数列及等差数列
学习目标
1．理解数列的概念及掌握利用递推公式求解通项的方法．
2．熟练运用等差数列等比数列通项公式与前 项和公式解题．
3．掌握等差数列性质与判定并熟练运用．
【备注】1．重点是理解数列的概念及掌握利用递推公式求解通项的方法．熟练运用等差数列等比数
列通项公式与前 项和公式解题、掌握等差数列性质与判定并熟练运用．难点是等差数列前
项和求最值问题．
2．关联知识：函数的解析式．
一、 数列的相关概念、分类及其表示方法
1. 数列的相关概念
（一）数列的概念
按照一定顺序排列着的一列数称为数列．数列中的每一个数叫做这个数列的项．数列中的每一项都和它
的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的首项，排在第二位的数称为这个数列的第 项……排在第
位的数称为这个数列的第 项．所以，数列的一般形式可以写成 ， ， ，…， ，…，简记为
．
【备注】数列与数集是两个不同的概念，它们的主要区别在于：数集中的元素具有无序性和互异
性。对于集合， 和 是同一个集合，但是对于数列来说， 和
则是不同的数列．
（二）数列的分类
（1）按项数的多少分类：
有穷数列：项数 有限 的数列叫做有穷数列，
无穷数列：项数 无限 的数列叫做无穷数列．
（2）按项的特点分类：
递增数列：从第 项起，每一项都 大于 它的前一项的数列叫做递增数列；
递减数列：从第 项起，每一项都 小于 它的前一项的数列叫做递减数列；
常数列：各项 相等 的数列叫做常数列；
1
摆动数列：从第 项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列叫做摆动数列．
2. 数列的表示方法
（三）数列的表示方法
（1）图象法
数列是以正整数集或其有限子集为定义域的函数， ，当自变量按照从小到大的顺序取值时，所
对应的项是一系列数值．所以，可以以序号为横坐标，相应的项为纵坐标，描点作图来表示这个数列．
数列图像与一般函数图像的区别在于数列的图象是 一系列孤立的点．
（2）列表法
与函数一样，数列也可以用列表的方法来表示．
如：全体正偶数按从小到大的顺序构成的数列用列表法可以表示为：
列表法可以清楚地反映出数列的许多具体的项，但由于某些条件的限制，用列表的方法有时不能完整的
反映一个数列或数列的具体规律，所以并不是每一个数列都可以用列表的方法表示．
（3）通项公式法
数列可以看成以 正整数集 （或它的有限子集 ）为定义域的函数 ，当自变量按照
从小到大的顺序依次取值时，所对应的一列函数值．反过来，对于函数 ，如果 （
）有意义，那么我们可以得到一个数列
， ， ，…， ，…．
如果数列 的第 项与序号 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的 通项
公式 ．我们可以根据数列的通项公式写出数列．
【备注】（1）通项公式可以看成函数的解析式．利用一个数列的通项公式，可以从函数的角度去研
究数列的某些性质.
（2）如果一个数列可以写出通项公式，它的形式可能不唯一．例如对于数列 ，它的通
项公式可以写成 ，也可以写成 ．
2
（4）递推公式法
如果已知数列 的第 项（或前几项），且从第 项（或某一项）开始的任一项 （或前几项）间的关
系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．
【备注】（1）并不是所有的数列都有递推公式；
（2）递推公式是给出数列的一种重要方法，递推公式是关于项数 的恒等式，因此可以根
据我们的需要对 随意的赋值；
（3）利用递推公式可以逐项求出数列的项；
（4）递推公式和通项公式一样都揭示了数列的性质，但是前者明显具有局限性，看不到数
列的全貌，因此我们需要利用递推公式推导出数列的通项公式，这是一个很重要的技能．
（四）数列的前 项和
（1）数列的前 项和：把数列 从第1项起到第 项止的各项之和，称为数列 的前 项和，记作 .
（2）数列的前 项和公式：如果数列 的前 项和 与它的序号 之间的对应关系可以用一个式子来表
示，那么这个式子叫做数列的前 项和公式.
