2022-2023学年华东师大版八年级数学上册12.3乘法公式 优生辅导练习题（含答案）
文档属性
| 名称 | 2022-2023学年华东师大版八年级数学上册12.3乘法公式 优生辅导练习题（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 233.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 华东师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-09-19 07:31:53 | ||
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文档简介
2022-2023学年华东师大版八年级数学上册《12.3乘法公式》优生辅导练习题（附答案）
一．选择题
1．计算：（1﹣）×（1﹣）×（1﹣）×…×（1﹣）×（1﹣）的结果是（ ）
A． B． C． D．
2．（a+b）n（n为非负整数）当n＝0，1，2，3，…时的展开情况如下所示：
（a+b）0＝1
（a+b）1＝a+b
（a+b）2＝a2+2ab+b2
（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3
（a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4
（a+b）5＝a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5
观察上面式子的等号右边各项的系数，我们得到了如图所示：
这就是南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中列出的一个神奇的“图”，他揭示了（a+b）n展开后各项系数的情况，被后人称为“杨辉三角”．根据图，你认为（a+b）9展开式中所有项系数的和应该是（ ）
A．128 B．256 C．512 D．1024
3．图1，是一个长为2m、宽为2n（m＞n）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图2形式拼成一个正方形，那么中间阴影部分的面积为（ ）
A．mn B．m2﹣n2 C．（m﹣n）2 D．（m+n）2
4．一个大正方形和四个全等的小正方形按图①、②两种方式摆放，则图②的大正方形中未被小正方形覆盖部分的面积是（ ）
A．a2﹣4b2 B．（a﹣2b）2 C．2ab D．ab
5．如图，把一块面积为100的大长方形木板被分割成2个大小一样的大正方形①，1个小正方形②和2个大小一样的长方形③后，如图摆放，且每个小长方形③的面积为16，则标号为②的正方形的面积是（ ）
A．16 B．14 C．12 D．10
6．若x2+mx+25是完全平方式，则m的值是（ ）
A．±10 B．5 C．﹣10 D．±5
7．已知a+b＝2，则a2﹣b2+4b的值为（ ）
A．0 B．1 C．3 D．4
8．如图，正方形ABCD的边长为x，其中AI＝5，JC＝3，两个阴影部分都是正方形且面积和为60，则重叠部分FJDI的面积为（ ）
A．28 B．29 C．30 D．31
9．如图，两个正方形边长分别为a、b，如果a+b＝7，ab＝10，则阴影部分的面积为（ ）
A．25 B．12.5 C．13 D．9.5
二．填空题
10．若a+b＝8，ab＝5，则a2+b2＝ ．
11．计算：20232﹣2022×2024＝ ．
12．已知m2+n2+10＝6m﹣2n，则m﹣n＝ ．
三．解答题
13．已知x+＝3，求下列各式的值：
（1）（x﹣）2；
（2）x4+．
14．【初试锋芒】若x+y＝8，x2+y2＝40，求xy的值；
【再展风采】已知4a2+b2＝57，ab＝6，求2a+b的值；
【尽显才华】若（20﹣x）（x﹣30）＝10，则（20﹣x）2+（x﹣30）2的值是 ．
15．如图1，将边长为a的大正方形剪去一个边长为b的小正方形，然后将剩余部分拼成图2所示长方形．
（1）上述操作能验证的等式是 ．
A．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2
B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
C．a2﹣ab＝a（a﹣b）
（2）应用你从（1）中选出的等式，完成下列各题：
①已知x2﹣4y2＝18，x﹣2y＝3，求x+2y．
②计算：（1﹣）×（1﹣）×（1﹣）×……×（1﹣）×（1﹣）．
16．两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图①），其未叠合部分（阴影）面积为S1；若再在大正方形中的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图②），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为S2．
（1）用含a、b的代数式分别表示S1、S2；
（2）若a﹣b＝8，ab＝13，求S1+S2的值；
（3）用a、b的代数式表示S3；并当S1+S2＝34时，求出图③中阴影部分的面积S3．
17．如图1是一个长为4a、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成的一个“回形”正方形（如图2）．
（1）观察图1，长方形的周长是 ，面积是 ；
（2）观察图2，大正方形的边长是 ，小正方形的边长是 ；
（3）观察图2，请你写出（a+b）2、（a﹣b）2、ab之间的等量关系是 ；
