圆的方程
一、 圆的方程
1. 圆的标准方程
（1）圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的轨迹是圆，定点是圆心，定长是圆的半径．
（2）圆的标准方程：
在平面直角坐标系中，以 为圆心， 为半径的圆的方程．设点 是圆 上任意一点，由两点
间的距离公式可得： ，则化简后得到圆的标准方程：
．
定义的重要解读：
①圆的标准方程的优点在于明确地指出了圆心和半径．
②方程 不一定表示圆，当 时，方程表示一个点 ，所以方程要表示
一个圆，当且仅当 ．
③当圆心在坐标原点，半径为 的圆的标准方程为：
经典例题
圆心在点 ，并经过点 的圆的方程是（ ）．
A. B.
C. D.
巩固练习
以点 为圆心， 为半径的圆的标准方程为（ ）．
A. B.
C. D.
2. 圆的一般方程
方程 可化为 ①
说明：
(1) 和 项的系数相等且都不为零．
1
(2)没有 这样的二次项．
(3) 当 时，方程①表示以 为圆心， 为半径的
圆．
(4) 当 时，方程①只有实根 ， ，方程①表示一个点
．
(5)当 时，方程①没有实根，因而它不表示任何图形.
经典例题
1. 方程 表示的图形是（ ）．
A. 以 为圆心， 为半径的圆 B. 以 为圆心， 为半径的圆
C. 以 为圆心， 为半径的圆 D. 以 为圆心， 为半径的圆
2. 已知 ，方程 表示圆，则该圆的面积是 ．
巩固练习
1. 若直线 经过圆 的圆心，则 等于（ ）．
A. B. C. 或 D. 或
2. 若方程 表示圆，则 的范围是 ．
3. 求圆的方程的方法
（一）特殊条件下圆的方程
2
圆的标准方程 圆的一般方程
圆心在原点
过原点
圆心在 轴上
圆心在 轴上
圆心在 轴上且过原点
圆心在 轴上且过原点
与 轴相切
与 轴相切
（二）求圆的方法
（1）直接代入法：将已知圆的圆心坐标和半径直接代入圆的标准方程.
（2）待定系数法：
①若已知条件与圆心 和半径 有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于 的方程组，
从而求出 的值；
②若已知条件没有明确给出圆心和半径，则选择设圆的一般方程，依据已知条件列出关于 的方
程组，进而求出 的值.
（3）几何性质法：如果在求解圆的方程这类问题时，能够结合圆的有关几何性质来考虑，利用“数形
结合的思想”进行求解.
经典例题
1. 已知圆 的圆心在 轴上，并且过点 和 ，则圆的方程是 ．
2. 已知圆 经过点 和 ，且圆心 在直线 上，则圆 的方程为 ．
3. 若圆 经过 ， 两点，且与 轴相切，则圆 的标准方程为 .
