数学归纳法与数列综合
学习目标
1．掌握数学归纳法的概念及求解步骤，能熟练运用数学归纳法解决数学问题．
2．掌握奇偶项分段数列的概念及其求和的方法并会运用．
3．掌握含绝对值的等差数列的概念及其求和的方法步骤并会运用．
【备注】1．本节重点是掌握数学归纳法的求解步骤并能够应用，奇偶分段数列的求解方法，含绝对
值的等差数列的求解方法；难点是用数学归纳法证明不等式或恒等式，根据数列的递推公
式猜测通项公式并能够用数学归纳法进行证明，奇偶分段数列的求和问题，含绝对值的等
差数列的求和问题．
2．关联知识：等差数列、等比数列、数列求通项的方法、数列求和的方法．
一、 数学归纳法
1. 定义与步骤
数学归纳法定义
一般地，证明一个正整数 有关的命题，可按下列步骤进行：
（1）（归纳奠基）证明当 时命题成立；
（2）（归纳递推）以 “当 时命题成立”为条件，推出“当 时命题也成立”.
只要完成这两个步骤，就可以断定命题从 开始的所有正整数 都成立，这种证明方法称为数学归纳法.
对数学归纳法两个步骤的认识
（1）数学归纳法的原理表明：第一个步骤是要找一个数 ，这个数 就是要证明的命题对象的最小自
然数，这个自然数并不一定都是“ ”；
（2）数学归纳法的实质在于递推，所以从“ ”到“ ”的过程中，必须把归纳假设“ ”作为条件来导
出“ ”时的命题，在推导过程中，归纳假设至少要用一次.
经典例题
1. 用数学归纳法证明
，
则从 到 时，左边所要添加的项是（ ）．
1
A. B. C. D.
【备注】本题考查从 到 增加多少项，可以将两个式子写出来进行比较；这里需要注意
首先由于一共有 项，但是左侧最后是 ，再根据正负号可判断通项为 ,其次代
入 时与求函数 到 一样,不要代错了
【答案】D
【解析】当 时，等式的左边为：
，
当 时，等式的左边为：
，
故从“ 到 ”，左边所要添加的项是 ．
故选 ．
【标注】【知识点】数学归纳法
2. 用数学归纳法证明： 时，第二步证明由“ 到 ”时，左
端增加的项数是（ ）．
A. B. C. D.
【备注】本题考查从 到 增加多少项，由于分母变化，将两项最后一项的分母进行作差
求解即可
【答案】B
【解析】当 时， ，
当 时， ，
∴增加了 项．
故选 ．
【标注】【素养】数学运算
【知识点】数学归纳法
2
3. 在数列 中， 且 ．
（ 1 ）求出 ， ， ．
（ 2 ）归纳出数列 的通项公式，并用数学归纳法证明归纳出的结论．
【备注】先通过数列的递推公式写出具体的前几项，猜测出通项公式，再利用数学归纳法对通项公
式进行证明.
【答案】（ 1 ） ， ， ．
（ 2 ）见解析．
【解析】（ 1 ）由 且 ，
∴ ， ， ．
（ 2 ）猜想数列 的通项公式为 ，
证明如下：①当 时， ，猜想成立；
②假设当 时，猜想成立，即有 ，
那么当 时，
，
∴当 时，猜想也成立．
由①②可知，猜想对任意的 都成立．
【标注】【知识点】数学归纳法
4. 已知数列 ， ， ， ， ， ，其前 项和为 ．
（ 1 ）计算 ， ， ．
（ 2 ）猜想 的表达式，并给出证明．
3
【备注】先通过数列通项公式算出 ，猜测出前 项和的表达式，再利用数学归纳法对其进行
证明.难点在于观察 从而得到前 项和的表达式.