（4）根据（3）中的结论，若x+y＝5，x＝4，求x﹣y的值．
18．现有长与宽分别为a、b的小长方形若干个，用两个这样的小长方形拼成如图1的图形，用四个相同的小长方形拼成图2的图形，请认真观察图形，解答下列问题：
（1）根据图中条件，请写出图1和图2所验证的关于a、b的关系式：（用含a、b的代数式表示出来）；
图1表示： ；
图2表示： ；
根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：
（2）若x+y＝8，x2+y2＝40，求xy的值；
（3）请直接写出下列问题答案：
①若2m+3n＝5，mn＝1，则2m﹣3n＝ ；
②若（4﹣m）（5﹣m）＝6，则（4﹣m）2+（5﹣m）2＝ ．
（4）如图3，点C是线段AB上的一点，以AC，BC为边向两边作正方形，设AB＝7，两正方形的面积和S1+S2＝16，求图中阴影部分面积．
19．图形是一种重要的数学语言，它直观形象，能有效地表示一些代数中的数量关系，而运用代数思想也能巧妙地解决一些图形问题，比如：用图1所示的正方形与长方形纸片可以拼成一个图2所示的正方形．
【问题发现】
利用不同的代数式表示图2中阴影部分的面积S，写出你从中获得的等式为 ；
【类比探究】
已知x满足（11﹣x）（x﹣8）＝2，则（11﹣x）2+（x﹣8）2＝ ；
【拓展延伸】
学校计划在如图3的两块正方形草地间种些花，两块草地分别是以AC、BC为边的正方形，且两正方形的面积和S1+S2＝25，点C是线段AG上的点，若AG＝7，求用来种花的阴影部分的面积．
20．完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2适当的变形，可以解决很多的数学问题．例如：若a+b＝3，ab＝1，求a2+b2的值；
解：因为a+b＝3，所以（a+b）2＝9，即：a2+2ab+b2＝9，又因为ab＝1，所以a2+b2＝7．
根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：
（1）若x+y＝8，x2+y2＝40，求xy的值；
（2）填空：①若（4﹣x）x＝5，则（4﹣x）2+x2＝ ；
②若（4﹣x）（5﹣x）＝8，则（4﹣x）2+（5﹣x）2＝ ．
（3）如图，在长方形ABCD中，AB＝25，BC＝15，点E．F是BC、CD上的点，且BE＝DF＝x，分别以FC、CE为边在长方形ABCD外侧作正方形CFGH和CEMN，若长方形CEPF的面积为200平方单位，求图中阴影部分的面积和．
21．如图1是一个长为4a，宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个如图2的图形．
（1）观察图形，请你写出（a+b）2、（a﹣b）2、ab之间的等量关系式；
（2）若x+＝3，利用（1）中的结论，求x﹣的值；
（3）若（2021﹣m）（2022﹣m）＝4，求（m﹣2021）2+（2022﹣m）2的值．
22．利用完全平方公式（a±b）2＝a2±2ab+b2，可以解决很多的数学问题．
例如：若a+b＝3，ab＝1，求a2+b2的值．
解：图为a+b＝3，ab＝1，
所以（a+b）2＝9，
所以a2+b2+2ab＝9．
所以a2+b2+2×1＝9．
得a2+b2＝7．
根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：
（1）若x﹣y＝4，x2+y2＝40，求xy的值；
（2）若（2022﹣x）（x﹣2020）＝﹣2021，求（2022﹣x）2+（x﹣2020）2的值．
23．图（1）是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图（2）的形状拼成一个正方形．
（1）你认为图（2）中阴影部分的正方形的边长是 （用m、n表示）；
（2）请用两种不同的方法表示出图（2）中阴影部分的面积：①： ，②： ；
（3）观察图（2），请写出（m+n）2、（m﹣n）2、mn之间的一个等量关系 ；
（4）根据（3）中的等量关系，解决如下问题：若a+b＝7，ab＝6，求a﹣b的值．
24．我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”，如图所示，此图揭示了（a+b）n（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律．例如：（a+b）0＝1，它只有1项，系数为1；（a+b）1＝a+b，它有2项，系数分别为1，1，系数和为2；（a+b）2＝a2+2ab+b2，它有3项系数分别为1，2，1，系数和为4；（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3，它有4项，系数分别为1，3，3，1，系数和为8…．
根据以上规律，解答下列问题．
（1）（a+b）4的展开式共有 项，系数分别为 ．
（2）（a+b）n的展开式共有 项，系数和为 ．
（3）计算：25+5×24+10×23+10×22+5×2+1．
参考答案
一．选择题
1．解：原式＝（1﹣）×（1+）×（1﹣）×（1+）×（1﹣）×（1+）×…×（1﹣）×（1+）×（1﹣）×（1+）
＝××××××…××××
＝×
＝．
故选：B．
2．解：当n＝0时展开式所有系数的和为1＝20．
当n＝1时展开式所有系数的和为2＝21．
当n＝2时展开式所有系数的和为22．
当n＝3时展开式所有系数的和为8＝23．
当n＝4时展开式所有系数的和为16＝24．
当n＝5时展开式所有系数的和为32＝25．
……
∴当n＝5时展开式所有系数的和为29＝512．
故选：C．
3．解：方法一：