经典例题
1. 在各项均为正数的数列 中，对任意 都有 ．若 ，则 等于（ ）．
A. B. C. D.
【备注】本题考查递推公式；根据所给公式找项与项之间的关系进行求解
【答案】C
【解析】由已知得 ， ．
故答案为C．
【标注】【知识点】根据递推关系求数列的某一项（非周期类）
2. 数列 ， ， ， ， 的通项公式可能是 （ ）．
A. B. C. D.
【备注】本题考查根据所给数列的项求通项公式
【答案】C
【解析】∵ ，
，
3
，
，
∴ ．
故选 ．
【标注】【知识点】观察数列的项求通项公式
3. 某种平面分形图如图所示，一级分形图是由一点出发的三条线段，长度均为 ，两两夹角为 ；二
级分形图是在一级分形图的每条线段的末端再生成两条长度为原来的 的线段，且这两条线段与原线
段两两夹角为 ， ，依此规律得到 级分形图．
一级分形图 二级分形图 三级分形图
级分形图共有 条线段．
【备注】本题根据所给图形求数列的通项公式
【答案】
【解析】由题图知，一级分形图中有 条线段，二级分形图中有 条线段，
三级分形图中有 条线段，按此规律得 级分形图中的线段条数为 ．
【标注】【知识点】归纳推理
巩固练习
1. 数列 ， ， ， ， ， 的一个通项公式为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】数列中奇数项为正，偶数项为负， 中有 ，绝对值为 ， ， ， ， ， ，
，故选B．
4
【标注】【知识点】观察数列的项求通项公式
2. 已知非零数列 的递推公式为 ， ，则 （ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由 （ ）得，
，
∴ ，
∴ ．
故选 ．
【标注】【知识点】根据递推关系求数列的某一项（非周期类）
3. 将全体正整数排成一个三角形数阵：
按照以上排列的规律，第 行 从左向右的第 个数为 ．
第 行 从左向右的第 个数为 ．
【答案】 ;
【解析】第 行从 开始，故第 行第三个数字为 ；
由排列规律可得，第 行结束的时候排了
个数，
所以 行从左向右的第 个数为
．
故答案为： ； ．
【标注】【知识点】等差数列求和问题
4.
5
九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏，它用九个圆环相连成串，以解开为胜，据明代杨
慎《丹铅总录》记载：“两环互相贯为一，得其关捩，解之为二，又合而为一”在某种玩法中，用 表
示解下 个圆环所需的最少移动次数， 满足 ，且 为偶数则解
为奇数
下 个环所需的最少移动次数为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为 为偶数为奇数，
则
，
故 ，故选 ．
【标注】【素养】数学抽象；数学运算
【知识点】根据递推关系求数列的某一项（非周期类）
3. 由 与 关系求通项
前n项和求通项
已知数列 前 项和 ，则 （注意：不能忘记讨论 ）．
题型有如下几种：
①已知 的，可以直接套公式
②已知 的，可以再写一项 然后两式子相减
③已知 的，可以还可以写成 先求出 再求
经典例题
1. 数列 的前 项和为 ．若 （ ），且 ，则 的值为（ ）．
A. B. C. D.
【备注】本题考查利用前 项和求通项，利用上面的方法求解即可；注意在求解完后，验证第一项是
否满足通项公式
【答案】C
【解析】∵ ，
6
∴当 时， ，得 ，由此，
当 时，又 ，所以 ．
【标注】【素养】数学运算
【知识点】利用Sn与an的关系求通项
2. 已知数列 的前 项和公式为 ，则数列 的通项公式为 ．
【备注】本题考查利用前 项和求通项，利用上面的方法求解即可；本题通过验证第一项不满足通项
公式，所以属于分段数列
【答案】
【解析】由 ，可得： 时，
，
时， ，不符合上式．
则数列 的通项公式为 ．
故答案为： .
【标注】【知识点】利用Sn与an的关系求通项
巩固练习
1. 设数列 的前 项和 ，且 ，则 ．
【答案】
【解析】根据题意，数列 满足 ，
则 ，
故答案为： ．
【标注】【知识点】利用Sn与an的关系求通项
2. 已知数列 的前 项和 ，求 ．
7
【答案】 ．
【解析】 ，
，
当 时， ，
∴ ．
故答案为： ．
【标注】【知识点】利用Sn与an的关系求通项
二、 等差数列
1. 等差数列概念及相关公式
（1）等差数列的概念
一般地，如果一个数列从第 项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就
叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母 表示．
即 ： （常数） 为等差数列.
如果三个数 组成等差数列，那么 叫做 和 的 等差中项 ，即 ，反之也成立；
【备注】等差数列定义公式表示形式： （常数） 为等差数列.
（2）等差数列的公式：
① 通项公式：
, ， ．
② 求和公式：
， ；
经典例题
《九章算术》是中国古代第一部数学名著，书中“均输”一章有如下问题：“今有竹九节，下三节容四
升，上四节容三升．问中间二节欲容各多少．”意思是“今有 节长的竹子，上细下粗，下部分的 节总
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容量为 升，上部分的 节总容量为 升．若自下而上每节容积长等差数列，问中间两节的容积分别是
多少．”按此规律，你算得中间一节（第五节）的容积为 升．
【备注】本题考查数列的实际应用；分析题意九节竹的容量成等差数列；利用求和公式和通项公式
求解即可
【答案】
【解析】由题意知九节竹的容量成等差数列，
从下而上各节的容量分别为 ， ， ， ，公差为 ，
∴ ，
解得 ， ，
∴中间一节的容量 ．
故答案为： ．
【标注】【知识点】数列的实际应用
巩固练习
在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一
千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增一十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马
先至齐，复还迎驽马，二马相逢．问：几日相逢？（ ）．
A. 日 B. 日 C. 日 D. 日
【答案】B
【解析】由题可知，良马每日行程 构成一个首项为 ，公差 的等差数列，
驽马每日行程 构成一个首项为 ，公差为 的等差数列，
则 ， ，
则数列 与数列 的前 项和为 ，
又∵数列 的前 项和为 ，
数列 的前 项和为 ，
∴ ，
整理得： ，即 ，
解得： 或 （舍），即九日相逢．
故选： ．
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【标注】【知识点】等差数列求和问题；等差数列求通项问题
2. 等差数列的性质
若数列 是首项为 ，公差为 的等差数列，则 具有如下性质：
（1） ，数列 是递增数列； ，数列 是递减数列； ，数列 是常数列；
（2） ，变形为 ；
（3）若 ，则有 ；若 ，则有 （ ） ；
（4）数列 是公差为 的等差数列，以此推广，若 是公差为 的等差数列，则
是公差为 的等差数列；
（5）下标成等差数列且公差为 的项 ， ， ，… 组成公差为 的等差数列．
已知数列 为等差数列，前 项和公式为 ，则有
（1） 为等差数列， 为前 项和，则 ； 为等差数列， 为前 项和，
；有 ．
（2） 为奇数时， 奇 ， 为偶数时， 偶 奇 ．
偶
（3）数列 为等差数列，公差为 .