【答案】（ 1 ） ； ； ．
（ 2 ）猜想 ，证明见解析．
【解析】（ 1 ） ；
；
．
（ 2 ）∵ ； ；
； ．
可以看出，上面表示四个结果的分数中，分子与项数 一致，
分母可用项数 表示为 ．
于是猜想 ．
证明过程如下：
①当 时，左边 ，
右边 ，猜想成立．
②假设 时，猜想成立，
即， ，
∴
．
∴当 时，猜想也成立．
根据①和②，可知猜想对任何 时都成立．
【标注】【知识点】数学归纳法；裂项相消法求和
巩固练习
1. 用数学归纳法证明不等式“ ”时的过程中，由 到
时，不等式的左边（ ）．
4
A. 增加了一项
B. 增加了两项
C. 增加了两项 ，又减少了一项
D. 增加了一项 ，又减少了一项
【答案】C
【解析】 时，左边= ，
时，左边
故选 ．
【标注】【素养】数学运算
【知识点】数学归纳法
2. 已知数列 满足 ， ．
（ 1 ）计算 ， ， ， 的值．
（ 2 ）根据以上计算结果猜想 的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想．
【答案】（ 1 ） ， ， ， ．
（ 2 ） ．
【解析】（ 1 ）由数列 满足 ，和 得：
， ，
， ．
（ 2 ）由以上结果猜测： ，
用数学归纳法证明如下：
（ ）当 时， ，猜测成立；
（ ）假设当 时，命题成立，即 成立，
5
那么，当 时， ，
这就是说，当 时等式也成立．
由（ ）（ ）可知，猜测 对任意正整数 都成立．
【标注】【知识点】数学归纳法
3. 在数列 中， ， （ ， ）．
（ 1 ）求 ， ， ．
（ 2 ）猜想 的表达式，并用数学归纳法证明你的猜想．
【答案】（ 1 ） ， ， ．
（ 2 ）证明见解析．
【解析】（ 1 ）当 时， ，
∴ ，
∴ ， ， ．
（ 2 ）猜想 ，（ ）．
证明：①当 时， ，猜想成立；
②假设 （ ）时猜想成立，即 ，
那么 时， ，
即当 时，猜想成立．
由①②可知，对任意正整数 ，猜想都成立．
【标注】【方法】数学归纳法
【知识点】数学归纳法
4. 设数列 满足 ，其前 项和为 ，满足 ．
（ 1 ）求 ， ， ， 的值．
（ 2 ）猜想 的表达式，并用数学归纳法证明．
6
【答案】（ 1 ） ， ， ， ．
（ 2 ） ，证明见解析．
【解析】（ 1 ）∵ ，
∴ ， ，
．
（ 2 ）猜想： ．
假设当 时成立，即 ，
当 时， 对 时成
立．
综上可得对任意 都成立，猜想正确．
【标注】【知识点】归纳推理；数学归纳法
2. 用数学归纳法证明恒等式
应注意的问题
（1）明确初始值 的取值并验证 时等式成立；
（2）由 证明 时，弄清左边增加的项，且明确变形目标.
【备注】注意：证明恒等式变形常用的方法：①因式分解；②添拆项；③配方法.
经典例题
证明等式： ．
7
【备注】本题考查利用数学归纳法证明代数恒等式问题；按照求解步骤求解即可
【答案】见解析．
【解析】证明：
时， ，
．
此时命题成立；
假设 ， 时等式成立，即 ,
则 , 时,
+
,
则 时，命题也成立,
综合可得命题对任意 成立．
【标注】【知识点】数学归纳法
巩固练习
8
证明： ．
【答案】证明见解析．
【解析】①当 时，左边 ，右边 ，左边 右边，
∴当 时，等式成立．
②假设当 时等式成立，即
．
则当 时，
左边 ，
利用归纳假设知
右边
我们的目的是证明上式等于右边= ，
∴左边 ，
而 ，
∴左边= ．
∴当 时，等式也成立．
由①②可知对一切 ，等式都成立．
【标注】【方法】数学归纳法
【素养】逻辑推理
【素养】数学运算
【知识点】数学归纳法
3. 用数学归纳法证明不等式
应注意的问题
（1）当遇到正整数 有关的不等式证明时，应用其他办法不容易证，则可考虑应用数学归纳法；
（2）用数学归纳法证明不等式的关键是由 成立，推证 时也成立；
9
（3）用数学归纳法证明不等式，推导 的结论时，证明不等式的常用方法有比较法、分析法、
综合法及放缩法等，要灵活运用.