图2中四个长方形的面积的和＝图1的长方形的面积＝2m×2n＝4mn，
图2的大正方形的面积＝（m+n）2，
图2中阴影部分的面积＝图2的大正方形的面积﹣图2中四个长方形的面积的和
＝（m+n）2﹣4mn
＝m2+2mn+n2﹣4mn
＝m2﹣2mn+n2
＝（m﹣n）2．
方法二：
图中阴影部分是正方形，且四个边长都是（m﹣n），
∴阴影部分的面积＝（m﹣n）2．
故选：C．
4．解：由题意可知，小正方形的边长为，大正方形的边长为b+×2＝，
所以阴影部分的面积为（）2﹣（）2×4＝ab，
故选：D．
5．解：设标号为①的正方形的边长为x，标号为②的正方形的边长为y，则标号为③的长方形长为（x+y），宽为（x﹣y），
∵每个小长方形③的面积均为16，
∴（x+y）（x﹣y）＝16，
∴x2﹣y2＝16，
∴x2＝16+y2
∵大长方形的长等于标号为③的小长方形的长与标号为①的正方形的边长的和，宽等于标号为③的小长方形的宽与标号为①的正方形的边长的和，
∴大长方形的长为：[（x+y）+x]＝2x+y，宽为：[（x﹣y）+x]＝2x﹣y，
∵大长方形的面积为100，
∴（2x+y）（2x﹣y）＝100，
∴4x2﹣y2＝100，
∴4（16+y2）﹣y2＝100，
∴y2＝12，
即标号为②的正方形的面积为y2＝12．
故选：C．
6．解：∵x2+mx+25是完全平方式，且（±5）2＝25，
∴x2+mx+25＝（x±5）2＝x2±2×1×5x+25＝x2±10x+25，
∴m＝±10，
故选：A．
7．解：当a+b＝2时，
原式＝（a+b）（a﹣b）+4b
＝2（a﹣b）+4b
＝2a﹣2b+4b
＝2a+2b
＝2（a+b）
＝2×2
＝4．
故选：D．
8．解：设ID＝y，DJ＝z，
∵两个阴影部分都是正方形，
∴DN＝ID＝x，DM＝DJ＝y，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AD＝CD，
∵AD＝AI+ID，CD＝CJ+DJ，
∴AI+ID＝CJ+DJ，
∵AI＝5，CJ＝3，
∴5+y＝3+z，
∴y＝z﹣2，
：∵阴影部分面积和为60，
∴y2+z2＝60，
方法1：将y＝z﹣2代入y2+z2＝60中，得：
（z﹣2）2+z2＝60，
解得：z＝1+或z＝1﹣（舍），
∴y＝z﹣2＝﹣1，
∴ID＝﹣1，DJ＝1+，
∴S长方形FJDI＝ID DJ＝（﹣1）×（1+）＝28；
方法2：∵z﹣y＝2，
所以（z﹣y）2＝4，
∴y2+z2﹣2yz＝4，
∴60﹣2yz＝4，
yz＝28，
∴S长方形FJDI＝ID DJ＝28．
故选：A．
9．解：由题意知，阴影部分的面积＝a2﹣﹣（a﹣b）b＝a2+b2﹣ab＝（a+b）2﹣ab，
∵a+b＝7，ab＝10，
∴阴影部分的面积＝×72﹣×10＝＝9.5，
故选：D．
二．填空题
10．解：∵（a+b）2＝a2+2ab+b2，
又∵a+b＝8，ab＝5，
∴64＝a2+b2+10，
∴a2+b2＝54，
故答案为：54．
11．解：20232﹣2022×2024
＝20232﹣（2023﹣1）（2023+1）
＝20232﹣（20232﹣12）
＝20232﹣20232+1
＝1．
故答案为：1．
12．解：∵m2+n2+10＝6m﹣2n，
∴m2﹣6m+9+n2+2n+1＝0，
即（m﹣3）2+（n+1）2＝0，
∴m＝3，n＝﹣1，
∴m﹣n＝4，
故答案为：4．
三．解答题
13．解：（1）∵＝
∴＝
＝
＝﹣4x
＝32﹣4
＝5；
（2）∵＝，
∴
＝+2
＝5+2
＝7，
∵＝，
∴
＝﹣2
＝49﹣2
＝47．
14．解：（1）x+y＝8，x2+y2＝40，
xy＝[（x+y）2﹣x2﹣y2]×＝（82﹣40）×＝12；
（2）4a2+b2＝57，ab＝6，
（2a+b）2＝4a2+b2+4ab＝81，
∴2a+b＝±9；
（3）设a＝20﹣x，b＝x﹣30，
则（20﹣x）（x﹣30）＝ab＝10，
a+b＝（20﹣x）+（x﹣30）＝﹣10，
所以（20﹣x）2+（x﹣30）2
＝a2+b2
＝（a+b）2﹣2ab
＝（﹣10）2﹣2×10
＝80．
15．解：（1）根据阴影部分的面积相等得出：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．
故选：B．
（2）①∵x2﹣4y2＝18，x﹣2y＝3，
∴x+2y＝（x2﹣4y2）÷（x﹣2y）＝18÷3＝6；
②原式＝（1﹣）×（1+）×（1﹣）×（1+）×……×（1﹣）×（1+）
＝××××……××
＝×
＝．
16．解：（1）图①中阴影部分的面积是边长为a、b的正方形的面积差，即S1＝a2﹣b2；
图②中阴影部分是长为b，宽为2b﹣a的长方形，因此面积为：S2＝b（2b﹣a）＝2b2﹣ab；
（2）∵a﹣b＝8，ab＝13，
∴S1+S2＝a2﹣b2+2b2﹣ab
＝a2+b2﹣ab
＝（a﹣b）2+ab
＝64+13
＝77；
（3）S3＝a2+b2﹣a2﹣b（a+b）
＝（a2+b2﹣ab），
当S1+S2＝34时，即a2+b2﹣ab＝34，
∴S3＝（a2+b2﹣ab）＝17．
17．解：（1）由长方形的周长、面积的计算公式可得，长方形的周长为8a+2b，面积为4ab，
故答案为：8a+2b，4ab；
（2）由拼图可得，大正方形的边长为a+b，小正方形的边长为b﹣a，
故答案为：a+b，b﹣a；
（3）由于S大正方形的面积＝S阴影部分+4S长方形
∴（a+b）2＝（b﹣a）2+4ab，
故答案为：（a+b）2＝（b﹣a）2+4ab；
（4）∵x+y＝5，x＝4，
∴y＝1，
∴x﹣y＝4﹣1＝3．
18．解：（1）图1中，由图可知S大正方形＝（a+b）2，
