椭圆
一、 椭圆及其标准方程
1. 椭圆的定义
椭圆的定义
叫做椭圆．
这两个定点叫做椭圆的 ，两焦点的距离叫做椭圆的 ．
椭圆定义的重要解读
定义中“大于 ”这个条件不能去掉，因为：
①若“等于 ”，则点的轨迹是 ；
②若“小于 ”，则 ．
经典例题
1. 已知动圆 过定点 ，并且与定圆 内切，则动圆的圆心 的轨迹是（ ）．
A. 线段 B. 直线 C. 圆 D. 椭圆
2. 设定点 ， ，动点 满足条件 ，则点 的轨迹是（ ）．
A. 椭圆 B. 线段 C. 不存在 D. 椭圆或线段
巩固练习
已知定圆 ， ，定点 ，动圆 满足与 外切且与 内
切，则 的最大值为（ ）．
A. B. C. D.
2. 椭圆的标准方程
椭圆的标准方程
①若椭圆的焦点在 轴上，则椭圆的标准方程为 ，其中左焦点 ，右焦
点 ，如图1．
1
图1 图2
②若椭圆的焦点在 轴上，则椭圆的标准方程为 ，其中上焦点 ，下焦
点 ，如图2．
之间满足的关系式为 ．
椭圆的标准方程要注意的是：
①椭圆的焦点在 轴上 标准方程在中 项的分母大；
椭圆的焦点在 轴上 标准方程在中 项的分母大.
②标准方程中，较大的分母是 ，另一个分母是 ， ， .
经典例题
1. 若椭圆的两焦点为 和 ，且椭圆过点 ，则椭圆方程是（ ）．
A. B. C. D.
2. 已知 的顶点 、 在椭圆 上，顶点 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在
边上，则 的周长是（ ）．
A. B. C. D.
3. 方程 表示焦点在 轴上的椭圆，则实数 的取值范围是（ ）．
A. B. C. D.
4. 为椭圆 上一点， ， ，求 的取值范围．
2
5. 已知椭圆 的左焦点为 ，直线 与椭圆交于点 ， ，当 周长最大时，则
．
6. 设 是椭圆 上的一个动点，定点 ，则 的最大值是（ ）．
A. B. C. D.
巩固练习
1. 椭圆 的两个焦点为 ， ，过 的直线交椭圆于 、 两点，若 ，则
的值为（ ）．
A. B. C. D.
2. 已知方程 表示焦点在 轴上的椭圆，则 的取值范围是（ ）．
A. B. C. D.
3. 已知 为椭圆 上动点， 为椭圆的右焦点，点 的坐标为 ，则 的最小值为
（ ）．
A. B. C. D.
4. 已知椭圆 及定点 ，点 是椭圆上的动点，则 的最小值为（ ）．
A. B. C. D.
5. 已知椭圆 的焦点为 ， ，过 的直线与 交于 ， 两点．若 ，
，则 的方程为( )
A. B. C. D.
3. 椭圆的一般方程
椭圆的一般方程
由上面椭圆的两种标准方程，可以提炼出椭圆标准方程的统一形式：
当 时， 为椭圆的一般方程.
利用一般方程求椭圆方程时可以设为 ，将其化为标准方程
3
因此：
当 时，表示椭圆焦点在 轴上；
当 时，表示椭圆焦点在 轴上.
适用于已知椭圆上任意两点的坐标求椭圆的标准方程．
经典例题
1. 求适合下列条件的椭圆的标准方程：
（ 2 ）焦点在坐标轴上，且经过 和 两点．
2. 若方程 表示焦点在 轴上的椭圆，那么实数 的取值范围是（ ）．
A. B. C. D.
巩固练习
1. 求适合下列条件的椭圆的标准方程．
（ 2 ）焦点在坐标轴上，且经过 和 两点．
2. 若曲线 为焦点在 轴上的椭圆，则实数 ， 满足（ ）．
A. B. C. D.
4. 知识总结
（一）椭圆的定义
叫做椭圆．
这两个定点叫做椭圆的 ，两焦点的距离叫做椭圆的 ．
4
（二）椭圆的标准方程
①若椭圆的焦点在 轴上，则椭圆的标准方程为 ，其中左焦点 ，右焦
点
②若椭圆的焦点在 轴上，则椭圆的标准方程为 ，其中上焦点 ，下焦
点 ．
之间满足的关系式为 ．
（三）椭圆的一般方程
由上面椭圆的两种标准方程，可以提炼出椭圆标准方程的统一形式：
当 时， 为椭圆的一般方程.
