双曲线
学习目标
1．掌握双曲线的定义和双曲线的标准方程并会求解相关基本量．
2．掌握双曲线的性质并会解决相关数学问题．
3．掌握双曲线焦点三角形面积的计算方式及运用．
4．掌握双曲线的焦半径公式的使用方法．
【备注】1．本节重点是掌握双曲线的定义及标准方程（特别是 之间的关系），会将双曲线的一
般方程转化为标准方程，掌握双曲线的性质并会解决相关数学问题（特别是离心率相关问
题），掌握双曲线中有关焦点三角形与焦半径的求解技巧；难点是双曲线的性质、焦点三
角形与焦半径在解题过程中一些技巧的应用．
2．关联知识：椭圆、抛物线、直线与圆.
一、 双曲线及其方程
1. 双曲线的定义
双曲线的定义
平面内与两个定点 ， 的距离的差的绝对值等于常数（小于 且不等于零）的点的轨迹（或集
合） 叫做双曲线．
这两个定点叫做双曲线的 焦点 ，两焦点的距离叫做双曲线的 焦距 ．
双曲线定义的重要解读
（1）定义中的绝对值不能去掉，否则动点的轨迹为双曲线的一支；
（2）定义中“小于 ”这个条件不能去掉，因为：
①若“ ”，则点的轨迹是 射线 或 ；
②若“ ”，则点的轨迹 不存在 ；
③若“ ”,则点的轨迹就是 线段 的垂直平分线 .
经典例题
1. 已知平面中的两点 ， ，则满足 的点 的轨迹是（ ）．
A. 椭圆 B. 双曲线 C. 一条线段 D. 两条射线
1
【备注】本题考查双曲线的定义，注意与 比较
【答案】B
【解析】根据双曲线定义，点 的轨迹是以 ， 为焦点的双曲线 .
故选 ．
【标注】【知识点】求点的轨迹；双曲线的定义
2. 已知两定点 ， ，动点 满足 ，则当 和 时， 点的轨迹是（
）．
A. 双曲线和一条直线 B. 双曲线和一条射线
C. 双曲线的一支和一条射线 D. 双曲线的一支和一条直线
【备注】本题考查双曲线的定义及定义的重要解读
（1）定义中的绝对值不能去掉，否则动点的轨迹为双曲线的一支；
（2）若“ ”，则点的轨迹是射线 或 .
【答案】C
【解析】当 时， ，根据双曲线的定义，它表示双曲线的右支；
当 时， ， 、 、 三点共线，它表示以 为端点的射线．
【标注】【知识点】求点的轨迹
巩固练习
1. 平面内，一个动点 ，两个定点 ， ，若 为大于零的常数，则动点 的轨迹为（ ）．
A. 双曲线 B. 射线
C. 双曲线的一支或射线 D. 线段
【答案】C
【解析】根据双曲线定义，为 ，当 即 时，点 为双曲线上的点
又因为 所以点 为双曲线上一支的动点，当 时， 为一条射线．
【标注】【知识点】求点的轨迹；双曲线的定义
2. 两定点 、 的距离之差的绝对值等于 的点 的轨迹是 ．
2
【答案】双曲线
【标注】【素养】直观想象；逻辑推理；数学运算
【知识点】求点的轨迹；双曲线的定义
2. 双曲线的标准方程
双曲线的标准方程
①当焦点在 轴上时，双曲线的标准方程为：
，其中左焦点 ，右焦点 ，如图1．
图1 图2
②当焦点在 轴上时，双曲线的标准方程为：
，其中上焦点 ，下焦点 ，如图2．
之间满足的关系式为 ．
判断双曲线焦点位置的方法
①焦点在 轴上，则 项的系数为正；
②焦点在 轴上，则 项的系数为正.
经典例题
1. 双曲线 上一点 到一个焦点的距离为 ，则点 到另一个焦点的距离为（ ）．
A. B. C. D.
【备注】本题考查双曲线的定义及基本量；首先根据双曲线的标准方程找到 的值，再根据双曲线的
定义得到关系式 ，求解即可；
这里注意求带绝对值的方程将两边平方求解
【答案】A
【解析】由双曲线定义知，两焦点 与 到点 的距离之差的绝对值为 ，
3
即 ，
又因为 ，
故 ，
即 ，
故 或 （舍），
故选 ．
【标注】【知识点】双曲线的定义
2. 若曲线 表示双曲线，则 的取值范围是 ．
【备注】根据双曲线的标准方程， 与 的系数异号，列不等式可求解.
