直线与圆的综合
学习目标
1．掌握直线和圆位置关系相关应用问题．
2．掌握圆与圆的位置关系及判断方法并会求解相关数学问题．
3．掌握求解与圆有关的最值问题和与圆有关的对称问题的方法．
【备注】1、本讲的重点是掌握直线和圆位置关系相关应用问题（求切线方程问题、求切线长问题、
求相交弦长问题）、掌握圆与圆的位置关系及判断方法并会求解相关数学问题、掌握求解
与圆有关的轨迹问题、最值问题和与圆有关的对称问题的方法．
2、关联知识：直线方程、圆的方程．
一、 直线与圆的位置关系应用
1. 求圆的切线的方法
（1）自一点引圆的切线的条数
①若点在圆外，则过此点可以作圆的两条切线；
②若点在圆上，则过此点只能作圆的一条切线，且此点是切点；
③若此点在圆内，则过此点不能作圆的切线．
（2）圆的切线方程的求法
①求过圆上一点 的圆的切线方程：
先求切点与圆心的连线的斜率 ，则由垂直关系知切线的斜率 ，由点斜式方程可得切线方程．若
，则切线方程为 ；若 不存在，则切线方程为 ．
②求过圆外一点 的圆的切线方程
几何法：设切线方程 ，即 ．由圆心到直线的距离等于半径，可得
，切线方程即可求出．
代数法：设切线方程 ，即 ，代入圆的方程，得到一个关于 的一元二次
方程，由 求得 ，切线方程即可求出．
注意：过圆外一点的切线必有两条，无论用几何法还是代数法，当求得 值是一个时，另一条切线的斜
率一定不存在，可用数形结合法求出．
1
经典例题
1. 过点 与圆 所引的切线方程为 ．
【备注】本题由于点 在直线外，所以应用方法②，这里需要注意考虑切线斜率是否存在问题
【答案】 ，
【解析】点 在圆外，当切线的斜率不存在时，易知切线的方程为 ，符合题意；
当切线的斜率存在时，可设过点 的切线方程为 ，
圆心 到切线的距离等于半径 ，可得 ，
解得 ，从而切线为 ．
【标注】【知识点】圆的切线的相关问题；直线的点斜式方程；斜率计算
2. 过点 的直线与圆 相切，则直线在 轴上的截距为（ ）．
A. B. C. D.
【备注】本题虽然没有直接表示 在圆上，但是将点代入圆的方程会发现此点为切点
【答案】D
【解析】根据题意，圆 ，对于点 ，
有 ，
即点 在圆 上，
则切线的方程为 ，
变形可得 ，
直线在 轴上的截距为 ．
故选 ．
【标注】【知识点】圆的切线的相关问题；直线的斜截式方程
3. 若过点 总可以作两条直线与圆 相切，则实数 的取值范围
是 ．
【备注】本题首先需要知道点与圆有两条切线的情况为：点在圆外
【答案】
2
【解析】利用点与圆的位置关系可知点在圆外就可以作两条切线．圆的方程可化为
．则有 ．
解得 或 ，故实数 的取值范围是 ．
故答案为： ．
【标注】【素养】数学运算；逻辑推理
【知识点】已知直线和圆的位置关系求参数；圆的切线的相关问题；圆的标准方程问题
巩固练习
1. 过点 且与圆 相切的直线方程为 ．
【答案】
【解析】由圆的方程找出圆心坐标为 ，半径 ，
所以点 到圆心的距离 ，
则点 在圆上，
所以过此点半径所在直线的斜率为 ，
所以切线方程的斜率为 ，又过 ，
则切线方程 ，
故答案为： ．
【标注】【素养】数学运算
【知识点】圆的切线的相关问题
2. 已知圆 的半径为 ，圆心在 轴的正半轴上，直线 与圆 相切，则圆 的方程为（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由题意可知，圆心在 轴正半轴上，
