程不变，因此这条抛物线是以 轴为对称轴的轴对称图形，此时， 轴为抛
物线的对称轴（或轴）．
抛物线对称轴及开口的判断方法： .
（4）离心率
抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离之比叫做抛物线的离心率，用 表示．
根据抛物线的描述定义， ．
（5）焦半径
标准方程
焦半径
注： 为抛物线上一点
经典例题
1. 若抛物线 （ ）上任意一点到焦点的距离恒大于 ，则 的取值范围是（ ）．
A. B. C. D.
2. 按要求填空．
（ 1 ）以双曲线 的右焦点为焦点，且以原点为顶点的抛物线的标准方程为 ．
3. 已知抛物线 的动弦 的中点的横坐标为 ，则 的最大值为（ ）．
A. B. C. D.
巩固练习
1.
4
已知抛物线 的焦点为 ，准线为， 为抛物线上一点， ，垂足为 ．如果 是
边长为 的正三角形，则此抛物线的焦点坐标为 ，点 的横坐标 ．
2. 已知点 ，抛物线 的焦点是 ，若抛物线上存在一点 ，使得 最小，则 点的坐
标为（ ）
A. B. C. D.
3. 如图所示，点 是抛物线 的焦点，点 ， 分别在抛物线 及圆 的实线部
分上运动，且 总是平行于 轴，则 的周长的取值范围是 ．
2. 抛物线的焦点弦
1、抛物线的焦点弦（1）
是抛物线 过 的一条弦，设 ， ，线段 的中点 ，相应的准线
方程为，有如下结论：
（1） (焦点弦长与中点关系)；
（2）抛物线 过焦点的弦长
（3）以过焦点的弦为直径的圆和准线相切；
（4） , 在准线上的投影分别为 , ,若 为 的中点，则 ．
2、抛物线的焦点弦（2）
（5）抛物线 种，设 为焦点弦， 为准线与 轴的交点，则 ；
（6）已知 是抛物线 的焦点弦，且 ， ,则：
（7）若 的延长线交准线于点 ,则 平行于 轴，反之，若过点 平行于 轴的直线交准线于点 ,则
．
5
3、抛物线的焦点弦（3）
（8）已知 是过抛物线 焦点 的弦，则
4、抛物线的焦点弦（4）
（9）已知 是抛物线 的焦点弦，且直线 的倾斜角为 ，则 ．并
且焦点弦中，通径（过焦点且垂直于抛物线对称轴的弦）最短，为 ．
经典例题
1. 设点 是抛物线 的焦点，直线过点 且与抛物线 交于 、 两点，若 是 的中点
且 ，则 的值是（ ）．
A. B. C. D.
2. 设 为抛物线 的焦点， 、 、 为该抛物线上三点．若 ，则
．
3. 是抛物线 的一条过焦点的弦， ， 、 垂直于 轴， 、 分别为垂足，则梯形
的中位线长是（ ）．
A. B. C. D.
6
4. 设抛物线 的焦点为 ，直线过 且与抛物线交于 ， 两点．若 ，且
，则 ．
5. 设 为抛物线 ： 的焦点，过 且倾斜角为 的直线交 于 ， 两点，则 （ ）．
A. B. C. D.
巩固练习
1. 已知抛物线 的焦点为 ，过点 的直线交抛物线于 ， 两点，若 ，则线段 的中点到
轴的距离为 ．
2. 已知以 为焦点的抛物线 上的两点 、 满足 ，则弦 的中点到准线的距离
为 ．
3. 已知抛物线 的焦点为 ，直线 与此抛物线相交于 两点，则 （
）．
A. B. C. D.
4. 设 为抛物线 ： 的焦点，过 且倾斜角为 的直线交 于 ， 两点，则 （ ）．
A. B. C. D.
5. 如图，已知 、 、 、 分别为抛物线 的焦点 的直线 与抛物线和圆 的交
点，若直线 的倾斜角为 ，则 等于
3. 抛物线的通径
过焦点且与焦点所在的轴垂直的直线与抛物线相交于两点，连接这两点的线段叫做抛物线的通径.
