2022—2023学年北师大版数学九年级上册2.3用公式法求解一元二次方程 同步测试（含答案）

北师大版九年级数学上册第二章2.3用公式法求解一元二次方程 同步测试
一．选择题
1．方程﹣x2+3x=1用公式法求解，先确定a，b，c的值，正确的是（　　）．
A．a=﹣1，b=3，c=﹣1 B．a=﹣1，b=3，c=1
C．a=﹣1，b=﹣3，c=﹣1 D．a=1，b=﹣3，c=﹣1
2．如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）能用公式法求解，那么必须满足的条件是（　　）．
A．b2﹣4ac≥0 B．b2﹣4ac≤0 C．b2﹣4ac＞0 D．b2﹣4ac＜0
3．方程（x﹣5）（x+2）=1的解为（　　）．
A．5 B．﹣2 C．5和﹣2 D．以上结论都不对
4．直角三角形两直角边长的和为7，面积为6，则斜边长为(　　)．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A．5　 　B．6 　C．7　 　D．8
5．若关于x的方程x2+2x+a=0不存在实数根，则a的取值范围是（　　）．
A．a＜1 B．a＞1 C．a≤1 D．a≥1
6．一元二次方程2x2﹣3x+1=0的根的情况是（　　）．
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
7．已知关于x的一元二次方程标有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（　　）．
A． B． C．且 D．
8．关于x的一元二次方程kx2+2x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　）．
A．k＞﹣1 B．k≥﹣1 C．k≠0 D．k＜1且k≠0
9．y=x+1是关于x的一次函数，则一元二次方程kx2+2x+1=0的根的情况为（　　）．
A．没有实数根 B．有一个实数根
C．有两个不相等的实数根 D．有两个相等的实数根　
10．函数的图象如图所示，则关于x的一元二次方程的根的情况是（ ）．
A．没有实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．无法确定
11．关于x的一元二次方程x2+x+m=0有实数根，则m的取值范围是（ 　）．
A．m≥ B．m≤ C．m≥ D．m≤
12．如图为一块四周镶有宽度相等的花边的地毯，它的长为8 m，宽为5 m．若地毯中央矩形图案的面积为18 m2，则花边的宽是 (　　)．
A．2 m B．1 m C．1．5 m D．0．5 m
二．填空题
13． 一元二次方程x2﹣3x﹣2=0的解是_____
14．关于x的一元二次方程x2+2x﹣k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是　 　．
15．已知k＞0，且关于x的方程3kx2+12x+k+1=0有两个相等的实数根，那么k的值等于　 　．
16．如果关于x的一元二次方程x2+2ax+a+2=0有两个相等的实数根，那么实数a的值为　 　．
17．若关于x的一元二次方程ax2+2x﹣1=0无解，则a的取值范围是　 　．
18．已知关于x的方程x2﹣2x+a=0有两个实数根，则实数a的取值范围是　 　．
三．解答题
19． 解方程：
（1）x2﹣3x﹣2=0； （2）x2﹣3x﹣7=0．
20．已知关于x的方程x2﹣（2m+1）x+m（m+1）=0．
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；
（2）已知方程的一个根为x=0，
求代数式（2m﹣1）2+（3+m）（3﹣m）+7m﹣5的值（要求先化简再求值）．
　
21．已知关于x的方程x2+（2m﹣1）x+4=0有两个相等的实数根，求m的值．
22．小林准备进行如下操作实验：把一根长为40 cm的铁丝剪成两段，并把每一段各围成一个正方形．
(1)要使这两个正方形的面积之和等于58 cm2，小林该怎么剪？
(2)小峰对小林说：“这两个正方形的面积之和不可能等于48 cm2”，他的说法对吗？请说明理由．
23．在一块长18米、宽15米的矩形荒地上种植草坪，且草坪所占的面积为原来荒地面积的三分之二．