二、 椭圆的性质
1. 基本性质
（1）范围
由方程 知，椭圆 上任意一点的坐标 都适合不等式
， ．解得：
这说明：
①椭圆 位于直线 和 围成的矩形内，如下图：
②椭圆上任意一点的横纵坐标都是有范围的，有时候会将所求解的问题量化为关于 或 的函数，此时的
隐含条件是函数的定义域可由上得到．
（2）对称性
椭圆 既是分别以 轴， 轴为对称轴的轴对称图形，又是以坐标原点为对称中心的中心对称图形．椭圆
的对称中心叫做椭圆的中心．
这个性质的直接应用如下：
若点 在椭圆 上，则 也在椭圆 上．
（3）顶点
5
利用椭圆 的标准方程 可以求出它与对称轴的四个交点的坐标，即：
，这四个点叫做椭圆的顶点；
线段 叫做椭圆的长轴，它的长度等于 ；线段 叫做椭圆的短轴，它的长等于 ．
显然，椭圆的两个焦点在它的长轴上． ， 分别是椭圆的长半轴的长和短半轴的长．
（4）离心率
椭圆的焦距与长轴长的比值 叫做椭圆的离心率．
椭圆的离心率有如下的性质：
① ；
② 越大，椭圆越 ， 越小，椭圆越 ．
经典例题
1. 曲线 与曲线 的（ ）．
A. 长轴长相等 B. 短轴长相等 C. 离心率相等 D. 焦距相等
2. 已知椭圆 上有一点 ， ， 是椭圆的左、右焦点，若 为直角三角形，则这样的
点 有（ ）．
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
3. 若椭圆 的离心率为 ，则实数 等于（ ）．
A. B. 或 C. 或 D. 或
4. 已知椭圆 的左焦点为 ，右顶点为 ，点 在椭圆上，且 轴，直线 交
轴于点 ．若 ，则椭圆的离心率是（ ）．
A. B. C. D.
5. 设椭圆 和圆 ，若椭圆 上存在点 ，使得过点 引圆 的两条切
线，切点分别为 ， ，满足 ，则椭圆的离心率 的取值范围是（ ）．
A. B. C. D.
6. 已知 为椭圆 的两个焦点， 为椭圆上一点且 ，则此椭圆离心
率的取值范围是( )
