12022-2023学年华东师大版八年级数学上册2.3乘法公式 同步练习题 （含解析）
文档属性
| 名称 | 12022-2023学年华东师大版八年级数学上册2.3乘法公式 同步练习题 （含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 100.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 华东师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-09-20 14:47:32 | ||
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文档简介
2022-2023学年华东师大版八年级数学上册《12.3乘法公式》同步练习题（附答案）
一．选择题
1．下列各式中能用平方差公式计算的是（ ）
A．（a+b）（﹣a﹣b） B．（a+b）（﹣a+b）
C．（﹣a+b）（﹣a+b） D．（a﹣b）（b﹣a）
2．若（3b+a） （ ）＝a2﹣9b2，则括号内应填的代数式是（ ）
A．﹣a﹣3b B．a+3b C．﹣3b+a D．3b﹣a
3．已知（3x+a）2＝9x2+bx+4，则b的值为（ ）
A．4 B．±6 C．12 D．±12
4．若x2﹣2mx+16是完全平方式，则m的值等于（ ）
A．2 B．2或﹣2 C．4或﹣4 D．8或﹣8
5．将图甲中阴影部分的小长方形变换到图乙位置，你能根据两个图形的面积关系得到的数学公式是（ ）
A．（a﹣b）（a+b）＝a2﹣b2 B．（a+b）2＝a2+2ab+b2
C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 D．（2a﹣b）2＝4a2﹣4ab+b2
二．填空题
6．已知：x+y＝5，x﹣y＝3，则x2﹣y2＝ ．
7．若a2+b2＝7，ab＝1，则（a+b）2＝ ，（a﹣b）2＝ ．
8．计算：20232﹣2022×2024＝ ．
9．已知（a+b）2＝12，ab＝2，则（a﹣b）2＝ ．
10．设9x2+mx+144是一个完全平方式，则m的值为 ．
三．解答题
11．计算：（2a+b）（a﹣2b）﹣2（a﹣b）2．
12．已知x+y＝5，xy＝2，求x2+y2的值．
13．计算：
（1）（a﹣b）2；
（2）4（x﹣2）2﹣（2x+3）（2x﹣3）．
14．计算：
（1）（x3 x2）3；
（2）（3m﹣n）（﹣n﹣3m）．
15．计算：（9x﹣2y）（x+y）﹣（﹣3x+y）（﹣3x﹣y）．
16．（﹣2y+1）2﹣（2y+1）（2y﹣1）．
17．化简：．
18．利用乘法公式计算：
（1）1002﹣200×99+992；
（2）992﹣982．
19．已知a+b＝11，ab＝1．
（1）a2+b2的值；
（2）求（a﹣1）（b﹣1）的值．
20．如图，①是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中的虚线剪成四个完全一样的小长方形，再按照图②围成一个较大的正方形．
（1）请用两种方法表示图②中阴影部分的面积（只需要表示，不必化简）；
（2）比较（1）中的两种结果，你能得到怎样的等量关系式？
（3）请你用（2）中得到的等量关系解决下列问题：如果m﹣n＝4，mn＝12，求（m+n）2的值．
21．（1）有三个不等式2x+3＜﹣1，﹣5x＞15，3（x﹣1）＞6，请在其中任选两个不等式，组成一个不等式组，并求出它的解集；
（2）小红在计算a（1+a）﹣（a﹣1）2时，解答过程如下：
a（1+a）﹣（a﹣1）2 ＝a+a2﹣（a2﹣1）……第一步 ＝a+a2﹣a2﹣1……第二步 ＝a﹣1……第三步
