圆锥曲线综合
一、 椭圆、双曲线、抛物线的综合应用
1. 基础知识回顾
(一）椭圆常用结论
（1）椭圆 的焦半径公式：
.
（2）椭圆 的左右焦点分别为 ， ，点 为椭圆上任意一点
，则椭圆的焦点三角形的面积为 .
（3）若 在椭圆 上，则过 的椭圆的切线方程是 .
(二）双曲线常用结论
（1）双曲线 的焦半径公式： .
当 在右支上时， .
当 在左支上时， .
（2）双曲线 的左右焦点分别为 ， ，点 为双曲线上任意一点
，则双曲线的焦点三角形的面积为 .
（3）若 在双曲线 上，则过 的双曲线的切线方程是
.
(三）抛物线常用结论
（1）标准方程： ；焦点： ， ，通径 ；准线： ；
（2）焦半径： ，过焦点弦长
；
（3） ， ， ；
.
经典例题
1
1. 如图，已知点 是双曲线 ： 上的点，过点 作椭圆 ： 的两
条切线，切点为 ， ，直线 交 的两条渐近线于点 ， ， 是坐标原点，则 的值为
（ ）．
y
x
A. B. C. D.
2. 已知椭圆 的右焦点 是抛物线 的焦点，则过 作倾斜角为 的直线分
别交抛物线于 ， （ 在 轴上方）两点，若 ，则 的值为（ ）．
A. B. C. D. 或
3. 如图， ， 是双曲线 与椭圆 的公共焦点，点 是 ， 在第一象限的公共
点，设 方程为 ，则有（ ）．
y
O x
A. B. 的内切圆与 轴相切于点
C. 若 ，则 的离心率为 D. 若 ，则椭圆方程为
4. 已知双曲线 的右焦点到其中一条渐近线的距离等于 ，抛物线
的焦点与双曲线 的右焦点重合，则抛物线 上的动点 到直线
和 的距离之和的最小值为（ ）．
A. B. C. D.
5. 已知抛物线 上一点 到其焦点的距离为 ，双曲线 的
左顶点为 ，若双曲线一条渐近线与直线 平行，则实数 等于（ ）．
2
A. B. C. D.
巩固练习
1. 已知双曲线 （ ， ）的焦距是椭圆 焦距的两倍，且它们的
离心率互为倒数，过双曲线 的右焦点 且倾斜角为 的直线 交 于 ， 两点，则
．
2. 已知 ， 是椭圆 和双曲线 的公共顶点， 是双曲线上的动
点， 是椭圆上的动点（ ， 都异于 ， ），且 ，其中 ，设
直线 ， ， ， 的斜率分别为 ， ， ， ，若 ，则
．
3. 在平面直角坐标系中，已知抛物线 的准线与双曲线 的渐近线分
别交于 ， 两点，若 的内切圆半径为 ，则双曲线的离心率为 ．
4. 已知双曲线 ，若抛物线 ( 为双曲线半焦距 ) 的准线被双
曲线 截得的弦长为 ( 为双曲线 的离心率 )，则双曲线 的渐近线方程为（ ）．
A. B. C. D.
5. 已知椭圆 （ )与抛物线 ( )的交点为 ， ，线段 的长度等
于椭圆的短轴长，且线段 经过抛物线的焦点 ，则椭圆的离心率为（ ）．
A. B. C. D.
6. 已知椭圆 ( )的左，右焦点分别为 ， ，点Р在椭圆上，点 是圆
关于直线 对称的曲线 上任意一点，若 的最小值为
，则下列说法正确的是（ ）．
A. 椭圆 的焦距为
B. 曲线 过点 的切线斜率为
C. 若 ， 为椭圆 上关于原点对称的异于顶点和点 的两点，则直线 与 斜率 之积为
D. 的最小值为
二、 直线与圆锥曲线的位置关系
3
1. 直线与椭圆的位置关系
直线与椭圆位置关系判别方法
设直线 ： ，椭圆方程 ： ，
由 ，
消去 （或消去 ）得 ．，若
相交，直线与椭圆有两个交点；
相切，直线与椭圆有一个交点；
相离，直线与椭圆无交点．
经典例题
1. 若直线 和圆 没有交点，则过点 的直线与椭圆 的交
点个数为（ ）．
A. 至多一个 B. 个 C. 个 D. 个
2. 已知直线 与椭圆 恒有公共点，则实数 的取值范围是（ ）．
A. B. C. D.
3. 已知 ， 为椭圆 的右焦点，过点 的直线与椭圆在 轴上方相切于点 ，则直线
的斜率为（ ）．
A. B. C. D.
4. 在平面直角坐标系中，动点 在椭圆 上运动，则点 到直线 的距离
的最大值为 ．
巩固练习
1. 直线 ： 与椭圆 ： 有公共点，则 的取值范围是 ．
2. 若直线 和圆 仅有一个交点，则过点 的直线与椭圆
的交点个数为 ．
3. 设椭圆方程为 ，直线 与椭圆相交，则 的取值范围为 ．
4. 任作椭圆 的一条切线，与椭圆的两条对称轴分别交于点 ，则线段 长度的最小
值是 .