A. B. C. D.
7. 设椭圆 的焦点为 ， ， 是椭圆上一点，且 ，若 的外接
圆和内切圆的半径分别为 ， ，当 时，椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
6
巩固练习
1. 已知点 在椭圆 上，则 的取值范围是（ ）．
A. B. C. D.
2. 若焦点在 轴上的椭圆 ： （ ）的离心率为 ，则 的值为（ ）．
A. B. C. D.
3. 椭圆 的两个焦点分别是 ， ，若 上的点 满足 ，则椭圆 的离心率 的取值范围
是（ ）．
A. B.
C. D. 或
4. 过椭圆 的左焦点 作 轴的垂线交椭圆于点 ， 为右焦点，若 ，
则椭圆的离心率为（ ）．
A. B. C. D.
5. 椭圆 和 一定具有（ ）．
A. 相同的离心率 B. 相同的焦点 C. 相同的顶点 D. 相同的长轴长
2. 椭圆的焦半径
（1）焦半径的定义
椭圆上的任意一点到焦点的长称为椭圆上该点的焦半径．
（2）焦半径公式
椭圆 的左右焦点分别为 ， ，
则椭圆上任一点 的焦半径公式为：
．
特别的：
椭圆上任一点的焦半径中最大为 ，最小为 ．
经典例题
1. 已知椭圆 ： 的左焦点为 ，动点 在椭圆上，则 的取值范围是 ．
2. 已知 、 是椭圆 的两个焦点， 是椭圆上任意一点，则 的最小值为 ．
巩固练习
7
1. 已知 ，点 在 、 所在的平面内运动且 ，则 的最大值是 ，最小值
是 ．
2. 已知点 为椭圆 ： 上动点， ， 分别是椭圆 的焦点，则 的最大值为（
）．
A. B. C. D.
3. 焦点三角形
（1）焦点三角形定义
椭圆的焦点三角形是指以椭圆的两个焦点 与椭圆上任意一点 为顶点组成的三角形．
（2）焦点三角形面积的求法
①求法一
椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，点 为椭圆上任意一点， ，则椭圆
的焦点三角形的面积为
②求法二
椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，点 为椭圆上任意一点，
则椭圆的焦点三角形面积的另一种求法为：
．
当且仅当点 在椭圆短轴端点处时面积最大，最大面积为：
．
关于 的一个结论
椭圆上任一点和两个焦点形成的角 中，当点 在椭圆的 时，与两个焦点所形成的角最
大．
经典例题
1. 已知 是椭圆 上的一点， ， 是椭圆的两个焦点，当 时，则 的面积
为 ．
2. 已知椭圆 的左右焦点分别为 ， ，点 为椭圆上一动点， 面积最大值
为 ．
3. 已知椭圆 的两个焦点分别为 ， ，若椭圆上存在点 使得 是钝角，则
椭圆离心率的取值范围是（ ）．
A. B. C. D.
8
巩固练习
1. 若点 在椭圆 上, 分别是椭圆的两焦点,且 ,则 的面积是（ ）．
A. B. C. D.
2. 椭圆 的焦点为 ， ，点 为其上的动点，当 为钝角时，点 的横坐标的取值范围
是 ．
4. 椭圆定义的拓展
（1）椭圆的第二定义
平面内到一定点 的距离和到定直线（ 不在上）的距离 的比是一定值 的点 的轨迹是椭
圆．其中， 为椭圆离心率，定点 为椭圆的焦点，定直线为准线．
即 的集合为{ ， ，其中 为定点，为定直线， 为离心率， ， 表示Р到直线的
距离}．
（2）椭圆性质的拓展——通径
过椭圆的焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的弦称为椭圆的通径，其长度的求法如下：
在椭圆 中，令 ，得 则 ，所以
，所以通径长为 ．
无论焦点在 轴上还是在 轴上，椭圆的通径长均为 ．
经典例题
已知椭圆的方程为 ，点 在椭圆上，则 到右焦点 的距离为 ．
巩固练习
椭圆 的左，右焦点分别是 、 ， 是椭圆上一点，若 ，则 点到左准线的距
离是 ．
5. 椭圆的参数方程
椭圆 的常用参数方程为： 为参数．
经典例题
1. 设点 在椭圆 上，则 的最大值与最小值为（ ）．
9
A. ， B. ， C. ， D. ，
2. 设 是椭圆 ： 的上顶点，点 在 上，则 的最大值为（ ）．
A. B. C. D.
巩固练习
已知椭圆 的离心率 ， 为椭圆上的一个动点，则 与定点 连线距离
的最大值为（ ）．
A. B. C. D.
6. 知识总结
（一）椭圆的性质
若椭圆方程为 ，则
（1）范围：
（2）对称性：椭圆 既是分别以 轴， 轴为对称轴的轴对称图形，又是以坐标原点为对称中心的中心对
称图形；若点 在椭圆 上，则 也在椭圆 上
（3）顶点:
（4）离心率：
椭圆的焦距与长轴长的比值
性质：
① ；
② 越大，椭圆越 ， 越小，椭圆越 ．
（6）焦半径
椭圆上任一点 的焦半径公式为：
．
特别的：
椭圆上任一点的焦半径中最大为 ，最小为 ．
（7）焦点三角形
椭圆的焦点三角形的面积为
．
当且仅当点 在椭圆短轴端点处时面积最大，最大面积为：
．
椭圆上任一点和两个焦点形成的角 中，当点 在椭圆的 时，与两个焦点所形成的角最
大．
10
（二）椭圆的第二定义
平面内到一定点 的距离和到定直线（ 不在上）的距离 的比是一定值 的点 的轨迹是椭
圆．其中， 为椭圆离心率，定点 为椭圆的焦点，定直线为准线．
无论焦点在 轴上还是在 轴上，椭圆的通径长均为
（三）椭圆的参数方程
椭圆 的常用参数方程为： 为参数．
思维导图
你学会了吗？画出思维导图总结本节课所学吧！
出门测
1. 在平面直角坐标系内有两定点 ， ，动点 满足 ，则动点 的轨迹方程
是 ， 的最大值等于 ．
2. 设 ， 为椭圆 的两个焦点， 为椭圆上一点，则 的周长为（ ）．
A. B. C. D. 不能确定
3. 已知椭圆 的左右焦点分别为 ， ，离心率为 ，若椭圆上存在点 ，使得
，则该离心率 的取值范围是( )
A. B. C. D.
11椭圆
学习目标
1．掌握椭圆的定义和椭圆的标准方程并会求解相关基本量．
2．掌握椭圆的性质并会解决相关数学问题．
【备注】1．本堂课重点内容是掌握椭圆的定义及标准方程（特别是 之间的关系），会将椭圆的
一般方程转化为标准方程，掌握椭圆的性质并会解决相关数学问题（特别是离心率相关问
题）；难点是椭圆的性质在解题过程中一些技巧的应用、椭圆中相关最值问题、利用椭圆
的参数方程求最值问题．
2．关联知识：双曲线、抛物线、直线与圆.
一、 椭圆及其标准方程
1. 椭圆的定义
椭圆的定义
平面内与两个定点 ， 距离之和等于常数（大于 ）的点的轨迹（或集合） 叫做椭圆．
这两个定点叫做椭圆的 焦点 ，两焦点的距离叫做椭圆的 焦距 ．
【备注】1.椭圆的定义可用集合语言表示为
2.定义的双向运用：一方面，符合定义中条件的动点轨迹为椭圆；另一方面，椭圆上的点
一定满足定义的条件（即到两点的距离之和为 ）
椭圆定义的重要解读
定义中“大于 ”这个条件不能去掉，因为：
①若“等于 ”，则点的轨迹是 线段 ；
②若“小于 ”，则 点的轨迹不存在 ．
经典例题
1. 已知动圆 过定点 ，并且与定圆 内切，则动圆的圆心 的轨迹是（ ）．
A. 线段 B. 直线 C. 圆 D. 椭圆
【备注】本题考查椭圆的定义；数形结合可发现定点 和定圆的圆心 的距离之和恰好等于定圆半径
1
【答案】D
【解析】如图，
设动圆 和定圆 内切于 ，则动圆的圆心 到两点，
即定点 和定圆的圆心 的距离之和恰好等于定圆半径，
即
，
点 的轨迹是以 ． 为焦点的椭圆，
故选 ．
【标注】【知识点】椭圆的定义
2. 设定点 ， ，动点 满足条件 ，则点 的轨迹是（ ）．
A. 椭圆 B. 线段 C. 不存在 D. 椭圆或线段
【备注】本题考查椭圆的定义与均值不等式综合问题，首先利用均值不等式求出 的范
围，再根据【椭圆定义的重要解读】进行分类讨论
【答案】D
【解析】 ，
当且仅当 时取等号．
当 时，点 的轨迹是线段 ；
当 时，点 的轨迹是椭圆．
【标注】【知识点】求点的轨迹
巩固练习
2
已知定圆 ， ，定点 ，动圆 满足与 外切且与 内
切，则 的最大值为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】设动圆半径为 ，
因为动圆 与 外切且与 内切，
则 ， ，
得 ，
∴动圆 的轨迹为椭圆，
轨迹方程为： ．
在椭圆的内部，
．
故选 ．
【标注】【知识点】利用椭圆定义求线段最值
2. 椭圆的标准方程
椭圆的标准方程
①若椭圆的焦点在 轴上，则椭圆的标准方程为 ，其中左焦点 ，右焦
点 ，如图1．
图1 图2
②若椭圆的焦点在 轴上，则椭圆的标准方程为 ，其中上焦点 ，下焦
点 ，如图2．
之间满足的关系式为 ．
3
【备注】（1）当且仅当椭圆关于原点中心对称且双焦点在同一坐标轴上时，椭圆的标准方程才具有
上述形式．
（2）椭圆 与 的大小和形状完全相同，唯一区
别是摆放位置不一样．
椭圆的标准方程要注意的是：
①椭圆的焦点在 轴上 标准方程在中 项的分母大；
椭圆的焦点在 轴上 标准方程在中 项的分母大.
②标准方程中，较大的分母是 ，另一个分母是 ， ， .