小红的解答从第 步开始出错，请写出正确的解答过程．
22．如图1是一个长为2a、宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀均匀分成四块小长方形．然后按图2形状拼成一个正方形．
（1）图2中的空白部分的正方形的边长是多少？（用含a、b的式子表示）
（2）已知a+b＝10，ab＝3，求图2中空白部分的正方形的面积．
（3）观察图2，用一个等式表示下列三个整式：（a+b）2，（a﹣b）2，ab之间的数量关系．
（4）拓展提升：当（x﹣10）（20﹣x）＝8时，求（2x﹣30）2．
23．如图，学校劳动实践基地有两块边长分别为a，b的正方形秧田A，B，其中不能使用的面积为M．
（1）用含a，M的代数式表示A中能使用的面积 ；
（2）若a+b＝10，a﹣b＝5，求A比B多出的使用面积．
24．（1）填空：
（a﹣b）（a+b）＝ ；
（a﹣b）（a2+ab+b2）＝ ；
（a﹣b）（a3+a2b+ab2+b3）＝ ．
（2）猜想：
（a﹣b）（an﹣1+an﹣2b+…+abn﹣2+bn﹣1）＝ （其中n为正整数，且n≥2）．
（3）利用（2）猜想的结论计算：
29﹣28+27﹣…+23﹣22+2．
25．有一张边长为a厘米的正方形桌面，因为实际需要，需将正方形边长增加b厘米，木工师傅设计了如图所示的三种方案：
小明发现这三种方案都能验证公式：a2+2ab+b2＝（a+b）2，
对于方案一，小明是这样验证的：
a2+ab+ab+b2＝a2+2ab+b2＝（a+b）2
请你根据方案二、方案三，写出公式的验证过程．
方案二：
方案三：
参考答案
一．选择题
1．解：观察只有B选项符合平方差公式的结构特征，
（a+b）（﹣a+b）＝（b+a）（b﹣a）＝b2﹣a2
其余选项的均不符合，
故选：B．
2．解：∵a2﹣9b2＝（a+3b）（a﹣3b）＝（3b+a）（﹣3b+a），
故选：C．
3．解：∵（3x±2）2＝9x2±12x+4，
∴b＝±12，
故选：D．
4．解：∵（x±4）2＝x2±8x+16，
∴﹣2m＝±8，
∴m＝±4，
故选：C．
5．解：如图，图甲中①、②的总面积为（a+b）（a﹣b），
图乙中①、②的总面积可以看作两个正方形的面积差，即a2﹣b2，
因此有（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，
故选：A．
二．填空题
6．解：∵（x+y）（x﹣y）＝x2﹣y2，
∴x2﹣y2＝5×3＝15，
故答案为：15．
7．解：∵a2+b2＝7，ab＝1，
∴（a+b）2＝a2+b2+2ab＝7+2＝9；
（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab＝7﹣2＝5；
故答案为：9，5．
8．解：20232﹣2022×2024
＝20232﹣（2023﹣1）（2023+1）
＝20232﹣（20232﹣12）
＝20232﹣20232+1
＝1．
故答案为：1．
9．解：∵（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2，
∴12﹣4×2＝（a﹣b）2，
∴（a﹣b）2＝4，
故答案为：4．
10．解：∵9x2+mx+144是一个完全平方式，
∴m＝±（2×3×12）＝±72，
故答案为：±72．
三．解答题
11．解：原式＝2a2﹣4ab+ab﹣2b2﹣2（a2﹣2ab+b2）
＝2a2﹣3ab﹣2b2﹣2a2+4ab﹣2b2
＝ab﹣4b2．
12．解：x2+y2
＝（x+y）2﹣2xy
＝52﹣2×2
＝21．
13．解：（1）原式＝a2﹣2×a×b+（）2
＝a2﹣3ab+b2；
（2）原式＝4（x2﹣4x+4）﹣（4x2﹣9）