4
5. 已知椭圆 ，直线 ，则椭圆 上的点到直线 的最大距离为（ ）．
A. B. C. D.
2. 直线与双曲线的位置关系
直线与双曲线的位置关系有三种：相交、相切、相离．
这三种位置关系的判定条件可归纳为：
设直线 ： ，双曲线 ： ，
由 消去 （或消去 ）得： ．
（1）若 ，
① 相交，直线与双曲线（焦点在 轴上为例）有两个交点；
，两个交点分布在左、右两支；
，两个交点都在右支；
，两个交点都在左支；
② 相离，直线与双曲线无交点；
③ 相切．直线与双曲线只有一个交点．
（2）若 ，得到一个一次方程，与双曲线相交，只有一个交点，此时 与双曲线的渐近线平行．
所以对于双曲线来说，平行于渐近线的直线与双曲线只有一个交点，但并不相切；
因此“直线与双曲线只有一个交点”是“直线与双曲线相切”的必要不充分条件．
经典例题
1. 已知曲线 ： 及直线 ： ．
（ 1 ）若 与 左支交于两个不同的交点，求实数 的取值范围．
2. 已知双曲线 的右焦点为 ，若过点 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此
直线斜率的取值范围是（ ）．
5
A. B. C. D.
巩固练习
1. 若直线 与双曲线 的左、右支各有一个交点，则实数 的取值范围是（ ）．
A. B. C. D.
2. 已知双曲线 及直线 ．
（ 1 ）若直线 与双曲线有两个不同的交点，则 的范围为： ．
（ 2 ）若直线 与双曲线有一个交点，则 的范围为： ．
（ 3 ）若直线 与双曲线没有交点，则 的范围为： ．
3. 直线与抛物线的位置关系
直线与抛物线的位置关系可分为：相交、相切、相离．
这三种位置关系的判定条件可归纳为：
设直线 ： ，抛物线 ： ，
由 消去 （或消去 ）得： ．
（1）若 ，
相交，直线与抛物线有两个交点；
相切，直线与抛物线有一个交点；
相离，直线与抛物线无交点．
（2）若 ，得到一个一次方程，与抛物线相交，只有一个交点，此时 与抛物线的对称轴平行．
所以对于抛物线来说，平行于对称轴的直线与抛物线相交于一点，但并不是相切；
因此“直线与抛物线只有一个交点”是“直线与抛物线相切”的必要不充分条件．
经典例题
1. 设抛物线 的准线与 轴交于点 ，若过点 的直线 与抛物线有公共点，则直线 的斜率的取值
范围是（ ）
A. B. C. D.
6
2. 抛物线 的焦点坐标为 ，过点 作与该抛物线只有一个公共点的直线
有 条．
3. 抛物线 上的点到直线 的距离的最小值是（ ）．
A. B. C. D.
巩固练习
1. 已知抛物线 与直线 相切，该抛物线的方程（ ）．
A. B. C. D.
2. 抛物线 上一动点 到直线 距离的最小值为（ ）．
A. B. C. D.
3. 过点 的直线 与抛物线 只有一个公共点，则这样的直线有 条．
思维导图
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出门测
1. 已知直线 ，椭圆 ，试判断直线与椭圆的位置关系（ ）．
A. 相切 B. 相离 C. 相交 D. 相切或相交
2. 已知双曲线 ： 与抛物线 ： 有共同的一焦点，过
的左焦点且与曲线 相切的直线恰与 的一渐近线平行，则 的离心率为 ．