【答案】
【解析】∵曲线 表示双曲线，
∴ ，
∴ 的取值范围是 ．
【标注】【知识点】双曲线的标准方程
3. 已知 ， 是双曲线 的两个焦点，点 是双曲线上任意一点，若点 是 的重心，
则点 的轨迹方程为（ ）．
A. B.
C. D.
【备注】本题设出点 、点 的坐标，根据重心坐标公式，用点 的坐标表示点 ，再根据点 在双
曲线上，代入方程整理即可
【答案】C
【解析】依题意有点 , ，设点 ，
则 ，设点 ，根据重心坐标公式有 ，即 ，
代入双曲线方程并简化得 ．
故选 ．
【标注】【知识点】求曲线方程的问题
4
4. 表示的曲线方程为（ ）．
A. B.
C. D.
【备注】本题根据给的式子，表示动点 到 与 的距离之差的值等于 ,并且两个定点的距
离大于 ,可判断其为双曲线，又因为整体没有加绝对值，所以是双曲线的一支
【答案】C
【解析】根据几何意义，表示动点 到 与 的距离之差等于 （且两个定点的距离大于
）的集合，根据双曲线定义可知， ， ，所以 ，由焦点在 轴上，所以
，且到点 的距离比较大，所以 ，即曲线方程为 ．
故选 ．
【标注】【知识点】双曲线的定义；双曲线的标准方程
5. 若点 在双曲线 上，则 的最小值是 ．
【备注】本题根据双曲线方程将所求式子转化为关于 的函数，再根据二次函数的图象与性质求解最
小值即可
【答案】
【解析】点 在双曲线 上，故 ，
进而得到： ，
二次函数对称轴为 ，
结合二次函数图像及性质可知最小值为 时对应的值为 ．
故答案为： ．
【标注】【知识点】双曲线中其他最值问题
6. 设 为坐标原点，直线 与双曲线 ： 的两条渐近线分别交于 ， 两点，
若 的面积为 ，则双曲线 的焦距的最小值是（ ）．
A. B. C. D.
【备注】根据双曲线渐近线公式可求得 、 两点的坐标，表示出三角形面积，再根据 、 、 的关
系，利用均值不等式求最值即可
【答案】C
5
【解析】双曲线的渐近线为 ，
∴ ， ，
∵ 面积为 ，
∴ ，即 ，
∵ ，
∴ ．
注：当且仅当 时，等号成立，即双曲线焦距最小值为 ．
【标注】【知识点】双曲线中其他最值问题；双曲线的标准方程
7. 已知 是双曲线 的左焦点，定点 ， 是双曲线右支上的动点，则 的最小
值为（ ）．
A. B. C. D.
【备注】设双曲线的右焦点为 ,首先根据双曲线的定义将 转化为 ,再根据
三点共线时取得最小值求解即可
【答案】D
【解析】∵ 点在双曲线的两支之间，且双曲线右焦点为 ，
∴由双曲线定义可得， ，
而 ，
两式相加得 ，
当且仅当 、 、 三点共线时等号成立．
则 的最小值为 ．
故选 ．
【标注】【知识点】利用双曲线定义求线段最值
巩固练习
1. “ ”是“方程 表示双曲线”的（ ）．
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
6
【解析】方程 表示双曲线，
则 ，解得 或 ，
故“ ”是“方程 表示双曲线”的充分不必要条件，
故选 ．
【标注】【知识点】充要条件与解析几何结合；双曲线的标准方程
2. 平面内两个定点的距离为 ，则以两定点的中点为原点，两定点所在直线为坐标轴建立坐标系，到
这两个定点的距离之差的绝对值为 的点的轨迹方程为（ ）．
A. B.
C. 或 D. 或
【答案】C
【解析】由双曲线定义可知， ， ； ， ，注意坐标轴的不同建立．
【标注】【知识点】双曲线的定义；求曲线方程的问题
3. 设双曲线 的左右焦点分别为 ， ，过 的直线交双曲线左支于 ， 两点，则
的最小值等于 ．
【答案】
【解析】根据双曲线 ，得： ， ，
由双曲线的定义可得： ①，
②，
① ②可得： ，
∵过双曲线的左焦点 的直线交栓曲线的左支与 ， 两点，
∴ ，
当 是双曲线的通径时 最小，
∴ ，
．
故答案为： ．
【标注】【知识点】双曲线的标准方程
7
4. 已知双曲线 ．
（ 2 ） 为双曲线 右支上一动点， 点 的坐标是 ，求 的最小值 ．
【答案】（ 1 ）双曲线的标准方程为 或 ．
（ 2 ） ．
【解析】（ 1 ）由题可设所求双曲线的方程为 ，
①当 时， 方程为 ，
令 得 ，
即双曲线方程为 ，
②当 时， 方程为 ，
令 得 ，
即双曲线方程为 ，
双曲线的标准方程为 或 ．
（ 2 ）设 ，满足 ，
则
，
当 时， 有最小值 为 ．
【标注】【知识点】双曲线中其他最值问题；双曲线共渐近线问题
5. 已知双曲线 的左焦点为 ，点 为其右支上任意一点，点 的坐标为 ，则 周长
的最小值为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
8
【解析】 y
x
O
设双曲线右焦点为 ，
周长 ．
∵在双曲线中，
，
∴ ，
∴ 周长为 ，
∵ ， ．
∴ ，
∴ 周长最小，即 最小，
易知两点之间线段最短，
即 ，
∴ 周长最小为 ．
故选 ．
【标注】【知识点】利用双曲线定义求线段最值
6. 已知双曲线 的左顶点为 ，右焦点为 ， 为双曲线右支上一点，则 的最小值为
．
【答案】
【解析】根据题意，设 ，
易得 ， ，
故 ，
又 ，故 ，
于是 ，
当 时， 取到最小值 ．
【标注】【知识点】双曲线中其他最值问题
9
3. 双曲线的一般方程
双曲线的一般方程
当 时，方程 可以变形为 ，由此可以看出方程 表示双
曲线的充要条件是 且 异号 .
此时 为双曲线的一般方程.
双曲线一般方程的应用
当题目中给定的条件为双曲线上的两点坐标，但不确定双曲线的焦点位置的，求双曲线方程时，可以设
，将其化为标准方程，即为 .
因此，当 时，表示焦点在 轴上的双曲线；当 时，表示焦点在 轴上的双曲线.
经典例题
1. 根据下列条件，求双曲线的标准方程．
（ 1 ）过点 ， 且焦点在坐标轴上．
【备注】已知双曲线上两点求解标准方程，可以设双曲线的方程为 ，再代入两
点列方程组求解.
【答案】（ 1 ） ．
（ 2 ） ．
（ 3 ） ．
【解析】（ 1 ）设双曲线方程为 ．
∵ 、 两点在双曲线上，
∴ ，解得 ．
∴所求双曲线方程为 ．
（ 2 ）∵焦点在 轴上， ，
10
∴设所求双曲线方程为： （其中 ），
∵双曲线经过点 ，∴ ，
∴ 或 （舍去），
∴所求双曲线方程是 ．
（ 3 ）方法 ： 的焦点为 ，又点 在双曲线上，
故
，
∴ ， ， ，
又焦点在 轴上，
故所求的双曲线方程为 ．
方法 ：设所求双曲线方程为 ，
∵双曲线过点 ，
∴ ，
∴ 或 （舍去），
∴所求双曲线方程为 ．
【标注】【知识点】求曲线方程的问题；双曲线的定义；双曲线的标准方程
2. 双曲线 的一个焦点为 ，则 的值为 ．
【备注】本题考查双曲线的一般方程与标准方程的转化；
方程可化为 ，再根据 的关系求得 ，即可得到焦点坐标（要注意焦点所在的
轴）.