3
4. 已知直线 与坐标轴交于 、 两点， 为坐标原点，则经过 、 、 三点的圆的
标准方程为 ．
5. 根据下列条件求方程．
（ 1 ）已知 顶点的坐标为 ， ， ，求 外接圆的方程．
巩固练习
1. 已知圆心在 轴上的圆 经过 ， 两点，则 的方程为（ ）．
A. B. C. D.
2. 设某圆的圆心为 ，一条直径的两个端点恰好在两坐标轴上，则该圆的半径是 ．
3. 已知 、 ，以线段 为直径的圆的方程为 ．
4. 求满足下列条件的圆的方程．
（ 1 ）经过点 ，圆心为点 ．
（ 2 ）经过三点 ， ， ．
5. 已知 的顶点坐标为 ， ， ．
（ 2 ）试求半径最小的 外接圆的标准方程．
4
4. 知识总结
（1）圆的标准方程
．
（2）圆的一般方程
以 为圆心， 为半径
（3）求圆的方程的方法
直接代入法、待定系数法、几何性质法
二、 点与圆、直线与圆的位置关系
1. 点与圆的位置关系
已知圆心 ，半径 ，点 的坐标为 ，则
① 点 在圆 内；
② 点 在圆 上；
③ 点 在圆 外．
其中
经典例题
1. 已知圆 以点 为圆心，半径等于 ，则点 与圆 的位置关系是（ ）．
A. 点在圆内 B. 点在圆上 C. 点在圆外 D. 无法判断
2. 点 与圆的 的位置关系是（ ）．
A. 在圆外 B. 在圆内 C. 在圆上 D. 不确定
巩固练习
1. 若圆 的圆心为 ，半径为 ，则点 与圆 的位置关系是（ ）．
A. 在圆内 B. 在圆上 C. 在圆外 D. 无法判断
2. 若点 在圆 的内部，则实数 的取值范围是 ．
2. 直线与圆的位置关系
直线与圆的位置关系及判定
5
相离 相切 相交
位置关系
无实数根 有两个相等的实数根 有两个不相等的实数根
消元后的一元二次方程
圆心到直线的距离 与
圆的半径 的关系
注意：判断直线与圆的位置关系，多数情况下利用圆心到直线的距离与圆的半径的大小作比较进行判
断．
经典例题
1. 直线 与圆 的位置关系是（ ）．
A. 直线与圆相切 B. 直线与圆相交 C. 直线与圆相离 D. 直线过圆心
2. 已知直线 过点 ，圆 ： ，则( )
A. 与 相交 B. 与 相切
C. 与 相离 D. 与 的位置关系不确定
3. 对任意的实数 ，直线 与圆 的位置关系一定是( )
A. 相离 B. 相切
C. 相交但直线不过圆心 D. 相交且直线过圆心
4. 在平面直角坐标系 中，已知圆 ： ，若对于直线 上的
任意一点 ，在圆 上总存在 使 ，则实数 的取值范围为 ．
巩固练习
1. 直线 与圆 的位置关系是（ ）．
A. 相切 B. 相交 C. 相离 D. 不确定
2. 直线 与圆 的位置关系是（ ）．
A. 直线与圆相切 B. 直线与圆相交但不过圆心
C. 直线与圆相离 D. 直线过圆心
6
3. 若 、 、 是 的三边，直线 与圆 相离，则 一定是（
）．
A. 直角三角形 B. 等边三角形 C. 锐角三角形 D. 钝角三角形
4. 不论 为何实数，直线 与曲线
恒有交点，则实数 的取值范围是（ ）．
A. B. C. D.
3. 知识总结
（1）点与圆的位置关系
已知圆心 ，半径 ，点 的坐标为 ，则
① 点 在圆 内；
② 点 在圆 上；
③ 点 在圆 外．
其中
（2）直线与圆的位置关系
相离 相切 相交
位置关系
无实数根 有两个相等的实数根 有两个不相等的实数根
消元后的一元二次方程
圆心到直线的距离 与
圆的半径 的关系
思维导图
你学会了吗？画出思维导图总结本课所学吧！
出门测
1. 完成下列各题：
7
（ 1 ）求以 、 为直径端点的圆的方程．
（ 2 ）求以 ， ， 为顶点的 外接圆的方程．
2. 与圆 相切于点 的直线的斜率为（ ）．
A. B. C. D.
3. 已知圆 经过 和 ，且圆心 在直线 上．
（ 1 ）求圆 的标准方程．
（ 2 ）若直线 垂直于直线 且与圆 相切．求直线 的方程．
8圆的方程
学习目标
1．掌握圆的标准方程与一般方程的形式，会设特殊条件下圆的方程的形式．
2．掌握点与圆的位置关系的判断方法．
3．掌握直线和圆位置关系及判断方法．
【备注】1、本讲的重点及难点是掌握圆的标准方程与一般方程的形式，会设特殊条件下圆的方法，
掌握点与圆、直线与圆的位置关系的判断方法．
2、关联知识：直线方程．
一、 圆的方程
1. 圆的标准方程
（1）圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的轨迹是圆，定点是圆心，定长是圆的半径．
（2）圆的标准方程：
在平面直角坐标系中，以 为圆心， 为半径的圆的方程．设点 是圆 上任意一点，由两点
间的距离公式可得： ，则化简后得到圆的标准方程：
．
【备注】圆的标准方程的推导：
在平面直角坐标系中，以 为圆心， 为半径的圆的方程．设点 是圆 上任意
一点，由两点间的距离公式可得： ，则化简后得到圆的标准方
程： ．
定义的重要解读：
①圆的标准方程的优点在于明确地指出了圆心和半径．
②方程 不一定表示圆，当 时，方程表示一个点 ，所以方程要表示
一个圆，当且仅当 ．
③当圆心在坐标原点，半径为 的圆的标准方程为： ．
经典例题
圆心在点 ，并经过点 的圆的方程是（ ）．
1
A. B.
C. D.
【备注】本题考查两个知识点：
1.考查圆的定义，平面内到一定点的距离等于定长的点的轨迹是圆，定点是圆心，定长是
圆的半径.对于这道题而言，就是圆心到原点的距离为半径，通过两点间距离公式得到半径.