经典例题
1. 在等差数列 中， ， ，则 的通项公式 ．
【备注】若 ，则有 ；根据题意可知 ，再利用通项公式求
解
【答案】 ， 或 ，
【解析】∵在等差数列 中，
，
，
则 ，
解得 或 ，
当 ， 时，可得 ， ，
则数列 通项公式为 ， ，
当 ， 时，可得 ， ，
则数列 通项公式为 ， ，
10
∴ ， 或 ， ．
【标注】【知识点】等差数列求通项问题
2. 设公差不为零的等差数列 的前 项和为 ，若 ，则 等于（ ）．
A. B. C. D.
【备注】 为等差数列， 为前 项和，则 ；$${{S}_{7}=7{{a}_{4}}$$;再利用求
和公式和等差数列的性质可得
【答案】C
【解析】∵ ， ，
∴ ．
【标注】【知识点】等差数列角标和性质的应用
3. 设 和 分别是等差数列 与 的前 项的和，若对任意的 都有 ，则
．
【备注】本题应用 ；利用 .
【答案】
【解析】依题意， 和 分别是等差数列 与 的前 项的和，
所以
．
故填： ．
【标注】【知识点】等差数列前n项和的性质；等差数列的性质及应用
巩固练习
11
1. 等差数列 中， , ，求数列的通项公式．
【答案】 或
【解析】 ， ，
，
所以 ， 是方程 的两根，
或 ，
若 且 ，则 ；
若 且 ，则 ．
【标注】【素养】数学运算
【知识点】等差数列求通项问题
2. 已知等差数列 中， ，且 ，则 （ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故选 ．
【标注】【素养】数学运算
【知识点】等差数列角标和性质的应用；等差数列求和问题
3. 设 是等差数列 的前 项和，若 ，则 ．
12
【答案】
【解析】∵ ，
∴ ．
【标注】【知识点】等差数列的性质及应用；等差数列前n项和的性质
4. 已知等差数列 的前 项和分别为 ，若对于任意的自然数 ，都有 ，则
（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】试题分析：
，故选A．
【标注】【知识点】等差数列前n项和的性质
3. 等差数列的判定
（一）等差数列的判定
（1）定义法：①若 （常数） 为等差数列.
② 若 （常数） 为等差数列.
（2） （ 是常数） 数列 是等差数列；
（3）①数列 的前 项和 , 是常数， 数列 是等差数列；
②若数列 的前 项和 是常数， ，则数列 从第二项起是等差数
列．
（4）若 均为等差数列，且公差分别为 ，则数列 也为等差数列，且
公差分别为 ， ， .
（5）在等差数列中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即 ， ， ，．．．．，为等差
数列，公差为 ．
（6）若数列 是等差数列，则 ， ， ， 为等差数列，公差为 ，
【备注】其中（1）（2）常用于证明，其他常用于判断.
关于（3）的说明
13
由等差数列的前 项和公式 ，将其改写为 ，
故 可写成 的形式，其中 ， ．
若 的公差为 ，则 ，此时 是关于 的一次函数；
若 的公差不为 ，则 ，此时 是关于 的二次函数，但是没有常数项；
上述结论又提供给我们一种判断一个数列是否为等差数列的方法．
（二）等差数列中的巧设“对称项”
当等差数列 的项数 为奇数时，可设中间的一项为 ，再以 为公差向两边分别设项，即设为 ，
， ， ， ， ， ；当等差数列的项数 为偶数时，可设中间两项分别为 ，
，再以 为公差向两边分别设项，即设为 ， ， ， ， ， ．
经典例题
1. 已知数列 的前 项和为 ，则下列结论正确的是（ ）．
A. 数列 是等差数列． B. 数列 是递增数列．
C. ， ， 成等差数列． D. ， ， 成等差数列．
【备注】本题考查等差数列的判定；根据前 项和是关于 的二次函数，所以数列是等差数列，但是
需要判断首项是否符合解析式；利用 可求得 从而判断其他选项
【答案】D
【解析】已知 ，
当 时， ，
∴
，
当 时， ，
∴ ，
所以对于 项“数列 是等差数列”则因为 ，所以 项错误．
项， ，而 ，所以 不是递增数列，
项， ， ， ， ，
所以 ， ， 不成等差数列， 项错误．
因此 项、 项、 项均不符合题意，因此选择 项．
故选 ．
【标注】【知识点】利用Sn与an的关系求通项
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2. 已知数列 中， ， ，数列 满足 .
