2022-2023学年人教版九年级数学上册第21章一元二次方程 单元综合练习题 （含答案）

2022-2023学年人教版九年级数学上册《第21章一元二次方程》单元综合练习题（附答案）
一．选择题
1．下列方程是关于x的一元二次方程的是（　　）
A．x2+＝1 B．ax2+bx+c＝0
C．（x+1）（x+2）＝1 D．3x2﹣2xy﹣5y＝0
2．若2﹣是方程x2﹣4x+c＝0的一个根，则c的值是（　　）
A．1 B． C． D．
3．一元二次方程（x﹣1）2﹣2＝0的根是（　　）
A．x＝ B．x1＝﹣1，x2＝3
C．x＝﹣ D．x1＝1+，x2＝1﹣
4．用配方法解方程x2﹣x﹣1＝0时，应将其变形为（　　）
A．（x﹣）2＝ B．（x+）2＝
C．（x﹣）2＝0 D．（x﹣）2＝
5．方程x2＝2x的解是（　　）
A．x＝2 B． C．x＝0 D．x＝2或x＝0
6．已知关于x的一元二次方程3x2+4x﹣5＝0，下列说法正确的是（　　）
A．方程有两个相等的实数根 B．方程有两个不相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
7．已知x、y都是实数，且（x2+y2）（x2+y2+2）﹣3＝0，那么x2+y2的值是（　　）
A．﹣3 B．1 C．﹣3或1 D．﹣1或3
8．在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，则参加酒会的人数为（　　）
A．9人 B．10人 C．11人 D．12人
9．如图，在宽为20m，长为32m的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为540m2，求道路的宽． 如果设小路宽为x，根据题意，所列方程正确的是（　　）
A．（20﹣x）（32﹣x）＝540 B．（20﹣x）（32﹣x）＝100
C．（20+x）（32﹣x）＝540 D．（20+x）（32﹣x）＝100
10．已知M＝a﹣1，N＝a2﹣a（a为任意实数），则M、N的大小关系为（　　）
A．M≤N B．M＝N C．M＞N D．不能确定
二．填空题
11．一元二次方程3x（x﹣3）＝2x2+1化为一般形式为　 　．
12．已知y＝x2+x﹣34，当x＝　 　时，y＝﹣2．
13．若等腰三角形的一边长为5，另两边长恰好是方程x2﹣（8+k）x+8k＝0的两个根，则这个等腰三角形的周长为　 　．
14．设x1、x2是一元二次方程x2﹣mx﹣6＝0的两个根，且x1+x2＝1，则x1＝　 　，x2＝　 　．
15．将一元二次方程x2+8x+13＝0通过配方转化成（x+n）2＝p的形式（n，p为常数），则n＝　 　，p＝　 　．
16．关于x的方程mx2﹣2x+3＝0有两个不相等的实数根，那么m的取值范围是 　 　．
三．解答题
17．解方程：
（1）4x2﹣25＝0 （2）49（x+1）2＝64．
18．解方程：（x﹣3）（x﹣2）﹣4＝0．
19．用适当的方法解下列方程
（1）（3x﹣1）2＝（x+1）2
（2）2x2+x﹣＝0
（3）用配方法解方程：x2﹣4x+1＝0
（4）用换元法解方程：（x2+x）2+（x2+x）＝6．
20．已知关于x的方程x2+ax+a﹣2＝0．
（1）若该方程的一个根为1，求a的值；
（2）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．
21．某公司今年1月份的生产成本是400万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，3月份的生产成本是361万元．
假设该公司2、3、4月每个月生产成本的下降率都相同．
（1）求每个月生产成本的下降率；
（2）请你预测4月份该公司的生产成本．
22．请你先认真阅读下列材料，再参照例子解答问题：
已知（x+y﹣3）（x+y+4）＝﹣10，求x+y的值．
解：设t＝x+y，则原方程变形为（t﹣3）（t+4）＝﹣10，即t2+t﹣2＝0
∴（t+2）（t﹣1）＝0得t1＝﹣2，t2＝1∴x+y＝﹣2或x+y＝1
已知（x2+y2﹣4）（x2+y2+2）＝7，求x2+y2的值．
23．已知一元二次方程（k﹣2）x2﹣4x+2＝0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程x2﹣4x+k＝0与x2+mx﹣1＝0有一个相同的根，求此时m的值．
24．我们知道：任何有理数的平方都是一个非负数，即对于任何有理数a，都有a2≥0成立，所以，当a＝0时，a2有最小值0．
【应用】：（1）代数式（x﹣1）2有最小值时，x＝　 　；
（2）代数式m2+3的最小值是　 　；