∴设圆心 ．
∵直线 与圆 相切，
∴圆心到直线 的距离 ，解得 ．
3
∴圆心坐标为 ，则圆 的方程为 ，
化简得 ．
故选 ．
【标注】【知识点】已知直线和圆的位置关系求圆的方程
2. 求圆的切线长
求切线长
过圆外一点 作圆 ： 的切线，其切线长的求法为：
先利用两点间距离公式求点 到圆心 的距离为 ，再利用勾股定理求出切线长 ．
经典例题
1. 由直线 上的点向圆 引切线，则切线长的最小值为（ ）．
A. B. C. D.
【备注】本题根据求切线长的方法转化求直线到圆心的距离的最小值
【答案】B
【解析】设切线长为 ，直线上一点到圆心的距离为 ，
则 ，
因为 的最小值为 ，
所以切线长的最小值为 ．
故选 ．
【标注】【知识点】圆的切线的相关问题；两点间距离公式
2. 已知圆 的圆心在第一象限内，圆 关于直线 对称，与 轴相切，被直线 截得的弦长为
．
（ 1 ）求圆 的方程．
（ 2 ）若点 在直线 上运动，过点 作圆 的两条切线 、 ，切点分别为 、 点，求
四边形 面积的最小值．
4
【备注】本题不难，求面积的最小值实际上就是求切线长的最小值，直接利用求切线长的方法即
可；在求解过程中可以发现转化求解圆心到直线的最小值满足条件
【答案】（ 1 ） ．
（ 2 ） ．
【解析】（ 1 ）设圆 的标准方程为： ，（ ， ），
所以圆心 为 ，
由圆 关于直线 对称有： ①，
与 轴相切： ②，
点 到 的距离为： ，
被直线 截得的弦长为 有： ，
结合②有： ，
所以 ，
又 ，
所以 ， ，
所以圆的标准方程为： ．
（ 2 ）由 ， 与圆相切，
所以 ， ， ，
由 ≌ ，
所以 四边形 ，
又 ，
且 （当 时取等）
所以 四边形 （当 时取等），
所以四边形 面积的最小值为 ．
【标注】【知识点】已知直线和圆的位置关系求圆的方程；面积问题；最值问题
巩固练习
1. 点 是直线 上的动点，由点 向圆 作切线，则切线长可能为（ ）．
A. B. C. D.
5
【答案】ACD
【解析】根据题意，由点 向圆 作切线，设 为切点，连接 、 ，如图：
圆 ，其圆心为 ，半径 ，
则切线长 ，
当 最小时， 最小，
当 与直线 垂直时， 取最小值，则 ，
所以 ，
分析选项： 、 ， 都满足 ， 符合题意．
故选： ．
【标注】【知识点】圆的切线的相关问题
2. 由直线 上的一点向圆 引切线，则切线长的最小值为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】圆
的圆心 ，
半径 ，
∵半径一定，
∴切线最短则圆心和点的距离最小，
则此时就是 到 的距离：
，
由勾股定理切线长最小值为：
．
6
故选 ．
【标注】【素养】数学运算
【知识点】直线与圆的相离问题
3. 已知圆 经过点 ，且圆心为 ．
（ 1 ）求圆 的标准方程．
（ 2 ）过点 作圆 的切线，求该切线的方程及切线长．
【答案】（ 1 ） ．
（ 2 ） 或 ； ．
【解析】（ 1 ）由题意知，圆 的半径 ，
所以圆 的标准方程为 ．
（ 2 ）由题意知切线斜率存在，故设过点 的切线方程为 ，
即 ，
则 ，
所以 ，解得 或 ，
故所求切线的方程为 或 ．
由圆的性质易得所求切线长为 ．
【标注】【知识点】圆的切线的相关问题；圆的标准方程问题
7
3. 直线与圆相交的弦长问题
设直线的方程 ，圆 的方程为 ，求弦长有以下几种方法：
（1）几何法
如图，结合弦心距 、弦长的一半及半径构成的直角三角形利用勾股定理来计算．
注意：计算圆的弦长时通常情况下采用几何法．
（2）代数法
①将方程组 消元后，由一元二次方程中根与系数的关系可得关于
或 的关系式，则
通常把 叫做弦长公式．
②直线的方程与圆的方程联立求出交点坐标 ，由两点间的距离公式
求得．
【备注】此部分内容为拓展内容，为求圆锥曲线中弦长问题做铺垫
经典例题
1. 已知圆的方程为 ，过该圆内一点 的最长弦和最短弦分别为 和 ，则四
边形 的面积是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵圆的方程为 ，
∴圆心坐标为 ，半径 ，
∵ 是该圆内一点，
∴经过 点的直径是圆的最长弦，且最短的弦是与该直径垂直的弦，
8
结合题意，设 是经过 点的直径，
BD是与 垂直的弦， ，
∵ ，
∴由垂径定理，得 ，
因此，四边形 的面积是 ．
故选 ．
【标注】【知识点】圆的弦长的相关问题
2. 若直线 将圆 的圆周分成长度之比为 的两段弧，则实数 的所有可能取值
是 ．
【备注】本题根据直线与圆的相交情况求参，建议老师采用数形结合给学生讲解
【答案】
【解析】直线 把圆 分成长度之比为 的两段弧，
∴劣弧所对的圆心角为 ，
∴圆心到直线的距离 ，
∴ ．
【标注】【知识点】已知直线和圆的位置关系求参数
【素养】逻辑推理；数学运算
3. 圆 ： 被直线： 截得的弦长的最小值为（ ）．
A. B. C. D.
【备注】本题题眼，若已知过定点的直线，则当过圆心与定点的直线与已知直线垂直时，弦长最短
【答案】B
【解析】由 ，得 ，
则圆心坐标为 ，半径为 ．
直线 即 ，过定点 ，
当过圆心与定点的直线与直线垂直时，弦长最短，
此时 ，则弦长为 ．
故选： ．
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【标注】【知识点】圆的弦长的相关问题
4. 直线经过点 被圆 截得的弦长为 ，求此弦所在直线方程．
【备注】本题需要进行分类讨论，考虑直线斜率是否存在的情况；当斜率存在时，设出直线的点斜
式方程，利用几何法求解即可
【答案】 或
【解析】方法一：（1）当斜率 不存在时，过点 的直线方程为
代入 ，得 ∴弦长为
（2）当斜率 存在时，设所求方程
即 由已知，弦心距
∴ 解得
所以此直线方程为 即
所以所求直线方程为 或
方法二：当斜率 存在时，设所求方程
即 由已知弦心距
∴ 解得
所以此直线方程为 即
方法三：由圆的方程，得到圆心坐标为 ，半径 ，
∵直线被圆截得的弦长为 ，
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∴弦心距 ，
若此弦所在的直线方程斜率不存在时，显然 满足题意；
若此弦所在的直线方程斜率存在，设斜率为 ，
∴所求直线的方程为 ，
∴圆心到所设直线的距离
，
解得： ，
此时所求方程为 即 ，
综上，此弦所在直线的方程为 或 .
【标注】【知识点】已知直线和圆的位置关系求直线的方程；圆的弦长的相关问题
5. 若圆 与 轴、 轴均有公共点，则实数 的取值范围是（ ）．
A. B. C. D.
【备注】本题需要学生理解，由于圆与 、 轴均有公共点，所以在求与 轴有交点时，令 ,转化
关于 的一元二次方程有解，利用判别式求解即可；求与 轴有交点方法一样
【答案】A
【解析】∵圆 与 轴有公共点，
则当 时， 有解， ，解得 ，
∴ ，又∵圆 与 轴有公共点，
则当 时， 有解， ，解得 ，
综上所述，实数 的取值范围为 ．
故选： ．
【标注】【素养】数学运算
【知识点】已知直线和圆的位置关系求参数
6. 若圆 上至少有三个不同的点到直线 的距离为 ，则直线 的斜率的取值
范围是（ ）．
A. B.
C. D.
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【备注】本题老师主要让学生理解：至少有 个不同的点到的距离为 ,根据圆的半径为 ，那么为了
满足此条件圆心到直线的距离需要
【答案】C
【解析】至少有 个不同的点到 的距离为 ，
∴圆心到 的距离 ，
圆心 ，
直线 ，
则 ，
，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选 ．
【标注】【素养】数学抽象；数学运算；逻辑推理
【思想】数形结合思想
【知识点】已知直线和圆的位置关系求参数；求斜率的范围
7. 已知直线 与曲线 有两个不同的交点，则实数 的取值范围是（ ）．
A. B. C. D.
【备注】本题注意曲线是在 轴上面的半圆；
并且找到满足题意得临界点，一个是过点 ,另一个是与半圆相切得的时候；
注意相切的时候有一个交点，所以此部分值取不到
【答案】D
【解析】曲线 是以 为圆心，
为半径的位于 轴上方的半圆，
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当直线过点 时，有两交点，此时 ，
当直线 与曲线相切时，有一个交点，
即圆心到直线 的距离 ，
得 或 （舍去），
∴ ．
故选 ．
【标注】【知识点】已知直线和圆的位置关系求参数
巩固练习
1. 已知圆 关于 轴对称，经过点 且被 轴分成两段弧长之比为 .则圆 的方程为（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】方法一：
由题意得： ，
∴圆 的方程为 ．
故选 ．
方法二：由已知圆心在 轴上，且 轴所分劣弧所对圆心角为 ，
设圆心 ，半径为 ，则 ，
，解得 ，即 ， ，即 ，
故圆 的方程为
故选 ．
【标注】【知识点】已知直线和圆的位置关系求圆的方程
2. 直线 被圆 截得的弦长为 ，则直线的倾斜角为( )
