数列求通项问题
课堂目标
1．掌握根据数列的递推公式求解数列的通项公式几种模型及求解步骤．
2．掌握利用数列的前 项和求通项的方法步骤．
3．掌握利用构造法求通项的几种类型并会求解．
【备注】1．重点是掌握利用公式法、累加法、累乘法及构造法求解数列的通项公式;难点是利用构
造法求解数列的通项公式．
2．关联知识:等差数列、等比数列、数列求和．
一、 公式法求数列的通项公式
等差数列的通项公式： 或
等比数列的通项公式： 或
经典例题
1. 已知数列 是一个等差数列，且 ， ．
（ 1 ）求 的通项 ．
【备注】本题考查等差数列的通项公式
【答案】（ 1 ） ．
（ 2 ） ．
【解析】（ 1 ）方法一： ， ，∴ ．
方法二：设 的公差为 ，由已知条件， ，解出 ， ．
所以 ．
1
（ 2 ）方法一： ，∴ 时 最大值为 ．
方法二：
．
所以 时， 取到最大值 ．
【标注】【知识点】求等差数列前n项和的最值
2. 等比数列 中， ， ，则数列 的通项 ．
【备注】本题考查等比数列的通项公式
【答案】
【解析】 ， ，解得 ，故 ．
【标注】【知识点】等比数列求通项问题
巩固练习
已知数列 是各项均为正数的等比数列，若 ， ，则 等于（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为 ， ，所以 ， ，因为 ，所
以 ， ．
【标注】【知识点】等比数列求通项问题
二、 累加法
形如 , 可求和
求解方法:将递推公式变形为 ，对 进行连续赋值，可以得到：
，
，
，
……
2
，
．
将上面 个等式左右分别叠加，得到：
左边：
右边： 故 ，即
．
若 部分可以求出，那么就可以得到数列 的通项公式．
这种求通项的方法叫做 累加法（叠加法） ，适用于 ．
【备注】在用累加法求解的过程中，重点在于等号右边采取什么样的求和方法，是等差数列的求
和、等比数列的求和、还是后面会讲到的分组求和、错位相减求和、裂项相消求和．
经典例题
1. 已知数列 中， ， （ ），求 的通项公式．
【备注】本题是对上述累加法求通项的直接考查，题目中的式子通过变换后可得： ，
右侧为等差数列求和
【答案】 ．
【解析】 时，由 ，得 ，
于是
，
时， 满足上式，
3
∴ ．
【标注】【知识点】利用累加法求数列通项公式问题
2. 已知数列 的首项为 ， 为等差数列，且 ，若 ， ，则
．
【备注】本题首先根据数列 是等差数列,求得数列 的首项与公差,再根据 形
式,采用累加法求解即可
【答案】
【解析】因为 为等差数列， ， ，
所以公差 ，
首项 ，
∵ ，
∴
，
数列 前 项和为 ，
．
故答案为： ．
【标注】【知识点】利用累加法求数列通项公式问题；递推数列与递推方法
巩固练习
1. 在数列 中， ， ，则 = ．
【答案】
【解析】 .
【标注】【知识点】利用累加法求数列通项公式问题
2. 已知数列 满足 ，且 （ ），求 ．
4
【答案】 ．
【解析】由题意知： ， ，…， ，
各式两边分别相加得： ，
于是 ，此式对 也成立，故 ．
【标注】【知识点】利用累加法求数列通项公式问题
三、 累乘法
形如 ， 可求和
求解方法:将递推公式变形为 ，对 进行连续赋值，可以得到：
，
，
，
……
，
．
将上面 个等式左右分别叠乘，得到：
左边 ： ．
右边： ． 故 ，即
，
若 部分可以求出，那么就可以得到数列 的通项公式．
这种求通项的方法叫做 累乘法（叠乘法） ，适用于 ．
【备注】
5
这里要为学生说明，等式 中， 代表连
续求积的意思，学生理解即可.
经典例题
1. 已知数列 满足 ，且 ，则 ．
【备注】此题为累乘形式；所以采用累乘法求解
【答案】
【解析】由已知得 ， ， ， ， ， ，
所以有
，
所以答案应为： ．
【标注】【知识点】利用累乘法求数列通项公式问题
2. 已知数列 中， ，其中 ，求 ．
【备注】在用累乘法求解的过程中，重点在于等号右边每项的分子分母是否可以依次序约分，当右
边每项的分子分母数值相隔 ，且 时，会出现错位约分的情况，运算结果也会出现前
面有t项后面有t项无法约分而保留的情况．
【答案】
【解析】
【标注】【知识点】利用累乘法求数列通项公式问题
6
巩固练习
已知数列 满足： ， ，求数列 的通项公式．
【答案】
【解析】利用等式 ，求通项公式．
法一：
.