经典例题
1. 若椭圆的两焦点为 和 ，且椭圆过点 ，则椭圆方程是（ ）．
A. B. C. D.
【备注】本题是求解椭圆的标准方程的，利用给的焦点坐标可判断椭圆的标准方程，再利用 、 、
的关系及所给的点坐标求解即可
【答案】D
【解析】由题意知， ，焦点在 轴上，
∴ ，故可设椭圆的方程为 ，
把点 代入椭圆的方程可求得 ，
故椭圆的方程为 ．
故选 ．
【标注】【知识点】椭圆的标准方程
2. 已知 的顶点 、 在椭圆 上，顶点 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在
边上，则 的周长是（ ）．
A. B. C. D.
4
【备注】本题在求三角形周长时，利用椭圆的定义即可发现三角形的周长即为
【答案】C
【解析】设另一焦点为 ，则 ①
②
① ②得 ，即 ．
故选 ．
【标注】【知识点】椭圆的定义
3. 方程 表示焦点在 轴上的椭圆，则实数 的取值范围是（ ）．
A. B. C. D.
【备注】首先根据椭圆的标准方程得到 、 ,又因为焦点在 轴上，所以
【答案】C
【解析】∵ 表示焦点在 轴上的椭圆，
∴ ，解得 ．
∴实数 的取值范围是 ．
故选 ．
【标注】【知识点】椭圆的标准方程
4. 为椭圆 上一点， ， ，求 的取值范围．
【备注】本题注意点 是椭圆的一个焦点，所以可以将 的范围转化
【答案】
【解析】设左焦点为 ， ，
5
，又 ，
．
【标注】【知识点】利用椭圆定义求线段最值
5. 已知椭圆 的左焦点为 ，直线 与椭圆交于点 ， ，当 周长最大时，则
．
【备注】本题求三角形的周长时，同样利用椭圆的定义进行转化求解即可
【答案】
【解析】三角形 的周长 ，
∴直线 经过右焦点 时最大， ．
故答案为： ．
【标注】【知识点】利用椭圆定义求线段最值
6. 设 是椭圆 上的一个动点，定点 ，则 的最大值是（ ）．
A. B. C. D.
【备注】本题利用两点间的距离公式，再利用椭圆的标准方程进行消元，将式子转化为关于一个变
量的二次函数，根据函数的图象与性质求解即可
【答案】D
【解析】 ，
注意到 ，所以当 时， ．
【标注】【知识点】椭圆中其他最值问题
巩固练习
1. 椭圆 的两个焦点为 ， ，过 的直线交椭圆于 、 两点，若 ，则
的值为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】A
6
【解析】由椭圆的定义可得： ，
，
故选： ．
【标注】【知识点】椭圆的定义
2. 已知方程 表示焦点在 轴上的椭圆，则 的取值范围是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵方程 表示焦点在 轴上的椭圆，
∴ ，
解得 ．
【标注】【知识点】椭圆的标准方程
3. 已知 为椭圆 上动点， 为椭圆的右焦点，点 的坐标为 ，则 的最小值为
（ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
【标注】【知识点】利用椭圆定义求线段最值
4. 已知椭圆 及定点 ，点 是椭圆上的动点，则 的最小值为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】设点 ，则 ，
∴
．
当 时取最小值，此时 ．
故选 ．
7
【标注】【知识点】直线和椭圆的位置关系；最值问题
5. 已知椭圆 的焦点为 ， ，过 的直线与 交于 ， 两点．若 ，
，则 的方程为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】解： ， ，
又 ， ，
又 ， ，
， ，
又 ，故 ，
在 中，由余弦定理可得 ，
在 中，由余弦定理可得 ，
根据 ，可得 ，解得 ， （ 舍）．
．
所以椭圆 的方程为： ．
故选： ．
【标注】【知识点】椭圆的基本量求解
3. 椭圆的一般方程
椭圆的一般方程
由上面椭圆的两种标准方程，可以提炼出椭圆标准方程的统一形式：
当 时， 为椭圆的一般方程.
【备注】当 时，方程 可以变形为 ，由此看出方程
表示椭圆的充要条件是 ，且 ， ， 同号， .此时
为椭圆的一般方程.
利用一般方程求椭圆方程时可以设为 ，将其化为标准方程
. 因此：
8
当 时，表示椭圆焦点在 轴上；
当 时，表示椭圆焦点在 轴上.
适用于已知椭圆上任意两点的坐标求椭圆的标准方程．
经典例题
1. 求适合下列条件的椭圆的标准方程：
（ 2 ）焦点在坐标轴上，且经过 和 两点．
【备注】本题考查利用设椭圆的一般方程求解椭圆的标准方程
椭圆方程可设为 ，代入两点，可求得 的值，化为标准
方程即可
【答案】（ 1 ） ．
（ 2 ） ．
【解析】（ 1 ）∵椭圆的焦点在 轴上，
∴设所求椭圆的标准方程为 ．
由椭圆的定义，知 ，
即 ．
又 ，∴ ．
∴所求椭圆的方程为 ．
（ 2 ）设所求的椭圆方程为 ．
由 和 两点在椭圆上可得
，
即 ，
解得 ．
故所求的椭圆方程为示 ．
9
【标注】【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的定义
2. 若方程 表示焦点在 轴上的椭圆，那么实数 的取值范围是（ ）．
A. B. C. D.
【备注】这类题型考查一般方程与标准方程的形式
1.当 时需要将方程 变形为
2.由题意， 下面对应的数更大，并且 和 下面对应的数都大于零，联立方程组求解.