＝4x2﹣16x+16﹣4x2+9
＝25﹣16x．
14．解：（1）（x3 x2）3
＝（x5）3
＝x15；
（2）（3m﹣n）（﹣n﹣3m）
＝（﹣n）2﹣（3m）2
＝n2﹣9m2．
15．解：（9x﹣2y）（x+y）﹣（﹣3x+y）（﹣3x﹣y）
＝9x2+9xy﹣2xy﹣2y2﹣（9x2﹣y2）
＝9x2+9xy﹣2xy﹣2y2﹣9x2+y2
＝7xy﹣y2．
16．解：原式＝4y2﹣4y+1﹣（4y2﹣1）
＝4y2﹣4y+1﹣4y2+1
＝﹣4y+2．
17．解：原式＝4x﹣4x
＝2xy﹣．
18．解：（1）原式＝1002﹣2×100×99+992
＝（100﹣99）2
＝12
＝1；
（2）原式＝（99+98）×（99﹣98）
＝197×1
＝197．
19．解：（1）∵a+b＝11，ab＝1，
∴a2+b2
＝（a+b）2﹣2ab
＝112﹣2×1
＝119．
（2）（a﹣1）（b﹣1）
＝ab﹣a﹣b+1
＝ab﹣（a+b）+1
＝1﹣11+1
＝﹣9．
20．解：（1）阴影部分的面积为：（m﹣n）2，也可表达为：（m+n）2﹣4mn；
（2）等量关系式：（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn；
（3）将m﹣n＝4，mn＝12代入等式，得：
16＝（m+n） ﹣48，
（m+n） ＝64．
21．（1）解：第一种组合：，
解不等式①，得x＜﹣2，
解不等式②，得x＜﹣3
∴原不等式组的解集是x＜﹣3；
第二种组合：，
解不等式①，得x＜﹣2，
解不等式②，得x＞3，
∴原不等式组无解；
第三种组合：，
解不等式①，得x＜﹣3，
解不等式②，得x＞3，
∴原不等式组无解；
（任选其中一种组合即可）；
（2）一，
解：a（1+a）﹣（a﹣1）2
＝a+a2﹣（a2﹣2a+1）
＝a+a2﹣a2+2a﹣1
＝3a﹣1．
故答案为一．
22．解：（1）图2中的空白部分的正方形的边长＝a﹣b．
（2）图2中空白部分的正方形的面积＝大正方形的面积﹣4个小长方形的面积
＝（a+b）2﹣4ab
＝102﹣4×3
＝100﹣12
＝88．
（3）图2中大正方形的面积＝（a+b）2，
空白部分的正方形面积＝（a﹣b）2，
阴影的面积＝4ab，
∵图2中大正方形的面积＝空白部分的正方形面积+阴影的面积，
∴（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab．
（4）∵（x﹣10）+（20﹣x）＝x﹣10+20﹣x＝10，
∴[（x﹣10）+（20﹣x）]2＝100，
由（3）的结论可知，
[（x﹣10）+（20﹣x）]2＝[（x﹣10）﹣（20﹣x）]2+4（x﹣10）（20﹣x），
把[（x﹣10）+（20﹣x）]2＝100，（x﹣10）（20﹣x）＝8代入，
得100＝[（x﹣10）﹣（20﹣x）]2+4×8，
100＝（x﹣10﹣20+x）2+32，
68＝（2x﹣30）2，
即（2x﹣30）2＝68．
23．解：（1）A中能使用的面积＝大正方形的面积﹣不能使用的面积，
即a2﹣M，
故答案为：a2﹣M；
（2）A比B多出的使用面积为：（a2﹣M）﹣（b2﹣M）
＝a2﹣b2
＝（a+b）（a﹣b）
＝10×5
＝50，
答：A比B多出的使用面积为50．
24．解：（1）（a﹣b）（a+b）＝a2﹣b2；
（a﹣b）（a2+ab+b2）＝a3+a2b+ab2﹣a2b﹣ab2﹣b3＝a3﹣b3；
（a﹣b）（a3+a2b+ab2+b3）＝a4+a3b+a2b2+ab3﹣a3b﹣a2b2﹣ab3﹣b4＝a4﹣b4；
故答案为：a2﹣b2，a3﹣b3，a4﹣b4；
（2）由（1）的规律可得：
原式＝an﹣bn，
故答案为：an﹣bn；