S组成大正方形的四部分的面积之和＝a2+b2+2ab，
由题意得，S大正方形＝S组成大正方形的四部分的面积之和，
即（a+b）2＝a2+b2+2ab，
故答案为：（a+b）2＝a2+b2+2ab．
图2中，由图可知S大正方形＝（a+b）2，S小正方形＝（a﹣b）2，S四个长方形＝4ab，
由题图可知，S大正方形＝S小正方形+S四个长方形，
即（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab，
故答案为：（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab．
（2）∵（x+y）2＝x2+y2+2xy，
∴xy＝【（x+y）2﹣（x2+y2）】
∵x+y＝8，x2+y2＝40，
∴xy＝（64﹣40）
＝12．
（3）①由图2可得（2m﹣3n）2＝（2m+3n）2﹣24mn，
∵2m+3n＝5，mn＝1，
∴（2m﹣3n）2＝52﹣24＝1，
∴2m﹣3n＝±1．
故答案为：±1．
②由图1可得【（4﹣m）﹣（5﹣m）】2＝（4﹣m）2+（5﹣m）2﹣2（4﹣m）（5﹣m），
∴（4﹣m）2+（5﹣m）2＝【（4﹣m）﹣（5﹣m）】2+2（4﹣m）（5﹣m），
∵（4﹣m）（5﹣m）＝6，
∴原式＝1+2×6＝13．
故答案为：13．
（4）由题意得AB＝AC+CB，
∵AB＝7，
∴AC+CB＝7，
∵S1+S2＝16，
∴AC2+CB2＝16，
∵（AC+BC）2＝AC2+CB2+2AC CB，
∴AC CB＝[（AC+CB）2﹣（AC2+CB2）]
＝（49﹣16）
＝，
∴S阴影＝CD CB＝AC CB＝．
即图中阴影部分的面积为．
19．解：【问题发现】根据面积的不同算法得：（a+b）2＝a2+2ab+b2；
【类比探究】令a＝11﹣x，b＝x﹣8，
∴a+b＝3，ab＝2，
∵（a+b）2＝a2+2ab+b2，
∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝9﹣4＝5，
故答案为：5；
【拓展延伸】由题意得：AC+CG＝7，AC2+CG2＝25，
则2AC BC＝2AC CG＝（AC+CG）2﹣（AC2+CG2）＝49﹣25＝24，
∴阴影部分的面积为：AC BC＝12．
20．解：（1）∵2xy＝（x+y）2﹣（x2+y2）＝64﹣40＝26，
∴xy＝13．
（2）①令a＝4﹣x，b＝x，
则a+b＝4，ab＝5，
∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝16﹣10＝6.\，
∴（4﹣x）2+x2＝6，
故答案为：6．
②令a＝4﹣x，b＝5﹣x，
则a﹣b＝﹣1，ab＝8，
∴a2+b2＝（a﹣b）2+2ab＝1+16＝17，
∴（4﹣x）2+（5﹣x）2＝17，
故答案为：17．
（3）由题意得：（25﹣x）（15﹣x）＝200，
令a＝25﹣x，b＝15﹣x，
则：a﹣b＝10，ab＝200，
∴a2+b2＝（a﹣b）2+2ab＝100+400＝500，
∴（25﹣x）2+（15﹣x）2＝500，
所以阴影部分的面积和为500平方米．
21．解：（1）（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab．
观察图形知，图2中大正方形的面积为：（a+b）2，阴影面积为：（a﹣b）2，则图2中4个小长方形面积的和为：（a+b）2﹣（a﹣b）2；图1中4个小长方形面积的和为：4ab；由此得出：（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab．
（2）由（1）中的结论可知，（x+）2﹣（x﹣）2＝4 x ＝4，
∵x+＝3，
∴等号两边平方得，（x+）2＝9，
∴（x﹣）2＝（x+）2﹣4＝9﹣4＝5，
∴x﹣＝±．
（3）（m﹣2021）2+（2022﹣m）2
＝（2021﹣m）2+（2022﹣m）2
＝[（2021﹣m）﹣（2022﹣m）]2+2（2021﹣m）（2022﹣m），
把（2021﹣m）（2022﹣m）＝4代入，
原式＝[2021﹣m﹣2022+m]2+2×4
＝[﹣1]2+8
＝1+8
＝9．
22．解：（1）∵x﹣y＝4，
∴（x﹣y）2＝16，即x2﹣2xy+y2＝16．
又∵x2+y2＝40，
∴40﹣2xy＝16，
解得xy＝12，
答：xy的值是12；
（2）设2022﹣x＝a，x﹣2020＝b，则a+b＝2．
∵（2022﹣x）（x﹣2020）＝﹣2021，
∴ab＝﹣2021，
把2022﹣x＝a，x﹣2020＝b，a+b＝2代入得，
（2022﹣x）2+（x﹣2020）2
＝（a+b）2﹣2ab
＝22﹣2×（﹣2021）
＝4+4042
＝4046．
23．解：（1）图（2）中阴影部分的正方形的边长是m﹣n；
故答案为：m﹣n；
（2）请用两种不同的方法求图（2）中阴影部分面积．
①：（m﹣n）2；②：（m+n）2﹣4mn；
故答案为：（m﹣n）2，（m+n）2﹣4mn；
（3）观察图（2），（m+n）2、（m﹣n）2、mm之间的一个等量关系：
（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn；
故答案为：（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn；
（4）因为a+b＝7，ab＝6，
所以（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab
＝72﹣4×6
＝25，
所以a﹣b的值是±5．