∴ .
法二：由 得： ( 且 )
∴
又当 时， 符合上式，
∴ .
【标注】【知识点】利用累乘法求数列通项公式问题
四、 构造法
1. 形如 （ 且满足 ）
若数列 满足递推公式 ，则求通项公式的步骤为：
①利用待定系数法，将递推公式变形为 ，此时 ；
7
②设数列 ，则 ，求出 ，此时递推公式等价于
；
③因此数列 是公比为 的等比数列，可根据等比数列的通项公式求出数列 的通项公式，进而求
出数列 的通项公式．
经典例题
已知数列 满足 ， ．
（ 1 ）证明 是等比数列，并求 的通项公式．
【备注】本题符合 （ 且满足 ）的形式，需要构造 为
等比数列
【答案】（ 1 ）证明见解析， ．
（ 2 ）证明见解析．
【解析】（ 1 ）∵ ，
∴可变形为 ．
即 ．
∴ 是首项为 ，公比为 的等比数列，
∴ ．
（ 2 ）由（ ）可知 ，
∴
．
∴
8
．
∵ ，
∴ ．
【标注】【知识点】裂项相消法求和；等比数列的判定与证明
巩固练习
已知数列 满足 ，且 ， ．
（ 1 ）求证： 是等比数列．
【答案】（ 1 ）见解析
（ 2 ）
【解析】（ 1 ）证明：由已知得： ，
因为 ，
所以 ，
所以 是以 为首项， 为公比的等比数列．
（ 2 ）解：由 知， 是以 为首项， 为公比的等比数列，
所以 ，
所以 ．
【标注】【知识点】等比数列的判定与证明；构造数列求通项
2. 形如 （ 且满足 ）
若数列 满足递推公式 ，则求通项公式的步骤为：
9
①将递推公式两边同时除以 ，变形为
②设数列 ，则 ，求出 ，此时递推公式变形为
③若 ，即 ，此时 为 等差数列 或为可用 累加法 求解通项的数列，则 通项公式
可求，进而求得 的通项公式；
④若 ，则利用待定系数法，将递推公式变形为 ，此时 ；
⑤设数列 ，则 ，求出 ，此时递推公式等价于 ；
⑥因此数列 是公比为 的等比数列，可根据等比数列的通项公式求出数列 的通项公式，进
而求出数列 的通项公式，最终求出数列 的通项公式．
经典例题
1. 已知 ， ，求 的通项公式．
【备注】本题符合上述讲解中提到的 的情况，需要构造等比数列.
【答案】
【解析】
是等比数列，∴ ，∴
【标注】【素养】数学运算
【方法】构造法
【知识点】构造等比数列求通项
2. 已知数列 满足 , ，求数列 的通项公式．
10
【备注】本题由于 ，即 ，观察可利用累加法求解 的通项公式.
【答案】 ．
【解析】 两边除以 ，得 ，
则 ，故
累加得 ，
则 ．
【标注】【知识点】利用累加法求数列通项公式问题
3. 已知数列 中， ， ．
（ 1 ）设 ，证明数列 是等差数列，并求数列 的通项公式．
【备注】本题 ，即 ，通过构造 为等差数列
【答案】（ 1 ）证明见解析； ．
（ 2 ） ．
【解析】（ 1 ）将 的两边同时除以 ，可得 ，即
，
又 ，故数列 是以 为首项， 为公差的等差数列，
所以 ，则 ．
（ 2 ） ，①
则 ，②
①②相减得：
11
，
所以 ．
【标注】【知识点】错位相减法求和；等差数列求通项问题；等差数列的判定（涉及新数列构
造）
4. 已知数列 满足 ， ．
（ 1 ）判断数列 是否为等差数列，并说明理由．
【备注】本题针对上面的题型进行了变形;右侧等式加了一个常数项;所以虽然 ,但是通过构造,数
列为等差数列
【答案】（ 1 ）是，证明见解析．
（ 2 ） ．
【解析】（ 1 ）∵ ，
，
∴数列 为公差为 的等差数列．
（ 2 ）∵ ，
∴ ，
由（ ）可得： ，
∴ ，
∴
．
【标注】【知识点】分组法求和
巩固练习
12
1. 已知数列 中， ， ， ，求数列的通项 ．
【答案】 ．
【解析】设 ，
，
则 ，
，
．
【标注】【知识点】通项公式；等比数列的判定与证明；等比数列求通项问题
2. 在数列 中， ， ．
（ 1 ）设 ，证明：数列 是等差数列．
【答案】（ 1 ）证明见解析．
（ 2 ） ．
【解析】（ 1 ）∵ 等式两边同时除以 ，
∴ ，
∴ ，
即 ，而 ，
∴ ，
13
∴ 是等差数列．
（ 2 ）∵ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ①，
②，
① ②得：
，
∴ ．
【标注】【知识点】错位相减法求和
3. 在数列 中， ， ．
（ 1 ）求证：数列 为等差数列；
【答案】（ 1 ）见解析
（ 2 ）见解析
【解析】（ 1 ）证明： (与 无
关)，
故数列 为等差数列．
（ 2 ）解：由 可知， ，
故 ，
所以 ．
【标注】【知识点】等差数列的判定（涉及新数列构造）
3.
