2022—2023学年北师大版数学九年级上册 1.3正方形的性质与判定 同步测试（含答案）

北师大版九年级数学上册第一章1.3正方形的性质与判定 同步测试
一．选择题
1．在正方形ABCD的边AB、BC、CD、DA上分别任意取点E、F、G、H．这样得到的四边形EFGH中，是正方形的有（　　）
A．1个 B．2个 C．4个 D．无穷多个
2．平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的是（　　）
A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直
C．对角线相等 D．对角线互相垂直且相等
3．如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边CD、AD上的点，且CE=DF．AE与BF相交于点O，则下列结论错误的是（　　）
A．AE=BF B．AE⊥BF C．AO=OE D．S△AOB=S四边形DEOF
4．如图，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，M是边AD上一点，连接OM，过点O做ON⊥OM，交CD于点N．若四边形MOND的面积是1，则AB的长为（ ）
A．1 B． C．2 D．
5．如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S1，S2，则S1+ S2的值为( )
A．16 B．17 C．18 D．19
6．已知在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，OE∥AB交BC于点E，若AD=8cm，则OE的长为（　　）
A．3cm B．4cm C．6cm D．8cm
正方形的一条对角线的长为4，则这个正方形的面积是(　　)
A．8 B．4 C．8 D．16
8．如图，把含30°的直角三角板PMN放置在正方形ABCD中，，直角顶点P在正方形ABCD的对角线BD上，点M，N分别在AB和CD边上，MN与BD交于点O，且点O为MN的中点，则的度数为（ ）
A．60° B．65° C．75° D．80°
9．如图，在正方形ABCD和正方形DEFG中，点G在CD上，DE＝2，将正方形DEFG绕点D顺时针旋转60°，得到正方形DE′F′G′，此时点G′在AC上，连接CE′，则CE′＋CG′＝(　　)
A．＋ B．＋1 C．＋ D．＋
10．如图，在△ABC中，O是AC上一动点，过点O作直线MN∥BC．设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F，若点O运动到AC的中点，且∠ACB＝(　　)时，则四边形AECF是正方形．
A．30° B．45° C．60° D．90°
11．在正方形ABCD所在平面内找一点P，使P点与A、B、C、D中两点都连在一个等边三角形，那么这样的P点有（　　）
A．5个 B．12个 C．9个 D．15个
12．如图，正方形ABCD的对角线BD长为2，若直线l满足：
①点D到直线l的距离为②A、C两点到直线l的距离相等．
则符合题意的直线l的条数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
二．填空题
13．如图，只要把一张矩形纸片的一个角沿折痕AE翻折上去，使AB和AD边上的AF重合，则四边形ABEF就是一个正方形，判断的依据是____________________________．
14．如图，将一张长方形纸片对折两次，然后剪下一个角，打开．如果要剪出一个正方形，那么剪口线与折痕成________度角．
15．已知四边形ABCD各边的中点分别是E，F，G，H，如果四边形ABCD满足________________，那么四边形EFGH是正方形．
16．如图，点E是矩形ABCD边AD上一点，点F，G，H分别是BE，BC，CE的中点，，则GH的长为________．
已知：如图，△ABC中，∠ACB＝90°，点O为△ABC的三条角平分线的交点，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，点D，E，F分别是垂足，且BC＝8 cm，CA＝6 cm，则点O到三边AB，AC和BC的距离分别等于_____ cm．
18． 如图，∠MON＝45°，OA1＝1，作正方形A1B1C1A2，周长记作C1；再作第二个正方形A2B2C2A3，周长记作C2；继续作第三个正方形A3B3C3A4，周长记作C3；点A1，A2，A3，A4，…在射线ON上，点B1，B2，B3，B4，…在射线OM上……依此类推，则第n个正方形的周长Cn＝________．
三．解答题
19．如图，四边形ABCD是正方形，BE⊥BF，BE＝BF，EF与BC相交于点G，连接AE，CF．
(1)求证：AE＝CF；
(2)若∠ABE＝55°，求∠EGC的大小．