2.考查圆的标准方程，通过第一个知识点得到了圆的圆心和半径，通过圆的标准方程
即可得到圆的方程.
【答案】D
【解析】由所求圆的圆心 的坐标为 ，
设出圆 的方程为 ，
又该圆经过点 ，
所以把点 的坐标代入圆 的方程得：
，即 ，
则圆 的方程为： ．
故选 ．
【标注】【知识点】圆的标准方程问题
巩固练习
以点 为圆心， 为半径的圆的标准方程为（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由圆的标准方程可得答案为 ，
故选 ．
【标注】【知识点】圆的标准方程问题
2. 圆的一般方程
方程 可化为 ①
说明：
2
(1) 和 项的系数相等且都不为零．
(2)没有 这样的二次项．
(3) 当 时，方程①表示以 为圆心， 为半径的
圆．
(4) 当 时，方程①只有实根 ， ，方程①表示一个点
．
(5)当 时，方程①没有实根，因而它不表示任何图形.
经典例题
1. 方程 表示的图形是（ ）．
A. 以 为圆心， 为半径的圆 B. 以 为圆心， 为半径的圆
C. 以 为圆心， 为半径的圆 D. 以 为圆心， 为半径的圆
【备注】本题考查由圆的一般方程求解圆的半径及圆心问题：
解法一：已知圆的一般方程为 ，且 时，
为圆心， 为半径．
解法二：将一般方程化为标准方程，即可得到圆心和半径.
【答案】D
【解析】方程 化为标准方程为 ，
表示以 为圆心， 为半径的圆．
故选 ．
【标注】【知识点】圆的方程的判定
2. 已知 ，方程 表示圆，则该圆的面积是 ．
【备注】本题考查圆的一般方程成立的条件，方程 ，需满足三个条
件，才能满足是一个圆：
① 和 项的系数相等且都不为零；
②没有 这样的二次项；
③ .
所以本题只需 求得 ,然后根据面积公式求解即可
【答案】
【解析】 且 得 ，
3
时，方程可化为 ，
即 ，
∴半径为 ，面积 ．
【标注】【知识点】圆的标准方程问题
巩固练习
1. 若直线 经过圆 的圆心，则 等于（ ）．
A. B. C. 或 D. 或
【答案】A
【解析】圆的标准方程为 ，将圆心 代入直线
中，得 ．
故选 ．
【标注】【知识点】圆的一般方程问题
2. 若方程 表示圆，则 的范围是 ．
【答案】
【解析】方程 ，
即为 ，
由方程表示圆，可得 ，
解得 ，
故答案为： ．
【标注】【知识点】圆的方程的判定
3. 求圆的方程的方法
（一）特殊条件下圆的方程
4
圆的标准方程 圆的一般方程
圆心在原点
过原点
圆心在 轴上
圆心在 轴上
圆心在 轴上且过原点
圆心在 轴上且过原点
与 轴相切
与 轴相切
（二）求圆的方法
（1）直接代入法：将已知圆的圆心坐标和半径直接代入圆的标准方程.
（2）待定系数法：
①若已知条件与圆心 和半径 有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于 的方程组，
从而求出 的值；
②若已知条件没有明确给出圆心和半径，则选择设圆的一般方程，依据已知条件列出关于 的方
程组，进而求出 的值.
（3）几何性质法：如果在求解圆的方程这类问题时，能够结合圆的有关几何性质来考虑，利用“数形结
合的思想”进行求解.
经典例题
1. 已知圆 的圆心在 轴上，并且过点 和 ，则圆的方程是 ．
【备注】本题可设圆心在 轴上的圆的方程，再代点求参即可
【答案】
5
【解析】∵圆 的圆心在 轴上，设圆心为 ，由圆过点 和 ，
由 ，可得 ，
即 ，求得 ，
可得圆心为 ，半径为 ，
故圆的方程为 ．
故答案为： ．
【标注】【知识点】圆的标准方程问题
2. 已知圆 经过点 和 ，且圆心 在直线 上，则圆 的方程为 ．
【备注】本题设出圆心坐标，再根据圆心到圆上的距离都相等建立等式求参即可；一般圆心在直线
上，我们只设一个参数，根据点在直线上，表示出圆心；
注：在需要设参数的题型中，注意找条件中的关系，使参数数量越少越好
【答案】
【解析】设圆心坐标为 ，
则由题意可得半径 ，
解得 ，故 ，
故圆 的方程为 ．
故答案为： ．
【标注】【知识点】圆的标准方程问题
3. 若圆 经过 ， 两点，且与 轴相切，则圆 的标准方程为 .