（3）∵[（2﹣（﹣1）]（29﹣28+27﹣…+23﹣22+2﹣1）
＝210﹣110，
∴29﹣28+27﹣…+23﹣22+2﹣1
＝（210﹣110）÷3
＝341，
∴29﹣28+27﹣…+23﹣22+2
＝341+1
＝342．
25．解：由题意可得，
方案二：a2+ab+（a+b）b＝a2+ab+ab+b2＝a2+2ab+b2＝（a+b）2，
方案三：a2+＝＝a2+2ab+b2＝（a+b）2．
一．选择题
1．下列各式中能用平方差公式计算的是（ ）
A．（a+b）（﹣a﹣b） B．（a+b）（﹣a+b）
C．（﹣a+b）（﹣a+b） D．（a﹣b）（b﹣a）
2．若（3b+a） （ ）＝a2﹣9b2，则括号内应填的代数式是（ ）
A．﹣a﹣3b B．a+3b C．﹣3b+a D．3b﹣a
3．已知（3x+a）2＝9x2+bx+4，则b的值为（ ）
A．4 B．±6 C．12 D．±12
4．若x2﹣2mx+16是完全平方式，则m的值等于（ ）
A．2 B．2或﹣2 C．4或﹣4 D．8或﹣8
5．将图甲中阴影部分的小长方形变换到图乙位置，你能根据两个图形的面积关系得到的数学公式是（ ）
A．（a﹣b）（a+b）＝a2﹣b2 B．（a+b）2＝a2+2ab+b2
C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 D．（2a﹣b）2＝4a2﹣4ab+b2
二．填空题
6．已知：x+y＝5，x﹣y＝3，则x2﹣y2＝ ．
7．若a2+b2＝7，ab＝1，则（a+b）2＝ ，（a﹣b）2＝ ．
8．计算：20232﹣2022×2024＝ ．
9．已知（a+b）2＝12，ab＝2，则（a﹣b）2＝ ．
10．设9x2+mx+144是一个完全平方式，则m的值为 ．
三．解答题
11．计算：（2a+b）（a﹣2b）﹣2（a﹣b）2．
12．已知x+y＝5，xy＝2，求x2+y2的值．
13．计算：
（1）（a﹣b）2；
（2）4（x﹣2）2﹣（2x+3）（2x﹣3）．
14．计算：
（1）（x3 x2）3；
（2）（3m﹣n）（﹣n﹣3m）．
15．计算：（9x﹣2y）（x+y）﹣（﹣3x+y）（﹣3x﹣y）．
16．（﹣2y+1）2﹣（2y+1）（2y﹣1）．
17．化简：．
18．利用乘法公式计算：
（1）1002﹣200×99+992；
（2）992﹣982．
19．已知a+b＝11，ab＝1．
（1）a2+b2的值；
（2）求（a﹣1）（b﹣1）的值．
20．如图，①是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中的虚线剪成四个完全一样的小长方形，再按照图②围成一个较大的正方形．
（1）请用两种方法表示图②中阴影部分的面积（只需要表示，不必化简）；
（2）比较（1）中的两种结果，你能得到怎样的等量关系式？
（3）请你用（2）中得到的等量关系解决下列问题：如果m﹣n＝4，mn＝12，求（m+n）2的值．
21．（1）有三个不等式2x+3＜﹣1，﹣5x＞15，3（x﹣1）＞6，请在其中任选两个不等式，组成一个不等式组，并求出它的解集；
（2）小红在计算a（1+a）﹣（a﹣1）2时，解答过程如下：
a（1+a）﹣（a﹣1）2 ＝a+a2﹣（a2﹣1）……第一步 ＝a+a2﹣a2﹣1……第二步 ＝a﹣1……第三步
小红的解答从第 步开始出错，请写出正确的解答过程．
22．如图1是一个长为2a、宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀均匀分成四块小长方形．然后按图2形状拼成一个正方形．
（1）图2中的空白部分的正方形的边长是多少？（用含a、b的式子表示）
（2）已知a+b＝10，ab＝3，求图2中空白部分的正方形的面积．
