直线的方程
一、 直线的倾斜角与斜率
1. 直线 的斜率 则直线 的倾斜角的取值范围为 ．
【答案】
【解析】倾斜角 满足 且 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
【标注】【知识点】求倾斜角的范围
2. 过原点的直线 的倾斜角取值范围为 时，其斜率的取值范围为（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】设直线的倾斜角为 ，
∵ ，
∴斜率 ，
或 ，
∴其斜率的取值范围为： ，
故选 ．
【标注】【知识点】求斜率的范围
3. 已知点 ， ，若直线 过点 与线段 相交，则直线 的斜率 的取值范围是（
）．
A. B.
1
C. D.
【答案】C
【解析】直线 的斜率 ，直线 的斜率 ，
结合图形可得直线 的斜率 的取值范围是 或 ．
故选 ．
y
4
3
2
1
–4 –3 –2 –1 1 2 x
–1
–2
–3
【标注】【素养】数学抽象
【素养】数学运算
【知识点】斜率随倾斜角的变化规律
【知识点】斜率计算
4. 已知点 ， ， 三点共线，则 ．
【答案】
【解析】由已知， 直线存在斜率 ，
∴ ，
∴ ．
【标注】【知识点】斜率计算
【素养】数学运算
二、 直线的方程
1. 过点 且在坐标轴上的截距相等的直线的一般式方程是 ．
2
【答案】 或
【解析】当直线过原点时，方程为 ，即 ．
当直线不过原点时，设直线的方程为 ，把点 代入直线的方程可得 ，
故直线方程是 ．
综上，所求的直线方程为 ，或 ，
故答案为： ，或 ．
【标注】【知识点】直线的一般式方程；直线方程的五种形式的联系和使用范围的区别；直线的
截距式方程
2. 斜率为 ，且与两坐标轴围成的三角形的面积为 的直线方程为 ．
【答案】
【解析】设直线方程为 ，
当 时， ，
当 时， ，
面积 ，解得 ，
所以直线方程为 ．
【标注】【知识点】直线的斜截式方程
3. 已知直线 过点 ，且与两条坐标轴在第一象限所围成的三角形的面积为 ，则直线 的方程
为 ．
【答案】
【解析】设 在 轴、 轴上的截距分别为 ， ( ， )，
则直线 的方程为
∵ 在直线 上，
∴ ．
又由 与两条坐标轴在第一象限所围成的三角形面积为 ，
可得 ，
∴ ， ，
∴直线 的方程为 ，即 ，
3
故答案为： ．
【标注】【知识点】直线方程的五种形式的联系和使用范围的区别；直线的截距式方程；两直线
交点坐标
4. 不论 ， 为何值，直线 恒过定点（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由题意，直线 变形为
，
则 ，
解得 ， ，
所以，不论 ， 为何值，
直线 恒过定点 ．
故选 ．
【标注】【知识点】直线的一般式方程；直线过定点问题
5. 不论 为何值，直线 恒过定点（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵直线 恒过定点，
∴ 恒过定点，
由 ，
解得 ，
即直线 恒过定点 ．
故选 ．
【标注】【知识点】直线的一般式方程；直线过定点问题
4
三、 直线的交点坐标与距离公式
1. 已知直线 ， ，若 ，则实数 ；若
，则实数 ．
【答案】 ;
【解析】 时 ，
解得 或 ，当 时，两直线重合，
故 ，则 ，
当 时， ， ．
故答案为： ； ．
【标注】【知识点】直线的垂直
2. 已知直线 和 互相垂直，垂足是 ，则 ．
【答案】
【解析】把垂足 分别代入两直线的方程得 ， ，
∵直线 与 互相垂直，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ．
故答案为 ．
【标注】【知识点】两直线交点坐标；直线的垂直
3. 已知直线 与 互相垂直，垂足为 ，则 的值是（
）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵直线 与直线 互相垂直，
5
∴ ，解得 ，