【答案】D
【解析】∵方程 ，
即 表示焦点在 轴上的椭圆，
∴ ，故 ．
故选 ．
【标注】【知识点】椭圆的标准方程
巩固练习
1. 求适合下列条件的椭圆的标准方程．
（ 2 ）焦点在坐标轴上，且经过 和 两点．
【答案】（ 1 ） ．
（ 2 ） ．
【解析】（ 1 ）由题意， ， ，
∴ ， ，
∴椭圆方程为： ．
（ 2 ）设椭圆方程为： ，
10
则点 ， 代入可得：
，
∴ ， ，
∴ ．
【标注】【知识点】椭圆的标准方程
2. 若曲线 为焦点在 轴上的椭圆，则实数 ， 满足（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】将方程变为标准方程为 ，由已知得， ，则 ，选 ．
【标注】【知识点】椭圆的标准方程
4. 知识总结
（一）椭圆的定义
平面内与两个定点 ， 距离之和等于常数（大于 ）的点的轨迹（或集合） 叫做椭圆．
这两个定点叫做椭圆的 焦点 ，两焦点的距离叫做椭圆的 焦距 ．
（二）椭圆的标准方程
①若椭圆的焦点在 轴上，则椭圆的标准方程为 ，其中左焦点 ，右焦
点
②若椭圆的焦点在 轴上，则椭圆的标准方程为 ，其中上焦点 ，下焦
点 ．
之间满足的关系式为 ．
（三）椭圆的一般方程
由上面椭圆的两种标准方程，可以提炼出椭圆标准方程的统一形式：
当 时， 为椭圆的一般方程.
二、 椭圆的性质
1. 基本性质
11
（1）范围
由方程 知，椭圆 上任意一点的坐标 都适合不等式
， ．解得： ， ．
这说明：
①椭圆 位于直线 和 围成的矩形内，如下图：
②椭圆上任意一点的横纵坐标都是有范围的，有时候会将所求解的问题量化为关于 或 的函数，此时的
隐含条件是函数的定义域可由上得到．
【备注】这里是以焦点在 轴上为例讲解.