24．解：（1）根据题意知，（a+b）4的展开后，共有5项，
各项系数分别为1、（1+3）、（3+3）、（3+1）、1，
即：1、4、6、4、1；
故答案为：5；1，4，6，4，1；
（2）根据题意，得（a+b）n的展开式共有（n+1）项，
（a+b）0的系数和为1＝20，
（a+b）1的系数和为2＝21，
（a+b）2的系数和为4＝22，
（a+b）3的系数和为8＝23，
，
由此规律可得，（a+b）n的系数和为2n．
∴（a+b）n的展开式共有（n+1）项，系数和为2n．
故答案为：（n+1），2n；
（3）25+5×24+10×23+10×22+5×2+1＝（2+1）5＝243．
一．选择题
1．计算：（1﹣）×（1﹣）×（1﹣）×…×（1﹣）×（1﹣）的结果是（ ）
A． B． C． D．
2．（a+b）n（n为非负整数）当n＝0，1，2，3，…时的展开情况如下所示：
（a+b）0＝1
（a+b）1＝a+b
（a+b）2＝a2+2ab+b2
（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3
（a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4
（a+b）5＝a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5
观察上面式子的等号右边各项的系数，我们得到了如图所示：
这就是南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中列出的一个神奇的“图”，他揭示了（a+b）n展开后各项系数的情况，被后人称为“杨辉三角”．根据图，你认为（a+b）9展开式中所有项系数的和应该是（ ）
A．128 B．256 C．512 D．1024
3．图1，是一个长为2m、宽为2n（m＞n）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图2形式拼成一个正方形，那么中间阴影部分的面积为（ ）
A．mn B．m2﹣n2 C．（m﹣n）2 D．（m+n）2
4．一个大正方形和四个全等的小正方形按图①、②两种方式摆放，则图②的大正方形中未被小正方形覆盖部分的面积是（ ）
A．a2﹣4b2 B．（a﹣2b）2 C．2ab D．ab
5．如图，把一块面积为100的大长方形木板被分割成2个大小一样的大正方形①，1个小正方形②和2个大小一样的长方形③后，如图摆放，且每个小长方形③的面积为16，则标号为②的正方形的面积是（ ）
A．16 B．14 C．12 D．10
6．若x2+mx+25是完全平方式，则m的值是（ ）
A．±10 B．5 C．﹣10 D．±5
7．已知a+b＝2，则a2﹣b2+4b的值为（ ）
A．0 B．1 C．3 D．4
8．如图，正方形ABCD的边长为x，其中AI＝5，JC＝3，两个阴影部分都是正方形且面积和为60，则重叠部分FJDI的面积为（ ）
A．28 B．29 C．30 D．31
9．如图，两个正方形边长分别为a、b，如果a+b＝7，ab＝10，则阴影部分的面积为（ ）
A．25 B．12.5 C．13 D．9.5
二．填空题
10．若a+b＝8，ab＝5，则a2+b2＝ ．
11．计算：20232﹣2022×2024＝ ．
12．已知m2+n2+10＝6m﹣2n，则m﹣n＝ ．
三．解答题
13．已知x+＝3，求下列各式的值：
（1）（x﹣）2；
（2）x4+．
14．【初试锋芒】若x+y＝8，x2+y2＝40，求xy的值；
【再展风采】已知4a2+b2＝57，ab＝6，求2a+b的值；
【尽显才华】若（20﹣x）（x﹣30）＝10，则（20﹣x）2+（x﹣30）2的值是 ．
15．如图1，将边长为a的大正方形剪去一个边长为b的小正方形，然后将剩余部分拼成图2所示长方形．
（1）上述操作能验证的等式是 ．
A．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2
B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
C．a2﹣ab＝a（a﹣b）
（2）应用你从（1）中选出的等式，完成下列各题：
①已知x2﹣4y2＝18，x﹣2y＝3，求x+2y．
②计算：（1﹣）×（1﹣）×（1﹣）×……×（1﹣）×（1﹣）．
16．两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图①），其未叠合部分（阴影）面积为S1；若再在大正方形中的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图②），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为S2．
（1）用含a、b的代数式分别表示S1、S2；
（2）若a﹣b＝8，ab＝13，求S1+S2的值；
（3）用a、b的代数式表示S3；并当S1+S2＝34时，求出图③中阴影部分的面积S3．
17．如图1是一个长为4a、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成的一个“回形”正方形（如图2）．
（1）观察图1，长方形的周长是 ，面积是 ；
（2）观察图2，大正方形的边长是 ，小正方形的边长是 ；
（3）观察图2，请你写出（a+b）2、（a﹣b）2、ab之间的等量关系是 ；
（4）根据（3）中的结论，若x+y＝5，x＝4，求x﹣y的值．
18．现有长与宽分别为a、b的小长方形若干个，用两个这样的小长方形拼成如图1的图形，用四个相同的小长方形拼成图2的图形，请认真观察图形，解答下列问题：