【探究】：求代数式n2+4n+9的最小值，小明是这样做的：
n2+4n+9
＝n2+4n+4+5
＝（n+2）2+5
∴当n＝﹣2时，代数式n2+4n+9有最小值，最小值为5．
请你参照小明的方法，求代数式a2﹣6a﹣3的最小值，并求此时a的值．
【拓展】：（1）代数式m2+n2﹣8m+2n+17＝0，求m+n的值．
（2）若y＝﹣4t2+12t+6，直接写出y的取值范围．
25．一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件．
（1）若降价3元，则平均每天销售数量为　 　件；
（2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？
26．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k﹣1）x+k2+k﹣1＝0有实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若此方程的两实数根x1，x2满足x12+x22＝11，求k的值．
27．为积极响应新旧动能转换，提高公司经济效益，某科技公司近期研发出一种新型高科技设备，每台设备成本价为30万元，经过市场调研发现，每台售价为40万元时，年销售量为600台；每台售价为45万元时，年销售量为550台．假定该设备的年销售量y（单位：台）和销售单价x（单位：万元）成一次函数关系．
（1）求年销售量y与销售单价x的函数关系式；
（2）根据相关规定，此设备的销售单价不得高于70万元，如果该公司想获得10000万元的年利润，则该设备的销售单价应是多少万元？
参考答案
一．选择题
1．解：A、x2+＝1是分式方程，故此选项错误；
B、ax2+bx+c＝0（a≠0），故此选项错误；
C、（x+1）（x+2）＝1是一元二次方程，故此选项正确；
D、3x2﹣2xy﹣5y＝0是二元二次方程，故此选项错误．
故选：C．
2．解：把2﹣代入方程x2﹣4x+c＝0，得（2﹣）2﹣4（2﹣）+c＝0，
解得c＝1；
故选：A．
3．解：（x﹣1）2＝2，
x﹣1＝±，
所以x1＝1+，x2＝1﹣．
故选：D．
4．解：∵x2﹣x﹣1＝0，
∴x2﹣x＝1，
∴x2﹣x+＝1+，
∴（x﹣）2＝．
故选：D．
5．解：方程x2＝2x，
移项得：x2﹣2x＝0，
分解因式得：x（x﹣2）＝0，
可得x＝0或x﹣2＝0，
解得：x1＝0，x2＝2．
故选：D．
6．解：∵Δ＝42﹣4×3×（﹣5）＝76＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：B．
7．解：（x2+y2）（x2+y2+2）﹣3＝0，
（x2+y2）2+2（x2+y2）﹣3＝0，
（x2+y2+3）（x2+y2﹣1）＝0，
∵x2+y2≥0，
∴x2+y2+3＞0，
∴x2+y2﹣1＝0，
x2+y2＝1，
故选：B．
8．解：设参加酒会的人数为x人，
根据题意得：x（x﹣1）＝55，
整理，得：x2﹣x﹣110＝0，
解得：x1＝11，x2＝﹣10（不合题意，舍去）．
答：参加酒会的人数为11人．
故选：C．
9．解：由题意，得
种草部分的长为（32﹣x）m，宽为（20﹣x）m，
∴由题意建立等量关系，得
（20﹣x）（32﹣x）＝540．
故A答案正确，
故选：A．
10．解：M﹣N＝a﹣1﹣a2+a＝﹣a2+2a﹣1＝﹣（a﹣1）2≤0，
∴M≤N
故选：A．
二．填空题
11．解：一元二次方程3x（x﹣3）＝2x2+1化为一般形式为x2﹣9x﹣1＝0，
故答案为：x2﹣9x﹣1＝0．
12．解：根据题意得x2+x﹣34＝﹣2，
整理得x2+x﹣32＝0，
△＝12﹣4×1×（﹣32）＝129，
x＝，
所以x1＝，x2＝．
即当x＝或时，y＝﹣2．
故答案为或．
13．解：方程x2﹣（8+k）x+8k＝0，
因式分解得：（x﹣8）（x﹣k）＝0，
解得：x＝8或x＝k，
当5为腰时，k＝5，底为8，周长为5+5+8＝18；当5为底时，k＝8，周长为5+8+8＝21，
则这个等腰三角形的周长为18或21．
故答案为：18或21．
14．解：∵x1、x2是一元二次方程x2﹣mx﹣6＝0的两个根，且x1+x2＝1，
∴m＝1，
∴原方程为x2﹣x﹣6＝0，即（x+2）（x﹣3）＝0，
解得：x1＝﹣2，x2＝3．
故答案为：﹣2；3．
15．解：∵x2+8x+13＝0，
∴x2+8x＝﹣13，
则x2+8x+16＝﹣13+16，即（x+4）2＝3，
∴n＝4、p＝3，
故答案为：4、3．
16．解：∵一元二次方程mx2﹣2x+3＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＞0且m≠0，