（ 1 ）求证:数列 是等差数列;
【备注】本题利用定义法判定等差数列
【答案】（ 1 ）见解析
（ 2 ）当 时， 取得最小值 ;当 时， 取得最大值
【解析】（ 1 ）因为 ， ，
所以当 时，
.
又 ，
所以，数列 是以 为首项，以 为公差的等差数列.
（ 2 ）由（I）知， ，则 .
设函数 ，易知 在区间 和 内为减函数.
所以，当 时， 取得最小值 ;当 时， 取得最大值 .
【标注】【知识点】等差数列的判定（涉及新数列构造）；数列中最大项与最小项的求解问题
3. 设数列 的前 项和为 ，点 均在函数 的图象上．
（ 1 ）求证：数列 为等差数列．
【备注】本题属于利用由 与 关系求通项，再利用定义法判定等差数列
15
【答案】（ 1 ）证明见解析．
（ 2 ） ．
【解析】（ 1 ）根据题意知 ，即 ， ．
当 时， ．
又当 时， 也符合上式，
所以 ．
又∵ ，
∴ 是以 为首项， 为公差的等差数列．
（ 2 ）由（ ）知
，
故 ，
因此使得 成立的 必须且仅需满足 ，
即 ，故满足要求的最小正整数 为 ．
【标注】【知识点】利用Sn与an的关系求通项；裂项相消法求和
4. 等差数列 的前 项和为 ，前 项和为 ，则它的前 项和为（ ）
A. B. C. D.
【备注】本题利用判定（6）求解即可
【答案】C
【解析】∵ 为等差数列，
∴ 成等差数列，
即 ， ， 成等差数列，
∴ ，
解得 ．
【标注】【知识点】等差数列的性质及应用；等差数列前n项和的性质
5. 设 是递增等差数列，前三项的和为 ，前三项的积为 ，则它的首项是（ ）．
A. B. C. D.
【备注】本题考查巧设对称项求解问题，采用方法二求解
16
【答案】B
【解析】方法一：设等差数列 的首项为 ，公差为 ．
则
解得 （ 不合题意，舍去）．
方法二：设前三项分别为 ， ， ，
由条件得 ，且 ，解得 ，
∴首项为 ．
故选 ．
方法三：由题目得 ，
∵ 为等差数列，
∴ ，
∴
∴ ，
∵ ，
∴ ．
【标注】【知识点】等差数列求通项问题
【素养】数学运算
6. 《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人
等．问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分 钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三
人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一
种重量单位）．这个问题中，甲所得为（ ）．
A. 钱 B. 钱 C. 钱 D. 钱
【备注】本题考查巧设对称项求解问题，采用方法一求解
【答案】B
【解析】方法一：设甲、乙、丙、丁，戊所得钱分别为 ， ， ， ， ，
则 ，
解得 ，
又 ，
所以 ，
则 钱，
17
故选 ．
方法二：依题意，设五人所得钱分别为 ， ， ， ， ，
则 ， ， ， ， 成等差数列，
不妨设其公差为 ，则依题意，有
，
，
解得 ， ，
故选 ．
【标注】【素养】数学运算
【知识点】求等差数列的基本量
巩固练习
1. 下列结论中正确的有（ ）．
A. 若 为等差数列，它的前 项和为 ，则数列 也是等差数列
B. 若 为等差数列，它的前 项和为 ，则 ， ， ， 也是等差数列
C. 若等差数列 的项数为 ，它的偶数项的和为 偶，它的奇数项的和为 奇，则
奇
偶
D. 若等差数列 的项数为 ，它的偶数项的和为 偶，它的奇数项的和为 奇，则
奇
偶
【答案】AD
【解析】设等差数列 的公差为 ， ，
选项： ，
所以 ，
所以，对于任意的 都有 ， 为常数，
所以，数列 也是等差数列，故 正确；
选项：数列 ， ， 成等差数列，
， ， ， ， ， 不成等差数列，故 错误；
选项： 奇
18
，
偶
，
所以， 奇 ，故 错误；
偶
选项： 奇
，
偶
，
所以， 奇
偶
，
故 正确．
故选 ．
【标注】【知识点】等差数列前n项和的性质
2. 已知数列 的前 项和为 ，点 ， 均在函数 的图象上．
（ 1 ）求数列 的通项公式．
（ 2 ）证明数列 为等差数列．
【答案】（ 1 ）
（ 2 ）证明见解析．
19
【解析】（ 1 ）∵点 在函数 的图象上，
∴ ，即 ，
时， ，
相减得 ，
又 ， 符合上式，
∴ ．
（ 2 ）由 ，
得 ， ，
相减得 ，
故符合等差数列定义，
是等差数列．
【标注】【知识点】等差数列的判定与证明问题；利用Sn与an的关系求通项
3. 已知数列 的前 项和为 ， ．
（ 1 ）证明：数列 是等差数列．
【答案】（ 1 ）证明见解析．
（ 2 ） ．
【解析】（ 1 ）当 时， ，
当 时， ，
综上， ， ．
因为 ， ，
所以 是等差数列．
（ 2 ）方法一： ，
的前 项和为：
20
．
方法二： ，
的前 项和为：
．
【标注】【知识点】等差数列的判定（不涉及新数列构造）；并项求和
4. 等差数列的前 项和为 ，前 项的和为 ，则它前 项的和为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由等差数列的性质可知， ， ， 成等差数列，
则 ，
即 ，
得 ．
故选 ．
【标注】【素养】逻辑推理；数学运算
【知识点】等差数列前n项和的性质
5. 已知单调递增的等差数列 的前三项之和为 ，前三项之积为 ，则数列 的通项公式
．
【答案】
【解析】方法一：根据题意，设等差数列 的前三项分别为 ， ， ，
则 ，
即 ，
解得 或
因为数列 为单调递增数列，所以 ，从而等差数列 的通项公式为 .