（3）观察图2，用一个等式表示下列三个整式：（a+b）2，（a﹣b）2，ab之间的数量关系．
（4）拓展提升：当（x﹣10）（20﹣x）＝8时，求（2x﹣30）2．
23．如图，学校劳动实践基地有两块边长分别为a，b的正方形秧田A，B，其中不能使用的面积为M．
（1）用含a，M的代数式表示A中能使用的面积 ；
（2）若a+b＝10，a﹣b＝5，求A比B多出的使用面积．
24．（1）填空：
（a﹣b）（a+b）＝ ；
（a﹣b）（a2+ab+b2）＝ ；
（a﹣b）（a3+a2b+ab2+b3）＝ ．
（2）猜想：
（a﹣b）（an﹣1+an﹣2b+…+abn﹣2+bn﹣1）＝ （其中n为正整数，且n≥2）．
（3）利用（2）猜想的结论计算：
29﹣28+27﹣…+23﹣22+2．
25．有一张边长为a厘米的正方形桌面，因为实际需要，需将正方形边长增加b厘米，木工师傅设计了如图所示的三种方案：
小明发现这三种方案都能验证公式：a2+2ab+b2＝（a+b）2，
对于方案一，小明是这样验证的：
a2+ab+ab+b2＝a2+2ab+b2＝（a+b）2
请你根据方案二、方案三，写出公式的验证过程．
方案二：
方案三：
参考答案
一．选择题
1．解：观察只有B选项符合平方差公式的结构特征，
（a+b）（﹣a+b）＝（b+a）（b﹣a）＝b2﹣a2
其余选项的均不符合，
故选：B．
2．解：∵a2﹣9b2＝（a+3b）（a﹣3b）＝（3b+a）（﹣3b+a），
故选：C．
3．解：∵（3x±2）2＝9x2±12x+4，
∴b＝±12，
故选：D．
4．解：∵（x±4）2＝x2±8x+16，
∴﹣2m＝±8，
∴m＝±4，
故选：C．
5．解：如图，图甲中①、②的总面积为（a+b）（a﹣b），
图乙中①、②的总面积可以看作两个正方形的面积差，即a2﹣b2，
因此有（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，
故选：A．
二．填空题
6．解：∵（x+y）（x﹣y）＝x2﹣y2，
∴x2﹣y2＝5×3＝15，
故答案为：15．
7．解：∵a2+b2＝7，ab＝1，
∴（a+b）2＝a2+b2+2ab＝7+2＝9；
（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab＝7﹣2＝5；
故答案为：9，5．
8．解：20232﹣2022×2024
＝20232﹣（2023﹣1）（2023+1）
＝20232﹣（20232﹣12）
＝20232﹣20232+1
＝1．
故答案为：1．
9．解：∵（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2，
∴12﹣4×2＝（a﹣b）2，
∴（a﹣b）2＝4，
故答案为：4．
10．解：∵9x2+mx+144是一个完全平方式，
∴m＝±（2×3×12）＝±72，
故答案为：±72．
三．解答题
11．解：原式＝2a2﹣4ab+ab﹣2b2﹣2（a2﹣2ab+b2）
＝2a2﹣3ab﹣2b2﹣2a2+4ab﹣2b2
＝ab﹣4b2．
12．解：x2+y2
＝（x+y）2﹣2xy
＝52﹣2×2
＝21．
13．解：（1）原式＝a2﹣2×a×b+（）2
＝a2﹣3ab+b2；
（2）原式＝4（x2﹣4x+4）﹣（4x2﹣9）
＝4x2﹣16x+16﹣4x2+9
＝25﹣16x．
14．解：（1）（x3 x2）3
＝（x5）3
＝x15；
（2）（3m﹣n）（﹣n﹣3m）
＝（﹣n）2﹣（3m）2
＝n2﹣9m2．
15．解：（9x﹣2y）（x+y）﹣（﹣3x+y）（﹣3x﹣y）
＝9x2+9xy﹣2xy﹣2y2﹣（9x2﹣y2）
＝9x2+9xy﹣2xy﹣2y2﹣9x2+y2
＝7xy﹣y2．