14
形如 （ 且满足 ）
若数列 满足递推公式 ，则求解步骤为：
①两边取倒数法： ，
②设数列 ，则 ，求出 ，此时递推公式变为 ：
③若 ，则 ，此时 为 等差数列 或为可用 累加法 求解通项的数列，则 通项公式
可求，进而求得 的通项公式；
④若 ，则利用待定系数法，将递推公式变形为 ，此时 ；
⑤设数列 ，则 ，求出 ，此时递推公式等价于 ；
⑥因此数列 是公比为 的等比数列，可根据等比数列的通项公式求出数列 的通项公式，进
而求出数列 的通项公式，最终求出数列 的通项公式．
经典例题
1. 已知数列 满足： ， ．
（ 1 ）求证：数列 是等比数列．
【备注】本题考察的是变形后 的形式，需要构造等比
【答案】（ 1 ）证明见解析．
（ 2 ） ．
【解析】（ 1 ）因为 ，
又因为 ，
所以 是等比数列．
（ 2 ） ，
15
．
【标注】【知识点】数列与不等式综合；等比数列的判定与证明
2. 数列 中， ，求 ．
【备注】本题为以下情况：取倒数后，若 ，即 ，此时 为等差数列或为可用累加法求
解通项的数列，则 通项公式可求，进而求得 的通项公式.
【答案】 ．
【解析】
∴
∴
【标注】【知识点】利用累加法求数列通项公式问题
3. 已知数列 满足 ， ．
（ 1 ）试判断数列 是否为等差数列，并求数列 的通项公式．
16
【备注】这类题型的题干是“ （ 且满足 ）”的变形，等号两边
同除
【答案】（ 1 ） ．
（ 2 ）证明见解析．
【解析】（ 1 ） ，
，
，
，
，
，即 等差，
，
，
，
∴ 通项为 ．
（ 2 ）
，
下证 ，
显然成立．
∴ 成立．
【标注】【知识点】裂项相消法求和；放缩法证明数列不等式
巩固练习
1. 已知数列 满足 ， ，（ ）．
17
（ 1 ）证明：数列 为等比数列．
（ 2 ）求数列 的前 项和．
【答案】（ 1 ）证明见解析．
（ 2 ） ．
【解析】（ 1 ）∵ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ 是以 为首项, 为公比的等比数列．
（ 2 ）由（ ）知 ，
∴ ，
∴故其前 项和为 ，
∴数列 的前 项和为： ．
【标注】【知识点】分组法求和；等比数列的判定与证明
2. 已知数列 中， ， ，则数列通项 ．
【答案】
【解析】 ,
是以 为首项，以 为公差的等差数列，
,
18
.
【标注】【知识点】构造等差数列求通项
4. 形如 （ 且满足 ）
若数列 满足递推公式 ，求通项的步骤：
①可变形为 ，与原递推公式比较可得方程组 ，
②若方程组有实数解，则 是公比为 的等比数列，通项公式可求，进而转化为 与
的递推公式．
③若方程组无实数解，则 为周期数列，利用题目给出的条件 求出后续项可发现 陷入循
环．
【备注】①对于方程组无解的情况，为何方程组无实数解会导致 是周期数列，后期我们学习了
复数之后再深度研究．
②若递推公式 与 、 呈现线性关系，则我们采取方程组法来构造等比数列，再根
据求解后 与 的递推公式的具体形式，选择针对性的方法解决问题．
经典例题
已知数列 中， ， ， ．
（ 1 ）求证：数列 是等比数列．
（ 2 ）求数列 的通项公式．
【备注】本题考查的是上述类型变形后可以构造等比的情况,，在第一问中题目已给提示，可构造
为等比数列.