（2）对称性
椭圆 既是分别以 轴， 轴为对称轴的轴对称图形，又是以坐标原点为对称中心的中心对称图形．椭圆
的对称中心叫做椭圆的中心．
这个性质的直接应用如下：
若点 在椭圆 上，则 点 、 、 也在椭圆 上．
（3）顶点
利用椭圆 的标准方程 可以求出它与对称轴的四个交点的坐标，即：
， ， ， ，这四个点叫做椭圆的顶点；
线段 叫做椭圆的长轴，它的长度等于 ；线段 叫做椭圆的短轴，它的长等于 ．
显然，椭圆的两个焦点在它的长轴上． ， 分别是椭圆的长半轴的长和短半轴的长．
（4）离心率
椭圆的焦距与长轴长的比值 叫做椭圆的离心率．
椭圆的离心率有如下的性质：
① ；
② 越大，椭圆越 扁平 ， 越小，椭圆越 接近于圆 ．
【备注】【椭圆性质对比】教师可为学生总结
12
标准方程
焦点位置 焦点在 轴上 焦点在 轴上
图形
， ，
范围
对称性 关于 轴、 轴对称，关于原点对称
， ， ， ，
顶点坐标
， ，
轴长 长轴长 ，短轴长
离心率
经典例题
1. 曲线 与曲线 的（ ）．
A. 长轴长相等 B. 短轴长相等 C. 离心率相等 D. 焦距相等
【备注】方法拓展——共焦点的椭圆系方程
①与椭圆 有公共焦点的椭圆方程为
②与椭圆 有公共焦点的椭圆方程为
【答案】D
【解析】曲线 表示焦点在 轴上、长轴长为 、短轴长为 、
离心率为 、焦距为 的椭圆．
曲线 表示焦点在 轴上、
长轴长为 、短轴长为 、
13
离心率为 、焦距为 的椭圆．
对照选项，则 正确．
故选 ．
【标注】【知识点】求椭圆的离心率
2. 已知椭圆 上有一点 ， ， 是椭圆的左、右焦点，若 为直角三角形，则这样的
点 有（ ）．
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
【备注】本题可以给到学生结论：当 即 时，点 为椭圆的短轴端点时（ 最
大处）， 为锐角；当 即 时，点 为椭圆的短轴端点时（ 最
大处）， ， 为钝角；当 时，点 为椭圆的短轴端点时（ 最
大处）， 为直角
【答案】C
【解析】当 为直角时，根据椭圆的对称性知，这样的点 有 个；
同理当 为直角时，这样的点 有 个；
当 点为椭圆的短轴端点时， 最大，且为直角，此时这样的点 有 个．
故符合要求的点 有 个．
【标注】【知识点】椭圆的对称性
3. 若椭圆 的离心率为 ，则实数 等于（ ）．
A. B. 或 C. 或 D. 或
【备注】这道题考查已知椭圆离心率求参数问题，利用离心率的求解公式，列出等式求参数，但要
注意分两种情况——焦点在 和焦点在 轴
【答案】C
【解析】当 时，焦点在 轴上， ， ， ， ，
则 ，解得： ，
当 时，焦点在 轴上， ， ，
， ，
则 ，解得： ．
14
故选 ．
【标注】【知识点】椭圆的定义
【知识点】椭圆的标准方程
【知识点】求椭圆的离心率
【素养】数学抽象
【素养】数学运算
【素养】逻辑推理
4. 已知椭圆 的左焦点为 ，右顶点为 ，点 在椭圆上，且 轴，直线 交
轴于点 ．若 ，则椭圆的离心率是（ ）．
A. B. C. D.
【备注】本题较综合，可利用数形结合法求解，有两种方法
第一种，
1.如图， ∽ ，根据已知 ，所以
2.所以 ，即 ，可求得离心率
第二种，
1.找到各点坐标，表示出向量的坐标
2.再利用向量之间的关系找到 与 的关系，从而得到离心率
【答案】D
【解析】方法一：对于椭圆，∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故选 ．
方法二：如图，
15
y
x
O
由于 轴，故 ， ，设 ，
∵ ，
∴ ．
∴ ，
∴ ．
故选 ．
【标注】【知识点】求椭圆的离心率
5. 设椭圆 和圆 ，若椭圆 上存在点 ，使得过点 引圆 的两条切
线，切点分别为 ， ，满足 ，则椭圆的离心率 的取值范围是（ ）．
A. B. C. D.
【备注】本题采用数形结合，首先根据题意可知 ；再根据条件可知 、 、 、 四点共
圆，再根据所给角度求出 ，根据两个条件得到 ,再根据椭圆中 、 、 关系求
解离心率即可
【答案】D
【解析】由椭圆： 焦点在 轴上，连接 ， ， ，
依题意， 、 、 、 四点共圆，
∵ ， ，
在直角三角形 中， ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，∴ ，
由 ，即 ，
∴ ，
即 ，
16
∴ ，
又 ，∴ ，
∴椭圆 的离心率的取值范围是 ，
故选 ．
y
x
O
【标注】【素养】直观想象；逻辑推理；数学运算
【知识点】圆的切线的相关问题；求椭圆的离心率范围
6. 已知 为椭圆 的两个焦点， 为椭圆上一点且 ，则此椭圆离心
率的取值范围是( )
A. B. C. D.
【备注】 ．
证明如下：设 其中 ，故 ，
， ＝ ．
进而可得不等式 ,即可求出离心率的范围．
【答案】C
【解析】解：设 ， ，
， ①．
把 代入椭圆 得 ②，
把①代入②得 ，
， ， ，
．
又 ，
，
，
17
故 ， ．
综上， ，
故选：C．
【标注】【知识点】求椭圆的离心率
7. 设椭圆 的焦点为 ， ， 是椭圆上一点，且 ，若 的外接
圆和内切圆的半径分别为 ， ，当 时，椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
【备注】本题比较综合，是正弦定理、余弦定理、三角形面积公式及椭圆的定义综合；首先利用正
弦定理，得到 与 的关系式；在利用余弦定理求解 与 、 的关系；
这理还考察内切圆圆心是各边的垂直平分线的交点，利用此知识求得三角形面积，利用等
面积法建立等式
【答案】B
【解析】解：椭圆的焦点为 ， ， ，
根据正弦定理可得 ，
， ．
设 ， ，则 ，
由余弦定理得， ，
，
，
又 ，
，即 ，故 ，
解得： 或 (舍)．
故选：B．
【标注】【知识点】求椭圆的离心率
巩固练习
1. 已知点 在椭圆 上，则 的取值范围是（ ）．
A. B. C. D.
18
【答案】A
【解析】由 ，得 ，
∴ ，
∴ ．
故选 ．
【标注】【知识点】椭圆坐标的取值范围
2. 若焦点在 轴上的椭圆 ： （ ）的离心率为 ，则 的值为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】依题意可知， ，又 ，解得 ，
又 ，解得 ，故 ．
【标注】【知识点】已知椭圆的离心率求其他参数
3. 椭圆 的两个焦点分别是 ， ，若 上的点 满足 ，则椭圆 的离心率 的取值范围
