圆的方程
一、 圆的方程
1. 若方程 表示圆，则实数 的取值范围是 ．
2. 若方程 表示圆，则实数 的取值范围为 ．
3. 以点 为圆心且与 轴相切的圆的方程是 ．
4. 已知圆 经过 ， 两点，圆心在 轴上，则 的方程为 ．
5. 已知平面上三个定点 、 、 ．
（ 2 ）求经过 、 、 三点的圆的方程．
6. 解答下列问题：
（ 1 ）求经过两点 、 且圆心在 轴上的圆的方程．
（ 2 ）求过三点 ， ， 的圆的方程，并求这个圆的半径和圆心坐标．
二、 点与圆的位置关系
1. 已知点 在圆 ： 外，则直线 与圆 的位置关系是（ ）．
A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 不确定
2. 点 与圆 的位置关系是（ ）．
1
A. 点在圆上 B. 点在圆内 C. 点在圆外 D. 不能确定
3. 已知圆 以点 为圆心，半径等于 ，则点 与圆 的位置关系是（ ）．
A. 点在圆内 B. 点在圆上 C. 点在圆外 D. 无法判断
4. 若点 在圆 的内部，则实数 的取值范围是 ．
三、 直线与圆的位置关系
1. 直线 与圆 ： 的位置关系是（ ）．
A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 不确定
2. 直线 ： 与圆 ： 的位置关系为( )
A. 相交或相切 B. 相交或相离 C. 相切 D. 相交
3. 已知直线 与圆 有公共点，则实数 的取值范围为( )
A. B. C. D.
4. 已知直线 过点 ，圆 ： ，则( )
A. 与 相交 B. 与 相切
C. 与 相离 D. 与 的位置关系不确定
2圆的方程
一、 圆的方程
1. 若方程 表示圆，则实数 的取值范围是 ．
【答案】
【解析】方程 即 ，解得
或 ．
故答案为： ．
【标注】【知识点】圆的方程的判定
2. 若方程 表示圆，则实数 的取值范围为 ．
【答案】
【解析】方程 表示一个圆，
则 ，
∴
故答案为 ．
【标注】【知识点】圆的标准方程问题
3. 以点 为圆心且与 轴相切的圆的方程是 ．
【答案】
【解析】圆心 的坐标为 ，且所求圆与 轴相切，
∴圆的半径 ，
则所求圆的方程为 ．
故答案为： ．
【标注】【知识点】圆的标准方程问题
1
4. 已知圆 经过 ， 两点，圆心在 轴上，则 的方程为 ．
【答案】
【解析】方法一：依题意设所求圆的方程为： ，把所给两点坐标代入方程得，
，解得 ，所以所求圆的方程为 ．
方法二：由 ， ，
得到直线 的方程为： ，
即 ，
则直线 的斜率为 ，所以线段 的垂直平分线的斜率为 ，
又设线段 的中点为 ，则 的坐标为 即 ，所以线段 的垂直平分线的
方程为： 即 ，令 ，解得 ，所以线段 的垂直平分
线与 轴的交点即圆心 的坐标为 ，而圆的半径
，
综上，圆 的方程为： ．
故答案为： ．
【标注】【知识点】圆的标准方程问题
5. 已知平面上三个定点 、 、 ．
（ 2 ）求经过 、 、 三点的圆的方程．
【答案】（ 1 ） ．
（ 2 ） ．
【解析】（ 1 ）由 ， ，得到直线 的斜率为 ，
∴ 的方程为 ，即 ，
2
∴点 到直线 的距离为：
．
（ 2 ）设所求圆的方程为 ，
将 ， ， 三点坐标代入方程可得：
，
解得 ，
∴圆的方程为 ．
【标注】【知识点】点到直线的距离公式；圆的一般方程问题
6. 解答下列问题：
（ 1 ）求经过两点 、 且圆心在 轴上的圆的方程．
（ 2 ）求过三点 ， ， 的圆的方程，并求这个圆的半径和圆心坐标．
【答案】（ 1 ）圆的方程是 ．
（ 2 ）所求圆的方程为 ，半径 ，圆心 ．
【解析】（ 1 ）∵圆心在 轴上，
∴设圆的标准方程是 ，
∵该圆经过 两点，
∴ 解得
∴圆的方程是
故答案为：圆的方程是 ．
（ 2 ）设圆的方程为 ，
将 三点坐标代入，整理得
3
∴
∴所求圆的方程为 ．
半径 ，圆心
故答案为:所求圆的方程为 ，半径 ，圆心 ．
【标注】【知识点】圆的标准方程问题；圆的一般方程问题
二、 点与圆的位置关系
1. 已知点 在圆 ： 外，则直线 与圆 的位置关系是（ ）．
A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 不确定
【答案】A
【解析】∵点 在圆 ： 外，
∴ .
∴圆 ： 的圆心 到直线 的距离为 ，
则直线 与圆 的位置关系是相交．
故选 ．
【标注】【知识点】直线与圆的位置判断；点与圆的位置关系问题
2. 点 与圆 的位置关系是（ ）．
A. 点在圆上 B. 点在圆内 C. 点在圆外 D. 不能确定
【答案】C
【解析】
因为 ，所以点在圆外．
【标注】【知识点】计算任意角的三角函数值；点与圆的位置关系问题
【素养】数学运算
4
3. 已知圆 以点 为圆心，半径等于 ，则点 与圆 的位置关系是（ ）．
A. 点在圆内 B. 点在圆上 C. 点在圆外 D. 无法判断
【答案】B
【解析】由题意可知，圆 ，
∴把点 代入圆 ，
则 ，
故点 在圆上．
故选 ．
【标注】【知识点】点与圆的位置关系问题
4. 若点 在圆 的内部，则实数 的取值范围是 ．
【答案】
【解析】圆 的圆心为 ，半径为 ，
若点 在圆 的内部，
则圆心到点 的距离小于圆的半径，
则 ，
解得 ，
又∵对于点 中， ，
∴实数 的取值范围是 ．
故答案为： ．
【标注】【知识点】点与圆的位置关系问题
三、 直线与圆的位置关系
1. 直线 与圆 ： 的位置关系是（ ）．
A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 不确定
【答案】A
【解析】圆 的圆心为 ，半径 ，
5
∴圆心 到直线 的距离 ，
∴直线与圆相交．
故选 ．
【标注】【知识点】直线与圆的位置判断
2. 直线 ： 与圆 ： 的位置关系为( )
A. 相交或相切 B. 相交或相离 C. 相切 D. 相交
【答案】D
【解析】解： 直线 过点 ，
而点 在圆 ： 的内部，
直线与圆相交．
故选D．
【标注】【知识点】直线与圆的位置判断
3. 已知直线 与圆 有公共点，则实数 的取值范围为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】解：依题意可知，直线与圆相交或相切．
圆 即为 ．
由 ，解得 ．
实数 的取值范围为 ．
故选：A．
【标注】【知识点】直线与圆的位置判断
4. 已知直线 过点 ，圆 ： ，则( )
A. 与 相交 B. 与 相切
C. 与 相离 D. 与 的位置关系不确定
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【答案】A
【解析】解：圆 ： 即 ，
圆心 与点 的距离 ，小于半径 ，
故点 在圆的内部，故 与 的位置关系是相交，
故选：A．
【标注】【知识点】直线与圆的位置判断
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