【答案】（ 1 ）证明见解析．
（ 2 ） ．
（ 3 ） ．
19
【解析】（ 1 ）∵ ，
∴ ，
∴数列 是等比数列．
（ 2 ）∵ ， ，∴ ，
∴ 是以 为首项，公比为 的等比数列，
∴ ，
当 时，
，
∵ 适合上式，∴ ．
（ 3 ）∵ ，
∴ ，
∴
，
∵
，
又∵ 在 上恒成立，
所以 ，解得 ．
【标注】【知识点】裂项相消法求和；数列中的恒成立问题
巩固练习
1. 数列 满足： ， ， ．
（ 1 ）记 ，求证： 是等比数列．
（ 2 ）求数列 的通项公式．
20
【答案】（ 1 ）证明见解析．
（ 2 ） ．
【解析】（ 1 ）∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
且 ，
∴ 是以 为首项， 为公比的等比数列．
（ 2 ）由（ ）可知 ，
所以 ，
，
，
，
以上式子相加，
所以 ，
∴
，
经检验， 时，符合，
∴ ．
【标注】【知识点】利用累加法求数列通项公式问题；等比数列的判定与证明
2. 已知数列 满足 ， ， ．
（ 1 ）求证： 是等比数列．
（ 2 ）求 的通项公式．
21
【答案】（ 1 ）证明见解析．
（ 2 ） ．
【解析】（ 1 ）已知数列 满足 ，
则有 ，
即 ，
又由 ， ，则 ，
则数列 以 为首项， 为公比的等比数列．
（ 2 ）有（ ）有结论，数列 以 为首项, 为公比的等比数列，
则 ，
变形可得： ，
又由 ，
则数列 是以 为首项， 为公差的等差数列，
则 ，
则 ；
即 的通项公式为 ．
故答案为： ．
【标注】【知识点】等比数列的判定与证明；构造等比数列求通项
5. 形如 （ 且满足 ）
若正项数列 满足递推公式 ，则求通项公式的步骤为：
①两边取对数： ；
②设数列 ，则 ，求出 ，此时递推公式变为 ；
③所以数列 是以 为公比的等比数列，可根据等比数列的通项公式求出数列 的通项公式，最
终求出数列 的通项公式．
【备注】若递推公式 与 呈现幂函数的关系，则我们采取取对数法来构造等比数列解决此类问
题．
经典例题
22
1. 各项为正的数列 中， ， ，求 的通项公式．
【备注】本题是对上述情况的直接考查
【答案】见解析．
【解析】对递推式两边取常用对数，得： ，设 ，则 ，故 是
以 为首项， 为公比的等比数列， ，所以 ．
【标注】【知识点】通项公式
2. ， ，求 的通项公式．
【备注】本题是需要进行一步构造然后再取对数
【答案】 ．
【解析】
，
∴ ．
，
故 为等比数列，
则 ，
即 ，
所以， ．
23
【标注】【知识点】构造等比数列求通项
巩固练习
若数列 中， 且 （ 是正整数），则数列 的通项公式是 ．
【答案】
【解析】由题意知 ，
将 两边取对数得 ，即 ，
所以数列 是以 为首项，公比为 的等比数列，
所以 ，即 ．
【标注】【知识点】构造等比数列求通项
五、 根据数列的前n项和求解数列的通项公式
由 ，
得 ，
两式相减可以得出一个关于数列的通项公式与前 项和的重要关系式：
利用这个关系式，可以在已知通项与前 项和之间关系（或前 项和与项数之间关系）的情况下求出数
列的通项公式．
注意：
通过数列的前 项和求解数列的通项公式，重点在于所求的 是否满足 时所求的通项公
式，如果满足则将 合并于通项公式，如果不满足则将数列的通项公式写成分段函数的形式．
经典例题
1. 已知数列 的前 项和 ，求 ．
24
【备注】本题是对上述求解过程的直接考查；本题要注意的是第一项不符合其他项的通项公式，需
要分开写
【答案】 ．
【解析】 ； ，故 ．
故答案为： ．
【标注】【知识点】利用Sn与an的关系求通项
2. 已知数列 的前 项和为 ，且 ．
（ 1 ）证明：数列 为等比数列．
【备注】本题是对上述求解过程的直接考查
【答案】（ 1 ）证明见解析．
（ 2 ） ．
【解析】（ 1 ）数列 的前 项和为 ，
且 ①．
当 时，解得： ，
当 时， ②．
① ②得： ，
整理得： （常数），