20．如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系xOy中，O是原点，若点A的坐标为（1，），则点C的坐标？
　　　　　　　　　　　　　　
21．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是中线，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F，连接CF．
(1)求证：AD＝AF；
(2)如果AB＝AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．
22．如图，在中，的角平分线交于点D，．
（1）试判断四边形的形状，并说明理由；
（2）若，且，求四边形的面积．
23．已知：如图，△ABC中，∠ABC＝90°，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F．求证：四边形DEBF是正方形．
24．如图，在的正方形网格中，网格线的交点称为格点，在格点上，每一个小正方形的边长为1．
（1）以为边画菱形，使菱形的其余两个顶点都在格点上（画出一个即可）．
（2）计算你所画菱形的面积．
25．如图，在四边形ABCD中，AC、BD交于点O，AO=CO，BO=DO，∠ABC=∠DCB．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）要使四边形ABCD是正方形，请写出AC、BD还需要满足的条件
26．如图，AC，BD是正方形ABCD的对角线，将△DCB绕点D顺时针旋转45°得到△DGH，HG交AB于点E，连接DE交AC于点F，连接FG．
(1)求证：△AED≌△GED；
(2)求证：四边形AEGF是菱形；
(3)若AC＝1，求BC＋FG的值．
北师大版九年级数学上册第一章1.3正方形的性质与判定 答案提示
一．选择题
1．在正方形ABCD的边AB、BC、CD、DA上分别任意取点E、F、G、H．这样得到的四边形EFGH中，是正方形的有（　　）
A．1个 B．2个 C．4个 D．无穷多个
选：D．
解：在正方形四边上任意取点E、F、G、H，AH＝DG＝CF＝BE，能证明四边形EFGH为正方形，则说明可以得到无穷个正方形．
2．平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的是（　　）
A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直
C．对角线相等 D．对角线互相垂直且相等
解：A．对角线相等是平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质；
B．对角线互相垂直是菱形、正方形具有的性质；
C．对角线相等是矩形和正方形具有的性质；
D．对角线互相垂直且相等是正方形具有的性质．
故选：A．
3．如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边CD、AD上的点，且CE=DF．AE与BF相交于点O，则下列结论错误的是（　　）
A．AE=BF B．AE⊥BF C．AO=OE D．S△AOB=S四边形DEOF
解: A．∵在正方形ABCD中，
∴AB=BC=CD=AD，
又∵CE=DF，
∴AF=DE，
∵∠D=∠BAF=90°，
∴△BAF≌△ADE，
∴AE=BF，
故此选项正确；
B．∵△BAF≌△ADE，
∴∠BFA=∠AED，
∵∠AED+∠EAD=90°，
∴∠BFA+∠EAD=90°，
∴∠AOF=90°，
∴AE⊥BF，
故此选项正确；
C．连接BE，
假设AO=OE，
∵BF⊥AE，
∴∠AOB=∠BOE=90°，
∵BO=BO，
∴△ABO≌△EBO，
∴AB=BE，
又∵AB=BC，
BC＜BE，
∴AB不可能等于BE，
∴假设AO=OE，不成立，即AO≠OE，
故此选项错误；
D．∵△BAF≌△ADE，
∴S △BAF=S △ADE，
∴S △BAF -S △AOF=S △ADE-S △AOF，
∴S△AOB=S四边形DEOF，故此选项正确．
故选C．
4．如图，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，M是边AD上一点，连接OM，过点O做ON⊥OM，交CD于点N．若四边形MOND的面积是1，则AB的长为（ ）
A．1 B． C．2 D．
解：在正方形ABCD中，对角线BD⊥AC，
又
四边形MOND的面积是1，
正方形ABCD的面积是4，
故选：C．
5．如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S1，S2，则S1+ S2的值为( )选：B．
A．16 B．17 C．18 D．19
6．已知在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，OE∥AB交BC于点E，若AD=8cm，则OE的长为（　　）
A．3cm B．4cm C．6cm D．8cm