是（ ）．
A. B.
C. D. 或
【答案】C
【解析】方法一：∵ ，
∴ ．
由三角形中，两边之和大于第三边，可得，
，
解得 ．
故选 ．
方法二：因为椭圆 上的点 满足 ，
所以 ．
因为 ，
即 ，
19
解得 ．
所以椭圆 的离心率 的取值范围是 ．
故选 ．
【标注】【素养】逻辑推理；数学运算
【知识点】求椭圆的离心率范围
4. 过椭圆 的左焦点 作 轴的垂线交椭圆于点 ， 为右焦点，若 ，
则椭圆的离心率为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为 ，
再由 ，
有 ，
从而可得 ．
【标注】【知识点】求椭圆的离心率
5. 椭圆 和 一定具有（ ）．
A. 相同的离心率 B. 相同的焦点 C. 相同的顶点 D. 相同的长轴长
【答案】A
【解析】将椭圆 的方程化为标准方程得： ，不妨设 ，
故此方程的焦距为 ，长轴长和短轴长分别为 、 ，
离心率为 ；
从而知，它与椭圆 一定有相同的离心率，选A．
【标注】【素养】数学运算
【知识点】求椭圆的离心率
【知识点】椭圆的顶点与轴
2. 椭圆的焦半径
20
（1）焦半径的定义
椭圆上的任意一点到焦点的长称为椭圆上该点的焦半径．
（2）焦半径公式
椭圆 的左右焦点分别为 ， ，
则椭圆上任一点 的焦半径公式为：
, ．
特别的：
椭圆上任一点的焦半径中最大为 ，最小为 ．
【备注】焦半径公式的推导过程：
椭圆 的左右焦点分别为 ，
设椭圆上任一点 ，
则
因为 ，则
则
则 ．
同理可推导 ．
经典例题
1. 已知椭圆 ： 的左焦点为 ，动点 在椭圆上，则 的取值范围是 ．
【备注】本题利用好焦半径的取值范围问题 与椭圆中 的取值范围
，将上述两个式子联立可求得 范围
【答案】
【解析】∵椭圆 ： ，
则 ， ， ， ，
为左焦点， 为椭圆上的动点，则 ， ，
则 ．
【标注】【知识点】最值问题；椭圆坐标的取值范围；两点间距离公式
2. 已知 、 是椭圆 的两个焦点， 是椭圆上任意一点，则 的最小值为 ．
21
【备注】本题利用椭圆的定义，将题中 转化为关于 的二次函数形式，根据焦半径的
范围求解最值即可
【答案】
【解析】由椭圆定义知： ，所以
，因为 ，所以当
时，取得最小值为 ．
【标注】【知识点】椭圆中其他最值问题
【素养】数学运算
巩固练习
1. 已知 ，点 在 、 所在的平面内运动且 ，则 的最大值是 ，最小值
是 ．
【答案】 ;
【解析】依题意知，点 是以 ， 为焦点，长轴为 的椭圆，
∴ ， ，
∴ ， ．
∴ ，
．
故答案为： ； ．
【标注】【知识点】椭圆的定义
2. 已知点 为椭圆 ： 上动点， ， 分别是椭圆 的焦点，则 的最大值为（
）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】 ， ，
∴ ，
由此可求出 的最大值为 ．
22
【标注】【知识点】椭圆中其他最值问题
3. 焦点三角形
（1）焦点三角形定义
椭圆的焦点三角形是指以椭圆的两个焦点 与椭圆上任意一点 为顶点组成的三角形．
（2）焦点三角形面积的求法
①求法一
椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，点 为椭圆上任意一点， ，则椭圆
的焦点三角形的面积为 ．
【备注】焦点三角形面积公式的推导过程
对于焦点 ,设
则
在 中，由余弦定理：
（
即：
①
又由于
②
所以 ．
②求法二
椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，点 为椭圆上任意一点，
则椭圆的焦点三角形面积的另一种求法为：
．
当且仅当点 在椭圆短轴端点处时面积最大，最大面积为：
．
23
关于 的一个结论
椭圆上任一点和两个焦点形成的角 中，当点 在椭圆的 短轴端点 时，与两个焦点所形成的角最
大．
经典例题
1. 已知 是椭圆 上的一点， ， 是椭圆的两个焦点，当 时，则 的面积
为 ．
【备注】本题考查焦点三角形面积的求法
本题已知椭圆方程，可求 ，也已知 的大小
可直接利用公式 求得
【答案】
【解析】由椭圆 ，得 ， ，
则 ， ，
∴ ，
由余弦定理得 ，
∴ ，
即 ，
∴ ．
故答案为： ．
【标注】【知识点】三角形面积公式；椭圆的标准方程
2. 已知椭圆 的左右焦点分别为 ， ，点 为椭圆上一动点， 面积最大值
为 ．
【备注】本题考查焦点三角形面积的另一种求法：
．
当且仅当点 在椭圆短轴端点处时面积最大，最大面积为：
24
．
【答案】
【解析】∵椭圆方程为： ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
设 ，
由椭圆性质： ， ，
∴ ，
∴ 面积的最大值为 ．
综上所述，答案： ．
【标注】【知识点】椭圆的标准方程；椭圆坐标的取值范围
3. 已知椭圆 的两个焦点分别为 ， ，若椭圆上存在点 使得 是钝角，则
椭圆离心率的取值范围是（ ）．
A. B. C. D.
【备注】本题是对如下结论的考查
椭圆上任一点和两个焦点形成的角 中，当点 在椭圆的短轴端点时，与两个焦点所
形成的角最大
1.由题意，如图，存在点 使得 为钝角，说明当 在短轴端点 处时， 大于
2.所以 大于 ，因此可以得到边之间的关系，即 大于 ，即
3.再根据 即可得到离心率的范围
【答案】B
【解析】如图，当动点 在椭圆长轴端点处沿椭圆弧向短轴端点运动时，
25
点 对两个焦点的张角 渐渐增大，
当且仅当点 位于短轴端点 处时，张角 达到最大值，
由此可得，在 中， ，
所以 中， ，
所以 ，即 ，所以 ，可得 ，
所以 ，又因为 ，
所以 ．
【标注】【知识点】求椭圆的离心率
【知识点】椭圆的标准方程
【素养】数学运算
巩固练习
1. 若点 在椭圆 上, 分别是椭圆的两焦点,且 ,则 的面积是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】 （有椭圆定义可知），
（由 为直角三角形可知），
则 .
【标注】【知识点】椭圆的定义
2. 椭圆 的焦点为 ， ，点 为其上的动点，当 为钝角时，点 的横坐标的取值范围
是 ．
26
【答案】
【解析】设 ，则 ， ．
由 是钝角
，
∴ ．
【标注】【知识点】椭圆的标准方程
4. 椭圆定义的拓展
（1）椭圆的第二定义
平面内到一定点 的距离和到定直线（ 不在上）的距离 的比是一定值 的点 的轨迹是椭