所以：数列 是以 为首项， 为公比的等比数列．
（ 2 ）由于：数列 是以 为首项, 为公比的等比数列，
故： ，
25
所以：
，
所以： ，
．
【标注】【知识点】等比数列的判定与证明；裂项相消法求和；利用Sn与an的关系求通项
3. 设数列 的前 项和是 ，且 ．
（ 1 ）求证：数列 为等差数列．
【答案】（ 1 ）证明见解析．
（ 2 ） ．
（ 3 ）证明见解析．
【解析】（ 1 ）当 时， ，即 ，即 ，
当 时， ，又 ，
两式相减可得 ，①
将上式中的 换为 ，可得 ，②
① ②可得 ，
所以数列 为首项为 的等差数列．
（ 2 ）设数列 的公差为 ，
则 ， ，
由于数列 也为等差数列，可得 ，
即 ，解得 ，
则 ， ，
则 ．
（ 3 ）由 ，且 恒成立，
26
又 ，可得 ，
整理可得 ，解得 ，
由于 ，且 ，
因此存在唯一的正整数 ，使得不等式 成立．
【标注】【知识点】等差数列的判定（涉及新数列构造）；数列中的恒成立问题；数列的极限
4. 正数数列 的前 项和为 ，且 ，求
（ 1 ） 的通项公式．
【备注】有些题目通过数列的前 项和求解数列的通项公式的过程中，并不能直接求出数列的通项公
式，而是转化为 与 的递推公式，此时需要根据数列的递推公式求解数列的通项公式
的方法来找到 时的数列的通项公式，再结合 给出最终的通项公式．
具体逻辑： →递推公式→
【答案】（ 1 ） ．
（ 2 ） ．
【解析】（ 1 ）根据题意，数列 满足 ，
当 时，有 ，解可得 ，
将 两边平方得 ①，
时， ②，
① ②可得， ，
变形可得： ，
又由数列 为正数数列，则 ，
则有 ，
∴数列 是以 为首项， 为公差的等差数列，
∴有 ．
（ 2 ） ，
27
则
，
则 ，
易知 随着 的增大而增大，
则当 ，取最小值 ，则 ，
故 ．
【标注】【知识点】裂项相消法求和
巩固练习
1. 已知数列 的前 项和为 ，且满足 ．
（ 1 ）求证：数列 为等比数列，并求数列 的通项公式．
【答案】（ 1 ）证明见解析． ．
（ 2 ）证明见解析.
【解析】（ 1 ）已知数列 满足 ，
所以 ， 即 ，
所以有 ，当 时， ，故 ，
所以数列 是一个以 为首项， 为公比的等比数列， ，
所以 ，当 时， ，满足条件，
所以 的两通项公式 ．
（ 2 ）由（ ）可知数列 ，
所以由 即
，
所以 前 项和 ，
28
即
，
故 得证．
【标注】【知识点】数列与不等式综合；等比数列的判定与证明；数列的函数特性
2. 已知数列 的前 项和为 ，且 （ ）．
（ 1 ）设 ，求证：数列 为等差数列，并求出数列 的通项公式．
【答案】（ 1 ）证明见解析， ．
（ 2 ） ．
【解析】（ 1 ）由已知 （ ）①，
时， ②，
① ②得： ，
故 ，
即 （ ），
又 时， ，则 ，
故数列 是以 为首项， 为公差的等差数列，
∴ ．
（ 2 ）由 ，得 ，
29
．
【标注】【知识点】等差数列求通项问题；等差数列的判定（涉及新数列构造）；分组法求和
思维导图
你学会了吗？画出思维导图总结本课所学吧！
【备注】
出门测
1. 记 为数列 的前 项和，已知 ， ．
（ 1 ）证明： 为等比数列．
【答案】（ 1 ）证明见解析．
（ 2 ） ， ， ， 成等差数列．
30
【解析】（ 1 ）∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ 是首项为 ，公比为 的等比数列．
（ 2 ）由（ ）知， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ， ， 成等差数列．
【标注】【知识点】分组法求和；等比数列的判定与证明
2. 设数列 的前 项和为 ，满足 ，且 ．
（ 1 ）证明：数列 为等差数列．
【答案】（ 1 ）证明见解析．
（ 2 ）
．
【解析】（ 1 ）由 ，得 ，
， ，
故数列 是首项为 ，公差为 的等差数列．
（ 2 ）由（ ）知 ，
则 ，
当 时， ；
当 且 时， ，
31