经典例题
1. 若 ，求证： ．
【备注】注意在证明不等式中，同样可以将“ 时等号成立”这个假设带入到下一步计算中.并且通
过合并计算可证得不等式.
【答案】证明见解析．
【解析】当 时，有 ，不等式成立；
若当 时，不等式成立，即 ，
则对 ，左边 ，
，
故 时不等式也成立．
由数学归纳法知，对一切 ，有不等式成立．
【标注】【知识点】数学归纳法；归纳推理
2. 观察下列式子： ， ， ，
（ 1 ）由此猜想一个一般性的结论．
（ 2 ）用数学归纳法证明你的结论．
【备注】本题根据题中的条件，先猜想再利用数学归纳法证明即可；本题最后采用放缩法进行了证
10
明
【答案】（ 1 ） ．
（ 2 ）证明见解析．
【解析】（ 1 ）由已知条件可猜想为：
．
（ 2 ）①当 时，左边为 ，成立．
②假设当 时，成立，即 ，
∴当 时，
左边
右边．
∴ 对于任意 成立．
【标注】【知识点】数学归纳法
巩固练习
1. 求证： ．
【答案】证明见解析．
【解析】当 时，左边 右边，命题成立．
假设当 时，命题成立．
则当 时，
左边
11
．
证毕．
【标注】【知识点】数学归纳法
2. 用数学归纳法证明： ．
【答案】证明见解析．
【解析】（ ）当 时，左边 ，
不等式成立．
（ ）当假设当 时，有 成立．
则当 时，
，
所以当 时，不等式也成立，
由（ ），（ ）知，原不等式对一切 ， 均成立．
【标注】【知识点】数学归纳法
二、 数列的单调性
（1）数列的单调性的判断
①根据定义判断
12
若 ，则 是单调递增数列；
若 ，则 是单调递减数列；
若 ，则 是常数列.
②作差法
若 ，则 是单调递增数列；
若 ，则 是单调递减数列；
若 ，则 是常数列.
③作商法
若 或 ，则 是单调递增数列；
若 或 ，则 是单调递减数列；
若 ，则 是常数列.
（2）数列的单调性的应用
利用数列的单调性可以求数列中的最大（小）值问题，常用方法有：
①利用当 时， 是数列中的最大项；当 时， 是数列中的最小项
来求数列的最值.
②首先构造函数，然后通过作差、作商等方法来确定数列的单调性，进一步求出数列中的最值问题.
数列的单调性的解题思路：
①利用数列的单调性来比较相邻项之间的大小关系，从而求解；
②利用数列的函数性质来找出与单调性相关的解题方法．
经典例题
1. 数列 的通项公式 ，则（ ）．
A. 是递增数列 B. 是递减数列
C. 先增后减，有最大值 D. 先减后增，有最小值
【备注】本题考查利用数列的函数性质判断数列的单调性，可把题目中数列的通项公式看作二次函
数.
【答案】C
【解析】易知 是关于 的二次函数，其图象开口向下，对称轴方程为 ，故 先增后减，有
最大值．
故选 ．
13
【标注】【知识点】数列单调性问题
2. 若 （其中 为实数）， ，且数列 为单调递增数列，则实数 的取值范围
是 ．
【备注】本题属于数列单调性的应用，已知数列单调性，求参数的范围，可利用 求解.
【答案】
【解析】方法一：（函数观点）因为 为单调递增数列，所以 ，
即 ，
化简为 对一切 都成立，
所以 ．
故实数 的取值范围是 ．
方法二：（数形结合法）因为 为单调递增数列，所以 ，要保证 成立，二次函数
的对称轴 应位于 和 中点的左侧，即 ，亦即 ，
故实数 的取值范围是 ．
【标注】【知识点】数列单调性问题
3. 在数列 中， ．
（ 1 ）讨论数列 的单调性．
（ 2 ）求数列 的最大项．
【备注】本题考查数列单调性及最大（小）项的综合，需要先判断增减性，利用作商法可判断.