【备注】本题考查与 轴相切情况的圆的方程及根据圆心到圆上的距离都相等建立等式，这里注意求
解过程中不要丢解
【答案】 或 ．
【解析】设圆心 ，
由已知得 ，
解得 ， ，半径 ，
∴⊙ 的方程为 或 ．
故答案为： 或 ．
6
【标注】【知识点】圆的标准方程问题
4. 已知直线 与坐标轴交于 、 两点， 为坐标原点，则经过 、 、 三点的圆的
标准方程为 ．
【备注】本题两种思路
解法一：利用圆的一般方程
1.一般经过已知三点的圆求方程问题，可设圆的一般方程
，
2.将三点代入圆的一般方程，联立求解
解法二：利用数形结合
把三个点放在平面直角坐标系里，可观察到线段 即为圆的直径，点 、 的中点坐标即
为圆心
【答案】
【解析】根据题意，直线 与坐标轴的交点为 、 ，
经过 、 、 三点的圆即 的外接圆，
又由 为直角三角形，则其外接圆直径为 ，圆心为 的中点，
则有 ，即 ，
圆心坐标为 ，
则要求圆的方程为： ，
故答案为： ．
【标注】【知识点】圆的标准方程问题
5. 根据下列条件求方程．
（ 1 ）已知 顶点的坐标为 ， ， ，求 外接圆的方程．
【备注】本题主要考查三角形的外接圆经过三角形的三个顶点，再利用圆的一般方程带点求解即可
【答案】（ 1 ） ．
7
（ 2 ） 或 ．
【解析】（ 1 ）设圆的方程为 ，
把 的顶点坐标 ， ， 代入可得
，
解得 ，
故所求的 的外接圆的方程为 （或者可写成
）．
（ 2 ）由 ，
∴ ，
∴圆心 ，半径为 ，
由弦长为 ，可得圆心到直线 的距离 ，
①当直线 的斜率不存在时，显然直线 满足题意；
②当直线 的斜率存在时，设直线 的斜率为 ，又过 ，
则直线 的方程为 ，
即 ，
∴圆心到直线 的距离 ，
解得 ，
∴直线 的方程为 ，
综上满足题意的直线 为： 或 ．
【标注】【知识点】圆的弦长的相关问题；圆的方程的判定
巩固练习
1. 已知圆心在 轴上的圆 经过 ， 两点，则 的方程为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】根据题意，设圆的圆心 的坐标为 ，
若圆 经过 ， 两点，则有 ，
解可得： ，即圆心 为 ，
8
则圆的半径 ，
则圆 的方程为 ．
故选 ．
【标注】【知识点】圆的标准方程问题
2. 设某圆的圆心为 ，一条直径的两个端点恰好在两坐标轴上，则该圆的半径是 ．
【答案】
【解析】设直径在 轴上的点为点 ，在 轴上的点为点 ，
∴ ，∴点 在圆上，
即半径 ．
【标注】【知识点】圆的标准方程问题
3. 已知 、 ，以线段 为直径的圆的方程为 ．
【答案】
【解析】
【解析】求的圆心为 ，半径的平方为 ，
则以线段 为直径的圆的方程为 ．
故答案为 ．
【标注】【知识点】圆的标准方程问题
4. 求满足下列条件的圆的方程．
（ 1 ）经过点 ，圆心为点 ．
（ 2 ）经过三点 ， ， ．
9
【答案】（ 1 ） ．
（ 2 ） ．
【解析】（ 1 ）∵经过点 ，圆心为点 ，
∴圆的半径 ，
则圆的方程是 ．
（ 2 ）设圆的方程为： ，
∵圆经过 ， ， ，
把 、 、 代入，得： ，
解得： ，
∴圆的方程为： ．
【标注】【知识点】圆的标准方程问题；圆的一般方程问题
5. 已知 的顶点坐标为 ， ， ．
（ 2 ）试求半径最小的 外接圆的标准方程．
【答案】（ 1 ） ．
（ 2 ） ．
【解析】（ 1 ） 中 ， ， ，
∴ 中点为 ．
，
∴ 的中垂线为 ①
整理得： ．
（ 2 ） 中点 ， ，
∴ 中垂线方程为 即 ．
10
与①联立解得 ，