故 的通项公式为 ．
【标注】【知识点】利用Sn与an的关系求通项；等差数列的判定（涉及新数列构造）
3. 已知数列 的前 项和为 ， ， ．
（ 1 ）证明：数列 为等比数列．
【答案】（ 1 ）证明见解析．
（ 2 ）证明见解析．
【解析】（ 1 ）
，
又∵ ，
∴数列 为等比数列．
（ 2 ）由（ ）可得，
，
∴ ，即 ，
又∵ ，
∴
，
∴得证．
32
【标注】【知识点】等比数列的判定与证明；数列与不等式综合；数列的函数特性
33数列求通项问题
一、 公式法求数列的通项公式
等差数列的通项公式： 或
等比数列的通项公式： 或
经典例题
1. 已知数列 是一个等差数列，且 ， ．
（ 1 ）求 的通项 ．
2. 等比数列 中， ， ，则数列 的通项 ．
巩固练习
已知数列 是各项均为正数的等比数列，若 ， ，则 等于（ ）．
A. B. C. D.
二、 累加法
形如 , 可求和
求解方法:将递推公式变形为 ，对 进行连续赋值，可以得到：
，
，
，
……
，
．
1
将上面 个等式左右分别叠加，得到：
左边：
右边： ．
若 部分可以求出，那么就可以得到数列 的通项公式．
这种求通项的方法叫做 ，适用于 ．
经典例题
1. 已知数列 中， ， （ ），求 的通项公式．
2. 已知数列 的首项为 ， 为等差数列，且 ，若 ， ，则
．
巩固练习
1. 在数列 中， ， ，则 = ．
2. 已知数列 满足 ，且 （ ），求 ．
三、 累乘法
形如 ， 可求和
求解方法:将递推公式变形为 ，对 进行连续赋值，可以得到：
2
，
，
，
……
，
．
将上面 个等式左右分别叠乘，得到：
左边
右边：
若 部分可以求出，那么就可以得到数列 的通项公式．
这种求通项的方法叫做 ，适用于
经典例题
1. 已知数列 满足 ，且 ，则 ．
2. 已知数列 中， ，其中 ，求 ．
巩固练习
已知数列 满足： ， ，求数列 的通项公式．
3
四、 构造法
1. 形如 （ 且满足 ）
若数列 满足递推公式 ，则求通项公式的步骤为：
①利用待定系数法，将递推公式变形为 ，此时 ；
②设数列 ，则 ，求出 ，此时递推公式等价于 ；
③因此数列 是公比为 的等比数列，可根据等比数列的通项公式求出数列 的通项公式，进而求出
数列 的通项公式．
经典例题
已知数列 满足 ， ．
（ 1 ）证明 是等比数列，并求 的通项公式．
巩固练习
已知数列 满足 ，且 ， ．
（ 1 ）求证： 是等比数列．
2. 形如 （ 且满足 ）
若数列 满足递推公式 ，则求通项公式的步骤为：
①将递推公式两边同时除以 ，变形为
②设数列 ，则 ，求出 ，此时递推公式变形为
4
③若 ，即 ，此时 为 或为可用 求解通项的数列，则 通项公式可
求，进而求得 的通项公式；
④若 ，则利用待定系数法，将递推公式变形为 ，此时 ；
⑤设数列 ，则 ，求出 ，此时递推公式等价于 ；
⑥因此数列 是公比为 的等比数列，可根据等比数列的通项公式求出数列 的通项公式，进而
求出数列 的通项公式，最终求出数列 的通项公式．
经典例题
1. 已知 ， ，求 的通项公式．
2. 已知数列 满足 , ，求数列 的通项公式．
3. 已知数列 中， ， ．
（ 1 ）设 ，证明数列 是等差数列，并求数列 的通项公式．
4. 已知数列 满足 ， ．
（ 1 ）判断数列 是否为等差数列，并说明理由．
5
巩固练习
1. 已知数列 中， ， ， ，求数列的通项 ．
2. 在数列 中， ， ．
（ 1 ）设 ，证明：数列 是等差数列．
3. 在数列 中， ， ．
（ 1 ）求证：数列 为等差数列；
3. 形如 （ 且满足 ）
若数列 满足递推公式 ，则求解步骤为：
①两边取倒数法： ，
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②设数列 ，则 ，求出 ，此时递推公式变为 ：
③若 ，则 ，此时 为 或为可用 求解通项的数列，则 通项公式可
求，进而求得 的通项公式；
