椭圆
一、 椭圆的定义及其方程
1. 若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为 ，焦距为 ，则椭圆的方程为( )
A. B.
C. 或 D. 以上都不对
【答案】C
【解析】解：设椭圆的长半轴长与短半轴长分别为 和 ，
则 ，即 ①，
由焦距为 ，得 ，则 ②，
由①得 ③，把③代入②得：
，化简得： ，解得 ，把 代入①，解得 ，
所以椭圆的方程为： 或 ．
故选：C．
【标注】【知识点】椭圆的基本量求解
2. 已知方程 表示的曲线是焦点在 轴上的椭圆，则 的取值范围为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
．
【标注】【知识点】椭圆的标准方程
3. 设椭圆 的左焦点为 ，直线 与椭圆 交于 ， 两点，则
的值是（ ）．
A. B. C. D.
1
【答案】C
【解析】如图，设 是椭圆的右焦点，
∵ 为 的中点， ，则四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ，
故选： ．
【标注】【知识点】椭圆的定义
4. 设 ， 分别是椭圆 ： （ ）的左、右焦点，过 作 轴的垂线与 交于 ，
两点，若 为正三角形，则 的值为 ．
【答案】
【解析】易知 ，即 ，求得 ．
【标注】【知识点】椭圆的焦点三角形问题（小题）；椭圆的基本量求解
5. 已知点 为椭圆 ： 的左焦点，点 为椭圆 上任意一点，点 为坐标原点，则
的最大值为 ．
【答案】
【解析】椭圆 ： ，可得 ， ， ，则 ，
设 ，则 ，
又点 在椭圆上，所以 ，
所以 ，
又 ，
2
所以当 时， 取得最大值 ，
即 的最大值为 ．
故答案为： ．
【标注】【知识点】椭圆中其他最值问题
6. 已知函数 （ ，且 ）的图象恒过定点 ，若点 在椭圆 上，则
的最小值为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】 ，当 时， ，
即 恒过点 ，
∵ 在 上，
∴ ，
∴
，
当且仅当 即 时，即 ， 时等号成立，
∴ 最小值为 ，
故选： ．
【标注】【知识点】椭圆中其他最值问题
二、 椭圆的性质
1. 椭圆 （ ）的左右焦点分别为 ， ，若在椭圆上存在点 使得
，则此椭圆的离心率的取值范围为（ ）．
3
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题意得，设 ， ，
则 ．
，
，
∴ ，
同理 ，
又椭圆离心率 ，
∴ ．
故选 ．
【标注】【知识点】椭圆的焦点三角形问题（小题）；求椭圆的离心率范围；椭圆的定义
2. 已知椭圆 的左右焦点分别为 ， ，离心率为 ，若椭圆上存在点 ，使
得 ，则该离心率 的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】解：依题意得 ，
，
又 ，
，
不等号两端同除以 ，得 ，
解得 ，
又 ，
．
故选： ．
4
【标注】【知识点】求椭圆的离心率
3. 已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ， 是椭圆 上一
点， 为坐标原点，若 ，且 ，则椭圆 的离心率是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由题意可得:
①，
②，
由余弦定理得， ③，
① ②代入③中可得： ，
由 ， ，
整理可得， ，
化简可求得 ， ，
由 ，所以 ，
故选 ．
【标注】【知识点】求椭圆的离心率
4. 椭圆 的左、右焦点分别是 ， ，以 为圆心的圆过椭圆的中心，且与
椭圆交于点 ，若直线 恰好与圆 相切于点 ，则椭圆的离心率为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题意知， ，且 ， ，
所以 ，可得 ，
所以 ， ，
解得 ．
5
故选： ．
【标注】【知识点】求椭圆的离心率
5. 已知椭圆 的焦点为 ， ，且椭圆与直线 ： 有公共点，则椭圆长轴长的最
小值为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】设椭圆方程为 ，
由 ，得 ，
由题意， 此方程有解，
∴ ，
∴ 或 （舍），
∴ ，长轴的最小值为 ．
故选： ．
【标注】【知识点】椭圆中其他最值问题
6. 为椭圆 上任意一点， 为圆 ： 的任意一条直径，则
的取值范围为 ．
【答案】
【解析】
，
∵ ，
即
∴ 的取值范围是 ．
6
【标注】【知识点】椭圆中向量相关问题（小题）
7. 设 是椭圆 上一点， ， 分别是两圆： 和 上的
点，则 的最小值、最大值分别为（ ）．
A. ， B. ， C. ， D. ，