∴ 外接圆圆心为 ．
半径为 ，
即当 时， ．
此时圆心 为 ，
圆的标准方程为 ．
【标注】【知识点】圆的标准方程问题；判定两条直线的位置关系；直线的垂直；直线方程的五
种形式的联系和使用范围的区别；直线的点斜式方程
4. 知识总结
（1）圆的标准方程
．
（2）圆的一般方程
以 为圆心， 为半径
（3）求圆的方程的方法
直接代入法、待定系数法、几何性质法
二、 点与圆、直线与圆的位置关系
1. 点与圆的位置关系
已知圆心 ，半径 ，点 的坐标为 ，则
① 点 在圆 内；
② 点 在圆 上；
③ 点 在圆 外．
其中 ．
经典例题
1. 已知圆 以点 为圆心，半径等于 ，则点 与圆 的位置关系是（ ）．
A. 点在圆内 B. 点在圆上 C. 点在圆外 D. 无法判断
11
【备注】本题考查点与圆的位置关系问题；求 长度与半径比较即可
【答案】B
【解析】由题意可知，圆 ，
∴把点 代入圆 ，
则 ，
故点 在圆上．
故选 ．
【标注】【知识点】点与圆的位置关系问题
2. 点 与圆的 的位置关系是（ ）．
A. 在圆外 B. 在圆内 C. 在圆上 D. 不确定
【备注】本题同样考查点与圆的位置关系问题；本题虽然含参，但是不影响大小的判断
【答案】A
【解析】点 代入 得 ，
所以点 在圆 的圆外．
故选 ．
【标注】【知识点】圆的标准方程问题
【素养】数学运算
巩固练习
1. 若圆 的圆心为 ，半径为 ，则点 与圆 的位置关系是（ ）．
A. 在圆内 B. 在圆上 C. 在圆外 D. 无法判断
【答案】C
【解析】 ,
∴在圆外．
【标注】【知识点】圆的标准方程问题
【素养】数学运算
12
2. 若点 在圆 的内部，则实数 的取值范围是 ．
【答案】
【解析】圆 的圆心为 ，半径为 ，
若点 在圆 的内部，
则圆心到点 的距离小于圆的半径，
则 ，
解得 ，
又∵对于点 中， ，
∴实数 的取值范围是 ．
故答案为： ．
【标注】【知识点】点与圆的位置关系问题
2. 直线与圆的位置关系
直线与圆的位置关系及判定
相离 相切 相交
位置关系
无实数根 有两个相等的实数根 有两个不相等的实数根
消元后的一元二次方程
圆心到直线的距离 与
圆的半径 的关系
注意：判断直线与圆的位置关系，多数情况下利用圆心到直线的距离与圆的半径的大小作比较进行判
断．
经典例题
1. 直线 与圆 的位置关系是（ ）．
13
A. 直线与圆相切 B. 直线与圆相交 C. 直线与圆相离 D. 直线过圆心
【备注】本题考查直线与圆的位置关系问题；计算圆心到直线的距离与圆的半径比较
【答案】B
【解析】圆 化为标准方程： ，
知圆心坐标为 ，半径 ．
又圆心到直线 的距离 ，
故直线 与圆相交，且直线不过圆心．
故选 ．
【标注】【知识点】直线与圆的位置判断
2. 已知直线 过点 ，圆 ： ，则( )
A. 与 相交 B. 与 相切
C. 与 相离 D. 与 的位置关系不确定
【备注】本题虽然不知道直线，但是可根据判断 在圆内而判断直线与圆相交
【答案】A
【解析】解：圆 ： 即 ，
圆心 与点 的距离 ，小于半径 ，
故点 在圆的内部，故 与 的位置关系是相交，
故选：A．
【标注】【知识点】直线与圆的位置判断
3. 对任意的实数 ，直线 与圆 的位置关系一定是( )
A. 相离 B. 相切
C. 相交但直线不过圆心 D. 相交且直线过圆心
【备注】本题考查直线与圆的位置关系问题；法一：本题虽然含参，但是不影响大小的判断，同样
可以计算圆心到直线的距离与圆的半径比较；
法二：与解析同，找到直线的定点，发现其在圆内，那么直线与圆一定相交.