【答案】（ 1 ）数列 从第 项到底 项单调递增，从第 项起单调递减．
（ 2 ） ．
【解析】（ 1 ）由题意，知 ，
令 ，
14
即 ,
解得 ，即 ，
令 ，即 ，
整理得 ，解得 ，
即 ，
又 ，
所以数列 从第 项到底 项单调递增，从第 项起单调递减．
（ 2 ）由（ ）知 最大．
【标注】【知识点】数列中最大项与最小项的求解问题；数列单调性问题
4. 已知数列 满足 ．若 是递增数列，则实数 的取值范围是（
）．
A. B. C. D.
【备注】本题由于是单调递增数列，需要考虑两个方面：首先每一段是递增的，其次大于 部分比小
于 部分大
【答案】B
【解析】∵ ，且 是递增数列，
∴ ，
∴ ，
解得 ，
则实数 的取值范围是 ．
故选 ．
【标注】【知识点】数列单调性问题
巩固练习
1. 已知数列 中， ， ，且 是递增数列，则实数 的取值范围为 ．
15
【答案】
【解析】方法一：∵ 是递增数列，∴对任意的 ，有 ，即
，令 ，则 ，又∵当 时，
，∴ ．
方法二： ，则其图像为抛物线上离散的点．又∵ 是递增数列，∴
只要对称轴小于 ，即 ．
【标注】【知识点】数列单调性问题
【思想】函数思想
【素养】数学运算
2. 设 ， ，若 是单调递减数列，则 的取值范围是 ．
【答案】
【解析】∵数列 是减数列，∴ 恒成立，
∴ 对 恒成立．
当 时，显然不满足题意．当 时， ，即 ．
∵ ，∴ ．综上， 的取值范围是 ．
【标注】【思想】函数思想
【知识点】数列单调性问题
【素养】数学运算
3. 已知数列 中， ， ，数列 满足 ．
（ 1 ）求证：数列 是等差数列．
（ 2 ）求数列 中的最大项和最小项，并说明理由．
【答案】（ 1 ）证明见解析．
16
（ 2 ）最小为 ，最大为 ．
【解析】（ 1 ） 时，
，
又 ，
∴ 是以 为首项， 为公差的等差数列．
∴ ．
（ 2 ） ，
当 时 ，当 时 ，
又
故 时， ， 时 ，
∴ 在 ， 时均为单调递减，
∴ ， ．
【标注】【知识点】数列中最大项与最小项的求解问题
三、 奇偶项分段数列问题
为奇数
若数列 的通项公式形如 ，则称数列 为奇偶项的分段数列．
为偶数
对于数列 的前 项和 来说：
①当 为偶数时，则 中有 个数对，每一个数对由相邻的一个奇数项和偶数项组成，此时的
，其中 为前 个奇数项的和， 为前 个偶数项的和；
②当 为奇数时，则 中有 个奇数项，有 个偶数项，此时的 ，其中
为前 个奇数项的和， 为前 个偶数项的和.