圆．其中， 为椭圆离心率，定点 为椭圆的焦点，定直线为准线．
即 的集合为{ ， ，其中 为定点，为定直线， 为离心率， ， 表示Р到直线的
距离}．
（2）椭圆性质的拓展——通径
过椭圆的焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的弦称为椭圆的通径，其长度的求法如下：
在椭圆 中，令 ，得 则 ，所以
，所以通径长为 ．
无论焦点在 轴上还是在 轴上，椭圆的通径长均为 ．
【备注】以下为推导过程
1.椭圆定义的拓展
（1）椭圆定义的拓展 ，经过化简，得到
①，将①式平方并整理得 ②．
a.即 ．我们发现式子 表示点 到定点 的距离，而式
子 示点 到定直线 的距离（即与 相应准线的距离）．考虑到椭圆的对称
性，我们还可以将其写成 ．
于是动点 的集合又可以描述为{ ， }，即平面内到一定点 的距离和到
定直线（ 不在上）的距离 的比是一定值 （ 为椭圆离心率）的点 的轨迹是椭
27
圆．其中的定点 为椭圆的焦点，定直线为准线．
b.即 ，移项整理得， ．当 时，
我们有 ，也即 ，从几何的角度来说，便是平面内与
两个定点连线的斜率之积为定值的点 的轨迹是椭圆．其中的定点为椭圆长轴的顶点，定值
为 ．
事实上，上述推导过程在等价的条件下都表示椭圆，因而我们得到了关于椭圆的另一个特
定的定义．
椭圆的第二定义：
{ ， ，其中 为定点，为定直线， 为离心率， ， 表示Р到直线的
距离}．
（2）椭圆定义的灵活运用
①应用椭圆的定义，把几何知识转化为数量关系，再结合代数知识解题．而椭圆的定义与
三角形的两边之和联系紧密，因此涉及线段的问题常利用三角形两边之和大于第三边这一
结论来处理．
②一般地，如果遇到有动点到两定点距离问题，应自然联想到椭圆的定义．
经典例题
已知椭圆的方程为 ，点 在椭圆上，则 到右焦点 的距离为 ．
【备注】本题考查椭圆的第二定义
1.求出椭圆的右准线方程、右焦点坐标、离心率
2.点 到右焦点的距离与到右准线的距离比值为离心率
3.根据上述等式，求出距离
【答案】 ．
【解析】由已知可得，椭圆的右准线方程为 ， ．
设 到右准线的距离为 ，则 ．
∴ ．
【标注】【知识点】椭圆的第二定义
巩固练习
椭圆 的左，右焦点分别是 、 ， 是椭圆上一点，若 ，则 点到左准线的距
离是 ．
28
【答案】
【解析】∵ ， ，
∴ ，
∴右准线方程为 ，
∴两准线间的距离为 ．
设 到左准线的距离为 ， 到右准线的距离为 ．
∵ ， ， ．
∴ ．
又 ，
∴ ．
【标注】【知识点】椭圆的定义；圆锥曲线的第二定义
5. 椭圆的参数方程
椭圆 的常用参数方程为： 为参数．
【备注】此部分可以当拓展内容，根据椭圆的参数方程设出点坐标，利用正弦型三角函数图象与性
质或者含有二次函数的复合函数求解最值
经典例题
1. 设点 在椭圆 上，则 的最大值与最小值为（ ）．
A. ， B. ， C. ， D. ，
【备注】本题根据椭圆的参数方程设出点坐标，利用辅助角公式转化为正弦型求解最值即可
【答案】C
【解析】椭圆对应的参数方程 （ 为参数），
∴
，
∴ ， ．
【标注】【知识点】设参数解决椭圆相关问题
2. 设 是椭圆 ： 的上顶点，点 在 上，则 的最大值为（ ）．
29
A. B. C. D.
【备注】本题利用（方法二）求解，根据椭圆的参数方程设出点坐标，利用转化关于 的二次函
数型，利用二次函数的图象与性质求解最值
【答案】A
【解析】方法一：由题知 ，
设点 坐标为 ，则 ，
，
当且仅当 时取等号．
故选 ．
方法二：由题意知，上顶点 ．
设点 ， ．
则
．
【标注】【知识点】椭圆中其他最值问题
巩固练习
已知椭圆 的离心率 ， 为椭圆上的一个动点，则 与定点 连线距离
的最大值为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】椭圆 的离心率 ，
可得： ，解得 ，
椭圆方程为： ，设 ，
则 与定点 ，
连线距离： ，
当 时，取得最大值： ．
30
故选 ．
【标注】【知识点】设参数解决椭圆相关问题；椭圆中其他最值问题
6. 知识总结
（一）椭圆的性质
若椭圆方程为 ，则
（1）范围： ， ．
（2）对称性：椭圆 既是分别以 轴， 轴为对称轴的轴对称图形，又是以坐标原点为对称中心的中心对
称图形；若点 在椭圆 上，则 点 、 、 也在椭圆 上
（3）顶点: ， ， ，
（4）离心率：
椭圆的焦距与长轴长的比值
性质：
① ；
② 越大，椭圆越 扁平 ， 越小，椭圆越 接近于圆 ．
（6）焦半径
椭圆上任一点 的焦半径公式为：
, ．
特别的：
椭圆上任一点的焦半径中最大为 ，最小为 ．
（7）焦点三角形
椭圆的焦点三角形的面积为 ．
．
当且仅当点 在椭圆短轴端点处时面积最大，最大面积为：
．
椭圆上任一点和两个焦点形成的角 中，当点 在椭圆的 短轴端点 时，与两个焦点所形成的角最
大．
（二）椭圆的第二定义
平面内到一定点 的距离和到定直线（ 不在上）的距离 的比是一定值 的点 的轨迹是椭
圆．其中， 为椭圆离心率，定点 为椭圆的焦点，定直线为准线．
无论焦点在 轴上还是在 轴上，椭圆的通径长均为
31
（三）椭圆的参数方程
椭圆 的常用参数方程为： 为参数．
思维导图
你学会了吗？画出思维导图总结本节课所学吧！
【备注】
出门测
1. 在平面直角坐标系内有两定点 ， ，动点 满足 ，则动点 的轨迹方程
是 ， 的最大值等于 ．
32
【答案】 ;
【解析】因为 ， ，且点 满足 ，
所以 的轨迹是以 ， 为焦点，
长轴长为 的椭圆，
即 ， ，又 ，
所以 ．
所以动点 的轨迹为 ；
的最大值为 ．
故答案为 ， ．
【标注】【知识点】椭圆的顶点与轴；椭圆的定义
2. 设 ， 为椭圆 的两个焦点， 为椭圆上一点，则 的周长为（ ）．
A. B. C. D. 不能确定
【答案】B
【解析】∵椭圆的标准方程为 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ 的周长 ．
故选 ．
【标注】【知识点】椭圆的定义；椭圆的标准方程；焦点三角形问题
3. 已知椭圆 的左右焦点分别为 ， ，离心率为 ，若椭圆上存在点 ，使得
，则该离心率 的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】解：依题意得 ，
，
又 ，
，
33
不等号两端同除以 ，得 ，
解得 ，
又 ，
．
故选： ．
【标注】【知识点】求椭圆的离心率
34