【答案】
【解析】由题意知焦点在 轴上，则 ，所以 ，解得 ．
【标注】【知识点】双曲线的标准方程
巩固练习
1. 根据下列条件，求双曲线的标准方程：
（ 3 ）过点 ， 且焦点在坐标轴上．
11
【答案】（ 1 ） ．
（ 2 ） ．
（ 3 ） ．
【解析】（ 1 ）当焦点在 轴上时，设所求双曲线的标准方程为 ，
把 代入，得 ，不符合题意；
当焦点在 轴上时，设所求双曲线的标准方程为 ，
把 代入，得 ．
∴所求双曲线的标准方程为 ．
（ 2 ）方法一：∵焦点相同，
∴设所求双曲线的标准方程为 ，
∴ ，即 ，①
∵双曲线经过点 ，
∴ ．②
由①②，解得 ， ，
∴双曲线的标准方程为 ．
方法二：设所求双曲线的方程为 ，
∵双曲线经过点 ，
∴ ，解得 或 （舍去），
∴双曲线的标准方程为 ．
（ 3 ）设双曲线的方程为 ，
∵点 ， 在双曲线上，∴
解得
∴双曲线的标准方程为 ．
【标注】【知识点】双曲线的定义；双曲线的标准方程；求曲线方程的问题
12
2. 双曲线 的一个焦点是 ，那么 ．
【答案】
【解析】由题意可知焦点在 轴上，且 ，根据 可求 ．
由双曲线方程 ，得 ，∴ ， ．
所以 ，解得 ．
【标注】【知识点】双曲线的标准方程
4. 知识总结
（一）双曲线的定义
平面内与两个定点 ， 的距离的差的绝对值等于常数（小于 且不等于零）的点的轨迹（或集
合） 叫做双曲线．
这两个定点叫做双曲线的 焦点 ，两焦点的距离叫做双曲线的 焦距 ．
（二）双曲线的标准方程
①当焦点在 轴上时，双曲线的标准方程为：
，其中左焦点 ，右焦点
②当焦点在 轴上时，双曲线的标准方程为：
，其中上焦点 ，下焦点 ，如图2．
之间满足的关系式为 ．
（三）双曲线的一般方程
当 时， 为双曲线的一般方程.
二、 双曲线的性质
1. 基本性质
（1）范围
由方程 可知，双曲线 上任意一点的坐标 都适合不等式
，即 ，解得 或 ．
因此双曲线 位于两条直线 和 所夹平面区域的外侧，如下图：
13
【备注】这里以焦点在 轴的标准方程 为例讲解.
如果焦点在 轴上，则图象位于 和 外侧， .
（2）对称性
双曲线 是 以 轴， 轴为对称轴的轴对称图形；也是以原点为对称中心的中心对称图形 ．这个对称中
心叫做双曲线的中心．
（3）顶点
如下图，双曲线与它的对称轴的两个交点叫做双曲线的顶点．
双曲线 的顶点是 和 ，这两个顶点是双曲线两支中相距最近的点．线段 叫做双曲
线的 实轴 ，它的长度等于 ．在 轴上作点 ， ，线段 叫做双曲线的 虚轴 ，它的
长度等于 .
相应地， 和 分别是双曲线的实半轴长和虚半轴长．
特别的，实轴和虚轴等长的双曲线叫做 等轴双曲线 ．
【备注】标准方程中，
令 ，可知双曲线 与 轴有两个交点，分别是 和 ．
令 ，得 ，这个方程没有实数根，说明双曲线 与 轴没有公共点．
（4）渐近线
焦点在 轴上的双曲线 的渐近线方程是 ；
14
焦点在 轴上的双曲线 的渐近线的方程是 ．
①共渐近线的双曲线方程的统一表示
与双曲线 具有相同渐近线的双曲线方程，可以统一设为 ，代
入条件求出 即可．
②由渐近线设双曲线方程的技巧
若双曲线的渐近线方程为 ，则可以设双曲线方程为 ，再利用已知条件求出
参数 即可．
【备注】下面研究双曲线与一对相交直线 的位置关系．
由于双曲线与 都是关于原点呈中心对称的，因此我们把注意力集中在第一象限即
可．
此时双曲线方程可等价变形为 ，
，这说明在第一象限内，双曲线 上的任意一点 总是位
于直线 的下方．
由此可见，此双曲线的右支向右上方无限延伸时，它总在直线 下方，且与直线
越来越接近，但不会相交（根据对称性，其它三个象限也有同样的状况），我们称
这种微妙的关系为“渐近”．
焦点在 轴上的双曲线 的渐近线方程是 ；
焦点在 轴上的双曲线 的渐近线的方程是 ．
（5）离心率
双曲线的焦距与实轴的比 ，叫做双曲线的离心率.