对于奇偶分段数列的解题技巧，可以参考下面的几种思路：
①根据分段数列，逐项代入求解；
②分清项数，根据奇偶进行分组求解；
③重新组合，构造新数列求解．
经典例题
1. 在数列 中， ， ，求数列 的通项公式．
17
【备注】本题是已知数列的递推公式，求数列通项的问题，但所求通项公式为奇偶项分段数列，要
注意其书写格式
【答案】 为奇数．
为偶数
【解析】∵ ， ，
∴当 时， ，
当 时，
∵ ，①
∴ ，②
①②两式相比，得 ，
∵ ， ，
∴数列 的奇数项是首项为 公比为 的等比数列，偶数项是首项为 ，公比为 的等比数列，
∴ 为奇数．
为偶数
【标注】【知识点】分段数列问题；通项公式；递推数列与递推方法；等比数列的判定与证明
2. 为奇数已知数列 满足 ，若 ，
为偶数
则 的取值范围是（ ）．
A. B. C. D.
【备注】本题需要根据题中所给的递推关系构造数列 为等比数列
18
表示出 从而求解即可
【答案】B
【解析】由递推关系可知 ， ，
所以 ，即 ，
可求 ，
所以 ，
因为 ，
∴ ，
解得 ．
故选 ．
【标注】【知识点】分段数列问题
3. 已知数列 的通项公式为 为奇数，则数列 前 项和 的值为 ．
为偶数
【备注】本题在求解奇数项和时要注意，它用到了前面所学的裂项相消法求和
【答案】
【解析】方法一：由题意得， ．
故
．
方法二：由 为奇数得 ，
为偶数
．
则
．
【标注】【知识点】分段数列问题
4. 已知数列 的通项公式为 为奇数为偶数 ，求数列 的前 项和 ．
19
【备注】本题考查在不确定项数 的情况下，求解数列前 项和的题型，要注意 需要分为奇数和偶数
进行讨论
【答案】 为偶数
．
为奇数
【解析】由数列的通项公式知，数列的奇数项构成等差数列，其首项为 ，公差为 ；而偶数项构
成等比数列，其首项为 ，公比为 ．
当 为偶数时，
．
当 为奇数时，
．
为偶数
故数列 的前 项和为 ．
为奇数
【标注】【知识点】分组法求和
5. 已知数列 中， ， ， ．
（ 1 ）求数列 的通项公式．
（ 2 ）求数列 的前 项和 ．
【备注】本题是上述知识点的综合考查，让学生感受此类题型的考法
【答案】（ 1 ） 为奇数 ．
为偶数
20
（ 2 ） ．
【解析】（ 1 ）当 为奇数时， ,
∴ ,
∴ ,
,
,
．
将上述 个式子相加，得 ，
即 ．
当 为偶数时， ，
∴ ，
∴ ，
，
，
，
将上述 个式子相乘，得 ，
∴ ，
∴ 为奇数 ．
为偶数
（ 2 ） ，
∴
∴ ．
【标注】【知识点】分组法求和；利用累乘法求数列通项公式问题；利用累加法求数列通项公式
问题
巩固练习
1. 已知数列 中， 为正偶数为正奇数 ，设 的前 项的和为 ，则 ．
21
【答案】
【解析】 ， ， ， ， ，
则
．
故答案为： ．
【标注】【素养】数学运算
【知识点】分段数列问题
2. 已知数列 的首项 ，若 ， ，则 ．
【答案】 为正奇数
为正偶数
【解析】∵ ，且对 ， ，
∴ ， ，且 ，∴ ，
∴ ，因此 为正奇数
为正偶数
【标注】【知识点】分段数列问题
3. 已知函数 ， 为奇数 且 ，则 等于（ ）．
， 为偶数
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题意，
．
【标注】【知识点】并项求和
4. 已知等差数列 的前 项和为 ， 为等比数列，满足 ， ， ，
．
（ 1 ）求数列 和 的通项公式．
（ 2 ）求 为奇数，设数列 的前 项和为 ，求 ．
为偶数
22
【答案】（ 1 ） ， ，
， ．
（ 2 ） ， ．
【解析】（ 1 ）设数列 的公差为 ，
数列 的公比为 ，
由题意得 ，
解得 ，
∴ ， ，
， ．
（ 2 ）由 ， 得 ，
∴ 为奇，
为偶
∴
∴ ， ．
【标注】【知识点】等比数列求通项问题；裂项相消法求和；并项求和；等差数列求通项问题
四、 含绝对值的等差数列求和问题
若一个等差数列既有正数又有负数，当其每一项均取绝对值后则不再是等差数列，但是这个新数列的前
项和仍然可以根据原等差数列的求和公式通过变形给出.
含绝对值的等差数列求和的步骤：
①令 ，求出 的范围（将原数列的正负项分开）；
②用原等差数列的前 项和，将新数列的前 项和表示出来（根据上述 的范围分段表示）；
23
③求出原等差数列的前 项和，并求出前面所有正项（原数列先正后负）或所有负项（原数列先负后
正）的和；
④利用所求出的数值，求出新数列的前 项和．
经典例题
1. 数列 中， ， ，且满足 ．
（ 1 ）求数列的通项公式；
（ 2 ）设 ，求 ．
【备注】这种题型中心思想：去绝对值.所以需要先求出数列的通项，先求出哪些项是负的，去绝对
值变号即可.