A. 或 B. 或 C. 或 D.
【答案】A
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【解析】解：由题意知，圆心为 ，半径为 ．
因为直线 被圆 截得的弦长为 ，
所以圆心到直线的距离 ，
解得 ，
由 ，
得 或 ．
故选A．
【标注】【知识点】圆的弦长的相关问题
3. 若过点 的直线被圆 截得的弦长最短，则直线的方程是 ，此时的弦长
为 ．
【答案】 ;
【解析】若该直线截圆的弦长最短，
而已知圆的半径为定值，因此由圆心距定理，
可知当圆心 到该直线的距离 最长即可，
所以设该直线的方程为： ，
而显然 ，
点在圆内，
因此当 与圆心 连线的斜率与垂直时， 最大，此时有： ，
所以 ，
所以直线的方程为： ，
， ，所以弦长为 ．
故答案为： ．
【标注】【知识点】已知直线和圆的位置关系求直线的方程；圆的弦长的相关问题
4. 过点 的直线与圆 相交于 ， 两点，且 ，则直线的方程为（
）．
A. B. 或
C. 或 D. 或
【答案】C
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【解析】∵圆 ，即 ，圆心 ，半径为 ，
若 ，则圆心 到直线距离 ，
若直线的斜率不存在，即 ，
此时圆心 到直线距离为 不满足条件，
若直线的斜率存在，则可设直线的方程为 ，
即 ，
则 ，
解得 或 ，
此时直线的方程为 ，或 ．
故选： ．
【标注】【知识点】已知直线和圆的位置关系求直线的方程
5. 若圆 上至少有三个不同点的直线 的距离为 ，则 的取值范围是
（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】圆 整理成 ，
∴圆心 ，半径 ，
要求：圆上至少有三个不同的点到直线 距离为 ，
则圆心到直线距离 ，
∴ ．
故选 ．
【标注】【知识点】已知直线和圆的位置关系求参数
【素养】逻辑推理；数学运算
【思想】数形结合思想
6. 已知直线的方程为 ，若直线与曲线 相交，则直线斜率 的取值范围为
（ ）．
A. B. 或 C. 或 D.
【答案】C
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【解析】 ，过定点 ，
，圆心 ， 的下半圆，
当过点 时， ，
当过 点时， ，
∴ ．
故选 ．
【标注】【知识点】已知直线和圆的位置关系求参数
4. 知识总结
（一）圆的切线方程的求法
①求过圆上一点 的圆的切线方程：
先求切点与圆心的连线的斜率 ，则由垂直关系知切线的斜率 ，由点斜式方程可得切线方程．若
，则切线方程为 ；若 不存在，则切线方程为 ．
②求过圆外一点 的圆的切线方程
几何法：设切线方程 ，即 ．由圆心到直线的距离等于半径，可得
，切线方程即可求出．
代数法：设切线方程 ，即 ，代入圆的方程，得到一个关于 的一元二次
方程，由 求得 ，切线方程即可求出．
（二）求圆的切线长
过圆外一点 作圆 ： 的切线，其切线长的求法为：
先利用两点间距离公式求点 到圆心 的距离为 ，再利用勾股定理求出切线长 ．
（三）直线与圆相交的弦长问题
设直线的方程 ，圆 的方程为 ，求弦长有以下几种方法：
几何法
如图，结合弦心距 、弦长的一半及半径构成的直角三角形利用勾股定理来计算．
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二、 圆与圆的位置关系问题
1. 圆与圆的位置关系
圆与圆的位置关系有三种：
（1）两圆相交，有两个公共点；
（2）两圆相切，包括外切与内切，只有一个公共点；
（3）两圆相离，包括外离与内含，没有公共点．
圆与圆位置关系的判断方法
一般采用几何法来判断，利用两圆的圆心距进行判断
设 ，则有：
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圆心距与半径的关系 圆与圆的位置关系 公切线条数
与 外离 4
与 外切 3
与 相交 2
与 内切 1
与 内含 0
经典例题
1. 若圆 ： 与圆 ： 相交，则 的取值范围为 ．
【备注】本题求出两圆的圆心距，再根据两圆相交时圆心距的范围求参即可：
【答案】
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【解析】 ，可得 ，解得： ．
故答案为： ．
【标注】【知识点】圆与圆的位置判断
2. 两圆 与 的公切线有（ ）．
A. 条 B. 条 C. 条 D. 条
【备注】判断两圆的位置关系，再根据位置关系判断公切线条数
【答案】C
【解析】 的圆心坐标为 ，半径为 ，
圆 的圆心为 ，半径为 ，
两圆的圆心距为 ，故两圆外切，
所以两圆有 条公切线．
【标注】【知识点】两圆的公切线条数及方程
巩固练习
1. 已知圆 的方程为 ，圆 的方程为 ，那么这两个圆的位置关系不可能
是（ ）．
A. 外离 B. 外切 C. 内含 D. 内切
【答案】C
【解析】 ，又因为 ，所以两圆不可能内含，故选 ．
【标注】【知识点】圆与圆的位置判断
2. 圆 与圆 的公切线的条数是（ ）.
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】圆 的方程即 即圆心 半径为 ，
圆 的方程为 ，圆心 半径为 ，
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两圆心的距离为 ， ，故两圆相交，两圆的公切线有 条.
