圆锥曲线综合
一、 圆锥曲线综合应用
1. 已知椭圆 ： 的离心率与双曲线 的离心率互为倒数关系，
则 （ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】椭圆 ： 的离心率与双曲 ： 的离心率互为倒数关
系，
椭圆 ： 的离心率为 ，
所以双曲线 的离心率 ，
解得 ．
故选 ．
【标注】【知识点】已知双曲线的离心率求其他参数；椭圆与双曲线结合
2. 已知椭圆 与双曲线 有相同的焦点 ， ，点 是两曲线的一个交点，且
，过椭圆 的右焦点 做倾斜角为 的直线交椭圆 于 ， 两点，且
，则 可以取（ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】：设椭圆 的方程为 ，
双曲线 焦点 ， ，
可得 ，
，即 ，
设 ， ，
1
则 ， ， ，
可得 ，解得 ， ，
则椭圆的方程为 ，
过椭圆 的右焦点 做倾斜角为 直线方程为 ，
联立直线方程和椭圆方程，消去 可得 ，
解得 ， ，
可得交点为 ， ，
可得 ，
或 ，
则 或 ，
故选 ．
【标注】【知识点】椭圆与双曲线结合
3. 已知椭圆 与双曲线 有公共的左、右焦点
、 ，它们在第一象限交于点 ，其离心率分别为 、 ，以线段 为直径的圆恰好过点 ，
则 ．
【答案】
【解析】由椭圆定义得 ①，
在第一象限，由双曲线定义得 ②，
由①②得 ， ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即 ．
【标注】【知识点】求椭圆的离心率；求双曲线的离心率；椭圆与双曲线结合
2
4. 已知椭圆 （ ），双曲线 ．若双曲线
的两条渐近线与椭圆 的四个交点及椭圆 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，下列结论正确
的是（ ）．
参考数据（ ， ）
A. 椭圆的离心率
B. 双曲线的离心率
C. 椭圆上不存在点 使得
D. 双曲线上存在不同的四个点 ，使得
【答案】ABD
【解析】由题得示意图，
其中 与 为双曲线的渐近线，
由题可知 为正六边形，
故 ，
，
所以 为等腰三角形，
为等边三角形，
所以 ， ，
， ，
故 ．
选项：由椭圆定义可知 ，
又∵ ，
∴ ，
在 中，
3
，
即 ，故 正确；
选项，由 ，
可知其一条渐近线斜率 ，
已知 的渐近线
为 ，
则： ，
设其焦距为 ，
则
，
∴ ，
，
即离心率 ，故 正确；
选项，当 点为椭圆短轴端点时，
最大，
若 为椭圆上顶点，
则此时 ，
， ，
所以 ，
由 可知 ，
所以
，
，
此时 ，
故存在点 使 ，故 错误；
选项，以 为直径作圆，
则此时圆与双曲线相交于 ， ， ， 四点，
此时 ，故 正确．
4
【标注】【知识点】求双曲线的离心率；椭圆中向量相关问题（小题）；求椭圆的离心率；椭圆
与双曲线结合
5. 若双曲线 ： （ ， ）的两条渐近线与抛物线 ： （ ）交于
、 、 三点（点 为坐标原点），且直线 经过抛物线的焦点，则该双曲线的离心率为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】双曲线 ： （ ， ）的两条渐近线与抛物线 ： （
）交于 、 、 三点，且直线 经过抛物线的焦点，可得 则 在双曲线的渐近
线上，双曲线的一条渐近线方程： ，所以 ，即 ，可得
，所以双曲线的离心率为： ．
故选： ．
【标注】【素养】数学运算；逻辑推理
【知识点】求双曲线的离心率
二、 直线与椭圆
1. 椭圆 上的一点到直线 的最小距离为 ．
【答案】
【解析】方法一：最小距离为
．
方法二：设与椭圆相切，平行于直线 的直线 为 ．
联立 得 ．
令 即 ．
解得 或 （舍）
∴直线 为 ．
5
∴最小距离为 ．
【标注】【知识点】点到直线的距离公式；柯西不等式
2. 已知 为实数，直线 与椭圆 的交点个数为 ．
【答案】
【解析】 ，
∴直线恒过 点，
椭圆 的焦点坐标在 轴时， ，此时 是椭圆的上顶点，直线与椭圆有 个
交点．
当椭圆的焦点坐标在 轴时， ，并且 ，此时 是椭圆的上顶点，直线与椭圆有
个交点．
故答案为： ．
【标注】【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的位置关系判断
3. 已知对 ，直线 与椭圆 恒有公共点，则实数 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】直线 恒过点 ，当且仅当点 在椭圆上或椭圆内时，此直线与椭