3. 过双曲线 的一个焦点作直线交双曲线于 、 两点，若 ，则这样的直线有（
）．
A. 条 B. 条 C. 条 D. 条
7圆锥曲线综合
学习目标
1．掌握圆锥曲线的性质并熟练应用．
2．掌握直线与椭圆、双曲线、抛物线的位置关系及判断方法．
【备注】1.本讲的重难点是掌握圆锥曲线的性质并熟练应用，掌握直线与椭圆、双曲线、抛物线的
位置关系及判断方法；
2.关联知识：直线与圆.
一、 椭圆、双曲线、抛物线的综合应用
1. 基础知识回顾
(一）椭圆常用结论
（1）椭圆 的焦半径公式： , (
， ， ).
（2）椭圆 的左右焦点分别为 ， ，点 为椭圆上任意一点
，则椭圆的焦点三角形的面积为 .
（3）若 在椭圆 上，则过 的椭圆的切线方程是 .
(二）双曲线常用结论
（1）双曲线 的焦半径公式： ( , ) .
当 在右支上时， , .
当 在左支上时， , .
（2）双曲线 的左右焦点分别为 ， ，点 为双曲线上任意一点
，则双曲线的焦点三角形的面积为 .
（3）若 在双曲线 上，则过 的双曲线的切线方程是
.
(三）抛物线常用结论
1
（1）标准方程： ；焦点： ， ，通径 ；准线： ；
（2）焦半径： ，过焦点弦长 ，
， ；
（3） ， ， ；
.
经典例题
1. 如图，已知点 是双曲线 ： 上的点，过点 作椭圆 ： 的两
条切线，切点为 ， ，直线 交 的两条渐近线于点 ， ， 是坐标原点，则 的值为
（ ）．
y
x
A. B. C. D.
【备注】本题设出椭圆的切线方程；将椭圆的切线方程与双曲线的渐近线联立求解点 、 ;
注：若 在椭圆 上，则过 的椭圆的切线方程是 .
【答案】B
【解析】椭圆 关于点 的切点弦 的方程为 ．
联立 得点 ，
同理 ，
则 ．
故选 ．
【标注】【知识点】椭圆与双曲线结合；切线综合问题；向量问题
2
2. 已知椭圆 的右焦点 是抛物线 的焦点，则过 作倾斜角为 的直线分
别交抛物线于 ， （ 在 轴上方）两点，若 ，则 的值为（ ）．
A. B. C. D. 或
【备注】本题考查椭圆与抛物线综合；主要利用抛物线中 ，
求解
【答案】C
【解析】∵椭圆 的右焦点 是抛物线 的焦点，
∴ ，则抛物线方程为 ，
过 作 准线交 ，作 轴交 ，
y
O x
故 ，
则 ，
同理可得： ，
又 ．
故选 ．
【标注】【知识点】抛物线的定义；抛物线的焦点弦问题（小题）
3. 如图， ， 是双曲线 与椭圆 的公共焦点，点 是 ， 在第一象限的公共
点，设 方程为 ，则有（ ）．
3
y
O x
A. B. 的内切圆与 轴相切于点
C. 若 ，则 的离心率为 D. 若 ，则椭圆方程为
【备注】本题考查椭圆与双曲线的定义与性质综合
【答案】BCD
【解析】A 选项：由双曲线的方程可知 ，所以 ，故 错误；
B 选项：由双曲线的定义可知 ，如图，
由内切圆的性质可得
，由 ，
所以 ，故 的内切圆与轴相切于点 ，故 正确；
C 选项：因为 ， ，所以 ，
结合椭圆的定义可知 ，所以 ，离心率为 ，故 正确；
D 选项：若 ，则 ，
又 ，所以 ，
即 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
又 ，所以 ，椭圆的方程为 ，故 正确．
故选 B C D .