【答案】A
【解析】依题意，椭圆 的焦点分别是两圆 和 的
圆心，
所以 ，
．
故选： ．
【标注】【知识点】椭圆的定义
8. 已知 ， 是椭圆 ： 的两个焦点，点 在 上，则 的最大值为（
）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】方法一：设 ，由题意知 ， ， ， ，
由焦半径公式可知： ，
∴ ，
∴当 时， 有最大值 ．
故选 ．
方法二：由椭圆定义知， ．
则 （当且仅当 时，等号成立），
故选 ．
【标注】【知识点】椭圆的定义；椭圆中其他最值问题
7
三、 椭圆定义的拓展
已知椭圆： （ ），左右焦点分别为 ， ，过 的直线 交椭圆于 ， 两
点，若 的最大值为 ，则 的值是 ．
【答案】
【解析】方法一：由 可知，焦点在 轴上，
∵过 的直线 交椭圆于 ， 两点，∴ ，
∴ ．
当 垂直 轴时 最小， 值最大，
此时 ，∴ ，
解得 ．
故答案为 ．
方法二：由椭圆的方程可知 ，由椭圆的定义可知， ，
所以 ，
由椭圆的性质可知过椭圆焦点的弦中，通径最短，则 ．
所以 ，即 ．
【标注】【知识点】椭圆的标准方程
四、 椭圆的参数方程
1. 若动点 在曲线 上运动，则 的最大值为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由动点 在椭圆上，设 ，
则 ，
由正弦函数的性质可知 ，
则 的最大值为 ，
8
故选 ．
【标注】【知识点】设参数解决椭圆相关问题
2. 已知曲线 上的点到曲线 上的点的最大距离为
，则 ．
【答案】
【解析】设曲线 上的点 为 ，
的圆心为 ，
，
，
，
，
当且仅当 时，等号成立，
∴ ．
故答案为 ．
【标注】【知识点】椭圆与圆结合；设参数解决椭圆相关问题
3. 在椭圆 上存在一点 ，使得 到直线 的距离最小，则 到直线的最
小距离为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】令 ，
∴ 到直线 的距离 ，
对于 ，易根据辅助角公式得 ，
∴ ， ．
故选 ．
【标注】【知识点】设参数解决椭圆相关问题
9
10椭圆
一、 椭圆的定义及其方程
1. 若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为 ，焦距为 ，则椭圆的方程为( )
A. B.
C. 或 D. 以上都不对
2. 已知方程 表示的曲线是焦点在 轴上的椭圆，则 的取值范围为（ ）．
A. B. C. D.
3. 设椭圆 的左焦点为 ，直线 与椭圆 交于 ， 两点，则
的值是（ ）．
A. B. C. D.
4. 设 ， 分别是椭圆 ： （ ）的左、右焦点，过 作 轴的垂线与 交于 ，
两点，若 为正三角形，则 的值为 ．
5. 已知点 为椭圆 ： 的左焦点，点 为椭圆 上任意一点，点 为坐标原点，则
的最大值为 ．
6. 已知函数 （ ，且 ）的图象恒过定点 ，若点 在椭圆 上，则
的最小值为（ ）．
A. B. C. D.
二、 椭圆的性质
1. 椭圆 （ ）的左右焦点分别为 ， ，若在椭圆上存在点 使得
，则此椭圆的离心率的取值范围为（ ）．
A. B. C. D.
2. 已知椭圆 的左右焦点分别为 ， ，离心率为 ，若椭圆上存在点 ，使
得 ，则该离心率 的取值范围是( )
1
A. B. C. D.
3. 已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ， 是椭圆 上一
点， 为坐标原点，若 ，且 ，则椭圆 的离心率是（ ）．
A. B. C. D.
4. 椭圆 的左、右焦点分别是 ， ，以 为圆心的圆过椭圆的中心，且与
椭圆交于点 ，若直线 恰好与圆 相切于点 ，则椭圆的离心率为（ ）．
A. B. C. D.
5. 已知椭圆 的焦点为 ， ，且椭圆与直线 ： 有公共点，则椭圆长轴长的最
小值为（ ）．
A. B. C. D.
6. 为椭圆 上任意一点， 为圆 ： 的任意一条直径，则
的取值范围为 ．
7. 设 是椭圆 上一点， ， 分别是两圆： 和 上的
点，则 的最小值、最大值分别为（ ）．
A. ， B. ， C. ， D. ，
8. 已知 ， 是椭圆 ： 的两个焦点，点 在 上，则 的最大值为（
）．
A. B. C. D.
三、 椭圆定义的拓展
已知椭圆： （ ），左右焦点分别为 ， ，过 的直线 交椭圆于 ， 两
点，若 的最大值为 ，则 的值是 ．
四、 椭圆的参数方程
1. 若动点 在曲线 上运动，则 的最大值为（ ）．
A. B. C. D.
2
2. 已知曲线 上的点到曲线 上的点的最大距离为
，则 ．
3. 在椭圆 上存在一点 ，使得 到直线 的距离最小，则 到直线的最
小距离为（ ）．
A. B. C. D.
3