【标注】【知识点】两圆的公切线条数及方程
2. 两圆的公共弦
（1）两圆相交时，公共弦所在的直线方程
设圆 ①
圆 ②
①-②得： ③
方程③表示过两圆交点的直线，即两圆公共弦所在的直线．
（2）两圆公共弦长的求法
①代数法：将两圆方程联立，求出公共弦所在直线的方程，将所得直线方程与任一圆的方程再联立，解
出两交点的坐标，利用两点间的距离公式求公共弦长．
②几何法：将两圆的方程联立，求出公共弦所在的直线的方程，由点到直线的距离公式求出弦心距，利
用勾股定理解直角三角形，求出弦长．
经典例题
1. 已知圆 与圆 相交于两点．
（ 1 ）求两圆的公共弦所在直线的方程．
（ 2 ）求两圆的公共弦长．
【备注】本题（1）联立两个的方程相减即可
（2）求得一个圆圆心到直线的距离，再利用巩固定理求得弦长的一半，进而求得弦长
【答案】（ 1 ） ．
（ 2 ） ．
【解析】（ 1 ）设两圆的交点为 ， ，则 ， 的坐标满足方程组
两式相减得 ，
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此方程即为过 ， 两点的直线方程，
所以两圆的公共弦所在直线的方程为 ．
（ 2 ）圆 可化为 ，圆 的圆心为 ，
半径长 ，
到直线 的距离 ，
则弦长 ．
【标注】【知识点】圆的弦长的相关问题；相交弦所在直线方程
2. 两圆 和 相交于两点 ， ，则线段 的长为（ ）．
A. B. C. D.
【备注】本题与上题思路一样，先求出相交弦的直线方程，再根据点到直线的距离公式求得弦心
距，再利用勾股定理求解即可
【答案】C
【解析】根据题意，圆 的圆心为 ，半径 ，
圆 的圆心为 ，半径 ，
两圆 和 相交于两点 ， ，
直线 的方程为 ，
变形可得： ，即 ．
圆 的圆心到直线 的距离 ，
则 ．
故选： ．
【标注】【知识点】相交弦所在直线方程；圆的弦长的相关问题
巩固练习
1. 已知圆 ，圆 ．
（ 1 ）分别写出这两个圆的圆心坐标和半径的长，并求两个圆心的距离．
（ 2 ）求这两个圆的公共弦的长．
21
【答案】（ 1 ） ， ， ， ．
（ 2 ） ．
【解析】（ 1 ）圆 ，圆心 ，半径 ，
圆心 ，圆心 ，
半径 ，
，
所以两个圆的圆心距为 ．
（ 2 ）公共弦所在的直线方程为： ，
圆心 到直线的距离为： ，
所以公共弦长为： ．
【标注】【知识点】圆的弦长的相关问题；相交弦所在直线方程；两点间距离公式
2. 两圆相交于两点 和 ，且两圆圆心都在直线 上，则 的值是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】两圆的交点为 ， ，
直线 的斜率为 ，
与直线垂直，所以 的斜率为 ，
所以， ，
设 的中点为 ，所以 ，
把 代入 ，可得， ，
所以， ．
【标注】【知识点】已知直线和圆的位置关系求参数
【素养】数学运算
3. 知识总结
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（一）两圆的位置关系
设 ，则有：
圆心距与半径的关系 圆与圆的位置关系 公切线条数
与 外离 4
与 外切 3
与 相交 2
与 内切 1
与 内含 0
（二）两个圆的公共弦
（1）公共弦所在直线
设圆 ①
圆 ②
①-②得： ③
方程③表示过两圆交点的直线，即两圆公共弦所在的直线．
（2）公共弦长
代数法、几何法
三、 与圆有关的应用
23
1. 求圆的轨迹方程的方法
（1）直接法：直接由题目给出的条件列出方程；
（2）定义法：根据圆的定义列方程；
（3）几何法：利用圆的几何性质列方程；
（4）代入法（即相关点法）：找到所求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式.
经典例题
1. 在直角坐标系中，点 在圆 上移动，动点 和定点 连线的中点为 ，求中点
的轨迹方程．
【备注】本题主要利用中点坐标公式，表示出点 ，再根据点 在圆上，代入即可；求轨迹方程，
我们一般思想是“求谁设谁”
【答案】 ．
【解析】设线段中点 的坐标为 ， 的坐标为 ．
则因为 为 和定点 的中点．
所以 ，则 ．
又因为点 在曲线 上移动，所以 ．
即 ．
整理得： ．
所以中点 的轨迹方程为： ．
【标注】【知识点】求曲线方程的问题
2. 已知点 和圆 ： ，过点 的动直线与圆 交于 ， ，则弦 的中点 的轨迹方程
（ ）．
A. B.
C. D.
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【备注】本题有些难度，需要学生了解直径所对的圆周角为直角，反之也成立
【答案】A
【解析】点 和圆 ： ，过点 的动直线与圆 交于 ， ，
则： ，
点 在以 为直径的圆上，
则：圆心坐标为 ，直径为 ，
所以：点 的轨迹方程为： ．
故选 ．
【标注】【知识点】求曲线方程的问题
3. 已知定点 ， 是圆 上一动点， 的平分线交 于点 ，求 的轨迹方程．
【备注】角平分线的性质推导
【答案】 ， ．
【解析】由角平分线的性质， ，
25
设 ， ，
则 ， ，
即 ， ，
∴ ，
即 ，
化简得 ，注意 ．
【标注】【知识点】求曲线方程的问题
巩固练习
1. 已知直角坐标系中 ， ，动点 满足 ，则点 的轨迹方程是 ；轨迹
为 ．
【答案】 ; 圆
【解析】设 ，由 ，
得 ，
两边平方并整理得： ．
∴点 的轨迹方程是： ．
故答案为： ；圆．
【标注】【知识点】圆的一般方程问题
2. 已知 为圆 上一动点，定点 ，求线段 中点 的轨迹方程．
26
【答案】 ．
【解析】设圆 上一动点 为 ，
所求点 为 ，由 为 中点，
得 即 ，
由 在 上即 ，
得 即 ，
故 的轨迹方程为 ．
【标注】【知识点】求点的轨迹；圆的标准方程问题
2. 与圆有关的最值问题
（1）距离型最值问题：形如 形式的最值问题，可转化为动点 到定点 的距离的
平方的最值问题；
（2）过圆内一点的最长弦为过此点的直径，最短弦为垂直于此点的圆心连线的弦；
（3）直线与圆不相交，圆心到直线的距离为 ，则圆上一点到直线的最小距离为 ，最大距离为 .
【备注】直线中的最值形式：
（1）斜率型最值问题：形如 形式的最值问题，可转化为过点 和 的直线斜率
的最值；
（2）截距型最值问题：形如 形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问
题；
经典例题
1. 已知 ， ，动点 满足 ，设动点 的轨迹为 ．
（ 1 ）求动点 的轨迹方程．
（ 2 ）点 在轨迹 上，求 最小值．
27
【备注】本题（1）利用题中给的条件设点，表示出距离，化简即可；
（2）本题题眼主要是将 看成点 与点（ ， ）的斜率，转化求斜率的最小值，
再根据点 在圆上，所以直线 与圆的圆心距离小于等于半径
【答案】（ 1 ） ．
（ 2 ） ．
【解析】（ 1 ）∵ ， ， ，
设 为 ， ，
化简可得： ，
∴轨迹 为以 为圆心， 为半径的圆，
其轨迹方程为 ．
（ 2 ）原式 ，
即表示为 点与 点之间的斜率，
设过 点的直线为 ，
则该直线到 圆心的距离 ，
解得 ，
∴ ．
【标注】【知识点】圆的轨迹相关问题；求点的轨迹
2. 已知直线 ，点 是圆 上的动点，则点 到直线的距离的最小值
为 ．
【备注】圆上的点到圆外直线的最大距离等于圆心到直线的距离加半径；最短距离等于圆心到直线
的距离减半径
【答案】
【解析】圆心为 ，易知距离的最小值 ．
【标注】【素养】数学运算
【知识点】直线与圆相关的最值问题
3. 在平面直角坐标系 中， ，动点 满足 ．
（ 1 ）求点 的轨迹方程．
28
（ 2 ）设 为圆 ： 上的动点，求 的最小值．
【备注】本题（2）主要根据题意，将 转化为 ,再利用数形结合可观察到当
、 、 三点共线时取得最小值
【答案】（ 1 ） ．
（ 2 ） ．
【解析】（ 1 ）设点 ，
则由 可得 ，
整理可得： ，
所以点 的轨迹方程为： ．
（ 2 ）由圆 的方程可得： ，半径为 ，
因为 ，
所以 ，
由图可知当 ， ， 三点共线时， 取得最小值，
y
O x
所以 ，
因为 ， ，
所以 ．
【标注】【知识点】圆的轨迹相关问题；利用距离的几何意义求最值；求曲线方程的问题
4.
