双曲线
一、 双曲线的定义
1. 已知点 ， ，动点 满足 ，则点 的轨迹是（ ）．
A. 椭圆 B. 双曲线 C. 双曲线的一支 D. 线段
【答案】C
【解析】根据题意，点 ， ，则 ，
若动点 满足 ，
且 ， ，
则 的轨迹是以 、 为焦点双曲线的右支，
故选： ．
【标注】【知识点】求点的轨迹；双曲线的定义
2. 已知 是双曲线 的左焦点， ， 是双曲线右支上的动点，则 的最
小值为 ．
【答案】
【解析】如图所示，设双曲线的右焦点为 ，
y
x
O
则点 的坐标为 且 ，
所以 ，
所以当 ， ， 三点共线时， 有最小值，
为 ，
1
所以 的最小值为 ．
故填 ．
【标注】【知识点】利用双曲线定义求线段最值
3. 已知 是双曲线 的右焦点， 是 的左支上一点， ．当 周长最小
时，则 点纵坐标为 ．
【答案】
【解析】设双曲线的右焦点为 ，
由双曲线 可得 ， ， ，
即有 ， ，
的周长为 ，
由双曲线的定义可得 ，
即有 ，
当 在左支上运动到 ， ， 共线时， 取得最小值 ，
则有 周长取得最小值，
直线 的方程为 ，
联立 ，得点 的纵坐标为 ．
【标注】【知识点】双曲线的定义
二、 标准方程
1. 方程 表示双曲线的充要条件是 ．
【答案】
【解析】方程 表示双曲线的充要条件： ，
解得 ，
故答案为 ．
2
【标注】【知识点】双曲线的定义
2. 已知方程 表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为 ，则 的取值范围
是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】∵双曲线两焦点间的距离为 ，
∴ ．
当焦点在 轴上时，
可得： ，解得： ，
∵方程 表示双曲线，
∴ ，可得： ，
解得： ．
即 的取值范围是： ．
当焦点在 轴上时，
可得： ，解得： ，
无解．
故选： ．
【标注】【知识点】双曲线的基本量求解
3. 设 为坐标原点，直线 与双曲线 ： 的两条渐近线分别交于 ，
两点，若 的面积为 ，则 的焦距的最小值为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】解：由题意可得双曲线的渐近线方程为 ，
将 ，代入可得 ，
即 ， ，
则 ，
，当且仅当 时取等号，
3
的焦距的最小值为 ，
故选： ．
【标注】【知识点】双曲线中其他最值问题
4. 在正方形 中， ， 点在正方形区域内（含边界），且满足 ，则
的最大值为 ．
【答案】
【解析】以 所在直线为 轴， 的中垂线为 轴，建立坐标系，
的 点的轨迹方程为 ，
，
设 ，则 ，
因为 ，
所以 ，
所以 的最大值为 ．
【标注】【知识点】数量积的最值问题
三、 一般方程
分别求出如下双曲线方程所对应的 和 ：
（ 2 ） ．
（ 3 ） ．
4
【答案】（ 1 ） ，
（ 2 ） ，
（ 3 ） ，
【解析】（ 1 ） ， ．
故答案为： ， ．
（ 2 ）原方程可化为 ，则 ， ．
故答案为： ， ．
（ 3 ）原方程可化为 ，则 ， ．
故答案为： ， ．
【标注】【知识点】双曲线的顶点与轴；双曲线的标准方程
四、 双曲线的性质
1. 当双曲线 的焦距取得最小值时，双曲线 的渐近线方程为
（ ）．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题意可得 ，
可得当 时，焦距 取得最小值，
双曲线的方程为 ，
即有渐近线方程为 ．
故选 ．
5
【标注】【知识点】求双曲线的渐近线
2. 已知 为双曲线 右支上的一个动点，若点 到直线 的距离大于 恒成立，则实
数 的取值范围是 ．
【答案】
【解析】∵双曲线为 ，
∴渐近线方程为 或 ，
易知直线 与直线 平行，设两平行线之间的距离为 ，
则 ，
若点 到直线 的距离大于 恒成立，
∴ 的最大值为 ，
∴ ．
【标注】【素养】数学运算；逻辑推理
【思想】数形结合思想
【知识点】双曲线的标准方程；两平行直线之间的距离
3. 双曲线 两渐近线互相垂直，则它的离心率为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】∵渐近线方程为 ，且两条渐近线互相垂直，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ．
故选 ．
【标注】【知识点】求双曲线的离心率
4. 已知 ， 为双曲线 的左，右顶点，点 在 上， 为等腰三角形，且顶角为 ，则 的
离心率为（ ）．
6
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】设双曲线方程为 ，不妨设点 在双曲线的右支上，如图所
示，
， ，过 作 轴于 ，
则 ， ， ，
所以 ．
将点 的坐标代入双曲线方程 ，
得 ，所以 ．
故选 ．
【标注】【知识点】求双曲线的离心率
5. 设 ，则曲线 的离心率的取值范围是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
，
∵ ，∴ ， ∴ ，
即得 ．
故选 ．
【标注】【素养】数学运算
【知识点】求双曲线的离心率
7
【知识点】双曲线的标准方程
6. 已知双曲线 的左、右焦点分别为 、 ，其一条渐近线方程为 ，点
在该双曲线上，则 （ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】双曲线 的渐近线方程为 ，
由题可得： ，即 ，
从而双曲线方程为 ，令 得 ，
∴ 或 ， ，
双曲线的焦点 ， ，
， ，
∴ ．
故选 ．
【标注】【知识点】双曲线中向量相关问题（小题）
7. 过双曲线 的右焦点且直于 轴的直线与双曲线交于 ， 两点，与双曲
线的渐近线交于 ， 两点，若 ，则双曲离心率的取值范围为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】当 时代入 得 ，
则 ， ，则 ，
将 代入 得 ，则 ， ，
则 ，
∴ ，
∴ ，即 ，
8
则 ，即 ，
则 ，则 ．
故选 ．
【标注】【知识点】直线和双曲线的位置关系
8. 已知 为双曲线 ： 的右焦点，过 作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足
为 ，线段 的中点 在双曲线上，则双曲线 的离心率为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】 ， ，