抛物线 ，将 代入 得 ,故抛物线 的通径长为 .
这就是抛物线标准方程中 的一种几何意义.通径是 .
经典例题
7
在圆锥曲线中，我们把过焦点最短的弦称为通径，那么抛物线 的通径为 ，则 （ ）．
A. B. C. D.
巩固练习
已知抛物线 的焦点到准线的距离为 ，则此抛物线的所有经过焦点的弦之中最短弦长
为 ．
4. 知识总结
（一）范围
标准方程
图象
范围
（二）顶点
抛物线的顶点为
（三）对称性
抛物线对称轴及开口的判断方法： .
（四）离心率
叫做抛物线的离心率，用 表示．
．
（五）焦半径
标准方程
焦半径
（六）抛物线的焦点弦
8
是抛物线 过 的一条弦，设 ， ，线段 的中点 ，相应的准线
方程为，有如下结论：
（1） (焦点弦长与中点关系)；
（2）
（3）以过焦点的弦为直径的圆和准线相切；
（4） , 在准线上的投影分别为 , ,若 为 的中点，则 ．
（5）抛物线 种，设 为焦点弦， 为准线与 轴的交点，则 ；
（6）已知 是抛物线 的焦点弦，且 ， ,则：
（7）若 的延长线交准线于点 ,则 平行于 轴，反之，若过点 平行于 轴的直线交准线于点 ,则
．
（8）已知 是过抛物线 焦点 的弦，则
（9）已知 是抛物线 的焦点弦，且直线 的倾斜角为 ，则 ．并
且焦点弦中，通径（过焦点且垂直于抛物线对称轴的弦）最短，为 ．
（七）抛物线的通径
抛物线 的通径长为 .这就是抛物线标准方程中 的一种几何意义.通径是
.
三、 轨迹方程求法
一般地，一条曲线可以看成动点依某种条件运动的轨迹，所以曲线的方程又常称为满足某种条件的点的
轨迹方程．
“轨迹方程”与“轨迹”区别
轨迹方程是坐标关系式，是一个方程；有时在方程后，根据需要指明变量的取值范围；
轨迹是点的集合，是曲线，所以说求轨迹方程和求轨迹是优不同要求的，求轨迹需要说明是什么曲线，
求轨迹方程则不需要说明.
1. 直接法与定义法
9
（一）直接法
定义：将动点满足的几何条件（本身就是一些几何量的等量关系或这些几何条件简单明了且易于表达）
“翻译成”含 的等式就得到曲线的轨迹方程.
求解步骤：
①建立直角坐标系；
②设动点 的坐标为 ；
③把几何条件转化为坐标表示；
④等价化简，根据范围或几何意义验证除去或补上相关的点．
（二）定义法
若能确定动点的轨迹满足某已知曲线的定义（如圆、椭圆、双曲线、抛物线等），则可用曲线定义直接
写出方程.
常见曲线轨迹的定义
①在平面内，到两定点的距离相等的点的轨迹是连接两定点的线段的垂直平分线；
②平面内到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；
③平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹是以这个定点为圆心，以定长为半径的圆；
④平面内到定直线的距离等于某一定值的点的轨迹与这条直线平行的两条直线；
⑤平面内与两个定点 ， 距离之和等于常数（大于 ）的点的轨迹是椭圆；
⑥平面内与两个定点 ， 的距离的差的绝对值等于常数（小于 且不等于零）的点的轨迹是双曲
线；
⑦平面内与一个定点 和一条定直线 的距离相等的点的轨迹是抛物线．
经典例题
1. 已知点 ， ，直线 ， 相交于点 ，且它们的斜率之积为 ．
（ 1 ）求点 的轨迹方程．
2. 已知动圆 与圆 ，圆 均内切，则动圆圆心 的轨迹方程
是 ．
3.