方案1：如图①，荒地中修两条互相垂直且宽度相等的小路;
方案2：如②，荒地中每个角的扇形都相同．
以上两种方案是否都符合条件 若符合，请计算出图①中小路的宽和图②中扇形的半径(精确到0．1米);若不符合，请说明理由．
24．一个两位数等于其各数位上数字之积的3倍，其十位数字比个位数字小2，求这个两位数．
25．已知关于x的一元二次方程x2－(2k＋1)x＋k2＋k＝0．
(1)求证：方程有两个不相等的实数根；
(2)若△ABC的两边AB，AC的长是这个方程的两个实数根，第三边BC的长为5．当△ABC是等腰三角形时，求k的值．
北师大版九年级数学上册第二章2.3用公式法求解一元二次方程 答案提示
一．选择题
1．方程﹣x2+3x=1用公式法求解，先确定a，b，c的值，正确的是（　　）选A．
A．a=﹣1，b=3，c=﹣1 B．a=﹣1，b=3，c=1
C．a=﹣1，b=﹣3，c=﹣1 D．a=1，b=﹣3，c=﹣1
2．如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）能用公式法求解，那么必须满足的条件是（　　）选A．
A．b2﹣4ac≥0 B．b2﹣4ac≤0 C．b2﹣4ac＞0 D．b2﹣4ac＜0
3．方程（x﹣5）（x+2）=1的解为（　　）选D．
A．5 B．﹣2 C．5和﹣2 D．以上结论都不对
4．直角三角形两直角边长的和为7，面积为6，则斜边长为(　　)　选A．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A．5　 　B．6 　C．7　 　D．8
5．若关于x的方程x2+2x+a=0不存在实数根，则a的取值范围是（　　）选B．
A．a＜1 B．a＞1 C．a≤1 D．a≥1
6．一元二次方程2x2﹣3x+1=0的根的情况是（　　）选B．
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
7．已知关于x的一元二次方程标有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（　　）选C．
A． B． C．且 D．
8．关于x的一元二次方程kx2+2x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　）选D．
A．k＞﹣1 B．k≥﹣1 C．k≠0 D．k＜1且k≠0
9．y=x+1是关于x的一次函数，则一元二次方程kx2+2x+1=0的根的情况为（　　）选A．
A．没有实数根 B．有一个实数根
C．有两个不相等的实数根 D．有两个相等的实数根　
10．函数的图象如图所示，则关于x的一元二次方程的根的情况是（ ）选C．
A．没有实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．无法确定
11．关于x的一元二次方程x2+x+m=0有实数根，则m的取值范围是（　）选D．
A．m≥ B．m≤ C．m≥ D．m≤
12．如图为一块四周镶有宽度相等的花边的地毯，它的长为8 m，宽为5 m．若地毯中央矩形图案的面积为18 m2，则花边的宽是 (　　)选B．
A．2 m B．1 m C．1．5 m D．0．5 m
二．填空题
13． 一元二次方程x2﹣3x﹣2=0的解是_____
14．关于x的一元二次方程x2+2x﹣k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是　k＞﹣1　．
15．已知k＞0，且关于x的方程3kx2+12x+k+1=0有两个相等的实数根，那么k的值等于　3　．
16．如果关于x的一元二次方程x2+2ax+a+2=0有两个相等的实数根，那么实数a的值为　﹣1或2　．
17．若关于x的一元二次方程ax2+2x﹣1=0无解，则a的取值范围是　a＜﹣1　．
18．已知关于x的方程x2﹣2x+a=0有两个实数根，则实数a的取值范围是　a≤1　．
三．解答题
19． 解方程：
（1）x2﹣3x﹣2=0； （2）x2﹣3x﹣7=0．
解：（1）∵a=1，b=﹣3，c=﹣2；
∴b2﹣4ac =（﹣3）2﹣4×1×（﹣2）=9+8=17
∴