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方法二：由于数列 为等差数列，因此可设前三项分别为 ， ， ，可得
，
即 ，
解得 或 ，
因为数列 为单调递增数列，
所以 ，从而 .
【标注】【知识点】等差数列求通项问题
4. 等差数列前n项和的最值问题
方法一
根据二次函数的性质可知，当 取得最接近 的正整数时， 取得最值（最大值还是最小值视 和
而定），那么对于指定的等差数列 ，接近数值 的正整数个数可以是 三种情况，故结果如
下：
（1）若 本身是正整数，则令 ，此时 取得最值；
（2）若接近数值 的正整数只有一个，如 ，则令 ，此时 取得最值；
（3）若接近数值 的正整数有两个，如 ，则令 或 均可，此时 取得最值；
方法二
我们就等差数列的两个基本量，分四种情况去讨论一下：
（1） ， ．此时通过通项公式分析可知， 恒成立，故 单调递增，当且仅当 时，
最小，无最大值．
（2） ， ．此时通过通项公式分析可知， 恒成立，故 单调递减，当且仅当 时，
最大，无最小值．
（3） ， ．此时通过通项公式分析可知 单调递减，故当找到正整数 满足 时，
是最大值，而 的数值通过不等式组确定．
（4） ， ．此时通过通项公式分析可知 单调递增，故当找到正整数 满足 时，
是最小值，而 的数值通过不等式组确定．
经典例题
1. 在等差数列 中， ， ，则数列 的前 项和 的最大值为 ．
22
【备注】本题根据求和概念与等差数列的性质可得 ，再根据首项为正数，所以可判断数
列为递减数列，所以可得 为最大值
【答案】
【解析】∵ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ 为等差数列，
∴ ，
∴ ， ，
∴ 为最大值，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
．
【标注】【知识点】求等差数列前n项和的最值
2. 等差数列 是递增数列，满足 ，前 项和为 ，下列选择项正确的是（ ）．
A. B.
C. 时 的最小值为 D. 当 时 最小
【备注】由于是递增数列，所以公差是正数，根据所给的等式，求出 ，再利用求和公式表示
出关于 的二次函数求解即可
【答案】ABC
【解析】由题意，设等差数列 公差为 ，
因为 ，
所以 ，
解得 ，
又由等差数列 是递增数列 ，
∴ ，故 、 正确．
∵
23
．
∴当 时，
即 或 时， 最小，
令 ，
解得 或 ，
即 时的最小值为 ，
故 正确， 错误．
综上所述，故选 ．
【标注】【知识点】等差数列中最值问题；求等差数列前n项和的最值
3. 设数列 是公差大于 的等差数列， 为其前 项和，若 ，则 的值可以是（ ）．
A. B. C. D.
【备注】本题根据 得到 与 的关系，根据通项公式将 与 比值转化，再利用分离场数法求
解
【答案】A
【解析】设数列 的公差为 ，
∵ ，
∴ ，
即 ，
可得： ，
∴
，
故选： ．
【标注】【知识点】等差数列中最值问题
4. 已知无穷等差数列 的前 项和为 ， ，且 ，则（ ）．
A. 在数列 中， 最大 B. 在数列 中， 或 最大
C. D. 当 时，
24
【备注】本题利用 可判断数列 是递减的等差数列，所以最大项是 及根据题中条件
可得
选项 l可利用作差法进行求解
【答案】AD
【解析】由于 ， ，
所以 ， ，
所以数列 是递减的等差数列，最大项为 ，
所以 对 错误 正确；
，故 错误．
故选 ．
【标注】【知识点】等差数列中最值问题；等差数列的函数特性
巩固练习
1. 已知数列 是一个等差数列，且 ， ．
（ 1 ）求 的通项 ．
（ 2 ）记 前 项和为 ，求 的最大值．
【答案】（ 1 ） ．
（ 2 ） ．
【解析】（ 1 ）方法一： ， ，∴ ．
方法二：设 的公差为 ，由已知条件， ，解出 ， ．
所以 ．
（ 2 ）方法一： ，∴ 时 最大值为 ．
方法二：
．
所以 时， 取到最大值 ．
25
【标注】【知识点】求等差数列前n项和的最值
2. 已知等差数列 是递增数列，其前 项和为 ，且满足 ，则下列结论正确的是（ ）．
A. B.
C. 当 时， 最小 D. 当 时， 的最小值为
【答案】ABD
【解析】因为 是递增数列，
所以 ．
因为 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
故 ， 正确；
又因为 ，
所以 ，且为 的最小值，故 错误；
又 ， ，故 正确．
故选 ．
【标注】【知识点】等差数列角标和性质的应用
3. 等差数列 满足 ， ， ，则使前 项和 成立的最大正整数 是
（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为 是等差数列，首项 ， ， ，