【标注】【知识点】椭圆与双曲线结合；求椭圆的离心率
4.
4
已知双曲线 的右焦点到其中一条渐近线的距离等于 ，抛物线
的焦点与双曲线 的右焦点重合，则抛物线 上的动点 到直线
和 的距离之和的最小值为（ ）．
A. B. C. D.
【备注】本题首先利用结论：焦点到渐近线的距离等于 ，可求得 ;再根据双曲线与抛物线的关系求
得 ,作出草图，利用抛物线得定义转化求解即可
【答案】B
【解析】双曲线 的渐近线方程为 ，
右焦点 到其一条渐近线的距离等于 ，
可得 ，
解得： ，
即有 ，
由题意可得： ，
解得： ，
即有抛物线的方程为 ，
如图，过点 作 于点 ，
作 准线 于点 ，
连接 ，
根据抛物线的定义得 ，
设 到 的距离为 ， 到直线 的距离为 ，
∴ ，
5
根据平面几何知识，
可得当 、 、 三点共线时， 有最小值．
∵ 到直线 的距离为 ，
∴ 的最小值是 ，
由此可得所求距离和的最小值为 ．
故选 ．
【标注】【知识点】抛物线与双曲线结合；利用抛物线定义求线段最值
5. 已知抛物线 上一点 到其焦点的距离为 ，双曲线 的
左顶点为 ，若双曲线一条渐近线与直线 平行，则实数 等于（ ）．
A. B. C. D.
【备注】本题是双曲线与抛物线的考查；利用渐近线方程与求斜率公式求解即可
【答案】A
【解析】 上一点 ，到其焦点的距离为 ．
则 ，即 ．
∴抛物线方程： ．
将 代入得 ．
∴ ．
双曲线 的左顶点为 ．
则 且 ．
渐近线 ．
又∵双曲线一条渐近线与 平行．
∴ ．
解得 ．
故选 ．
【标注】【知识点】抛物线与双曲线结合
巩固练习
1.
6
已知双曲线 （ ， ）的焦距是椭圆 焦距的两倍，且它们的
离心率互为倒数，过双曲线 的右焦点 且倾斜角为 的直线 交 于 ， 两点，则
．
【答案】
【解析】因为椭圆方程 的焦距为 ，离心率为 ，
所以双曲线 的焦距为 ，离心率为 ，
故双曲线 的方程为 ，
因为 ，直线 的斜率 ，
所以直线 的方程为 ，代入双曲线 的方程 ，
可得： ，设 ， ，
则 ， ，
因为 ，
，
所以 ．
【标注】【知识点】椭圆与双曲线结合；弦长求解问题
2. 已知 ， 是椭圆 和双曲线 的公共顶点， 是双曲线上的动
点， 是椭圆上的动点（ ， 都异于 ， ），且 ，其中 ，设
直线 ， ， ， 的斜率分别为 ， ， ， ，若 ，则
．
【答案】
【解析】因为满足 （ ），
7
其中 ，所以 ，
所以 ， ， 三点共线．
设 ， ，
，
则 ， ，
所以 ， ，
因为 ，
所以 ，
所以 ．
【标注】【知识点】共线比例问题；椭圆与双曲线结合
3. 在平面直角坐标系中，已知抛物线 的准线与双曲线 的渐近线分
别交于 ， 两点，若 的内切圆半径为 ，则双曲线的离心率为 ．
【答案】
【解析】由已知可得抛物线的准线方程为： ，
双曲线的渐近线方程分别为： 和 ，
因为抛物线的准线和双曲线的渐近线相交，不妨设 ，则 ，
所以 ， ，
由三角形 的面积关系可得： ，
解得 ，则 ，
8
所以双曲线的离心率为 ．
故答案为： ．
【标注】【知识点】抛物线与双曲线结合；求双曲线的离心率
4. 已知双曲线 ，若抛物线 ( 为双曲线半焦距 ) 的准线被双
曲线 截得的弦长为 ( 为双曲线 的离心率 )，则双曲线 的渐近线方程为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】抛物线 的准线方程为： ，
把 代入双曲线方程可得 ，解得 ，
∴ ，
∴ ，故 ．
∴双曲线的渐近线方程为： ．
故选 ．
【标注】【知识点】求双曲线的渐近线；抛物线与双曲线结合；抛物线的标准方程
【素养】数学运算
5. 已知椭圆 （ )与抛物线 ( )的交点为 ， ，线段 的长度等
于椭圆的短轴长，且线段 经过抛物线的焦点 ，则椭圆的离心率为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题可知： ，