【答案】（ 1 ） ．
（ 2 ）
【解析】（ 1 ）∵ ，
∴ ，
∴ 是以 为首项的等差数列，
设 ，则 ，
∴ ，
∴ ．
（ 2 ）∵ ，令 ，得 ，
当 时， ；当 时， ；
当 时， ，
设数列 的前 项和为 ，则 ，
∴当 时，
；
当 时， ，
24
∴
【标注】【知识点】绝对值型数列求和
2. 在公差是整数的等差数列 中， ，且前 项和 ．
（ 1 ）求数列 的通项公式 ．
（ 2 ）令 ，求数列 的前 项和 ．
【备注】本题做题思路与上题一样，先找到是负数的项，分段求和即可；注意求非负数的项的和
时，减去 倍的负数项的和
【答案】（ 1 ） ．
（ 2 ） ．
【解析】（ 1 ）设公差为的 ，（ ）．
由 ， 等价于 ，
即 ，
解得 ，
又 ，
则 ，
故： ．
（ 2 ）由题意令 ，可知，
① 时， ，
．
② 时， ， ．
所以， ．
【标注】【知识点】绝对值型数列求和
巩固练习
25
1. 已知等差数列 的前三项的和为 ，前三项的积为 ．
（ 1 ）求等差数列 的通项公式．
（ 2 ）若 为递增数列，求数列 的前 项和 ．
【答案】（ 1 ） 或 ．
（ 2 ） ．
【解析】（ 1 ）设公差为 ，则依题意得 ，则 ， ，
所以 ，得 ， ，
所以 或 ．
（ 2 ）由题意得 ，所以 ，
① 时， ；
② 时，
．
综上，数列 的前 项和 ．
【标注】【知识点】绝对值型数列求和
2. 数列 是公差 的等差数列，且 ， ．
（ 1 ）求 的通项公式．
（ 2 ）求数列 的前 项和 ．
【答案】（ 1 ） ．
26
（ 2 ）
．
【解析】（ 1 ）由题意得 是 的等差数列， ， ，
∵ ， ，
∴ ，
解得 ，
∴ ．
（ 2 ）设 的前 项和为 ，
当 时，即 ， ，
∴当 时， ，
当 时， ， ，
∴ ，
即 ．
【标注】【知识点】绝对值型数列求和
思维导图
你学会了吗？画出思维导图总结本课所学吧！
【备注】
27
出门测
1. ，若数列 满足 ，且 ，则 （ ）．
，
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】∵ ，
，
∴ ， ， ， ， ，
∴数列 的周期为 ，
∴ ．
故选 ．
【标注】【素养】数学运算；逻辑推理
28
【知识点】分段数列问题；数列的周期性问题
2. 数列 满足 （ ）．
（ 1 ）计算 ， ， ， 并由此猜想通项 的表达式；
（ 2 ）用数学归纳法证明（1）中的猜想．
【答案】（ 1 ） （ ）．
（ 2 ）证明见解析．
【解析】（ 1 ） ， ， ， ，由此猜想 （ ）．
（ 2 ）当 时， ，结论成立．
假设 （ ）时，结论成立，即 ，
那么 （ ）时，
∴ ，
这表明 时，结论成立．
根据（1）和（2），可知猜想对任何 都成立．
∴ ．
【标注】【知识点】数学归纳法；观察数列的项求通项公式
29数学归纳法与数列综合
一、 数学归纳法
1. 定义与步骤
数学归纳法定义
一般地，证明一个正整数 有关的命题，可按下列步骤进行：
（1）（归纳奠基）证明当 时命题成立；
（2）（归纳递推）以 时命题成立”为条件，推出“当 时命题
也成立”.
只要完成这两个步骤，就可以断定命题从 开始的所有正整数 都成立，这种证明方法称为数学归纳法.