双曲线的离心率有如下的性质：
①由 可得 ；
②双曲线的离心率越大，它的开口就越 开阔 ．
【备注】（1）对于给定的双曲线来说， 已有若干个关系式，则四个参数中知道两个可求解另
外两个．
（2）关于求解离心率范围的问题，其实可以转化为确定 与 的比例问题，进而转化为研究
三个参数中任意二者的比例问题．
（3）由关系式 ．因此 越大， 也越大，
即渐近线 的斜率的绝对值越大，这时双曲线的形状就从扁狭变得开阔．最终结论
就是：双曲线的离心率越大，它的开口就越开阔．
【双曲线性质对比】在讲解完性质后，可为学生总结
15
标准方程
F2
A2
B2
图形 A1 A2
F1 O F2 B1 O B2
B1
A1
F1
范围
对称性 对称轴： 轴、 轴；对称中心：原点
顶点
线段 是双曲线的实轴，线段 是双曲线的虚轴．
轴
实轴长 ，虚轴长
渐近线 直线 直线
离心率
经典例题
1. 双曲线 ，当 变化时，以下说法正确的是（ ）．
A. 焦点坐标不变 B. 顶点坐标不变 C. 渐近线不变 D. 离心率不变
【备注】本题将方程转化为双曲线的标准方程，分别求解选项的内容，谁是定值谁就不变
【答案】C
【解析】双曲线 ，
当 时，双曲线焦点在 轴上，标准方程为： ，则
， ， ，
焦点坐标为： ，顶点坐标为：
，渐近线方程为： ，
离心率为： ；
当 时，双曲线焦点在 轴上，标准方程
为： ，则
， ， ，
焦点坐标为： ，顶点坐标为：
，渐近线方程为：
16
，离心率为： ，
则当 变化时只有渐近线方程不变，
综上所述．
故选 ．
【标注】【知识点】双曲线的标准方程；双曲线的顶点与轴；求双曲线的离心率；求双曲线的渐
近线
2. 在平面直角坐标系中，经过点 ，渐近线方程为 的双曲线的
标准方程为（ ）．
A. B. C. D.
【备注】本题求解应用方法一，利用由渐近线设双曲线方程的技巧
若双曲线的渐近线方程为 ，则可以设双曲线方程为 ，再利用已
知条件求出参数 即可．
【答案】B
【解析】方法一：由题意，得 ，
∴ ， ，
设双曲线的方程为 ，
将 代入，得 ，
∴双曲线方程为 ．
方法二：当焦点在 轴上时，
则：渐近线 ，
∴ ，
设： ，
代入 ，
得： ， ，
∴ ．
方法三：当焦点在 轴时，
则：渐近线 ，
∴ ，
∴设： ，
代入 ，
得： ，
17
∴
综上故选 ．
【标注】【知识点】已知双曲线的渐近线求其他参数；双曲线的标准方程
【素养】数学运算
【思想】方程思想
3. 双曲线 过点 ，且与双曲线 有共同的渐近线，则双曲线 的方程为 ．
【备注】本题考查与双曲线 具有相同渐近线的双曲线方程，可以统一设为
，代入点的坐标求出 即可．
【答案】
【解析】因为双曲线 与双曲线 有相同的渐近线，
所以设双曲线 的方程为 ，
又因为双曲线 过点 ，
所以 ，
解得 ，
所以 ，
所以双曲线 的方程为 ．
【标注】【知识点】双曲线共渐近线问题；双曲线的标准方程
4. 设 为坐标原点， ， 是双曲线 的焦点，若在双曲线上存在点 ，满足
， ，则该双曲线的渐近线方程为（ ）．
A. B. C. D.
【备注】本题根据双曲线的定义及余弦定理求解即可；
注：在双曲线上有时给角的度数，与余弦定理综合应用还是比较常见的，所以在此条件下
可思考是否可以应用余弦定理求解
【答案】D
【解析】由余弦定理得： ，
①，
②，
18
①+②得 ，
即 ，即 ，所以 ， ，故渐近线方程为 ．
【标注】【知识点】双曲线的渐近线
5. 设双曲线 的右焦点为 ，右顶点为 ，过 作 的垂线与双曲线交于 ， 两
点，过 ， 分别作 ， 的垂线交于点 ．若 到直线 的距离小于 ，则该双曲线的
渐近线斜率的取值范围是（ ）．
A. B.
C. D.
【备注】本题采用数形结合的思想，画出草图，根据 与 相似，可得到
【答案】A
【解析】方法一： ， 的坐标分别为 ，由图像的对称性知， 点在 轴上，则根据几何关
系有
，故 ，
，即 ， ，故渐近线斜率 ．
故选A．
方法二：如图所示，
由题意知 为双曲线的通径，所以 ，则 ．
又 ，因为 ， ，所以点 在 轴上．
由 ，得 ，即 ，
所以 ，则由题意知 ，即 ，
所以 ，即 ，即 ，
所以 ，解得 ，而双曲线的渐近线斜率为 ，
所以双曲线的渐近线斜率的取值范围是 ，
19
故选 ．
【标注】【知识点】求双曲线的渐近线
6. 在平面直角坐标系 中，若双曲线 （ ， ）的右焦点 到一条渐近线的距离
为 ，则其离心率的值是 ．
【备注】本题属于常考类型，求焦点到渐近线的距离，或者通过焦点到渐近线的距离求解其他问
题，本题考查求解离心率：找到双曲线的一条渐近线和双曲线的一个焦点再利用点到直线
的距离公式，写出表达式，根据 的关系以及离心率的求解方法，即可求得
结论：双曲线的一个焦点到渐近线的距离等于 （做小题可直接应用）
【答案】
【解析】双曲线的一条渐近线方程为 ，
则 到这条渐近线的距离为 ，
∴ ，
∴ ，
又 ，
∴ ，
∴ ．
【标注】【知识点】求双曲线的离心率
7. 已知椭圆， 与双曲线 有共同的焦点，且其中的一个焦点 到双曲线的两
条渐近线的距离之和为 ，则双曲线的离心率为（ ）．
A. B. C. D.
【备注】本题可直接应用双曲线的一个焦点到渐近线的距离等于 求解
【答案】A
【解析】∵椭圆 与双曲线 有共同的焦点，
∴ ，
∴双曲线的焦点坐标为 ， ，
设 ，
其渐近线方程为 ，
20
∵焦点 到双曲线的两条渐近线的距离之和为 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故选 ．
【标注】【知识点】求双曲线的离心率
8. 过点 的直线与双曲线 ： （ , ）的一条斜率为正值的渐近线平行,若双曲线