（1）根据图中条件，请写出图1和图2所验证的关于a、b的关系式：（用含a、b的代数式表示出来）；
图1表示： ；
图2表示： ；
根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：
（2）若x+y＝8，x2+y2＝40，求xy的值；
（3）请直接写出下列问题答案：
①若2m+3n＝5，mn＝1，则2m﹣3n＝ ；
②若（4﹣m）（5﹣m）＝6，则（4﹣m）2+（5﹣m）2＝ ．
（4）如图3，点C是线段AB上的一点，以AC，BC为边向两边作正方形，设AB＝7，两正方形的面积和S1+S2＝16，求图中阴影部分面积．
19．图形是一种重要的数学语言，它直观形象，能有效地表示一些代数中的数量关系，而运用代数思想也能巧妙地解决一些图形问题，比如：用图1所示的正方形与长方形纸片可以拼成一个图2所示的正方形．
【问题发现】
利用不同的代数式表示图2中阴影部分的面积S，写出你从中获得的等式为 ；
【类比探究】
已知x满足（11﹣x）（x﹣8）＝2，则（11﹣x）2+（x﹣8）2＝ ；
【拓展延伸】
学校计划在如图3的两块正方形草地间种些花，两块草地分别是以AC、BC为边的正方形，且两正方形的面积和S1+S2＝25，点C是线段AG上的点，若AG＝7，求用来种花的阴影部分的面积．
20．完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2适当的变形，可以解决很多的数学问题．例如：若a+b＝3，ab＝1，求a2+b2的值；
解：因为a+b＝3，所以（a+b）2＝9，即：a2+2ab+b2＝9，又因为ab＝1，所以a2+b2＝7．
根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：
（1）若x+y＝8，x2+y2＝40，求xy的值；
（2）填空：①若（4﹣x）x＝5，则（4﹣x）2+x2＝ ；
②若（4﹣x）（5﹣x）＝8，则（4﹣x）2+（5﹣x）2＝ ．
（3）如图，在长方形ABCD中，AB＝25，BC＝15，点E．F是BC、CD上的点，且BE＝DF＝x，分别以FC、CE为边在长方形ABCD外侧作正方形CFGH和CEMN，若长方形CEPF的面积为200平方单位，求图中阴影部分的面积和．
21．如图1是一个长为4a，宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个如图2的图形．
（1）观察图形，请你写出（a+b）2、（a﹣b）2、ab之间的等量关系式；
（2）若x+＝3，利用（1）中的结论，求x﹣的值；
（3）若（2021﹣m）（2022﹣m）＝4，求（m﹣2021）2+（2022﹣m）2的值．
22．利用完全平方公式（a±b）2＝a2±2ab+b2，可以解决很多的数学问题．
例如：若a+b＝3，ab＝1，求a2+b2的值．
解：图为a+b＝3，ab＝1，
所以（a+b）2＝9，
所以a2+b2+2ab＝9．
所以a2+b2+2×1＝9．
得a2+b2＝7．
根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：
（1）若x﹣y＝4，x2+y2＝40，求xy的值；
（2）若（2022﹣x）（x﹣2020）＝﹣2021，求（2022﹣x）2+（x﹣2020）2的值．
23．图（1）是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图（2）的形状拼成一个正方形．
（1）你认为图（2）中阴影部分的正方形的边长是 （用m、n表示）；
（2）请用两种不同的方法表示出图（2）中阴影部分的面积：①： ，②： ；
（3）观察图（2），请写出（m+n）2、（m﹣n）2、mn之间的一个等量关系 ；
（4）根据（3）中的等量关系，解决如下问题：若a+b＝7，ab＝6，求a﹣b的值．
24．我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”，如图所示，此图揭示了（a+b）n（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律．例如：（a+b）0＝1，它只有1项，系数为1；（a+b）1＝a+b，它有2项，系数分别为1，1，系数和为2；（a+b）2＝a2+2ab+b2，它有3项系数分别为1，2，1，系数和为4；（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3，它有4项，系数分别为1，3，3，1，系数和为8…．
根据以上规律，解答下列问题．
（1）（a+b）4的展开式共有 项，系数分别为 ．
（2）（a+b）n的展开式共有 项，系数和为 ．
（3）计算：25+5×24+10×23+10×22+5×2+1．
参考答案
一．选择题
1．解：原式＝（1﹣）×（1+）×（1﹣）×（1+）×（1﹣）×（1+）×…×（1﹣）×（1+）×（1﹣）×（1+）
＝××××××…××××
＝×
＝．
故选：B．
2．解：当n＝0时展开式所有系数的和为1＝20．
当n＝1时展开式所有系数的和为2＝21．
当n＝2时展开式所有系数的和为22．
当n＝3时展开式所有系数的和为8＝23．
当n＝4时展开式所有系数的和为16＝24．
当n＝5时展开式所有系数的和为32＝25．
……
∴当n＝5时展开式所有系数的和为29＝512．
故选：C．
3．解：方法一：
图2中四个长方形的面积的和＝图1的长方形的面积＝2m×2n＝4mn，
图2的大正方形的面积＝（m+n）2，
图2中阴影部分的面积＝图2的大正方形的面积﹣图2中四个长方形的面积的和