∵ 、 在抛物线 上，
∴ ， ，
即 ，
∵ 且 、 在椭圆上，
9
∴ ，
∴ ．
故选 ．
【标注】【知识点】椭圆与抛物线结合
6. 已知椭圆 ( )的左，右焦点分别为 ， ，点Р在椭圆上，点 是圆
关于直线 对称的曲线 上任意一点，若 的最小值为
，则下列说法正确的是（ ）．
A. 椭圆 的焦距为
B. 曲线 过点 的切线斜率为
C. 若 ， 为椭圆 上关于原点对称的异于顶点和点 的两点，则直线 与 斜率 之积为
D. 的最小值为
【答案】BC
【解析】
∵椭圆方程： ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
取最大时 点位于椭圆右顶点，
∴ ，
∴ ，
10
∴ ，
∴ ，
∴椭圆 ．
： 的焦距 ，故 错误；
： ， ，
∴ ，又半径为 ，设切点为 ，
∴ ，
∴ ，
∴切线斜率为 ，故 正确；
：∵ 、 关于原点对称，
∴ ，故 正确；
： 中： ， 的最小值显然为 ，
这里当 、 、 共线时可以取“ ”，
即当 点为椭圆右顶点时， 有最小值 ，故 错误；
故选 ．
【标注】【知识点】圆的切线的相关问题；椭圆中其他最值问题；椭圆的焦点三角形问题（小
题）；椭圆与圆结合
二、 直线与圆锥曲线的位置关系
1. 直线与椭圆的位置关系
直线与椭圆位置关系判别方法
设直线 ： ，椭圆方程 ： ，
由 ，
消去 （或消去 ）得 ．，若
>0 相交，直线与椭圆有两个交点；
=0 相切，直线与椭圆有一个交点；
<0 相离，直线与椭圆无交点．
经典例题
11
1. 若直线 和圆 没有交点，则过点 的直线与椭圆 的交
点个数为（ ）．
A. 至多一个 B. 个 C. 个 D. 个
【备注】本题考查直线与椭圆的位置关系问题；首先利用直线与圆的关系求得，点 是以原
点为圆心，半径为 的圆内，所以点 一定再长轴长为 ,短轴长为 的椭圆内，所以可
判断过点 的直线与椭圆有两个交点
【答案】D
【解析】∵ 与圆 没有交点，
∴ ，
∴ ，
∴点 是以原点为圆心， 为半径的圆的内部的点，
∵椭圆的长半轴为 ，短半轴为 ，
∴圆 内切于椭圆，
∴点 是椭圆内的点，
∴过点 的一条直线与椭圆的公共点数为 ．
故选 ．
【标注】【知识点】直线和椭圆的位置关系；直线与圆锥曲线的位置关系判断
2. 已知直线 与椭圆 恒有公共点，则实数 的取值范围是（ ）．
A. B. C. D.
【备注】本题考查若直线与椭圆恒有公共点等价于直线恒过的顶点在椭圆上或椭圆内即可
本题注意长轴与短轴不能相等
【答案】D
【解析】 恒过点 ，设为 ，
若直线与椭圆恒有公共点，则点 在椭圆内，
则 ，得 ，
又椭圆中 ，
∴ ．
故选 ．
12
【标注】【知识点】直线与圆锥曲线的位置关系判断；直线和椭圆的位置关系
3. 已知 ， 为椭圆 的右焦点，过点 的直线与椭圆在 轴上方相切于点 ，则直线
的斜率为（ ）．
A. B. C. D.
【备注】本题首先利用直线与椭圆相切，可求得过点 的直线的斜率，进而求得切点的横坐标，再
利用斜率公式求解即可
【答案】C
【解析】设过 的切线方程 ，代入椭圆 可得：
，
因为直线与椭圆的切线，
所以 ，
解得： ，过点 的直线与椭圆在 轴上方相切于点 ，
所以 ．
此时切点的横坐标为： ，
则 的斜率为：
．
故选： ．