的右支上的点到直线的距离恒大于 ,则双曲线 的离心率的最大值是 ．
【备注】本题比较简单，应用点斜式表示出直线方程，再利用点到直线距离公式建立关系式，再利
用双曲线中 、 、 的关系代换、变形求解即可
【答案】
【解析】由双曲线 ： （ , ）的渐近线方程 ,
可得直线的方程为 ,即 ,
由双曲线 的右支上的点到直线的距离恒大于 ,
可得直线与 的距离恒大于等于 ,
即有 ,
化简可得 ,
,
即 ,即有 ,
可得离心率 ．
则离心率的最大值为 ．
故答案为： ．
【标注】【知识点】求双曲线的离心率范围
9. 双曲线 的焦点是 ， ，若双曲线 上存在点 ，使 是有一个内角为 的等腰三角形，则
的离心率是（ ）．
A. B. C. D.
21
【备注】本题同样画出草图，根据所给特殊角度，求得点 的坐标，再根据点 在双曲线上，代入方
程，根据双曲线中 、 、 的关系，代换变形求解即可
【答案】C
【解析】由题双曲线 的两焦点分别为 ， ，若在双曲线 上存在点 ，使 为顶角为
的等腰三角形，
∴可设等腰三角形的底为 ，等腰三角形的腰 ，
经过 的直线与双曲线的交点为 ，直线的斜率为 ，
∴ ，代入双曲线方程可得 ，
∴ ，
∴ ．
故选 ．
【标注】【知识点】求双曲线的离心率；双曲线的标准方程
10. 、 为双曲线 的左、右焦点，过 作 轴的垂线与双曲线交于 ， 两点，
，则 的离心率为（ ）．
A. B. C. D. 2
【备注】法一：在 中应用余弦定理求解；
法二：答案版，在直角 中，表示出角 的余弦值，再利用余弦的二倍角公式求解即
可
【答案】B
【解析】
22
由题意可知： ，
．
，
可得： ，
可得： ，
解得 或 （舍去）．
故选 ．
【标注】【知识点】求双曲线的离心率
11. 已知双曲线 的离心率为 ，右顶点为 ，以 为圆心 为半径作圆 ，
圆 与双曲线 的一条渐近线交于 、 两点，则有（ ）．
A. 渐近线方程为 B. 渐近线方程为
C. D.
【备注】本题比较难，是圆与双曲线的综合；（老师可根据学生的程度选择性讲解）
本题主要思路，利用离心率，表示出 、 ；再利用 、 、 的关系，求出 ，进而表示出渐近
线方程；再根据圆中弦长求解方法求解即可
【答案】BC
【解析】由题意可得 ，可设 ， ， ，
则 ， ，
圆 的圆心为 ，半径 为 ，
双曲线的渐近线方程为 ，即 ，
圆心 到渐近线的距离为 ，
23
弦长 ，
可得三角形 为等边三角形，
即有 ，
故选 ．
【标注】【知识点】双曲线的渐近线；直线和双曲线的位置关系；弦长求解问题
巩固练习
1. 已知双曲线 的右焦点为 ，过点 向双曲线的一条渐近线引垂线，垂足为
，交另一条渐近线于 ，若 ，则双曲线的渐近线方程为 ．
【答案】
【解析】不妨设点 在第一象限，
则直线 的方程为 ，直线 的方程为 ，
又 ，
所以 ．
如图，过点 、 分别向 轴作垂线交 轴于点 、 ，
则 ．
由题易知，点 到直线 的距离为 ，
则 ，
因为 ，
所以 ．
直线 的方程为 ，即 ，
24
与直线 的方程联立，得 ，
解得 ， ，
所以 ，
得 ， ，
化简得 ，即 ，
所以 ，
故双曲线的渐近线方程为 ．
【标注】【知识点】双曲线的渐近线
2. 已知双曲线 的左焦点为 ，离心率为 ，若经过 和 两点的直线平行
于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】设双曲线的左焦点 ，离心率 ， ，
则双曲线为等轴双曲线，即 ，
双曲线的渐近线方程为 ，
则经过 和 两点的直线的斜率 ，
则 ， ，则 ，
双曲线的标准方程为 ．
故选B．
【标注】【知识点】已知双曲线的渐近线求其他参数；双曲线的标准方程
3. 已知 ， 分别是双曲线 的左、右焦点，过 的直线与圆 相切且
分别交双曲线的左、右两支于 、 两点，若 ，则双曲线的渐近线方程为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
25
【解析】根据双曲线定义得 ，
在三角形 中，
，
又 与圆 相切，
所以 ，
因此 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，（舍负），
因为双曲线的渐近线方程为 ，
所以双曲线的渐近线方程为 ．
故选 ．
【标注】【知识点】求双曲线的渐近线
4. 设双曲线的一个焦点为 ，虚轴的一个端点为 ，如果直线 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此
双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】设双曲线方程为 ，则 ， ，
直线 与渐近线 垂直，
所以 ，即 ，得 ，
即 ，解得 或 (舍去)．
【标注】【知识点】求双曲线的离心率
26
5. 点 到双曲线 渐近线的距离为 ，则双曲线的离心率等于（ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】不妨取一条渐近线 ，一般式为 ，点 到渐近线的距离
，
∴ 即 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
故选 ．
【标注】【知识点】求双曲线的离心率
6. 已知双曲线 （ ， ）的左、右焦点分别为 ， ，点 在双曲线的右支上，且
，则此双曲线的离心率 的取值范围为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由点 在双曲线的右支上和双曲线的定义得 ，