由 ，
解得 ，
∴ 的中点为 代入双曲线方程得： ，
∴ ．
故选 ．
【标注】【知识点】求双曲线的离心率；求双曲线的渐近线
9. 已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，若双曲线上存在点 使
，则其离心率的取值范围是（ ）．
A. B. C. D.
9
【答案】B
【解析】
双曲线的渐近线方程为 ，
由双曲线的性质可知，双曲线上存在点 使 ，
则 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故选： ．
【标注】【素养】逻辑推理；数学运算
【知识点】求双曲线的离心率范围
【特色题型】选择压轴
10. 设 ， 是双曲线 的左、右两个焦点，若双曲线右支上存在一点 ，
使 ( 为坐标原点)，且 ，则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解：取 的中点 ，则 ，
， ，
，
是 的中点 ，
，
10
，
，
，
，
，
，
故选：D．
【标注】【知识点】求双曲线的离心率
11. 已知双曲线 的一条渐近线方程为 ， ， 分别是双曲线
的左、右焦点，点 在双曲线上，且 ，则 （ ）．
A. B. C. D. 或
【答案】B
【解析】∵双曲线 的渐近线方程为 ，
∴ ， ， ，
根据双曲线的定义知 ，且 ，
∴ 或 ，
又右顶点到右焦点 的距离为 ，
∴ ，
∴ ．
故选 ．
【标注】【知识点】双曲线坐标的取值范围；双曲线的渐近线；双曲线的定义
11双曲线
一、 双曲线的定义
1. 已知点 ， ，动点 满足 ，则点 的轨迹是（ ）．
A. 椭圆 B. 双曲线 C. 双曲线的一支 D. 线段
2. 已知 是双曲线 的左焦点， ， 是双曲线右支上的动点，则 的最
小值为 ．
3. 已知 是双曲线 的右焦点， 是 的左支上一点， ．当 周长最小
时，则 点纵坐标为 ．
二、 标准方程
1. 方程 表示双曲线的充要条件是 ．
2. 已知方程 表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为 ，则 的取值范围
是（ ）．
A. B. C. D.
3. 设 为坐标原点，直线 与双曲线 ： 的两条渐近线分别交于 ，
两点，若 的面积为 ，则 的焦距的最小值为( )
A. B. C. D.
4. 在正方形 中， ， 点在正方形区域内（含边界），且满足 ，则
的最大值为 ．
三、 一般方程
分别求出如下双曲线方程所对应的 和 ：
（ 2 ） ．
（ 3 ） ．
1
四、 双曲线的性质
1. 当双曲线 的焦距取得最小值时，双曲线 的渐近线方程为
（ ）．
A. B. C. D.
2. 已知 为双曲线 右支上的一个动点，若点 到直线 的距离大于 恒成立，则实
数 的取值范围是 ．
3. 双曲线 两渐近线互相垂直，则它的离心率为（ ）．
A. B. C. D.
4. 已知 ， 为双曲线 的左，右顶点，点 在 上， 为等腰三角形，且顶角为 ，则 的
离心率为（ ）．
A. B. C. D.
5. 设 ，则曲线 的离心率的取值范围是（ ）．
A. B. C. D.
6. 已知双曲线 的左、右焦点分别为 、 ，其一条渐近线方程为 ，点
在该双曲线上，则 （ ）．
A. B. C. D.
7. 过双曲线 的右焦点且直于 轴的直线与双曲线交于 ， 两点，与双曲
线的渐近线交于 ， 两点，若 ，则双曲离心率的取值范围为（ ）．
A. B. C. D.
8. 已知 为双曲线 ： 的右焦点，过 作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足
为 ，线段 的中点 在双曲线上，则双曲线 的离心率为（ ）．
A. B. C. D.
2
9. 已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，若双曲线上存在点 使
，则其离心率的取值范围是（ ）．
A. B. C. D.
10. 设 ， 是双曲线 的左、右两个焦点，若双曲线右支上存在一点 ，
使 ( 为坐标原点)，且 ，则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
11. 已知双曲线 的一条渐近线方程为 ， ， 分别是双曲线
的左、右焦点，点 在双曲线上，且 ，则 （ ）．
A. B. C. D. 或
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