【标注】【知识点】斜率计算；直线和椭圆的位置关系；直线与圆锥曲线的位置关系判断
4.
13
在平面直角坐标系中，动点 在椭圆 上运动，则点 到直线 的距离
的最大值为 ．
【备注】本题求解方法：设与已知直线平行的直线 ，与椭圆联立，求得 ,再利用两条
平行线距离公式求解距离，距离近的为最小值，距离远的为最大值
【答案】
【解析】设与直线 平行的直线方程为：
，与椭圆方程联立，消元可得 ，
令 ，可得 ．
∴两条平行线间的距离为 或 ，
∴椭圆 上的点 到直线 的距离最大值是： ．
故答案为： ．
【标注】【知识点】直线和椭圆的位置关系；最值问题
巩固练习
1. 直线 ： 与椭圆 ： 有公共点，则 的取值范围是 ．
【答案】
【解析】
联立 ，
整理得 ．
因为直线 与椭圆 有公共点，
所以 ，
解得 或 ．
故答案为： ．
【标注】【知识点】直线与圆锥曲线的位置关系判断；直线和椭圆的位置关系
2.
14
若直线 和圆 仅有一个交点，则过点 的直线与椭圆
的交点个数为 ．
【答案】
【标注】【知识点】直线与圆锥曲线的位置关系判断；直线和椭圆的位置关系；圆的切线的相关
问题
3. 设椭圆方程为 ，直线 与椭圆相交，则 的取值范围为 ．
【答案】
【解析】联立直线和椭圆 ，
∵直线与椭圆相交，
∴ ，
解得 ．
【标注】【知识点】直线和椭圆的位置关系；直线与圆锥曲线的位置关系判断
4. 任作椭圆 的一条切线，与椭圆的两条对称轴分别交于点 ，则线段 长度的最小
值是 .
【答案】
【解析】方法一：设切点为 ，则椭圆在点 的切线方程为
，它与 轴交于 ，与 轴交于 ，所以 ；
据柯西不等式， ，
因此 （当 时，上式成立等号）．
方法二：设直线
联立 得：
又∵ ，
15
∴
．
∴ （当 时，上式等号成立）
【标注】【知识点】最值问题；直线和椭圆的位置关系
5. 已知椭圆 ，直线 ，则椭圆 上的点到直线 的最大距离为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】设椭圆平行于直线 的切线为 ，代入椭圆方程得
，
则 ，解得 ，
则切线方程为 ．
由于 在椭圆上方，故直线 与直线 之间的距离即为椭圆 上
的点到直线 的最大距离，
，
故选 ．
【标注】【知识点】直线和椭圆的位置关系；直线与圆锥曲线的位置关系判断
2. 直线与双曲线的位置关系
直线与双曲线的位置关系有三种：相交、相切、相离．
这三种位置关系的判定条件可归纳为：
设直线 ： ，双曲线 ： ，
由 消去 （或消去 ）得： ．
（1）若 ，
16
① 相交，直线与双曲线（焦点在 轴上为例）有两个交点；
，两个交点分布在左、右两支；
，两个交点都在右支；
，两个交点都在左支；
② 相离，直线与双曲线无交点；
③ 相切．直线与双曲线只有一个交点．
（2）若 ，得到一个一次方程，与双曲线相交，只有一个交点，此时 与双曲线的渐近线平行．
所以对于双曲线来说，平行于渐近线的直线与双曲线只有一个交点，但并不相切；
因此“直线与双曲线只有一个交点”是“直线与双曲线相切”的必要不充分条件．
经典例题
1. 已知曲线 ： 及直线 ： ．
（ 1 ）若 与 左支交于两个不同的交点，求实数 的取值范围．
【备注】本题考查直线与双曲线相交；注意本题是相交与左右两支，所以