又∵ ，
∴ ， ，
在 中，由 （三点共线可取等号），
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故选 ．
【标注】【知识点】求双曲线的离心率范围
27
7. 在平面直角坐标系中，以双曲线 右焦点为圆心，以实半轴 为半径的圆与其
渐近线相交，则双曲线的离心率的取值范围是 ．
【答案】
【解析】由题意圆与渐近线相交，即圆心到渐近线距离小于半径．
焦点 到渐近线 距离
，即 ，
又由 ．
故双曲线离心率范围为 ．
【标注】【素养】逻辑推理；数学运算
【知识点】求双曲线的离心率范围
2. 双曲线的焦点三角形
双曲线的焦点三角形面积公式
双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，点 为双曲线上任意一点， ，则
双曲线的焦点三角形的面积为 ．
【备注】推导过程
对于焦点 ,设
则
在 中，由余弦定理：
（
即：
①
又由于
②
28
所以 ．
焦点三角形中，常用的关系式有
① ；
② ；
③ ；
④ ．
经典例题
1. 已知 、 为双曲线 的左、右焦点，点 在 上， ，则 的面积为（
）．
A. B. C. D.
【备注】本题有两种解法
方法一：求出 ，利用 求解
方法二：求出 ，利用 求解
【答案】A
【解析】由双曲线方程 可得，
， ， ，
∴ ， ，
设 ， ，
由双曲线定义可知， ①，
在 中，由余弦定理可知，
②，
由①②得， ，
∴ ．
故选 ．
【标注】【知识点】双曲线的焦点三角形问题（小题）
2. 设 ， 分别是双曲线 的左、右焦点，点 在双曲线右支上且满足
，双曲线的渐近线方程为 ，则 ．
29
【备注】本题利用了 的变形求解相关角的余弦值
1.利用题干的条件，将 用 表示
2.在利用余弦定理即可得到结果
【答案】
【解析】由双曲线的定义可知： ，
又 ，
∴ ，
由双曲线的渐近线方程得， ， ，
∴ ， ，
由余弦定理，
．
【标注】【知识点】双曲线的标准方程；双曲线的焦点三角形问题（小题）；已知双曲线的渐近
线求其他参数
巩固练习
1. 设经过点 的等轴双曲线的焦点为 ， ，此双曲线上一点 满足 ，则 的面积
为 ．
【答案】
【解析】由题意，设双曲线的方程为 ，代入点 ，可得 ，
∴双曲线的方程为 ，
即 ，
设 ， ，由双曲线的定义可得 ①，
由 满足 ，可得 ，可得 ②，
∴② ① 可得 ，
∴ 的面积为 ．
故答案为： ．
【标注】【知识点】面积问题；双曲线的焦点三角形问题（小题）
30
2. 已知 、 为双曲线 ： 的左、右焦点，点 在 上， ，则 （
）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为 ，所以 ， ，
由题可知 ， ，
所以 ， ，
由余弦定理可知 ．
【标注】【知识点】双曲线的焦点三角形问题（小题）
3. 双曲线的焦半径
双曲线 的焦半径公式：( , )
当 在右支上时， , .
当 在左支上时， ,
【备注】焦半径公式的推导过程：
双曲线 的左右焦点分别为 ，
设双曲线右支上任一点 ，
则
因为 ，则
则
同理可推导 ．
同理在左支上一点的焦半径也可推导.
经典例题
已知 ， 分别为双曲线 的左、右焦点， 为双曲线右支上的一点，且
．若 为等腰三角形，则该双曲线的离心率为 ．
【备注】本题老师使用焦半径公式给学生求解：
1.由题意设点 ，则 ；
2.根据题意 且 为等腰三角形，可列式
31
①或 ②
3.消去 可求解离心率，由于离心率的范围，情况②要舍去.
【答案】
【解析】 为双曲线右支上一点，
则由双曲线的定义可得， ，
由 ，则 ， ，
由 为等腰三角形，则 或 ，
即有 或 （舍去），即有 ．
故答案为 ．
【标注】【知识点】求双曲线的离心率
巩固练习
已知双曲线 的左，右焦点分别为 ， ，点 在双曲线的右支上，且
，则此双曲线的离心率 的最大值为 ．
【答案】
【解析】方法一：设 ，由焦半径得 ， ，
∴ ，化简得 ，
∵ 在双曲线的右支上，
∴ ，所以 ，即 的最大值是 ．
故答案为： ．
方法二：由定义知 ，又已知 ，解得 ， ，
，从而只要 ，就能得到 点存在，解得 ，
等号可以取到，即 的最大值为 ．
【标注】【知识点】求双曲线的离心率
4. 知识总结
双曲线的性质
若双曲线方程
32
（一）范围： 或
（二）对称性：双曲线 是 以 轴， 轴为对称轴的轴对称图形；也是以原点为对称中心的中心对称图
形
（三）顶点:
双曲线 的顶点是 和 ，这两个顶点是双曲线两支中相距最近的点．线段 叫做双曲
线的 实轴 ，它的长度等于 ．在 轴上作点 ， ，线段 叫做双曲线的 虚轴 ，它的
长度等于 .
特别的，实轴和虚轴等长的双曲线叫做 等轴双曲线 ．
（四）渐近线
焦点在 轴上的双曲线 的渐近线方程是 ；
焦点在 轴上的双曲线 的渐近线的方程是 ．
（五）离心率
双曲线的焦距与实轴的比 ，叫做双曲线的离心率.
双曲线的离心率有如下的性质：
①由 可得 ；
②双曲线的离心率越大，它的开口就越 开阔 ．
（六）双曲线的焦半径
当 在右支上时， , .
当 在左支上时， ,
（七）双曲线的焦点三角形
双曲线的焦点三角形的面积为 ．
思维导图
你学会了吗？画出思维导图总结本节课所学吧！
【备注】
33
出门测
1. 已知 ， ， ，当 和 时，点 轨迹分别为（ ）．
A. 双曲线和一条直线 B. 双曲线和两条射线
C. 双曲线一支和一条直线 D. 双曲线一支和一条射线
【答案】B
【标注】【知识点】求点的轨迹；双曲线的定义
2. 已知双曲线 的右焦点为 ，点 在双曲线的渐近线上， 是边长为 的等
边三角形（ 为原点），则双曲线的方程为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】双曲线 （ ， ）的右焦点为 ，点 在双曲线的渐近线上， 是边
长为 的等边三角形（ 为原点），
可得 ， ，即
， ，
解得 ， ，双曲线的焦点坐标在 轴，所得双曲线方程为： ．
故选 ．
34
【标注】【知识点】双曲线的标准方程；双曲线的定义
3. 若双曲线 （ ， ）的两个焦点为 ， ， 为双曲线上一点，且 ，
则该双曲线离心率 的取值范围是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】设 ， 分别是左右焦点，则点 为右支上一点，如图．依
据双曲线定义知 ，则 ，则
，所以 ．∴ ，又 ，则 ．
故选 ．
【标注】【知识点】求双曲线的离心率范围
4. 已知 是双曲线 的左焦点， 是该双曲线的右顶点，过点 且垂直于 轴的直
线与双曲线交于 ， 两点，若 是锐角三角形，则该双曲线的离心率 的取值范围为 ．
【答案】
【解析】根据双曲线的对称性，得
中， ，
是锐角三角形，即 为锐角，
y
O x
由此可得 中， ，
得 ，
∵ ， ，
∴ ，即 ，
35
两边都除以 ，得 ，解之得 ，
∵双曲线的离心率 ，
∴该双曲线的离心率 的取值范围是 ．
【标注】【知识点】求双曲线的离心率范围
36双曲线
一、 双曲线及其方程
1. 双曲线的定义
双曲线的定义
叫做双曲线．
这两个定点叫做双曲线的 ，两焦点的距离叫做双曲线的 ．
双曲线定义的重要解读
（1）定义中的绝对值不能去掉，否则动点的轨迹为双曲线的一支；
（2）定义中“小于 ”这个条件不能去掉，因为：
①若“ ”，则点的轨迹是
②若“ ”，则点的轨迹 ；
③若“ ”,则点的轨迹就是 .