【答案】C
14
【解析】解：对任意的实数 ，直线 恒过点 ，且斜率存在，
在圆 内，
对任意的实数 ，直线 与圆 的位置关系一定是相交但直线不过圆心．
故选：C．
【标注】【知识点】直线与圆的位置判断
4. 在平面直角坐标系 中，已知圆 ： ，若对于直线 上的
任意一点 ，在圆 上总存在 使 ，则实数 的取值范围为 ．
【备注】本题比较难，过点 总可以作圆的切线，所以直线与圆相切或相离，又因为总存在点 使
,所以直线与圆只能相离
【答案】
【解析】根据题意知，直线 与圆 的关系是：相离，
由题意知过点 总可以作圆 的切线，
所以圆 与直线 相离，
所以 ，解得 ．
故答案为： ．
【标注】【知识点】已知直线和圆的位置关系求参数
巩固练习
1. 直线 与圆 的位置关系是（ ）．
A. 相切 B. 相交 C. 相离 D. 不确定
【答案】B
【解析】圆 的圆心， ，半径 ，
∴圆心 到直线 的距离 ，
∴直线与圆一定相交．
故选 ．
【标注】【知识点】直线与圆的位置判断
15
2. 直线 与圆 的位置关系是（ ）．
A. 直线与圆相切 B. 直线与圆相交但不过圆心
C. 直线与圆相离 D. 直线过圆心
【答案】A
【解析】圆心 ，半径： ，
∴ ，即直线与圆相切．
故选 ．
【标注】【知识点】直线与圆的位置判断
【素养】数学运算
3. 若 、 、 是 的三边，直线 与圆 相离，则 一定是（
）．
A. 直角三角形 B. 等边三角形 C. 锐角三角形 D. 钝角三角形
【答案】D
【解析】由题设知 ，即 ，
即 ，
于是 ，
所以 为钝角，
故 为钝角三角形．
【标注】【知识点】已知直线和圆的位置关系求参数
4. 不论 为何实数，直线 与曲线
恒有交点，则实数 的取值范围是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】题设条件等价于点 在圆内或圆上，或等价于点 到圆 的
圆心 的距离 ，解得 ．
16
【标注】【知识点】已知直线和圆的位置关系求参数
3. 知识总结
（1）点与圆的位置关系
已知圆心 ，半径 ，点 的坐标为 ，则
① 点 在圆 内；
② 点 在圆 上；
③ 点 在圆 外．
其中 ．
（2）直线与圆的位置关系
相离 相切 相交
位置关系
无实数根 有两个相等的实数根 有两个不相等的实数根
消元后的一元二次方程
圆心到直线的距离 与
圆的半径 的关系
思维导图
你学会了吗？画出思维导图总结本课所学吧！
【备注】
17
出门测
1. 完成下列各题：
（ 1 ）求以 、 为直径端点的圆的方程．
（ 2 ）求以 ， ， 为顶点的 外接圆的方程．
【答案】（ 1 ） ．
（ 2 ） ．
【解析】（ 1 ） 的中点为 ，即为圆心坐标， ，故圆的半径为 ，
18
从而所求圆的方程为 ．
（ 2 ）采用一般式，设圆的方程为 ，将三个已知点的坐标代入得
解得： ．
故所求圆的方程为 ．
也可以采用标准式， 为直角三角形，圆心为 的中点 ，半径 ，
可得圆的方程为 ．
【标注】【知识点】圆的标准方程问题
2. 与圆 相切于点 的直线的斜率为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】圆 的圆心坐标为 ，
设点 ，则直线 的斜率 ，
∵切线与 互相垂直，
∴切线斜率 ．
故选 ．
【标注】【知识点】已知直线和圆的位置关系求参数
3. 已知圆 经过 和 ，且圆心 在直线 上．
（ 1 ）求圆 的标准方程．
（ 2 ）若直线 垂直于直线 且与圆 相切．求直线 的方程．
【答案】（ 1 ）圆 ．
（ 2 ）直线方程为 或 ．
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【解析】（ 1 ） ， 中点坐标 ， ， ，
则 ，
整理得 ，
∴ ， ，
，
∴圆 ．
（ 2 ）直线 垂直于 且与圆 相切，
则 的方程为 ，
则圆心到直线的距离为 ，
∴ 或 ，
∴直线方程为 或 ．
【标注】【知识点】已知直线和圆的位置关系求圆的方程；已知直线和圆的位置关系求直线的方
程
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