【答案】（ 1 ） ．
（ 2 ） 或 ．
【解析】（ 1 ）由 消去 ，得 ，
∵ 与 左支交于两个不同的交点
∴ 且 ， ，
∴ 的取值范围为 ．
（ 2 ）设 、 ，
17
由（ ）得 ， ，
又 过点 ，
，
∴ ，即 ，
∴ 或 ．
【标注】【知识点】面积问题；直线与圆锥曲线的位置关系判断；直线和双曲线的位置关系
2. 已知双曲线 的右焦点为 ，若过点 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此
直线斜率的取值范围是（ ）．
A. B. C. D.
【备注】过右焦点且与双曲线的右支有且只有一个交点，此时直线与双曲线的渐近线平行
【答案】D
【解析】双曲线 的渐近线方程是 ，右焦点 ，
过右焦点 分别作两条渐近线的平行线 和 ，
由图形可知，
符合条件的直线的斜率的范围是 ．
故选 ．
【标注】【知识点】直线和双曲线的位置关系；直线与圆锥曲线的位置关系判断
巩固练习
1. 若直线 与双曲线 的左、右支各有一个交点，则实数 的取值范围是（ ）．
18
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】 ，整理得 ，
∵直线与双曲线的左、右支各有一个交点，
∴方程在 与 上各有一个根，
则需满足 ，
解得 ，
∴ 的取值范围是 ．
故选 ．
【标注】【知识点】直线与圆锥曲线的位置关系判断；直线和双曲线的位置关系
2. 已知双曲线 及直线 ．
（ 1 ）若直线 与双曲线有两个不同的交点，则 的范围为： ．
（ 2 ）若直线 与双曲线有一个交点，则 的范围为： ．
（ 3 ）若直线 与双曲线没有交点，则 的范围为： ．
【答案】（ 1 ）
（ 2 ）
（ 3 ）
【标注】【知识点】直线和双曲线的位置关系
【素养】数学运算
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3. 直线与抛物线的位置关系
直线与抛物线的位置关系可分为：相交、相切、相离．
这三种位置关系的判定条件可归纳为：
设直线 ： ，抛物线 ： ，
由 消去 （或消去 ）得： ．
（1）若 ，
>0 相交，直线与抛物线有两个交点；
=0 相切，直线与抛物线有一个交点；
<0 相离，直线与抛物线无交点．
（2）若 ，得到一个一次方程，与抛物线相交，只有一个交点，此时 与抛物线的对称轴平行．
所以对于抛物线来说，平行于对称轴的直线与抛物线相交于一点，但并不是相切；
因此“直线与抛物线只有一个交点”是“直线与抛物线相切”的必要不充分条件．
经典例题
1. 设抛物线 的准线与 轴交于点 ，若过点 的直线 与抛物线有公共点，则直线 的斜率的取值
范围是（ ）
A. B. C. D.
【备注】直线与抛物线有交点，判别式大于等于
【答案】C
【解析】由 ，可设直线 的方程为 ，
代入抛物线方程 ，可得 ，
即 ，
．
故选 ．
【标注】【知识点】直线与圆锥曲线的位置关系判断；直线和抛物线的位置关系
2. 抛物线 的焦点坐标为 ，过点 作与该抛物线只有一个公共点的直线
有 条．
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【备注】有一个交点的情况：①与抛物线相切；②与对称轴平行
【答案】 ;