29
古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名．他发现：平面内到两个定点 ， 的距离
之比为定值 的点所形成的图形是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯
圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系 中， ， ，点 满足 ．当 ， ，
三点不共线时， 面积的最大值为（ ）．
A. B. C. D.
【备注】本题时求圆的轨迹方程与最值的综合问题；本题在求得点 的轨迹采用数形结合，画出图
象，可知当以 为底边， 到 的最远距离为半径
【答案】B
【解析】设 ，因为 ，
所以 ，
化简整理可得 ，即 ，
所以点 的轨迹是以 为圆心， 为半径的圆，
又 ，且点 ， 在直径上，
故当点 到圆的直径距离最大的时候， 的面积最大值，
因为圆上的点到直径的最大距离为半径，即 的高的最大值为 ，
所以 面积的最大值为 ．
故选 ．
【标注】【知识点】圆的轨迹相关问题
5. 如图所示，在平面直角坐标系 中，点 ， 分别在 轴和 轴非负半轴上，点 在第一象限，且
， ，那么 ， 两点间距离的（ ）．
A. 最大值是 ，最小值是 B. 最大值是 ，最小值是
C. 最大值是 ，最小值是 D. 最大值是 ，最小值是
30
【备注】本题在观察可发现，点 、 的轨迹是以 为直径的圆上；所以 最大值是距离长为直径
的时候，而最短距离根据三角形三边关系 ,由于 长不变，所以只有当 为
时， 最短
【答案】A
【解析】方法一：因为 ，
∴ 、 在以 为直径的圆上；
又根据题意， ，作出点 的轨迹如图示：
最长距离为 ，即 恰为直径时：
最短距离为 ，此时 或 与原点重合：
方法二：可以将题目理解为一个以 为直径的圆中， 点为不动点， 点是在圆上的动点，当
为直径时， 距离最大，当 点与 ， 重合时， 距离最小，根据条件可知， ， ， ，
四点共圆，且 直径，所以 最大值为该圆的直径 ； 的最小值为 点与 或 重合时，为
．所以当 时，距离最大．
【标注】【素养】数学运算
【知识点】圆的轨迹相关问题
巩固练习
1. 直线 分别与 轴， 轴交于 ， 两点，点 在圆 上，则 面积的取值
范围是（ ）．
A. B. C. D.
31
【答案】A
【解析】方法一：设圆 的圆心为 ，半径为 ，点 到直线 的距离为 ，
则圆心 ， ，
所以圆心 到直线 的距离为 ，
可得 ， ，
由已知条件可得 ，
所以 面积的最大值为 ，
面积的最小值为 ，
综上， 面积的取值范围是 ．
方法二：∵直线 分别与 轴， 轴交于 ， 两点，
∴令 ，得 ，令 ，得 ，
则 ， ， ，
∵点 在圆 上，
∴设 ，
∴点 到直线 的距离：
，
∵ ，
∴ ，
∴ 面积的取值范围是：
．
故选 ．
【标注】【知识点】直线与圆的位置关系
2. 已知实数 ， 满足 ，则 的取值范围是 ．
【答案】
【解析】
32
y
为圆的方程，即 ； x
O
圆心为 ，半径为 ，目标函数 ，
所以求 的取值范围即是求圆上的点与原点连线的斜率的取值范围，
如图，易知在点 处斜率取得最大值，在点 处斜率取得最小值，
易得 ， ，
所以 的取值范围为 ．
【标注】【知识点】直线与圆相关的最值问题
3. 已知半径为 的圆经过点 ，则其圆心到原点的距离的最大值为 ．
【答案】
【解析】如图所示，设 ，连接 ，可知圆心轨迹 是以点 为圆心，半径为 的圆，
O
由勾股定理可得： ，
所以圆心到原点的最大值为 ．
故答案为 ．
【标注】【知识点】圆的轨迹相关问题
4. 若点 在圆 上运动， ，则 的最小值为（ ）．
33
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由圆的方程得：圆心坐标 ，半径 ，
∵ ，∴ 点轨迹为： ，即 ，
∴圆心到直线距离： ，
∴ ．
故选 ．
【标注】【素养】逻辑推理；数学运算；数学抽象
【知识点】直线与圆相关的最值问题；点到直线的距离公式
3. 与圆有关的对称问题
（1）圆的轴对称性
圆关于直径所在的直线对称．
（2）圆关于点对称
①求已知圆关于某点的对称的圆的方程，只需要确定所求圆的圆心，即可写出标准方程；
②两圆关于某点对称，则此点为两圆圆心连线的中点．
（3）圆关于直线对称
①求已知圆关于某条直线对称的圆的方程，只需确定所求圆的圆心，即可写出标准方程；
②两圆关于某条直线对称，则此直线为两圆圆心连线的垂直平分线．
经典例题
1. 圆 关于直线 对称的圆的方程为（ ）．
A. B.
C. D.
【备注】此题考查圆关于直线对称问题，实则考查点关于直线对称问题；设出圆心 关于直线对称的
圆心 ，利用两点的中点在直线上以及 的斜率与已知直线斜率相乘为 即可求解
【答案】C
【解析】圆 即圆 ，它的圆心为 半径为
，设圆心 关于直线 对称点为
34
，则由 ，
则圆 关于直线 对称的圆 的方程为 即 ．
故选 ．
【标注】【知识点】已知直线和圆的位置关系求直线的方程；直线与圆的对称问题
2. 已知圆 上两点 ， 关于直线 对称，则圆的半径为（ ）．
A. B. C. D.
【备注】本题同样需要分析题意，，根据点 、 关于直线 对称，则圆的圆心在直线
上
【答案】B
【解析】∵ ， 关于直线 对称，
∴直线经过圆的圆心，代入圆心坐标，
∴ ，
∴ ．
【标注】【知识点】直线与圆的对称问题
3. 已知圆 ： 关于直线对称的圆为圆 ： ，则直线的方程为（
）．
A. B. C. D.