解：（2）在方程x2﹣3x﹣7=0中，a=1，b=﹣3，b=﹣7
20．已知关于x的方程x2﹣（2m+1）x+m（m+1）=0．
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；
（2）已知方程的一个根为x=0，
求代数式（2m﹣1）2+（3+m）（3﹣m）+7m﹣5的值（要求先化简再求值）．
解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+m（m+1）=0．
∴△=（2m+1）2﹣4m（m+1）=1＞0，
∴方程总有两个不相等的实数根；
（2）∵x=0是此方程的一个根，
∴把x=0代入方程中得到m（m+1）=0，
∴m=0或m=﹣1，
∵（2m﹣1）2+（3+m）（3﹣m）+7m﹣5=4m2﹣4m+1+9﹣m2+7m﹣5=3m2+3m+5，
把m=0代入3m2+3m+5得：3m2+3m+5=5；
把m=﹣1代入3m2+3m+5得：3m2+3m+5=3×1﹣3+5=5．　
21．已知关于x的方程x2+（2m﹣1）x+4=0有两个相等的实数根，求m的值．
解：∵x2+（2m﹣1）x+4=0有两个相等的实数根，
∴△=（2m﹣1）2﹣4×4=0，
解得m=﹣或m=．
22．小林准备进行如下操作实验：把一根长为40 cm的铁丝剪成两段，并把每一段各围成一个正方形．
(1)要使这两个正方形的面积之和等于58 cm2，小林该怎么剪？
(2)小峰对小林说：“这两个正方形的面积之和不可能等于48 cm2”，他的说法对吗？请说明理由．
解：(1)小林应把绳子剪成 12 cm和28 cm的两段　(2)小峰的说法是对的，理由略．
23．在一块长18米、宽15米的矩形荒地上种植草坪，且草坪所占的面积为原来荒地面积的三分之二．
方案1：如图①，荒地中修两条互相垂直且宽度相等的小路;
方案2：如②，荒地中每个角的扇形都相同．
以上两种方案是否都符合条件 若符合，请计算出图①中小路的宽和图②中扇形的半径(精确到0．1米);若不符合，请说明理由．
解：对于方案1，设小路的宽为x米，表示出两条小路的面积，而小路的面积为原来荒地面积的三分之一，列出方程解答即可;
对于方案2，设扇形的半径为y米，则四个扇形的面积和恰好等于一个圆的面积，而四个扇形的面积和为原来荒地面积的三分之一，列出方程解答即可．
解：设图①中小路的宽为x米．根据题意，得
18x+15x﹣x2=18×15×．
解得x1=3，x2=30(不合题意，舍去)．
故方案1符合条件，小路的宽为3米．
设图②中扇形的半径为y米．
根据题意，得πy2=18×15×，
解得y1≈5．4，y2≈﹣5．4(不合题意，舍去)．
故方案2符合条件，扇形的半径约为5．4米．
24．一个两位数等于其各数位上数字之积的3倍，其十位数字比个位数字小2，求这个两位数．
解：设这个两位数的个位数字为x，则十位数字为x﹣2，
这个两位数可表示为10(x﹣2)+x，
根据题意，得10(x﹣2)+x=3x(x﹣2)．
整理，得3x2﹣17x+20=0．
解这个方程，得x1=4，x2=(不合题意，舍去)．
当x=4时，x﹣2=2，10(x﹣2)+x=24．
答：这个两位数是24．
25．已知关于x的一元二次方程x2－(2k＋1)x＋k2＋k＝0．
(1)求证：方程有两个不相等的实数根；
(2)若△ABC的两边AB，AC的长是这个方程的两个实数根，第三边BC的长为5．当△ABC是等腰三角形时，求k的值．
(1)证明：∵a＝1，b＝－(2k＋1)，c＝k2＋k，
∴Δ＝[－(2k＋1)]2－4(k2＋k)＝1＞0．　
∴此方程有两个不相等的实数根．
(2)解：∵△ABC的两边AB，AC的长是方程x2－(2k＋1)x＋k2＋k＝0的两个实数根，
∴由(1)知，AB≠AC，
∵△ABC的第三边BC的长为5，且△ABC是等腰三角形，
∴AB＝5或AC＝5，即x＝5是方程x2－(2k＋1)x＋k2＋k＝0的一个解．
将x＝5代入方程x2－(2k＋1)x＋k2＋k＝0，得
25－5(2k＋1)＋k2＋k＝0，解得k＝4或k＝5．
当k＝4时，原方程为x2－9x＋20＝0，
解得x1＝5，x2＝4，以5，5，4为边长能构成等腰三角形；
当k＝5时，原方程为x2－11x＋30＝0，
解得x1＝5，x2＝6，以5，5，6为边长能构成等腰三角形．
综上，k的值为4或5．