所以 是递减的等差数列，且 ， ，
当 时（ ， ， ， ）， ，
则 ， ，
所以 ，
，
所以使前 项和 成立的最大正整数 是 ．
26
故选 ．
【标注】【知识点】等差数列中最值问题
思维导图
你学会了吗？画出思维导图总结本课所学吧！
【备注】
出门测
1. 已知数列 、 、 ，以下两个命题：
27
①若 、 、 都是递增数列，则 、 、 都是递增数列；
②若 、 、 都是等差数列，则 、 、 都是等差数列；
下列判断正确的是( )
A. ①②都是真命题 B. ①②都是假命题
C. ①是真命题，②是假命题 D. ①是假命题，②是真命题
【答案】D
【解析】对于①，不妨设 ， ， ，
、 、 都是递增数列，但 不是递增数列，故为假命题；
对于②， 、 、 都是等差数列， ，
是三个等差数列线性运算后得到的新数列，故 是等差数列，同理， 、 也是等差数
列，故②为真命题；
故选 ．
【标注】【知识点】等差数列的函数特性；等差数列的判定（不涉及新数列构造）
2. 已知等差数列 的前 项和为 ，若 ，则 （ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】 是等差数列，
∴ ，即 ，
∴ ．
．
故选 ．
【标注】【知识点】等差数列求和问题
3. 数列 满足 ， ， ．
（ 1 ）设 ，证明 是等差数列；
28
【答案】（ 1 ）答案见解析．
（ 2 ） ．
【解析】（ 1 ）由 得：
，
即 ，
又 ，
所以 是首项为1，公差为2的等差数列．
（ 2 ）由（1）得 ，
即 ，
于是 ，
所以 ，即 ．
又 ，所以 的通项公式为 ．
【标注】【知识点】利用累加法求数列通项公式问题
4. 若数列 满足： ， ，则数列 的前 项和数值最大时， 的值是（
）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】 ，
以 为首项，以 为公差的等差数列，
设前 项和最大，故有
，
．
【标注】【知识点】求等差数列前n项和的最值
29
30数列及等差数列
一、 数列的相关概念、分类及其表示方法
1. 数列的相关概念
（一）数列的概念
按照一定顺序排列着的一列数称为数列．数列中的每一个数叫做这个数列的项．数列中的每一项都和它
的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的首项，排在第二位的数称为这个数列的第 项……排在第
位的数称为这个数列的第 项．所以，数列的一般形式可以写成 ， ， ，…， ，…，简记为
（二）数列的分类
（1）按项数的多少分类：
有穷数列：项数 的数列叫做有穷数列，
无穷数列：项数 的数列叫做无穷数列．
（2）按项的特点分类：
递增数列：从第 项起，每一项都 它的前一项的数列叫做递增数列；
递减数列：从第 项起，每一项都 它的前一项的数列叫做递减数列；
常数列：各项 的数列叫做常数列；
摆动数列：从第 项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列叫做摆动数列．
2. 数列的表示方法
（三）数列的表示方法
（1）图象法
数列是以正整数集或其有限子集为定义域的函数， ，当自变量按照从小到大的顺序取值时，所
对应的项是一系列数值．所以，可以以序号为横坐标，相应的项为纵坐标，描点作图来表示这个数列．
数列图像与一般函数图像的区别在于数列的图象是
1
（2）列表法
与函数一样，数列也可以用列表的方法来表示．
如：全体正偶数按从小到大的顺序构成的数列用列表法可以表示为：
列表法可以清楚地反映出数列的许多具体的项，但由于某些条件的限制，用列表的方法有时不能完整的
反映一个数列或数列的具体规律，所以并不是每一个数列都可以用列表的方法表示．
（3）通项公式法
数列可以看成以 ，当自变量按照
从小到大的顺序依次取值时，所对应的一列函数值．反过来，对于函数 ，如果 （
）有意义，那么我们可以得到一个数列
， ， ，…， ，…．
如果数列 的第 项与序号 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的
．我们可以根据数列的通项公式写出数列．
（4）递推公式法
如果已知数列 的第 项（或前几项），且从第 项（或某一项）开始的任一项 （或前几项）间的关
系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．
（四）数列的前 项和
（1）数列的前 项和：把数列 从第1项起到第 项止的各项之和，称为数列 的前 项和，记作 .
（2）数列的前 项和公式：如果数列 的前 项和 与它的序号 之间的对应关系可以用一个式子来表
示，那么这个式子叫做数列的前 项和公式.