解: ∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB=8cm，OA=OC，
∵OE∥AB，
∴OE是△ABC的中位线，
∴OE=AB=4cm，
故选B．
正方形的一条对角线的长为4，则这个正方形的面积是(　　)选：A．
A．8 B．4 C．8 D．16
8．如图，把含30°的直角三角板PMN放置在正方形ABCD中，，直角顶点P在正方形ABCD的对角线BD上，点M，N分别在AB和CD边上，MN与BD交于点O，且点O为MN的中点，则的度数为（ ）
A．60° B．65° C．75° D．80°
解：∵四边形ABCD是正方形中，
∴∠MBO=∠NDO=45°，
∵点O为MN的中点
∴OM=ON，
∵∠MPN=90°，
∴OM=OP，
∴∠PMN=∠MPO=30°，
∴∠MOB=∠MPO+∠PMN =60°，
∴∠BMO=180°-60°-45°=75°，
，
故选：C．
9．如图，在正方形ABCD和正方形DEFG中，点G在CD上，DE＝2，将正方形DEFG绕点D顺时针旋转60°，得到正方形DE′F′G′，此时点G′在AC上，连接CE′，则CE′＋CG′＝(　　)选：A．
A．＋ B．＋1 C．＋ D．＋
10．如图，在△ABC中，O是AC上一动点，过点O作直线MN∥BC．设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F，若点O运动到AC的中点，且∠ACB＝(　　)时，则四边形AECF是正方形．选：D．
A．30° B．45° C．60° D．90°
11．在正方形ABCD所在平面内找一点P，使P点与A、B、C、D中两点都连在一个等边三角形，那么这样的P点有（　　）
A．5个 B．12个 C．9个 D．15个
解: 在四条边垂直平分线上的点，与相邻的两个点连成一个等边三角形，共有8个点；
在两条对角线上的点，与相对的两个点连成一个等边三角形，共有4个点；
共有8+4=12个点满足条件．
故选：B．
12．如图，正方形ABCD的对角线BD长为2，若直线l满足：
①点D到直线l的距离为②A、C两点到直线l的距离相等．
则符合题意的直线l的条数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
解：如图，连接AC与BD相交于O，
∵正方形ABCD的对角线BD长为2
∴OD=
∴直线l∥AC并且到D的距离为
同理，在点D的另一侧还有一条直线满足条件，
故共有2条直线l．
故选：B．
二．填空题
13．如图，只要把一张矩形纸片的一个角沿折痕AE翻折上去，使AB和AD边上的AF重合，则四边形ABEF就是一个正方形，判断的依据是____________________________．有一组邻边相等的矩形是正方形
14．如图，将一张长方形纸片对折两次，然后剪下一个角，打开．如果要剪出一个正方形，那么剪口线与折痕成________度角． 45
15．已知四边形ABCD各边的中点分别是E，F，G，H，如果四边形ABCD满足________________，那么四边形EFGH是正方形．对角线互相垂直且相等
16．如图，点E是矩形ABCD边AD上一点，点F，G，H分别是BE，BC，CE的中点，，则GH的长为________．
解：∵在矩形ABCD中，∠BAE=90°，
又∵点F是BE的中点，，
∴BE=2AF=6，
∵G，H分别是BC，CE的中点，
∴GH是的中位线，
∴GH=BE=×6=3，
故答案是：3．
17．已知：如图，△ABC中，∠ACB＝90°，点O为△ABC的三条角平分线的交点，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，点D，E，F分别是垂足，且BC＝8 cm，CA＝6 cm，则点O到三边AB，AC和BC的距离分别等于_____ cm． 2
18． 如图，∠MON＝45°，OA1＝1，作正方形A1B1C1A2，周长记作C1；再作第二个正方形A2B2C2A3，周长记作C2；继续作第三个正方形A3B3C3A4，周长记作C3；点A1，A2，A3，A4，…在射线ON上，点B1，B2，B3，B4，…在射线OM上……依此类推，则第n个正方形的周长Cn＝________． 2n＋1　
三．解答题
19．如图6，四边形ABCD是正方形，BE⊥BF，BE＝BF，EF与BC相交于点G，连接AE，CF．
(1)求证：AE＝CF；
(2)若∠ABE＝55°，求∠EGC的大小．
图6
解：(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABC＝90°．
∵BE⊥BF，∴∠EBF＝90°，∴∠ABE＝∠CBF．
∵AB＝BC，∠ABE＝∠CBF，BE＝BF，
∴△ABE≌△CBF，∴AE＝CF．
(2)∵BE＝BF，∠EBF＝90°，
∴∠BEF＝45°．
∵∠ABC＝90°，∠ABE＝55°，
∴∠GBE＝35°，
∴∠EGC＝∠GBE＋∠BEF＝80°．