经典例题
1. 已知平面中的两点 ， ，则满足 的点 的轨迹是（
）．
A. 椭圆 B. 双曲线 C. 一条线段 D. 两条射线
2. 已知两定点 ， ，动点 满足 ，则当 和 时， 点的轨迹
是（ ）．
A. 双曲线和一条直线 B. 双曲线和一条射线
C. 双曲线的一支和一条射线 D. 双曲线的一支和一条直线
巩固练习
1. 平面内，一个动点 ，两个定点 ， ，若 为大于零的常数，则动点 的轨迹为（
）．
A. 双曲线 B. 射线
C. 双曲线的一支或射线 D. 线段
1
2. 两定点 、 的距离之差的绝对值等于 的点 的轨迹是 ．
2. 双曲线的标准方程
双曲线的标准方程
①当焦点在 轴上时，双曲线的标准方程为：
，其中左焦点 ，右焦点 ，如图1．
图1 图2
②当焦点在 轴上时，双曲线的标准方程为：
，其中上焦点 ，下焦点 ，如图2．
之间满足的关系式为 ．
判断双曲线焦点位置的方法
①焦点在 轴上，则 项的系数为正；
②焦点在 轴上，则 项的系数为正.
经典例题
1. 双曲线 上一点 到一个焦点的距离为 ，则点 到另一个焦点的距离为（ ）．
A. B. C. D.
2. 若曲线 表示双曲线，则 的取值范围是 ．
3. 已知 ， 是双曲线 的两个焦点，点 是双曲线上任意一点，若点 是 的重
心，则点 的轨迹方程为（ ）．
A. B.
C. D.
4. 表示的曲线方程为（ ）．
2
A. B.
C. D.
5. 若点 在双曲线 上，则 的最小值是 ．
6. 设 为坐标原点，直线 与双曲线 ： 的两条渐近线分别交于 ，
两点，若 的面积为 ，则双曲线 的焦距的最小值是（ ）．
A. B. C. D.
7. 已知 是双曲线 的左焦点，定点 ， 是双曲线右支上的动点，则
的最小值为（ ）．
A. B. C. D.
巩固练习
1. “ ”是“方程 表示双曲线”的（ ）．
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
2. 平面内两个定点的距离为 ，则以两定点的中点为原点，两定点所在直线为坐标轴建立坐标系，到
这两个定点的距离之差的绝对值为 的点的轨迹方程为（ ）．
A. B.
C. 或 D. 或
3. 设双曲线 的左右焦点分别为 ， ，过 的直线 交双曲线左支于 ， 两点，则
的最小值等于 ．
4. 已知双曲线 ．
（ 2 ） 为双曲线 右支上一动点， 点 的坐标是 ，求 的最小值 ．
5.
3
已知双曲线 的左焦点为 ，点 为其右支上任意一点，点 的坐标为 ，则
周长的最小值为（ ）．
A. B. C. D.
6. 已知双曲线 的左顶点为 ，右焦点为 ， 为双曲线右支上一点，则 的最
小值为 ．
3. 双曲线的一般方程
双曲线的一般方程
当 时，方程 可以变形为 ，由此可以看出方程
表示双曲线的充要条件是 .
此时 为双曲线的一般方程.
双曲线一般方程的应用
当题目中给定的条件为双曲线上的两点坐标，但不确定双曲线的焦点位置的，求双曲线方程时，可以设
，将其化为标准方程，即为 .
因此，当 时，表示焦点在 轴上的双曲线；当 时，表示焦点在 轴上的双曲线.
经典例题
1. 根据下列条件，求双曲线的标准方程．
（ 1 ）过点 ， 且焦点在坐标轴上．
2. 双曲线 的一个焦点为 ，则 的值为 ．
巩固练习
1. 根据下列条件，求双曲线的标准方程：
（ 3 ）过点 ， 且焦点在坐标轴上．
4
2. 双曲线 的一个焦点是 ，那么 ．
4. 知识总结
（一）双曲线的定义
叫做双曲线．
这两个定点叫做双曲线的 ，两焦点的距离叫做双曲线的 ．
（二）双曲线的标准方程
①当焦点在 轴上时，双曲线的标准方程为：
，其中左焦点 ，右焦点
②当焦点在 轴上时，双曲线的标准方程为：
，其中上焦点 ，下焦点 ，如图2．
之间满足的关系式为 ．
（三）双曲线的一般方程
当 时， 为双曲线的一般方程.
二、 双曲线的性质
1. 基本性质
（1）范围
由方程 可知，双曲线 上任意一点的坐标 都适合不等式
，即 ，解得 ．
因此双曲线 位于两条直线 和 所夹平面区域的外侧，如下图：
5
（2）对称性
双曲线 是 ．这个对称中
心叫做双曲线的中心．
（3）顶点
如下图，双曲线与它的对称轴的两个交点叫做双曲线的顶点．
双曲线 的顶点是 ，这两个顶点是双曲线两支中相距最近的点．线段 叫做
双曲线的 ，它的长度等于 ．在 轴上作点 ， ，线段 叫做双曲线的
，它的长度等于
相应地， 和 分别是双曲线的实半轴长和虚半轴长．
特别的，实轴和虚轴等长的双曲线叫做 ．
（4）渐近线
焦点在 轴上的双曲线 的渐近线方程是 ；
焦点在 轴上的双曲线 的渐近线的方程是 ．
①共渐近线的双曲线方程的统一表示
与双曲线 具有相同渐近线的双曲线方程，可以统一设为
，代入条件求出 即可．
②由渐近线设双曲线方程的技巧
6
若双曲线的渐近线方程为 ，则可以设双曲线方程为 ，再利用已知条件
求出参数 即可．
（5）离心率
双曲线的焦距与实轴的比 ，叫做双曲线的离心率.