经典例题
1. 在各项均为正数的数列 中，对任意 都有 ．若 ，则 等于（ ）．
A. B. C. D.
2
2. 数列 ， ， ， ， 的通项公式可能是 （ ）．
A. B. C. D.
3. 某种平面分形图如图所示，一级分形图是由一点出发的三条线段，长度均为 ，两两夹角为 ；二
级分形图是在一级分形图的每条线段的末端再生成两条长度为原来的 的线段，且这两条线段与原线
段两两夹角为 ， ，依此规律得到 级分形图．
一级分形图 二级分形图 三级分形图
级分形图共有 条线段．
巩固练习
1. 数列 ， ， ， ， ， 的一个通项公式为( )
A. B. C. D.
2. 已知非零数列 的递推公式为 ， ，则 （ ）．
A. B. C. D.
3. 将全体正整数排成一个三角形数阵：
按照以上排列的规律，第 行 从左向右的第 个数为 ．
第 行 从左向右的第 个数为 ．
4. 九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏，它用九个圆环相连成串，以解开为胜，据明代杨
慎《丹铅总录》记载：“两环互相贯为一，得其关捩，解之为二，又合而为一”在某种玩法中，用 表
示解下 个圆环所需的最少移动次数， 满足 ，且 为偶数为奇数则解
下 个环所需的最少移动次数为（ ）．
A. B. C. D.
3
3. 由 与 关系求通项
前n项和求通项
已知数列 前 项和 ，则 （注意：不能忘记讨论 ）．
题型有如下几种：
①已知 的，可以直接套公式
②已知 的，可以再写一项 然后两式子相减
③已知 的，可以还可以写成 先求出 再求
经典例题
1. 数列 的前 项和为 ．若 （ ），且 ，则 的值为（ ）．
A. B. C. D.
2. 已知数列 的前 项和公式为 ，则数列 的通项公式为 ．
巩固练习
1. 设数列 的前 项和 ，且 ，则 ．
2. 已知数列 的前 项和 ，求 ．
二、 等差数列
1. 等差数列概念及相关公式
（1）等差数列的概念
一般地，如果一个数列从第 项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就
叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母 表示．
即 为等差数列.
如果三个数 组成等差数列，那么 叫做 和 的 ，即 ，反之也成立；
4
（2）等差数列的公式：
① 通项公式：
, ， ．
② 求和公式：
；
经典例题
《九章算术》是中国古代第一部数学名著，书中“均输”一章有如下问题：“今有竹九节，下三节容四
升，上四节容三升．问中间二节欲容各多少．”意思是“今有 节长的竹子，上细下粗，下部分的 节总
容量为 升，上部分的 节总容量为 升．若自下而上每节容积长等差数列，问中间两节的容积分别是
多少．”按此规律，你算得中间一节（第五节）的容积为 升．
巩固练习
在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一
千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增一十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马
先至齐，复还迎驽马，二马相逢．问：几日相逢？（ ）．
A. 日 B. 日 C. 日 D. 日
2. 等差数列的性质
若数列 是首项为 ，公差为 的等差数列，则 具有如下性质：
（1） ，数列 是递增数列； ，数列 是递减数列； ，数列 是常数列；
（2） ，变形为 ；
（3）若 ，则有 ；若 ，则有 ；
（4）数列 是公差为 的等差数列，以此推广，若 是公差为 的等差数列，则
是公差为 的等差数列；
（5）下标成等差数列且公差为 的项 ， ， ，… 组成公差为 的等差数列．
已知数列 为等差数列，前 项和公式为 ，则有
（1） 为等差数列， 为前 项和，则 ； 为等差数列， 为前 项和，
；有
（2） 为奇数时， 奇 ， 为偶数时，
偶
（3）数列 为等差数列，公差为 .
经典例题
5
1. 在等差数列 中， ， ，则 的通项公式 ．
2. 设公差不为零的等差数列 的前 项和为 ，若 ，则 等于（ ）．
A. B. C. D.
3. 设 和 分别是等差数列 与 的前 项的和，若对任意的 都有 ，则
．
巩固练习
1. 等差数列 中， , ，求数列的通项公式．
2. 已知等差数列 中， ，且 ，则 （ ）．
A. B. C. D.
3. 设 是等差数列 的前 项和，若 ，则 ．
4. 已知等差数列 的前 项和分别为 ，若对于任意的自然数 ，都有 ，则
（ ）
A. B. C. D.
3. 等差数列的判定
（一）等差数列的判定
（1）定义法：①若 （常数） 为等差数列.
② 若 （常数） 为等差数列.
（2） （ 是常数） 数列 是等差数列；
（3）①数列 的前 项和 , 是常数， 数列 是等差数列；
②若数列 的前 项和 ，则数列 从第二项起是等差数
列．
（4）若 均为等差数列，且公差分别为 ，则数列 也为等差数列，且
公差分别为 ， ， .