【解析】∵ ，
∴该抛物线焦点在 轴上，其坐标为 ，即 ，
由题意可知点 在抛物线 上，
故过点 且与抛物线 只有一个公共点时只能是：
（ ）过点 且与抛物线 相切，
（ ）过点 且平行于对称轴，
∴过点 且与抛物线 有且只有一个公共点的直线有 条．
【标注】【知识点】直线和抛物线的位置关系；直线与圆锥曲线的位置关系判断
3. 抛物线 上的点到直线 的距离的最小值是（ ）．
A. B. C. D.
【备注】本题求解方法：设与已知直线平行的直线 ，与抛物线联立，求得 ,进而求得
切点坐标，再利用点到直线的距离公式求解即可
【答案】A
【解析】抛物线 上到直线 的距离最小的点也就是与 平
行的直线切抛物线 的切点，设切线方程为 ，与 联立组成方程
组，解得切点坐标为 ，∴最小距离为 ．
【标注】【知识点】直线与圆锥曲线的位置关系判断；直线和抛物线的位置关系
巩固练习
1. 已知抛物线 与直线 相切，该抛物线的方程（ ）．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】∵ 与 相切，
∴ ，
∴ ，
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∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
故选 ．
【标注】【知识点】直线和抛物线的位置关系；直线与圆锥曲线的位置关系判断
2. 抛物线 上一动点 到直线 距离的最小值为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】设抛物线上的任意一点 ，
到直线 的距离 ，
由二次函数的性质可知，当 时最小距离 ．
【标注】【知识点】直线与圆锥曲线的位置关系判断；直线和抛物线的位置关系
3. 过点 的直线 与抛物线 只有一个公共点，则这样的直线有 条．
【答案】
【解析】解：设过点 的直线 的方程为 ，代入抛物线 ，
化简可得
∵过点 的直线 与抛物线 只有一个公共点
∴ ．
∴ 或
切线方程为 或
当斜率不存在时， 满足题意．
故答案为： ．
【标注】【知识点】直线与圆锥曲线的位置关系判断
思维导图
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你学会了吗？画出思维导图总结本节课所学吧！
【备注】
出门测
1. 已知直线 ，椭圆 ，试判断直线与椭圆的位置关系（ ）．
A. 相切 B. 相离 C. 相交 D. 相切或相交
【答案】C
【解析】∵ ，
∴恒过 ，
将 代入椭圆方程左侧 ，
∴该点在椭圆内部，
∴直线和椭圆相交，
故选 ．
【标注】【知识点】直线与圆锥曲线的位置关系判断
2. 已知双曲线 ： 与抛物线 ： 有共同的一焦点，过
的左焦点且与曲线 相切的直线恰与 的一渐近线平行，则 的离心率为 ．
【答案】
【解析】由题可知双曲线右焦点 即 ，
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双曲线的渐近线为 ，先取一条渐近线 ，
设过左焦点的直线 为 ，
∵直线 与抛物线相切，
∴由 可得 ，
由 可得 ，
解得 即 ，
又∵直线 与双曲线渐近线平行，渐近线 ，
∴ 即 ，
∴ ．
【标注】【知识点】求双曲线的离心率；椭圆与抛物线结合；切线综合问题
3. 过双曲线 的一个焦点作直线交双曲线于 、 两点，若 ，则这样的直线有（
）．
A. 条 B. 条 C. 条 D. 条
【答案】B
【解析】如图：当直线 与双曲线左右各有一个交点时，
y
5
4
3
2
1 x
–3 –2 ––1O1 1 2 3 4
–2
–3
弦长 最小为实轴长 ，
当直线 与双曲线的一支有两个交点时，
弦长 最小为通径长 ，
根据双曲线的对称性可知，若 ，
则当直线与双曲线左右各有一个交点时，这样的直线可有两条，
当直线与双曲线的一支有两个交点时，这样的直线只有 条，
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所以若 ，则这样的直线有且仅有 条．
故答案选： ．
【标注】【知识点】直线和双曲线的位置关系；直线与圆锥曲线的位置关系判断
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