则直线 ，即 ，垂足 代入得 ，解得
，
把 代入 ，可得 ，
∴ ．
故选 ．
【标注】【知识点】直线的垂直；两直线交点坐标
4. 已知在 中， ， ， ．
（ 1 ）求直线 的方程．
（ 2 ）求 边上的高所在的直线方程．
【答案】（ 1 ）直线方程为 ．
（ 2 ） ．
【解析】（ 1 ）如图：
∵ ， ， ，
∴ 所在直线方程为 ．
（ 2 ）过 作 ，交 于点 ，
∵ ，
∴ ，
又 ，
∴ ，
6
∵ ，
∴ ： ，
∴ 边上的高所在的直线方程为 ．
【标注】【知识点】直线的点斜式方程；直线方程的五种形式的联系和使用范围的区别；直线的
垂直；判定两条直线的位置关系
5. 已知 的三个顶点的坐标是 ， ， ．
（ 1 ）求 边所在直线的方程．
（ 2 ）求 的面积．
【答案】（ 1 ） ．
（ 2 ） ．
【解析】（ 1 ）由题可知，直线 过 、 ，
∴方程为 ，化简得 ，
∴直线 方程为 ．
（ 2 ）由题可知 ，
到直线 的距离 ，
∴ ，
∴ 的面积为 ．
【标注】【知识点】直线方程的五种形式的联系和使用范围的区别；直线的两点式方程；两点间
距离公式；点到直线的距离公式
四、 对称问题
1. 直线 关于直线 对称的直线方程是 ．
7
【答案】
【解析】设 为对称直线上任意一点，
则 关于 的对称点 ，
又因为 在直线 上，
所以 ，
即 ．
【标注】【素养】数学运算；逻辑推理；直观想象
【知识点】直线关于直线的对称直线
2. 已知点 ，直线 ： ，则点 关于直线 的对称点 的坐标为 ．
【答案】
【解析】 : ，斜率 ，
设 ，
∴ 中点 在 上且 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【标注】【知识点】点关于直线的对称点
3. 点 关于直线 的对称点的坐标为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】设对称点的坐标为 ，
由题意可知 ，
解得 ， ，
∴点 关于直线 的对称点的坐标是 ．
8
故选 ．
【标注】【知识点】点关于直线的对称点
4. 点 关于点 的对称点为 ，则（ ）．
A. ， B. ， C. ， D. ，
【答案】D
【解析】 关于点 对称点为 ，
即 ， 的中点为 ，
，
∴ ， ．
故选 ．
【标注】【知识点】点关于直线的对称点
9直线的方程
一、 直线的倾斜角与斜率
1. 直线 的斜率 则直线 的倾斜角的取值范围为 ．
2. 过原点的直线 的倾斜角取值范围为 时，其斜率的取值范围为（ ）．
A. B.
C. D.
3. 已知点 ， ，若直线 过点 与线段 相交，则直线 的斜率 的取值范围是（
）．
A. B.
C. D.
4. 已知点 ， ， 三点共线，则 ．
二、 直线的方程
1. 过点 且在坐标轴上的截距相等的直线的一般式方程是 ．
2. 斜率为 ，且与两坐标轴围成的三角形的面积为 的直线方程为 ．
3. 已知直线 过点 ，且与两条坐标轴在第一象限所围成的三角形的面积为 ，则直线 的方程
为 ．
4. 不论 ， 为何值，直线 恒过定点（ ）．
A. B. C. D.
5. 不论 为何值，直线 恒过定点（ ）．
A. B. C. D.
三、 直线的交点坐标与距离公式
1.
1
已知直线 ， ，若 ，则实数 ；若
，则实数 ．
2. 已知直线 和 互相垂直，垂足是 ，则 ．
3. 已知直线 与 互相垂直，垂足为 ，则 的值是（
）．
A. B. C. D.
4. 已知在 中， ， ， ．
（ 1 ）求直线 的方程．
（ 2 ）求 边上的高所在的直线方程．
5. 已知 的三个顶点的坐标是 ， ， ．
（ 1 ）求 边所在直线的方程．
（ 2 ）求 的面积．
四、 对称问题
1. 直线 关于直线 对称的直线方程是 ．
2. 已知点 ，直线 ： ，则点 关于直线 的对称点 的坐标为 ．
3. 点 关于直线 的对称点的坐标为（ ）．
A. B. C. D.
4. 点 关于点 的对称点为 ，则（ ）．
2
A. ， B. ， C. ， D. ，
3