20．如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系xOy中，O是原点，若点A的坐标为（1，），则点C的坐标？
　　　　　　　　　　　　　　
解：作AD⊥轴于D，作CE⊥x轴于E，如图所示：
则∠ADO=∠OEC=90°，
∴∠1+∠2=90°，
∵点A的坐标为（1，），
∴OD=1，AD=，
∵四边形OABC是正方形，
∴∠AOC=90°，OC=AO，
∴∠1+∠3=90°，
∴∠3=∠2，
在△OCE和△AOD中，
，
∴△OCE≌△AOD（AAS），
∴OE=AD=，CE=OD=1，
∴点C的坐标为（﹣，1）．
21．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是中线，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F，连接CF．
(1)求证：AD＝AF；
(2)如果AB＝AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．
解：(1)证明：∵AF∥BC，
∴∠EAF＝∠EDB．
∵E是AD的中点，
∴AE＝DE．
在△AEF和△DEB中，∠EAF＝∠EDB，AE＝DE，∠AEF＝∠DEB，
∴△AEF≌△DEB(ASA)，
∴AF＝BD．
∵在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是中线，
∴AD＝BD＝DC＝BC，
∴AD＝AF．
(2)四边形ADCF是正方形．
证明：∵AF＝BD＝DC，AF∥BC，
∴四边形ADCF是平行四边形．
∵AB＝AC，AD是中线，
∴AD⊥BC．
又∵AD＝AF，
∴四边形ADCF是正方形．
22．如图，在中，的角平分线交于点D，．
（1）试判断四边形的形状，并说明理由；
（2）若，且，求四边形的面积．
解：（1）四边形AFDE是菱形，理由是：
∵DE∥AB，DF∥AC，
∴四边形AFDE是平行四边形，
∵AD平分∠BAC，
∴∠FAD=∠EAD，
∵DE∥AB，
∴∠EDA=∠FAD，
∴∠EDA=∠EAD，
∴AE=DE，
∴平行四边形AFDE是菱形；
（2）∵∠BAC=90°，
∴四边形AFDE是正方形，
∵AD=，
∴AF=DF=DE=AE==2，
∴四边形AFDE的面积为2×2=4．
23．已知：如图，△ABC中，∠ABC＝90°，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F．求证：四边形DEBF是正方形．
证明：∵DE⊥AB，DF⊥BC，
∴∠DEB＝∠DFB＝90°．
又∵∠ABC＝90°，
∴四边形BEDF为矩形．
∵BD是∠ABC的平分线，
且DE⊥AB，DF⊥BC，∴DE＝DF，
∴矩形BEDF为正方形．
24．如图，在的正方形网格中，网格线的交点称为格点，在格点上，每一个小正方形的边长为1．
（1）以为边画菱形，使菱形的其余两个顶点都在格点上（画出一个即可）．
（2）计算你所画菱形的面积．
解：（1）根据题意，菱形ABCD即为所求
（2）图1中AC=2，BD=6
∴图1中菱形面积．
图2中，AC=，BD=
∴图2中菱形面积．
图3中，
∴图3菱形面积．
25．如图，在四边形ABCD中，AC、BD交于点O，AO=CO，BO=DO，∠ABC=∠DCB．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）要使四边形ABCD是正方形，请写出AC、BD还需要满足的条件
解：（1）证明：∵AO=CO，BO=DO，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，
∴∠ABC+∠DCB=180°，
∵∠ABC=∠DCB，
∴∠ABC=90°，
∴四边形ABCD是矩形；
（2）要使四边形ABCD是正方形，AC、BD还需要满足的条件是：AC⊥BD
26．如图，AC，BD是正方形ABCD的对角线，将△DCB绕点D顺时针旋转45°得到△DGH，HG交AB于点E，连接DE交AC于点F，连接FG．
(1)求证：△AED≌△GED；
(2)求证：四边形AEGF是菱形；
(3)若AC＝1，求BC＋FG的值．
解：(1)证明：由旋转可知DG＝DC，∠DGH＝∠DCB＝90°．
∵AD＝CD，∴AD＝DG．
又∵ED＝ED，∴Rt△AED≌Rt△GED(HL)．
(2)证明：由(1)知△AED≌△GED，
∴AE＝EG，∠ADE＝∠GDE＝∠BDA＝22．5°，
∴∠CDF＝67．5°，∠CFD＝67．5°，
∴∠CDF＝∠CFD，∴CF＝CD．
又∵AC＝BD，CD＝DG，
∴AF＝BG＝EG．
由旋转知∠H＝∠DBC＝45°．
又∵∠DAC＝45°，
∴AF∥EG，
∴四边形AEGF是平行四边形．
又∵AE＝EG，∴ AEGF是菱形．
(3)由(2)知四边形AEGF是菱形，∴AF＝FG．
由(2)知CF＝CD，∴BC＝CF，
∴BC＋FG＝CF＋AF＝AC＝1．