＝（m+n）2﹣4mn
＝m2+2mn+n2﹣4mn
＝m2﹣2mn+n2
＝（m﹣n）2．
方法二：
图中阴影部分是正方形，且四个边长都是（m﹣n），
∴阴影部分的面积＝（m﹣n）2．
故选：C．
4．解：由题意可知，小正方形的边长为，大正方形的边长为b+×2＝，
所以阴影部分的面积为（）2﹣（）2×4＝ab，
故选：D．
5．解：设标号为①的正方形的边长为x，标号为②的正方形的边长为y，则标号为③的长方形长为（x+y），宽为（x﹣y），
∵每个小长方形③的面积均为16，
∴（x+y）（x﹣y）＝16，
∴x2﹣y2＝16，
∴x2＝16+y2
∵大长方形的长等于标号为③的小长方形的长与标号为①的正方形的边长的和，宽等于标号为③的小长方形的宽与标号为①的正方形的边长的和，
∴大长方形的长为：[（x+y）+x]＝2x+y，宽为：[（x﹣y）+x]＝2x﹣y，
∵大长方形的面积为100，
∴（2x+y）（2x﹣y）＝100，
∴4x2﹣y2＝100，
∴4（16+y2）﹣y2＝100，
∴y2＝12，
即标号为②的正方形的面积为y2＝12．
故选：C．
6．解：∵x2+mx+25是完全平方式，且（±5）2＝25，
∴x2+mx+25＝（x±5）2＝x2±2×1×5x+25＝x2±10x+25，
∴m＝±10，
故选：A．
7．解：当a+b＝2时，
原式＝（a+b）（a﹣b）+4b
＝2（a﹣b）+4b
＝2a﹣2b+4b
＝2a+2b
＝2（a+b）
＝2×2
＝4．
故选：D．
8．解：设ID＝y，DJ＝z，
∵两个阴影部分都是正方形，
∴DN＝ID＝x，DM＝DJ＝y，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AD＝CD，
∵AD＝AI+ID，CD＝CJ+DJ，
∴AI+ID＝CJ+DJ，
∵AI＝5，CJ＝3，
∴5+y＝3+z，
∴y＝z﹣2，
：∵阴影部分面积和为60，
∴y2+z2＝60，
方法1：将y＝z﹣2代入y2+z2＝60中，得：
（z﹣2）2+z2＝60，
解得：z＝1+或z＝1﹣（舍），
∴y＝z﹣2＝﹣1，
∴ID＝﹣1，DJ＝1+，
∴S长方形FJDI＝ID DJ＝（﹣1）×（1+）＝28；
方法2：∵z﹣y＝2，
所以（z﹣y）2＝4，
∴y2+z2﹣2yz＝4，
∴60﹣2yz＝4，
yz＝28，
∴S长方形FJDI＝ID DJ＝28．
故选：A．
9．解：由题意知，阴影部分的面积＝a2﹣﹣（a﹣b）b＝a2+b2﹣ab＝（a+b）2﹣ab，
∵a+b＝7，ab＝10，
∴阴影部分的面积＝×72﹣×10＝＝9.5，
故选：D．
二．填空题
10．解：∵（a+b）2＝a2+2ab+b2，
又∵a+b＝8，ab＝5，
∴64＝a2+b2+10，
∴a2+b2＝54，
故答案为：54．
11．解：20232﹣2022×2024
＝20232﹣（2023﹣1）（2023+1）
＝20232﹣（20232﹣12）
＝20232﹣20232+1
＝1．
故答案为：1．
12．解：∵m2+n2+10＝6m﹣2n，
∴m2﹣6m+9+n2+2n+1＝0，
即（m﹣3）2+（n+1）2＝0，
∴m＝3，n＝﹣1，
∴m﹣n＝4，
故答案为：4．
三．解答题
13．解：（1）∵＝
∴＝
＝
＝﹣4x
＝32﹣4
＝5；
（2）∵＝，
∴
＝+2
＝5+2
＝7，
∵＝，
∴
＝﹣2
＝49﹣2
＝47．
14．解：（1）x+y＝8，x2+y2＝40，
xy＝[（x+y）2﹣x2﹣y2]×＝（82﹣40）×＝12；
（2）4a2+b2＝57，ab＝6，
（2a+b）2＝4a2+b2+4ab＝81，
∴2a+b＝±9；
（3）设a＝20﹣x，b＝x﹣30，
则（20﹣x）（x﹣30）＝ab＝10，
a+b＝（20﹣x）+（x﹣30）＝﹣10，
所以（20﹣x）2+（x﹣30）2
＝a2+b2
＝（a+b）2﹣2ab
＝（﹣10）2﹣2×10
＝80．
15．解：（1）根据阴影部分的面积相等得出：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．
故选：B．
（2）①∵x2﹣4y2＝18，x﹣2y＝3，
∴x+2y＝（x2﹣4y2）÷（x﹣2y）＝18÷3＝6；
②原式＝（1﹣）×（1+）×（1﹣）×（1+）×……×（1﹣）×（1+）
＝××××……××
＝×
＝．
16．解：（1）图①中阴影部分的面积是边长为a、b的正方形的面积差，即S1＝a2﹣b2；
图②中阴影部分是长为b，宽为2b﹣a的长方形，因此面积为：S2＝b（2b﹣a）＝2b2﹣ab；
（2）∵a﹣b＝8，ab＝13，
∴S1+S2＝a2﹣b2+2b2﹣ab
＝a2+b2﹣ab
＝（a﹣b）2+ab
＝64+13
＝77；
（3）S3＝a2+b2﹣a2﹣b（a+b）
＝（a2+b2﹣ab），
当S1+S2＝34时，即a2+b2﹣ab＝34，
∴S3＝（a2+b2﹣ab）＝17．
17．解：（1）由长方形的周长、面积的计算公式可得，长方形的周长为8a+2b，面积为4ab，
故答案为：8a+2b，4ab；
（2）由拼图可得，大正方形的边长为a+b，小正方形的边长为b﹣a，
故答案为：a+b，b﹣a；
（3）由于S大正方形的面积＝S阴影部分+4S长方形
∴（a+b）2＝（b﹣a）2+4ab，
故答案为：（a+b）2＝（b﹣a）2+4ab；
（4）∵x+y＝5，x＝4，
∴y＝1，
∴x﹣y＝4﹣1＝3．
18．解：（1）图1中，由图可知S大正方形＝（a+b）2，
S组成大正方形的四部分的面积之和＝a2+b2+2ab，
由题意得，S大正方形＝S组成大正方形的四部分的面积之和，
即（a+b）2＝a2+b2+2ab，