【备注】本题根据关于直线对称的圆的半径相等，所以可求出参数 ,在根据两个圆的圆心的中点坐
标在直线上，并且利用两个圆心所在直线斜率与直线的斜率相乘等于
【答案】A
【解析】圆 ： 的圆心坐标为 ，半径为 ．
圆 ： ，即 ，其圆心坐标为 ，半径为 ．
由题意， ，解得 ．
∴圆 的圆心为 ，则 与 的中点为 ，直线的斜率为 ，
∴直线的方程为 ，即 ．
故选 ．
35
【标注】【知识点】已知直线和圆的位置关系求直线的方程；直线与圆的对称问题
【素养】数学运算；逻辑推理
4. 若圆 ： 关于直线 对称，则由点 向圆所作的切线长的最小
值是（ ）．
A. B. C. D.
【备注】此题比较综合，圆的自对称问题，由于圆关于直线对称，所以圆心在直线上；得到 、 的
关系式，再利用切线长公式求解 、 另一个关系式，消元，得到关于一个参数的二次函数
的关系式，利用二次函数的图象与性质求解即可
【答案】B
【解析】由题知圆 的圆心 ，半径为 ，
因为圆 关于直线 对称，
所以圆心 在直线 上，
所以 ，即 ，
所以由点 向圆所作的切线长为
，
当 时，切线长最小，最小值为 ．
故选 ．
【标注】【知识点】圆的切线的相关问题；直线与圆的对称问题
5. 在平面直角坐标系 中，若圆 ： （ ）上存在点 ，且点 关于直线
的对称点 在圆 ： 上，则 的取值范围是 ．
【备注】本题题眼：圆 关于直线 的对称点 在圆 等价于圆 关于直线 的对称圆
与圆 相交；
根据两圆相交时圆心距的范围求参即可：
【答案】
【解析】若圆 ： （ ）上存在点 ，
且点 关于直线 的对称点 在圆 ： 上，
等价为若圆 ： （ ）直线 的对称圆与圆 ： 相交，
则圆 ： （ ）直线 的对称圆为圆 ： （ ），
则圆心 ，半径 ，圆心 ，半径 ，
36
则 ，
若两圆相交则满足 ，
即 ，
得 ，得 ，
即 ，
即 的取值范围是 ．
故答案为： ．
【标注】【知识点】直线与圆的对称问题
6. 点 ， 分别为圆 与圆 上的动点，点 在直线 上
运动，则 的最小值为 ．
【备注】本题考查"将军饮马"问题,将其中一个圆作关于直线 的对称圆，对称圆圆心与另一
个圆的圆心的连线与两个圆的交点的距离即为 的最小值
【答案】
【解析】设圆 是圆 关于直线 对称的圆，
可得 ，圆 方程为 ，
可得当点 位于线段 上时，线段 长是圆 与圆 上两个动点之间的距离最小值，
此时 的最小值为 ，
，圆的半径 ，
∵ ，
可得 ，
故答案为 ．
【标注】【素养】逻辑推理；数学运算；直观想象
37
【知识点】直线与圆的对称问题
巩固练习
1. 已知直线过圆 的圆心，且与直线 垂直，则直线的方程为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由已知圆心为 ，所求直线的斜率为 ，由直线方程得斜截式，得 ，即
．故选 ．
【标注】【知识点】直线与圆的位置关系
2. 圆 ： 上有两个点 和 关于直线 对称，则 （ ）．
A. B. C. D. 不存在
【答案】A
【解析】由题意，得直线 经过圆心 ，
所以 ，解得 ．
【标注】【知识点】直线与圆的对称问题
3. 圆 关于直线 对称，则 的值是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】圆 关于直线 对称．
则直线过圆心 ．
即 ，
解得 ．
故选 ．
【标注】【知识点】已知直线和圆的位置关系求参数；直线与圆的对称问题
38
4. 已知圆 ： 关于直线： 对称，则原点 到直线的距离为（
）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵圆 ： ，
即 关于直线： 对称，
∴直线过圆心 ， 代入 ，
得 ： ，
故原点 到直线： 的距离为：
．
故选 ．
【标注】【知识点】点到直线的距离公式；直线与圆的对称问题
4. 知识总结
（1）求圆的轨迹方程的方法
直接法、定义法、几何法、代入法
（2）与圆有关的最值问题
①斜率型最值问题
②截距型最值问题
③距离型最值问题
④过圆内一点的最长弦为过此点的直径，最短弦为垂直于此点的圆心连线的弦、
⑤直线与圆不相交，圆心到直线的距离为 ，则圆上一点到直线的最小距离为 ，最大距离为 .
（3）与圆有关的对称问题
圆的轴对称性、圆关于点对称、圆关于直线对称
思维导图
你学会了吗？画出思维导图总结本课所学吧！
【备注】
39
出门测
1. 从直线 上的点向定圆 作切线，则切线长的最小值为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】设直线上的点为 ，圆心为 ，切点为 ，
则切线长为 ，
即 ，
则 最小值，即为求 最小值，
40
因为 是直线： 的动点 ，
∴ ，
∴ ．
故选 ．
【标注】【知识点】圆的切线的相关问题
2. 从圆 外一点 向圆引两条切线，切点分别为 ， ，则 （ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】 y
3
2
1
x
–3 –2 –1 O 1 2 3
–1
–2
–3
如图，
∵圆 ， ，
， 为圆切线，
∴ ，
，
，
∴ ．
故选 ．
【标注】【知识点】圆的切线的相关问题
3. 若圆 与圆 相交于 ， 两点，且两圆在点 处的切线互相垂直，则
线段 的长度是（ ）．
A. B. C. D.
41
【答案】B
【解析】根据题意，圆 的圆心 ，半径 ；圆 的圆
心 ，半径 ，
若圆 与圆 相交于 ， 两点，且两圆在点 处的切线互相垂
直，
则有 ，解可得 ，
解可得 ，
又由 ，
解可得： ;