④若 ，则利用待定系数法，将递推公式变形为 ，此时 ；
⑤设数列 ，则 ，求出 ，此时递推公式等价于 ；
⑥因此数列 是公比为 的等比数列，可根据等比数列的通项公式求出数列 的通项公式，进而
求出数列 的通项公式，最终求出数列 的通项公式．
经典例题
1. 已知数列 满足： ， ．
（ 1 ）求证：数列 是等比数列．
2. 数列 中， ，求 ．
3. 已知数列 满足 ， ．
（ 1 ）试判断数列 是否为等差数列，并求数列 的通项公式．
巩固练习
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1. 已知数列 满足 ， ，（ ）．
（ 1 ）证明：数列 为等比数列．
（ 2 ）求数列 的前 项和．
2. 已知数列 中， ， ，则数列通项 ．
4. 形如 （ 且满足 ）
若数列 满足递推公式 ，求通项的步骤：
①可变形为 ，与原递推公式比较可得方程组 ，
②若方程组有实数解，则 是公比为 的等比数列，通项公式可求，进而转化为 与 的
递推公式．
③若方程组无实数解，则 为周期数列，利用题目给出的条件 求出后续项可发现 陷入循环．
经典例题
已知数列 中， ， ， ．
（ 1 ）求证：数列 是等比数列．
（ 2 ）求数列 的通项公式．
巩固练习
1. 数列 满足： ， ， ．
（ 1 ）记 ，求证： 是等比数列．
（ 2 ）求数列 的通项公式．
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2. 已知数列 满足 ， ， ．
（ 1 ）求证： 是等比数列．
（ 2 ）求 的通项公式．
5. 形如 （ 且满足 ）
若正项数列 满足递推公式 ，则求通项公式的步骤为：
①两边取对数： ；
②设数列 ，则 ，求出 ，此时递推公式变为 ；
③所以数列 是以 为公比的等比数列，可根据等比数列的通项公式求出数列 的通项公式，最终
求出数列 的通项公式．
经典例题
1. 各项为正的数列 中， ， ，求 的通项公式．
2. ， ，求 的通项公式．
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巩固练习
若数列 中， 且 （ 是正整数），则数列 的通项公式是 ．
五、 根据数列的前n项和求解数列的通项公式
由 ，
得 ，
两式相减可以得出一个关于数列的通项公式与前 项和的重要关系式：
利用这个关系式，可以在已知通项与前 项和之间关系（或前 项和与项数之间关系）的情况下求出数列
的通项公式．
注意：
通过数列的前 项和求解数列的通项公式，重点在于所求的 是否满足 时所求的通项公式，
如果满足则将 合并于通项公式，如果不满足则将数列的通项公式写成分段函数的形式．
经典例题
1. 已知数列 的前 项和 ，求 ．
2. 已知数列 的前 项和为 ，且 ．
（ 1 ）证明：数列 为等比数列．
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3. 设数列 的前 项和是 ，且 ．
（ 1 ）求证：数列 为等差数列．
4. 正数数列 的前 项和为 ，且 ，求
（ 1 ） 的通项公式．
巩固练习
1. 已知数列 的前 项和为 ，且满足 ．
（ 1 ）求证：数列 为等比数列，并求数列 的通项公式．
2. 已知数列 的前 项和为 ，且 （ ）．
（ 1 ）设 ，求证：数列 为等差数列，并求出数列 的通项公式．
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思维导图
你学会了吗？画出思维导图总结本课所学吧！
出门测
1. 记 为数列 的前 项和，已知 ， ．
（ 1 ）证明： 为等比数列．
2. 设数列 的前 项和为 ，满足 ，且 ．
（ 1 ）证明：数列 为等差数列．
3. 已知数列 的前 项和为 ， ， ．
（ 1 ）证明：数列 为等比数列．
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