圆才恒有公共点，所以 且 ， ，得 且 .故选
【标注】【知识点】直线与圆锥曲线的位置关系判断；直线和椭圆的位置关系
4. 若直线 和圆 没有公共点，则过点 的直线与椭圆 的公
共点个数为（ ）．
A. B.
C. D. 由 ， 的取值来确定
【答案】C
【解析】因为直线 和圆 没有公共点，
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所以原点到直线 的距离 ，
∴ ，
所以点 是在以原点为圆心， 为半径的圆内的点．
∵椭圆的长半轴 ，短半轴为 ，
∴圆 内切于椭圆，
∴点 是椭圆内的点，
∴过点 的一条直线与椭圆的公共点数为 ．
故选 ．
【标注】【知识点】直线与圆的相离问题；直线与圆锥曲线的位置关系判断；直线和椭圆的位置
关系
5. 直线 与椭圆 的位置关系为（ ）．
A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 不确定
【答案】A
【解析】直线方程可化为 ，恒过 定点；
而 在椭圆内部，因此直线与椭圆必相交，故选A．
【标注】【知识点】直线和椭圆的位置关系
三、 直线与双曲线
1. 已知直线 与双曲线 的右支相交于不同的两点，则 的取值范围是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】双曲线 的渐近线方程为 ，直线 恒过 点，
∵直线 与双曲线 的右支交于不同的两点，
消去 可得 ，
∴ ， ，解得 ．
故选： ．
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【标注】【知识点】直线与圆锥曲线的位置关系判断
【方法】判别式法
【素养】逻辑推理；数学运算
2. 已知直线 与双曲线 有且仅有一个公共点，则 ．
【答案】 ，
【解析】解：联立 ，消去 得 ．
①当 时，可得 ，此时直线 的方程为 ，
分别与等轴双曲线的渐近线 平行，
此时直线 与双曲线有且只有一个交点，满足题意；
②当 时，由直线与双曲线有且只有一个公共点，
可得 ，
解得 ．此时满足条件．
综上可得 ， ．
故答案为： ， ．
【标注】【知识点】直线和双曲线的位置关系；直线与圆锥曲线的位置关系判断
3. 若直线 与双曲线 的右支交于不同的两点，那么 的取值范围是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵ 与 的右支不同两点，
∴联立得： ，
，
且 ， ，
解以上三组不等式得： ．
故选 ．
【标注】【知识点】直线和双曲线的位置关系
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四、 直线与抛物线
1. 已知抛物线 的焦点为 ，准线为 ，过点 且斜率为 的直线交抛物线于点 （ 在第一象
限）， 于点 ，直线 交 轴于点 ，则 （ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由已知可得 ，
∴直线 的方程为 ，
由 ，
可得 ，
解得 或 ，
∵ 在第一象限，
∴ ，
故由已知可得 ，
∴ ，
∴直线 的方程为 ，
令 ，解得 ，
∴ ，
∴ ．
故选 ．
【标注】【知识点】直线和抛物线的位置关系；直线与圆锥曲线的位置关系判断
2. 与直线 平行的抛物线 的切线方程是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】方法一：由题意可设切线方程为 ，
联立方程组 ，得 ，
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令 ，解得 ，
∴切线方程为 ．故选： ．
方法二：设 为切点，则切点处的斜率为 ，
，
由此得到切点 ，
故切线方程为 ，即 ．
故选： ．
【标注】【知识点】直线与圆锥曲线的位置关系判断
3. 已知直线 ： 和直线 ： ，抛物线 上一动点 到直线 和直线 的距
离之和的最小值是 ．
【答案】
【解析】 是抛物线的准线，根据抛物线的定义， 点到 的距离等于 点到 的距离，
显然当 在过 点作 的垂线时， 到直线 和直线 的距离之和最小．
此时 ．
【标注】【知识点】直线与圆锥曲线的位置关系判断；直线和抛物线的位置关系；点到直线的距
离公式
4. 抛物线 ： 的准线与 轴的交点为 ，过点 作 的两条切线，切点分别为 ，
，则 .