16．解：原式＝4y2﹣4y+1﹣（4y2﹣1）
＝4y2﹣4y+1﹣4y2+1
＝﹣4y+2．
17．解：原式＝4x﹣4x
＝2xy﹣．
18．解：（1）原式＝1002﹣2×100×99+992
＝（100﹣99）2
＝12
＝1；
（2）原式＝（99+98）×（99﹣98）
＝197×1
＝197．
19．解：（1）∵a+b＝11，ab＝1，
∴a2+b2
＝（a+b）2﹣2ab
＝112﹣2×1
＝119．
（2）（a﹣1）（b﹣1）
＝ab﹣a﹣b+1
＝ab﹣（a+b）+1
＝1﹣11+1
＝﹣9．
20．解：（1）阴影部分的面积为：（m﹣n）2，也可表达为：（m+n）2﹣4mn；
（2）等量关系式：（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn；
（3）将m﹣n＝4，mn＝12代入等式，得：
16＝（m+n） ﹣48，
（m+n） ＝64．
21．（1）解：第一种组合：，
解不等式①，得x＜﹣2，
解不等式②，得x＜﹣3
∴原不等式组的解集是x＜﹣3；
第二种组合：，
解不等式①，得x＜﹣2，
解不等式②，得x＞3，
∴原不等式组无解；
第三种组合：，
解不等式①，得x＜﹣3，
解不等式②，得x＞3，
∴原不等式组无解；
（任选其中一种组合即可）；
（2）一，
解：a（1+a）﹣（a﹣1）2
＝a+a2﹣（a2﹣2a+1）
＝a+a2﹣a2+2a﹣1
＝3a﹣1．
故答案为一．
22．解：（1）图2中的空白部分的正方形的边长＝a﹣b．
（2）图2中空白部分的正方形的面积＝大正方形的面积﹣4个小长方形的面积
＝（a+b）2﹣4ab
＝102﹣4×3
＝100﹣12
＝88．
（3）图2中大正方形的面积＝（a+b）2，
空白部分的正方形面积＝（a﹣b）2，
阴影的面积＝4ab，
∵图2中大正方形的面积＝空白部分的正方形面积+阴影的面积，
∴（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab．
（4）∵（x﹣10）+（20﹣x）＝x﹣10+20﹣x＝10，
∴[（x﹣10）+（20﹣x）]2＝100，
由（3）的结论可知，
[（x﹣10）+（20﹣x）]2＝[（x﹣10）﹣（20﹣x）]2+4（x﹣10）（20﹣x），
把[（x﹣10）+（20﹣x）]2＝100，（x﹣10）（20﹣x）＝8代入，
得100＝[（x﹣10）﹣（20﹣x）]2+4×8，
100＝（x﹣10﹣20+x）2+32，
68＝（2x﹣30）2，
即（2x﹣30）2＝68．
23．解：（1）A中能使用的面积＝大正方形的面积﹣不能使用的面积，
即a2﹣M，
故答案为：a2﹣M；
（2）A比B多出的使用面积为：（a2﹣M）﹣（b2﹣M）
＝a2﹣b2
＝（a+b）（a﹣b）
＝10×5
＝50，
答：A比B多出的使用面积为50．
24．解：（1）（a﹣b）（a+b）＝a2﹣b2；
（a﹣b）（a2+ab+b2）＝a3+a2b+ab2﹣a2b﹣ab2﹣b3＝a3﹣b3；
（a﹣b）（a3+a2b+ab2+b3）＝a4+a3b+a2b2+ab3﹣a3b﹣a2b2﹣ab3﹣b4＝a4﹣b4；
故答案为：a2﹣b2，a3﹣b3，a4﹣b4；
（2）由（1）的规律可得：
原式＝an﹣bn，
故答案为：an﹣bn；
（3）∵[（2﹣（﹣1）]（29﹣28+27﹣…+23﹣22+2﹣1）
＝210﹣110，
∴29﹣28+27﹣…+23﹣22+2﹣1
＝（210﹣110）÷3
＝341，
∴29﹣28+27﹣…+23﹣22+2
＝341+1
＝342．
25．解：由题意可得，
方案二：a2+ab+（a+b）b＝a2+ab+ab+b2＝a2+2ab+b2＝（a+b）2，
方案三：a2+＝＝a2+2ab+b2＝（a+b）2．