∴4﹣12m＞0且m≠0，
∴m＜且m≠0，
故答案为：m＜且m≠0．
三．解答题
17．解：（1）移项，得
4x2＝25，
系数化为1，得
x2＝
x1＝，x2＝﹣；
（2）系数化为1，得
（x+1）2＝，
开方，得
x+1＝，
x1＝，x2＝﹣．
18．解：方程化为x2﹣5x+2＝0
∵a＝1，b＝﹣5，c＝2，
∴b2﹣4ac＝（﹣5）2﹣4×1×2＝17＞0，
则x＝，
故x1＝，x2＝
19．解：（1）（3x﹣1+x+1）（3x﹣1﹣x﹣1）＝0
4x（2x﹣2）＝0，
x1＝0，x2＝1；
（2）4x2+2x﹣1＝0，
a＝4，b＝2，c＝﹣1，
Δ＝4+16＝20＞0，
方程有两个不相等的实数根，
x＝＝＝，
x1＝，x2＝；
（3）x2﹣4x＝﹣1，
（x﹣2）2＝3，
x1＝2+，x2＝2﹣；
（4）设x2+x＝y，则原方程变形为y2+y＝6，
解得y1＝﹣3，y2＝2，
∵x2+x＝﹣3无解，
∴x2+x＝2，
∴x1＝﹣2，x2＝1．
20．（1）解：将x＝1代入原方程，得：1+a+a﹣2＝0，
解得：a＝．
（2）证明：Δ＝a2﹣4（a﹣2）＝（a﹣2）2+4．
∵（a﹣2）2≥0，
∴（a﹣2）2+4＞0，即Δ＞0，
∴不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．
21．解：（1）设每个月生产成本的下降率为x，
根据题意得：400（1﹣x）2＝361，
解得：x1＝0.05＝5%，x2＝1.95（不合题意，舍去）．
答：每个月生产成本的下降率为5%．
（2）361×（1﹣5%）＝342.95（万元）．
答：预测4月份该公司的生产成本为342.95万元．
22．解：设t＝x2+y2＞0
∴（t﹣4）（t+2）＝7
t2﹣2t﹣15＝0，
解得：t1＝5，t2＝﹣3（舍去）
∴x2+y2＝5．
23．解：（1）∵一元二次方程（k﹣2）x2﹣4x+2＝0有两个不相等的实数根，
∴，
解得：k＜4且k≠2．
（2）结合（1）可知k＝3，
∴方程x2﹣4x+k＝x2﹣4x+3＝（x﹣1）（x﹣3）＝0，
解得：x1＝1，x2＝3．
当x＝1时，有1+m﹣1＝0，解得：m＝0；
当x＝3时，有9+3m﹣1＝0，解得：m＝﹣．
故m的值为0或﹣．
24．解：（1）代数式（x﹣1）2有最小值时，x＝1，
故答案为：1；
（2）代数式m2+3的最小值是在m＝0时，最小值为3，
故答案为：3．
（3）∵m2+n2﹣8m+2n+17＝0，
∴（m﹣4）2+（n+1）2＝0，
则m＝4、n＝﹣1，
∴m+n＝3；
（4）y＝﹣4t2+12t+6
＝﹣4（t2﹣3t）+6
＝﹣4（t2﹣3t+﹣）+6
＝﹣4（t﹣）2+15，
∵（t﹣）2≥0，
∴﹣4（t﹣）2≤0，
则﹣4（t﹣）2+15≤15，即y≤15．
25．解：（1）若降价3元，则平均每天销售数量为20+2×3＝26件．
故答案为：26；
（2）设每件商品应降价x元时，该商店每天销售利润为1200元．
根据题意，得 （40﹣x）（20+2x）＝1200，
整理，得x2﹣30x+200＝0，
解得：x1＝10，x2＝20．
∵要求每件盈利不少于25元，
∴x2＝20应舍去，
∴x＝10．
答：每件商品应降价10元时，该商店每天销售利润为1200元．
26．解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣（2k﹣1）x+k2+k﹣1＝0有实数根，
∴△≥0，即[﹣（2k﹣1）]2﹣4×1×（k2+k﹣1）＝﹣8k+5≥0，
解得k≤．
（2）由根与系数的关系可得x1+x2＝2k﹣1，x1x2＝k2+k﹣1，
∴x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝（2k﹣1）2﹣2（k2+k﹣1）＝2k2﹣6k+3，
∵x12+x22＝11，
∴2k2﹣6k+3＝11，解得k＝4，或k＝﹣1，
∵k≤，
∴k＝4（舍去），
∴k＝﹣1．
27．解：（1）设年销售量y与销售单价x的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），
将（40，600）、（45，550）代入y＝kx+b，得：
，解得：，
∴年销售量y与销售单价x的函数关系式为y＝﹣10x+1000．
（2）设此设备的销售单价为x万元/台，则每台设备的利润为（x﹣30）万元，销售数量为（﹣10x+1000）台，
根据题意得：（x﹣30）（﹣10x+1000）＝10000，
整理，得：x2﹣130x+4000＝0，
解得：x1＝50，x2＝80．
∵此设备的销售单价不得高于70万元，
∴x＝50．
答：该设备的销售单价应是50万元/台．