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【答案】
【解析】抛物线 ： 的准线与 轴的交点为 ，
则 ，
设直线 的方程为 ，
由 得 ，
，可得 ，
∴两切线的互相垂直，
∴ ，
故答案为： ．
P
M O
Q
【标注】【知识点】直线与圆锥曲线的位置关系判断
11圆锥曲线综合
一、 圆锥曲线综合应用
1. 已知椭圆 ： 的离心率与双曲线 的离心率互为倒数关系，
则 （ ）．
A. B. C. D.
2. 已知椭圆 与双曲线 有相同的焦点 ， ，点 是两曲线的一个交点，且
，过椭圆 的右焦点 做倾斜角为 的直线交椭圆 于 ， 两点，且
，则 可以取（ ）．
A. B. C. D.
3. 已知椭圆 与双曲线 有公共的左、右焦点
、 ，它们在第一象限交于点 ，其离心率分别为 、 ，以线段 为直径的圆恰好过点 ，
则 ．
4. 已知椭圆 （ ），双曲线 ．若双曲线
的两条渐近线与椭圆 的四个交点及椭圆 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，下列结论正确
的是（ ）．
参考数据（ ， ）
A. 椭圆的离心率
B. 双曲线的离心率
C. 椭圆上不存在点 使得
D. 双曲线上存在不同的四个点 ，使得
5. 若双曲线 ： （ ， ）的两条渐近线与抛物线 ： （ ）交于
、 、 三点（点 为坐标原点），且直线 经过抛物线的焦点，则该双曲线的离心率为（ ）．
A. B. C. D.
二、 直线与椭圆
1
1. 椭圆 上的一点到直线 的最小距离为 ．
2. 已知 为实数，直线 与椭圆 的交点个数为 ．
3. 已知对 ，直线 与椭圆 恒有公共点，则实数 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
4. 若直线 和圆 没有公共点，则过点 的直线与椭圆 的公
共点个数为（ ）．
A. B.
C. D. 由 ， 的取值来确定
5. 直线 与椭圆 的位置关系为（ ）．
A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 不确定
三、 直线与双曲线
1. 已知直线 与双曲线 的右支相交于不同的两点，则 的取值范围是（ ）．
A. B. C. D.
2. 已知直线 与双曲线 有且仅有一个公共点，则 ．
3. 若直线 与双曲线 的右支交于不同的两点，那么 的取值范围是（ ）．
A. B. C. D.
四、 直线与抛物线
1. 已知抛物线 的焦点为 ，准线为 ，过点 且斜率为 的直线交抛物线于点 （ 在第一象
限）， 于点 ，直线 交 轴于点 ，则 （ ）．
A. B. C. D.
2. 与直线 平行的抛物线 的切线方程是（ ）．
A. B. C. D.
3. 已知直线 ： 和直线 ： ，抛物线 上一动点 到直线 和直线 的距
离之和的最小值是 ．
2
4. 抛物线 ： 的准线与 轴的交点为 ，过点 作 的两条切线，切点分别为 ，
，则 .
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