故选 ．
y
5
x
5 1
5
【标注】【知识点】圆的切线的相关问题
42直线与圆的综合
一、 直线与圆的位置关系应用
1. 求圆的切线的方法
（1）自一点引圆的切线的条数
①若点在圆外，则过此点可以作圆的两条切线；
②若点在圆上，则过此点只能作圆的一条切线，且此点是切点；
③若此点在圆内，则过此点不能作圆的切线．
（2）圆的切线方程的求法
①求过圆上一点 的圆的切线方程：
先求切点与圆心的连线的斜率 ，则由垂直关系知切线的斜率 ，由点斜式方程可得切线方程．若
，则切线方程为 ；若 不存在，则切线方程为 ．
②求过圆外一点 的圆的切线方程
几何法：设切线方程 ，即 ．由圆心到直线的距离等于半径，可得
，切线方程即可求出．
代数法：设切线方程 ，即 ，代入圆的方程，得到一个关于 的一元二次
方程，由 求得 ，切线方程即可求出．
注意：过圆外一点的切线必有两条，无论用几何法还是代数法，当求得 值是一个时，另一条切线的斜
率一定不存在，可用数形结合法求出．
经典例题
1. 过点 与圆 所引的切线方程为 ．
2. 过点 的直线与圆 相切，则直线在 轴上的截距为（ ）．
A. B. C. D.
3. 若过点 总可以作两条直线与圆 相切，则实数 的取值范围
是 ．
巩固练习
1. 过点 且与圆 相切的直线方程为 ．
1
2. 已知圆 的半径为 ，圆心在 轴的正半轴上，直线 与圆 相切，则圆 的方程为（ ）．
A. B.
C. D.
2. 求圆的切线长
求切线长
过圆外一点 作圆 ： 的切线，其切线长的求法为：
先利用两点间距离公式求点 到圆心 的距离为 ，再利用勾股定理求出切线长 ．
经典例题
1. 由直线 上的点向圆 引切线，则切线长的最小值为（ ）．
A. B. C. D.
2. 已知圆 的圆心在第一象限内，圆 关于直线 对称，与 轴相切，被直线 截得的弦长为
．
（ 1 ）求圆 的方程．
（ 2 ）若点 在直线 上运动，过点 作圆 的两条切线 、 ，切点分别为 、 点，求
四边形 面积的最小值．
巩固练习
1. 点 是直线 上的动点，由点 向圆 作切线，则切线长可能为（ ）．
A. B. C. D.
2. 由直线 上的一点向圆 引切线，则切线长的最小值为（ ）．
A. B. C. D.
3. 已知圆 经过点 ，且圆心为 ．
（ 1 ）求圆 的标准方程．
（ 2 ）过点 作圆 的切线，求该切线的方程及切线长．
2
3. 直线与圆相交的弦长问题
设直线的方程 ，圆 的方程为 ，求弦长有以下几种方法：
（1）几何法
如图，结合弦心距 、弦长的一半及半径构成的直角三角形利用勾股定理来计算．
注意：计算圆的弦长时通常情况下采用几何法．
（2）代数法
①将方程组 消元后，由一元二次方程中根与系数的关系可得关于
或 的关系式，则
通常把 叫做弦长公式．
②直线的方程与圆的方程联立求出交点坐标 ，由两点间的距离公式
求得．
经典例题
1. 已知圆的方程为 ，过该圆内一点 的最长弦和最短弦分别为 和 ，则四
边形 的面积是（ ）．
A. B. C. D.
2. 若直线 将圆 的圆周分成长度之比为 的两段弧，则实数 的所有可能取值
是 ．
3
3. 圆 ： 被直线： 截得的弦长的最小值为（ ）．
A. B. C. D.
4. 直线经过点 被圆 截得的弦长为 ，求此弦所在直线方程．
5. 若圆 与 轴、 轴均有公共点，则实数 的取值范围是（ ）．
A. B. C. D.
6. 若圆 上至少有三个不同的点到直线 的距离为 ，则直线 的斜率的取值
范围是（ ）．
A. B.
C. D.
7. 已知直线 与曲线 有两个不同的交点，则实数 的取值范围是（ ）．
A. B. C. D.
巩固练习
1. 已知圆 关于 轴对称，经过点 且被 轴分成两段弧长之比为 .则圆 的方程为（ ）．
A. B.
C. D.
2. 直线 被圆 截得的弦长为 ，则直线的倾斜角为( )
A. 或 B. 或 C. 或 D.
3. 若过点 的直线被圆 截得的弦长最短，则直线的方程是 ，此时的弦长
为 ．
4. 过点 的直线与圆 相交于 ， 两点，且 ，则直线的方程为（
）．
A. B. 或
C. 或 D. 或
4
5. 若圆 上至少有三个不同点的直线 的距离为 ，则 的取值范围是
（ ）．
A. B. C. D.
6. 已知直线的方程为 ，若直线与曲线 相交，则直线斜率 的取值范围为
（ ）．
A. B. 或 C. 或 D.
4. 知识总结
（一）圆的切线方程的求法
①求过圆上一点 的圆的切线方程：
先求切点与圆心的连线的斜率 ，则由垂直关系知切线的斜率 ，由点斜式方程可得切线方程．若
，则切线方程为 ；若 不存在，则切线方程为 ．
②求过圆外一点 的圆的切线方程
几何法：设切线方程 ，即 ．由圆心到直线的距离等于半径，可得
，切线方程即可求出．
代数法：设切线方程 ，即 ，代入圆的方程，得到一个关于 的一元二次
方程，由 求得 ，切线方程即可求出．
（二）求圆的切线长
过圆外一点 作圆 ： 的切线，其切线长的求法为：
先利用两点间距离公式求点 到圆心 的距离为 ，再利用勾股定理求出切线长 ．
（三）直线与圆相交的弦长问题
设直线的方程 ，圆 的方程为 ，求弦长有以下几种方法：
几何法
如图，结合弦心距 、弦长的一半及半径构成的直角三角形利用勾股定理来计算．
5
二、 圆与圆的位置关系问题
1. 圆与圆的位置关系
圆与圆的位置关系有三种：
（1）两圆相交，有两个公共点；
（2）两圆相切，包括外切与内切，只有一个公共点；
（3）两圆相离，包括外离与内含，没有公共点．
圆与圆位置关系的判断方法
一般采用几何法来判断，利用两圆的圆心距进行判断
设 ，则有：
圆心距与半径的关系 圆与圆的位置关系 公切线条数
与 外离
与 外切
与 相交
与 内切
与 内含
6
经典例题
1. 若圆 ： 与圆 ： 相交，则 的取值范围为 ．
2. 两圆 与 的公切线有（ ）．
A. 条 B. 条 C. 条 D. 条
巩固练习
1. 已知圆 的方程为 ，圆 的方程为 ，那么这两个圆的位置关系不可能
是（ ）．
A. 外离 B. 外切 C. 内含 D. 内切
2. 圆 与圆 的公切线的条数是（ ）.