双曲线的离心率有如下的性质：
①由 可得 ；
②双曲线的离心率越大，它的开口就越 ．
经典例题
1. 双曲线 ，当 变化时，以下说法正确的是（ ）．
A. 焦点坐标不变 B. 顶点坐标不变 C. 渐近线不变 D. 离心率不变
2. 在平面直角坐标系中，经过点 ，渐近线方程为 的双曲线的
标准方程为（ ）．
A. B. C. D.
3. 双曲线 过点 ，且与双曲线 有共同的渐近线，则双曲线 的方程为 ．
4. 设 为坐标原点， ， 是双曲线 的焦点，若在双曲线上存在点 ，满
足 ， ，则该双曲线的渐近线方程为（ ）．
A. B. C. D.
5. 设双曲线 的右焦点为 ，右顶点为 ，过 作 的垂线与双曲线交于
， 两点，过 ， 分别作 ， 的垂线交于点 ．若 到直线 的距离小于 ，则
该双曲线的渐近线斜率的取值范围是（ ）．
A. B.
C. D.
6. 在平面直角坐标系 中，若双曲线 （ ， ）的右焦点 到一条渐近线
的距离为 ，则其离心率的值是 ．
7. 已知椭圆， 与双曲线 有共同的焦点，且其中的一个焦点 到双曲
线的两条渐近线的距离之和为 ，则双曲线的离心率为（ ）．
A. B. C. D.
7
8. 过点 的直线 与双曲线 ： （ , ）的一条斜率为正值的渐近线平行,若
双曲线 的右支上的点到直线 的距离恒大于 ,则双曲线 的离心率的最大值是 ．
9. 双曲线 的焦点是 ， ，若双曲线 上存在点 ，使 是有一个内角为 的等腰三角
形，则 的离心率是（ ）．
A. B. C. D.
10. 、 为双曲线 的左、右焦点，过 作 轴的垂线与双曲线交于 ， 两点，
，则 的离心率为（ ）．
A. B. C. D. 2
11. 已知双曲线 的离心率为 ，右顶点为 ，以 为圆心 为半径作
圆 ，圆 与双曲线 的一条渐近线交于 、 两点，则有（ ）．
A. 渐近线方程为 B. 渐近线方程为
C. D.
巩固练习
1. 已知双曲线 的右焦点为 ，过点 向双曲线的一条渐近线引垂线，
垂足为 ，交另一条渐近线于 ，若 ，则双曲线的渐近线方程为 ．
2. 已知双曲线 的左焦点为 ，离心率为 ，若经过 和 两点的直
线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为( )
A. B. C. D.
3. 已知 ， 分别是双曲线 的左、右焦点，过 的直线与圆
相切且分别交双曲线的左、右两支于 、 两点，若 ，则双曲线的渐近
线方程为（ ）．
A. B. C. D.
4. 设双曲线的一个焦点为 ，虚轴的一个端点为 ，如果直线 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么
此双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
5.
8
点 到双曲线 渐近线的距离为 ，则双曲线的离心率等于（
）．
A. B. C. D.
6. 已知双曲线 （ ， ）的左、右焦点分别为 ， ，点 在双曲线的右支
上，且 ，则此双曲线的离心率 的取值范围为（ ）．
A. B. C. D.
7. 在平面直角坐标系中，以双曲线 右焦点为圆心，以实半轴 为半径的
圆与其渐近线相交，则双曲线的离心率的取值范围是 ．
2. 双曲线的焦点三角形
双曲线的焦点三角形面积公式
双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，点 为双曲线上任意一点，
，则双曲线的焦点三角形的面积为
焦点三角形中，常用的关系式有
① ；
② ；
③ ；
④ ．
经典例题
1. 已知 、 为双曲线 的左、右焦点，点 在 上， ，则 的
面积为（ ）．
A. B. C. D.
2. 设 ， 分别是双曲线 的左、右焦点，点 在双曲线右支上且满足
，双曲线的渐近线方程为 ，则 ．
巩固练习
1. 设经过点 的等轴双曲线的焦点为 ， ，此双曲线上一点 满足 ，则
的面积为 ．
9
2. 已知 、 为双曲线 ： 的左、右焦点，点 在 上， ，则
（ ）．
A. B. C. D.
3. 双曲线的焦半径
双曲线 的焦半径公式：( , )
当 在右支上时，
当 在左支上时，
经典例题
已知 ， 分别为双曲线 的左、右焦点， 为双曲线右支上的一点，
且 ．若 为等腰三角形，则该双曲线的离心率为 ．
巩固练习
已知双曲线 的左，右焦点分别为 ， ，点 在双曲线的右支上，且
，则此双曲线的离心率 的最大值为 ．
4. 知识总结
双曲线的性质
若双曲线方程
（一）范围：
（二）对称性：双曲线 是
（三）顶点:
双曲线 的顶点是 ，这两个顶点是双曲线两支中相距最近的点．线段 叫做
双曲线的 ，它的长度等于 ．在 轴上作点 ， ，线段 叫做双曲线的
，它的长度等于
特别的，实轴和虚轴等长的双曲线叫做 ．
（四）渐近线
焦点在 轴上的双曲线 的渐近线方程是 ；
焦点在 轴上的双曲线 的渐近线的方程是 ．
10
（五）离心率
双曲线的焦距与实轴的比 ，叫做双曲线的离心率.
双曲线的离心率有如下的性质：
①由 可得 ；
②双曲线的离心率越大，它的开口就越 ．
（六）双曲线的焦半径
当 在右支上时，
当 在左支上时，
（七）双曲线的焦点三角形
双曲线的焦点三角形的面积为
思维导图
你学会了吗？画出思维导图总结本节课所学吧！
出门测
1. 已知 ， ， ，当 和 时，点 轨迹分别为（ ）．
A. 双曲线和一条直线 B. 双曲线和两条射线
C. 双曲线一支和一条直线 D. 双曲线一支和一条射线
2. 已知双曲线 的右焦点为 ，点 在双曲线的渐近线上， 是边长
为 的等边三角形（ 为原点），则双曲线的方程为（ ）．
A. B. C. D.
3. 若双曲线 （ ， ）的两个焦点为 ， ， 为双曲线上一点，且
，则该双曲线离心率 的取值范围是（ ）．
A. B. C. D.
4. 已知 是双曲线 的左焦点， 是该双曲线的右顶点，过点 且垂直于
轴的直线与双曲线交于 ， 两点，若 是锐角三角形，则该双曲线的离心率 的取值范围
为 ．
11