对数学归纳法两个步骤的认识
（1）数学归纳法的原理表明：第一个步骤是要找一个数 ，这个数 就是要证明的命题对象的最小自
然数，这个自然数并不一定都是“ ”；
（2）数学归纳法的实质在于递推，所以从“ ”到“ ”的过程中，必须把归纳假设“ ”作为条件来
导出“ ”时的命题，在推导过程中，归纳假设至少要用一次.
经典例题
1. 用数学归纳法证明
，
则从 到 时，左边所要添加的项是（ ）．
A. B. C. D.
2. 用数学归纳法证明： 时，第二步证明由“ 到
”时，左端增加的项数是（ ）．
A. B. C. D.
3. 在数列 中， 且 ．
（ 1 ）求出 ， ， ．
（ 2 ）归纳出数列 的通项公式，并用数学归纳法证明归纳出的结论．
1
4. 已知数列 ， ， ， ， ， ，其前 项和为 ．
（ 1 ）计算 ， ， ．
（ 2 ）猜想 的表达式，并给出证明．
巩固练习
1. 用数学归纳法证明不等式“ ”时的过程中，由 到
时，不等式的左边（ ）．
A. 增加了一项
B. 增加了两项
C. 增加了两项 ，又减少了一项
D. 增加了一项 ，又减少了一项
2. 已知数列 满足 ， ．
（ 1 ）计算 ， ， ， 的值．
（ 2 ）根据以上计算结果猜想 的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想．
3. 在数列 中， ， （ ， ）．
2
（ 1 ）求 ， ， ．
（ 2 ）猜想 的表达式，并用数学归纳法证明你的猜想．
4. 设数列 满足 ，其前 项和为 ，满足 ．
（ 1 ）求 ， ， ， 的值．
（ 2 ）猜想 的表达式，并用数学归纳法证明．
2. 用数学归纳法证明恒等式
应注意的问题
（1）明确初始值 的取值并验证 时等式成立；
（2）由 证明 时，弄清左边增加的项，且明确变形目标.
经典例题
证明等式： ．
巩固练习
证明： ．
3
3. 用数学归纳法证明不等式
应注意的问题
（1）当遇到正整数 有关的不等式证明时，应用其他办法不容易证，则可考虑应用数学归纳法；
（2）用数学归纳法证明不等式的关键是由 成立，推证 时也成立；
（3）用数学归纳法证明不等式，推导 的结论时，证明不等式的常用方法有比较法、分析法、
综合法及放缩法等，要灵活运用.
经典例题
1. 若 ，求证： ．
2. 观察下列式子： ， ， ，
（ 1 ）由此猜想一个一般性的结论．
（ 2 ）用数学归纳法证明你的结论．
巩固练习
1. 求证： ．
4
2. 用数学归纳法证明： ．
二、 数列的单调性
（1）数列的单调性的判断
①根据定义判断
若 ，则 是单调递增数列；
若 ，则 是单调递减数列；
若 ，则 是常数列.
②作差法
若 ，则 是单调递增数列；
若 ，则 是单调递减数列；
若 ，则 是常数列.
③作商法
若 或 ，则 是单调递增数列；
若 或 ，则 是单调递减数列；
若 ，则 是常数列.
（2）数列的单调性的应用
利用数列的单调性可以求数列中的最大（小）值问题，常用方法有：
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①利用当 时， 是数列中的最大项；当 时， 是数列中
的最小项来求数列的最值.
②首先构造函数，然后通过作差、作商等方法来确定数列的单调性，进一步求出数列中的最值问题.
数列的单调性的解题思路：
①利用数列的单调性来比较相邻项之间的大小关系，从而求解；
②利用数列的函数性质来找出与单调性相关的解题方法．
经典例题
1. 数列 的通项公式 ，则（ ）．
A. 是递增数列 B. 是递减数列
C. 先增后减，有最大值 D. 先减后增，有最小值
2. 若 （其中 为实数）， ，且数列 为单调递增数列，则实数 的取值范围
是 ．
3. 在数列 中， ．
（ 1 ）讨论数列 的单调性．
（ 2 ）求数列 的最大项．
4. 已知数列 满足 ．若 是递增数列，则实数 的取值范
围是（ ）．
A. B. C. D.
巩固练习
1. 已知数列 中， ， ，且 是递增数列，则实数 的取值范围为 ．
2. 设 ， ，若 是单调递减数列，则 的取值范围是 ．
3.