6
（5）在等差数列中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即 ， ， ，．．．．，为等差
数列，公差为 ．
（6）若数列 是等差数列，则 ， ， ， 为等差数列，公差为 ，
（二）等差数列中的巧设“对称项”
当等差数列 的项数 为奇数时，可设中间的一项为 ，再以 为公差向两边分别设项，即设为 ，
， ， ， ， ， ；当等差数列的项数 为偶数时，可设中间两项分别为 ，
，再以 为公差向两边分别设项，即设为 ， ， ， ， ， ．
经典例题
1. 已知数列 的前 项和为 ，则下列结论正确的是（ ）．
A. 数列 是等差数列． B. 数列 是递增数列．
C. ， ， 成等差数列． D. ， ， 成等差数列．
2. 已知数列 中， ， ，数列 满足 .
（ 1 ）求证:数列 是等差数列;
3. 设数列 的前 项和为 ，点 均在函数 的图象上．
（ 1 ）求证：数列 为等差数列．
4. 等差数列 的前 项和为 ，前 项和为 ，则它的前 项和为（ ）
A. B. C. D.
5. 设 是递增等差数列，前三项的和为 ，前三项的积为 ，则它的首项是（ ）．
A. B. C. D.
7
6. 《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人
等．问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分 钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三
人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一
种重量单位）．这个问题中，甲所得为（ ）．
A. 钱 B. 钱 C. 钱 D. 钱
巩固练习
1. 下列结论中正确的有（ ）．
A. 若 为等差数列，它的前 项和为 ，则数列 也是等差数列
B. 若 为等差数列，它的前 项和为 ，则 ， ， ， 也是等差数列
C. 若等差数列 的项数为 ，它的偶数项的和为 偶，它的奇数项的和为 奇，则
奇
偶
D. 若等差数列 的项数为 ，它的偶数项的和为 偶，它的奇数项的和为 奇，则
奇
偶
2. 已知数列 的前 项和为 ，点 ， 均在函数 的图象上．
（ 1 ）求数列 的通项公式．
（ 2 ）证明数列 为等差数列．
3. 已知数列 的前 项和为 ， ．
（ 1 ）证明：数列 是等差数列．
4. 等差数列的前 项和为 ，前 项的和为 ，则它前 项的和为（ ）．
A. B. C. D.
8
5. 已知单调递增的等差数列 的前三项之和为 ，前三项之积为 ，则数列 的通项公式
．
4. 等差数列前n项和的最值问题
方法一
根据二次函数的性质可知，当 取得最接近 的正整数时， 取得最值（最大值还是最小值视 和
而定），那么对于指定的等差数列 ，接近数值 的正整数个数可以是 三种情况，故结果如
下：
（1）若 本身是正整数，则令 ，此时 取得最值；
（2）若接近数值 的正整数只有一个，如 ，则令 ，此时 取得最值；
（3）若接近数值 的正整数有两个，如 ，则令 或 均可，此时 取得最值；
方法二
我们就等差数列的两个基本量，分四种情况去讨论一下：
（1） ， ．此时通过通项公式分析可知， 恒成立，故 单调递增，当且仅当 时，
最小，无最大值．
（2） ， ．此时通过通项公式分析可知， 恒成立，故 单调递减，当且仅当 时，
最大，无最小值．
（3） ， ．此时通过通项公式分析可知 单调递减，故当找到正整数 满足 时，
是最大值，而 的数值通过不等式组确定．
（4） ， ．此时通过通项公式分析可知 单调递增，故当找到正整数 满足 时，
是最小值，而 的数值通过不等式组确定．
经典例题
1. 在等差数列 中， ， ，则数列 的前 项和 的最大值为 ．
2. 等差数列 是递增数列，满足 ，前 项和为 ，下列选择项正确的是（ ）．
A. B.
C. 时 的最小值为 D. 当 时 最小
3. 设数列 是公差大于 的等差数列， 为其前 项和，若 ，则 的值可以是（ ）．
A. B. C. D.
4. 已知无穷等差数列 的前 项和为 ， ，且 ，则（ ）．
A. 在数列 中， 最大 B. 在数列 中， 或 最大
9
C. D. 当 时，
巩固练习
1. 已知数列 是一个等差数列，且 ， ．
（ 1 ）求 的通项 ．
（ 2 ）记 前 项和为 ，求 的最大值．
2. 已知等差数列 是递增数列，其前 项和为 ，且满足 ，则下列结论正确的是（ ）．
A. B.
C. 当 时， 最小 D. 当 时， 的最小值为
3. 等差数列 满足 ， ， ，则使前 项和 成立的最大正整数 是
（ ）．
A. B. C. D.
思维导图
你学会了吗？画出思维导图总结本课所学吧！
出门测
1. 已知数列 、 、 ，以下两个命题：
①若 、 、 都是递增数列，则 、 、 都是递增数列；
②若 、 、 都是等差数列，则 、 、 都是等差数列；
下列判断正确的是( )
A. ①②都是真命题 B. ①②都是假命题
C. ①是真命题，②是假命题 D. ①是假命题，②是真命题
2. 已知等差数列 的前 项和为 ，若 ，则 （ ）．
A. B. C. D.
3. 数列 满足 ， ， ．
（ 1 ）设 ，证明 是等差数列；
10
4. 若数列 满足： ， ，则数列 的前 项和数值最大时， 的值是（
）．
A. B. C. D.
11