A. B. C. D.
2. 两圆的公共弦
（1）两圆相交时，公共弦所在的直线方程
设圆 ①
圆 ②
①-②得： ③
方程③表示过两圆交点的直线，即两圆公共弦所在的直线．
（2）两圆公共弦长的求法
①代数法：将两圆方程联立，求出公共弦所在直线的方程，将所得直线方程与任一圆的方程再联立，解
出两交点的坐标，利用两点间的距离公式求公共弦长．
②几何法：将两圆的方程联立，求出公共弦所在的直线的方程，由点到直线的距离公式求出弦心距，利
用勾股定理解直角三角形，求出弦长．
经典例题
1. 已知圆 与圆 相交于两点．
7
（ 1 ）求两圆的公共弦所在直线的方程．
（ 2 ）求两圆的公共弦长．
2. 两圆 和 相交于两点 ， ，则线段 的长为（ ）．
A. B. C. D.
巩固练习
1. 已知圆 ，圆 ．
（ 1 ）分别写出这两个圆的圆心坐标和半径的长，并求两个圆心的距离．
（ 2 ）求这两个圆的公共弦的长．
2. 两圆相交于两点 和 ，且两圆圆心都在直线 上，则 的值是（ ）．
A. B. C. D.
3. 知识总结
（一）两圆的位置关系
设 ，则有：
8
圆心距与半径的关系 圆与圆的位置关系 公切线条数
与 外离
与 外切
与 相交
与 内切
与 内含
（二）两个圆的公共弦
（1）公共弦所在直线
设圆 ①
圆 ②
①-②得： ③
方程③表示过两圆交点的直线，即两圆公共弦所在的直线．
（2）公共弦长
代数法、几何法
三、 与圆有关的应用
1. 求圆的轨迹方程的方法
（1）直接法：直接由题目给出的条件列出方程；
9
（2）定义法：根据圆的定义列方程；
（3）几何法：利用圆的几何性质列方程；
（4）代入法（即相关点法）：找到所求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式.
经典例题
1. 在直角坐标系中，点 在圆 上移动，动点 和定点 连线的中点为 ，求中点
的轨迹方程．
2. 已知点 和圆 ： ，过点 的动直线与圆 交于 ， ，则弦 的中点 的轨迹方程
（ ）．
A. B.
C. D.
3. 已知定点 ， 是圆 上一动点， 的平分线交 于点 ，求 的轨迹方程．
巩固练习
1. 已知直角坐标系中 ， ，动点 满足 ，则点 的轨迹方程是 ；轨迹
为 ．
2. 已知 为圆 上一动点，定点 ，求线段 中点 的轨迹方程．
10
2. 与圆有关的最值问题
（1）距离型最值问题：形如 形式的最值问题，可转化为动点 到定点 的距离的
平方的最值问题；
（2）过圆内一点的最长弦为过此点的直径，最短弦为垂直于此点的圆心连线的弦；
（3）直线与圆不相交，圆心到直线的距离为 ，则圆上一点到直线的最小距离为 ，最大距离为 .
经典例题
1. 已知 ， ，动点 满足 ，设动点 的轨迹为 ．
（ 1 ）求动点 的轨迹方程．
（ 2 ）点 在轨迹 上，求 最小值．
2. 已知直线 ，点 是圆 上的动点，则点 到直线的距离的最小值
为 ．
3. 在平面直角坐标系 中， ，动点 满足 ．
（ 1 ）求点 的轨迹方程．
（ 2 ）设 为圆 ： 上的动点，求 的最小值．
11
4. 古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名．他发现：平面内到两个定点 ， 的距离
之比为定值 的点所形成的图形是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯
圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系 中， ， ，点 满足 ．当 ， ，
三点不共线时， 面积的最大值为（ ）．
A. B. C. D.
5. 如图所示，在平面直角坐标系 中，点 ， 分别在 轴和 轴非负半轴上，点 在第一象限，且
， ，那么 ， 两点间距离的（ ）．
A. 最大值是 ，最小值是 B. 最大值是 ，最小值是
C. 最大值是 ，最小值是 D. 最大值是 ，最小值是
巩固练习
1. 直线 分别与 轴， 轴交于 ， 两点，点 在圆 上，则 面积的取值
范围是（ ）．
A. B. C. D.
2. 已知实数 ， 满足 ，则 的取值范围是 ．
3. 已知半径为 的圆经过点 ，则其圆心到原点的距离的最大值为 ．
4. 若点 在圆 上运动， ，则 的最小值为（ ）．
A. B. C. D.
3. 与圆有关的对称问题
（1）圆的轴对称性
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圆关于直径所在的直线对称．
（2）圆关于点对称
①求已知圆关于某点的对称的圆的方程，只需要确定所求圆的圆心，即可写出标准方程；
②两圆关于某点对称，则此点为两圆圆心连线的中点．
（3）圆关于直线对称
①求已知圆关于某条直线对称的圆的方程，只需确定所求圆的圆心，即可写出标准方程；
②两圆关于某条直线对称，则此直线为两圆圆心连线的垂直平分线．
经典例题
1. 圆 关于直线 对称的圆的方程为（ ）．
A. B.
C. D.
2. 已知圆 上两点 ， 关于直线 对称，则圆的半径为（ ）．
A. B. C. D.
3. 已知圆 ： 关于直线对称的圆为圆 ： ，则直线的方程为（
）．
A. B. C. D.
4. 若圆 ： 关于直线 对称，则由点 向圆所作的切线长的最小
值是（ ）．
A. B. C. D.
5. 在平面直角坐标系 中，若圆 ： （ ）上存在点 ，且点 关于直线
的对称点 在圆 ： 上，则 的取值范围是 ．
6. 点 ， 分别为圆 与圆 上的动点，点 在直线 上
运动，则 的最小值为 ．
巩固练习
1. 已知直线过圆 的圆心，且与直线 垂直，则直线的方程为（ ）．
A. B. C. D.
2. 圆 ： 上有两个点 和 关于直线 对称，则 （ ）．
A. B. C. D. 不存在
3. 圆 关于直线 对称，则 的值是（ ）．
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A. B. C. D.
4. 已知圆 ： 关于直线： 对称，则原点 到直线的距离为（
）．
A. B. C. D.
4. 知识总结
（1）求圆的轨迹方程的方法
直接法、定义法、几何法、代入法
（2）与圆有关的最值问题
①斜率型最值问题
②截距型最值问题
③距离型最值问题
④过圆内一点的最长弦为过此点的直径，最短弦为垂直于此点的圆心连线的弦、
⑤直线与圆不相交，圆心到直线的距离为 ，则圆上一点到直线的最小距离为 ，最大距离为 .
（3）与圆有关的对称问题
圆的轴对称性、圆关于点对称、圆关于直线对称
思维导图
你学会了吗？画出思维导图总结本课所学吧！
出门测
1. 从直线 上的点向定圆 作切线，则切线长的最小值为（ ）．
A. B. C. D.
2. 从圆 外一点 向圆引两条切线，切点分别为 ， ，则 （ ）．
A. B. C. D.
3. 若圆 与圆 相交于 ， 两点，且两圆在点 处的切线互相垂直，则
线段 的长度是（ ）．
A. B. C. D.
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