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已知数列 中， ， ，数列 满足
．
（ 1 ）求证：数列 是等差数列．
（ 2 ）求数列 中的最大项和最小项，并说明理由．
三、 奇偶项分段数列问题
为奇数
若数列 的通项公式形如 ，则称数列 为奇偶项的分段数列．
为偶数
对于数列 的前 项和 来说：
①当 为偶数时，则 中有 个数对，每一个数对由相邻的一个奇数项和偶数项组成，此时的
，其中 为前 个奇数项的和， 为前 个偶数项的和；
②当 为奇数时，则 中有 个奇数项，有 个偶数项，此时的 ，其
中 为前 个奇数项的和， 为前 个偶数项的和.
对于奇偶分段数列的解题技巧，可以参考下面的几种思路：
①根据分段数列，逐项代入求解；
②分清项数，根据奇偶进行分组求解；
③重新组合，构造新数列求解．
经典例题
1. 在数列 中， ， ，求数列 的通项公式．
为奇数
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2. 为奇数
已知数列 满足 ，若 ，
为偶数
则 的取值范围是（ ）．
A. B. C. D.
3. 为奇数
已知数列 的通项公式为 ，则数列 前 项和 的值
为偶数
为 ．
4. 已知数列 的通项公式为 为奇数为偶数 ，求数列 的前 项和 ．
5. 已知数列 中， ， ， ．
（ 1 ）求数列 的通项公式．
（ 2 ）求数列 的前 项和 ．
巩固练习
1. 为正偶数已知数列 中， 为正奇数 ，设 的前 项的和为 ，则 ．
2. 已知数列 的首项 ，若 ， ，则 ．
3. ， 为奇数已知函数 且 ，则 等于（
， 为偶数
）．
A. B. C. D.
4.
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已知等差数列 的前 项和为 ， 为等比数列，满足 ， ， ，
．
（ 1 ）求数列 和 的通项公式．
（ 2 ） 为奇数
求 ，设数列 的前 项和为 ，求 ．
为偶数
四、 含绝对值的等差数列求和问题
若一个等差数列既有正数又有负数，当其每一项均取绝对值后则不再是等差数列，但是这个新数列的前
项和仍然可以根据原等差数列的求和公式通过变形给出.
含绝对值的等差数列求和的步骤：
①令 ，求出 的范围（将原数列的正负项分开）；
②用原等差数列的前 项和，将新数列的前 项和表示出来（根据上述 的范围分段表示）；
③求出原等差数列的前 项和，并求出前面所有正项（原数列先正后负）或所有负项（原数列先负后
正）的和；
④利用所求出的数值，求出新数列的前 项和．
经典例题
1. 数列 中， ， ，且满足 ．
（ 1 ）求数列的通项公式；
（ 2 ）设 ，求 ．
2. 在公差是整数的等差数列 中， ，且前 项和 ．
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（ 1 ）求数列 的通项公式 ．
（ 2 ）令 ，求数列 的前 项和 ．
巩固练习
1. 已知等差数列 的前三项的和为 ，前三项的积为 ．
（ 1 ）求等差数列 的通项公式．
（ 2 ）若 为递增数列，求数列 的前 项和 ．
2. 数列 是公差 的等差数列，且 ， ．
（ 1 ）求 的通项公式．
（ 2 ）求数列 的前 项和 ．
思维导图
你学会了吗？画出思维导图总结本课所学吧！
出门测
1. ，若数列 满足 ，且 ，则 （ ）．
，
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A. B. C. D.
2. 数列 满足 （ ）．
（ 1 ）计算 ， ， ， 并由此猜想通项 的表达式；
（ 2 ）用数学归纳法证明（1）中的猜想．
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