10
平面内两个定点的距离为 ，则以两定点的中点为原点，两定点所在直线为坐标轴建立坐标系，到
这两个定点的距离之差的绝对值为 的点的轨迹方程为（ ）．
A. B.
C. 或 D. 或
巩固练习
1. 若动点 到点 的距离比它到直线 的距离小 ，则点 的轨迹方程为 ．
2. 解答下列各题：
（ 1 ）动圆与定圆 外切，且与直线 相切，则动圆圆心 的轨迹是 （ ）．
A. 直线 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线
（ 2 ）动点 到直线 的距离减去它到点 的距离等于 ，则点 的轨迹是（ ）．
A. 直线 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线
（ 3 ）动点 到直线 的距离等于它到点 的距离，则点 的轨迹是（ ）．
A. 直线 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线
（ 4 ）点 到点 的距离比它到直线 的距离大 ，则点 的轨迹是（ ）．
A. 一条抛物线 B. 一条双曲线 C. 一个椭圆 D. 以上都不对
3. 在 中 , ， 的周长是 ，则顶点 的轨迹方程是（ ）．
A. B.
C. D.
2. 待定系数法、相关点代入法与交轨法
（一）待定系数法
根据条件能知道曲线方程的类型，可设出其方程形式，再由条件确定其待定系数．
（二）相关点代入法
动点 依赖于另一动点 的变化而变化，并且 又在某已知曲线上，则可先用 , 的代数
式表示 ，再将 代入已知曲线得要求的轨迹方程．
11
（三）交轨法
在求动点轨迹时，有时会出现求两动曲线交点的轨迹问题，这类问题常常通过解方程组得出交点（含参
数）的坐标，再消去参数求出动点轨迹的方程，该方法经常与参数法并用．
经典例题
1. 求下列椭圆的标准方程：
（ 1 ）已知椭圆长轴是短轴的 倍，并且过点 ．
（ 2 ）已知椭圆经过两点 、 ．
2. 如图，已知 ，直线： ，点 为平面上的动点，过 作直线的垂线，垂足为 ，
，求动点 的轨迹方程．
3. 已知点 、 、 ，动圆 与直线 相切于点 ，分别过点 、 且与圆 相切的两条
直线相交于点 ，则点 的轨迹方程为（ ）．
A. B.
C. D.
4. 已知直线 ： 和 ∶ ，则此两直线的交点 的轨迹方
程为 ．
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巩固练习
1. 求适合下列条件的双曲线的标准方程：
（ 1 ）虚轴长为 ，离心率为 ．
（ 2 ）焦点在 轴上，且两顶点间的距离为 ，渐近线方程为 ．
2. 已知 是抛物线 上的焦点， 是抛物线上的一个动点，若动点 满足 ，则 的轨迹
方程是 ．
3. 已知直线 ， ．
（ 2 ）求 与 的交点 的轨迹方程 ．
3. 知识总结
（1）“轨迹方程”与“轨迹”区别
轨迹方程是坐标关系式，是一个方程；有时在方程后，根据需要指明变量的取值范围；
轨迹是点的集合，是曲线，所以说求轨迹方程和求轨迹是优不同要求的，求轨迹需要说明是什么曲线，
求轨迹方程则不需要说明.
（2）求轨迹方法
直接法、相关点代入法、待定系数法、定义法、交轨法
思维导图
你学会了吗？画出思维导图总结本节课所学吧！
出门测
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1. 已知以 为焦点的抛物线 上的两点 、 满足 ， 为准线与 轴的交点，则：
（ 4 ）则 的值为 ．
2. 已知 为抛物线 ： 上一点，点 到 的焦点的距离为 ，到 轴的距离为 ，则 （
）．
A. B. C. D.
3. 已知定点 ，它与抛物线 上的动点 连线的中点 的轨迹方程为（ ）．
A. B. C. D.
4. 且 ，直线 的方程为 ， ，则 ， 的交点轨迹方程为 ．
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