故答案为：（a+b）2＝a2+b2+2ab．
图2中，由图可知S大正方形＝（a+b）2，S小正方形＝（a﹣b）2，S四个长方形＝4ab，
由题图可知，S大正方形＝S小正方形+S四个长方形，
即（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab，
故答案为：（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab．
（2）∵（x+y）2＝x2+y2+2xy，
∴xy＝【（x+y）2﹣（x2+y2）】
∵x+y＝8，x2+y2＝40，
∴xy＝（64﹣40）
＝12．
（3）①由图2可得（2m﹣3n）2＝（2m+3n）2﹣24mn，
∵2m+3n＝5，mn＝1，
∴（2m﹣3n）2＝52﹣24＝1，
∴2m﹣3n＝±1．
故答案为：±1．
②由图1可得【（4﹣m）﹣（5﹣m）】2＝（4﹣m）2+（5﹣m）2﹣2（4﹣m）（5﹣m），
∴（4﹣m）2+（5﹣m）2＝【（4﹣m）﹣（5﹣m）】2+2（4﹣m）（5﹣m），
∵（4﹣m）（5﹣m）＝6，
∴原式＝1+2×6＝13．
故答案为：13．
（4）由题意得AB＝AC+CB，
∵AB＝7，
∴AC+CB＝7，
∵S1+S2＝16，
∴AC2+CB2＝16，
∵（AC+BC）2＝AC2+CB2+2AC CB，
∴AC CB＝[（AC+CB）2﹣（AC2+CB2）]
＝（49﹣16）
＝，
∴S阴影＝CD CB＝AC CB＝．
即图中阴影部分的面积为．
19．解：【问题发现】根据面积的不同算法得：（a+b）2＝a2+2ab+b2；
【类比探究】令a＝11﹣x，b＝x﹣8，
∴a+b＝3，ab＝2，
∵（a+b）2＝a2+2ab+b2，
∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝9﹣4＝5，
故答案为：5；
【拓展延伸】由题意得：AC+CG＝7，AC2+CG2＝25，
则2AC BC＝2AC CG＝（AC+CG）2﹣（AC2+CG2）＝49﹣25＝24，
∴阴影部分的面积为：AC BC＝12．
20．解：（1）∵2xy＝（x+y）2﹣（x2+y2）＝64﹣40＝26，
∴xy＝13．
（2）①令a＝4﹣x，b＝x，
则a+b＝4，ab＝5，
∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝16﹣10＝6.\，
∴（4﹣x）2+x2＝6，
故答案为：6．
②令a＝4﹣x，b＝5﹣x，
则a﹣b＝﹣1，ab＝8，
∴a2+b2＝（a﹣b）2+2ab＝1+16＝17，
∴（4﹣x）2+（5﹣x）2＝17，
故答案为：17．
（3）由题意得：（25﹣x）（15﹣x）＝200，
令a＝25﹣x，b＝15﹣x，
则：a﹣b＝10，ab＝200，
∴a2+b2＝（a﹣b）2+2ab＝100+400＝500，
∴（25﹣x）2+（15﹣x）2＝500，
所以阴影部分的面积和为500平方米．
21．解：（1）（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab．
观察图形知，图2中大正方形的面积为：（a+b）2，阴影面积为：（a﹣b）2，则图2中4个小长方形面积的和为：（a+b）2﹣（a﹣b）2；图1中4个小长方形面积的和为：4ab；由此得出：（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab．
（2）由（1）中的结论可知，（x+）2﹣（x﹣）2＝4 x ＝4，
∵x+＝3，
∴等号两边平方得，（x+）2＝9，
∴（x﹣）2＝（x+）2﹣4＝9﹣4＝5，
∴x﹣＝±．
（3）（m﹣2021）2+（2022﹣m）2
＝（2021﹣m）2+（2022﹣m）2
＝[（2021﹣m）﹣（2022﹣m）]2+2（2021﹣m）（2022﹣m），
把（2021﹣m）（2022﹣m）＝4代入，
原式＝[2021﹣m﹣2022+m]2+2×4
＝[﹣1]2+8
＝1+8
＝9．
22．解：（1）∵x﹣y＝4，
∴（x﹣y）2＝16，即x2﹣2xy+y2＝16．
又∵x2+y2＝40，
∴40﹣2xy＝16，
解得xy＝12，
答：xy的值是12；
（2）设2022﹣x＝a，x﹣2020＝b，则a+b＝2．
∵（2022﹣x）（x﹣2020）＝﹣2021，
∴ab＝﹣2021，
把2022﹣x＝a，x﹣2020＝b，a+b＝2代入得，
（2022﹣x）2+（x﹣2020）2
＝（a+b）2﹣2ab
＝22﹣2×（﹣2021）
＝4+4042
＝4046．
23．解：（1）图（2）中阴影部分的正方形的边长是m﹣n；
故答案为：m﹣n；
（2）请用两种不同的方法求图（2）中阴影部分面积．
①：（m﹣n）2；②：（m+n）2﹣4mn；
故答案为：（m﹣n）2，（m+n）2﹣4mn；
（3）观察图（2），（m+n）2、（m﹣n）2、mm之间的一个等量关系：
（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn；
故答案为：（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn；
（4）因为a+b＝7，ab＝6，
所以（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab
＝72﹣4×6
＝25，
所以a﹣b的值是±5．
24．解：（1）根据题意知，（a+b）4的展开后，共有5项，
各项系数分别为1、（1+3）、（3+3）、（3+1）、1，
即：1、4、6、4、1；
故答案为：5；1，4，6，4，1；
（2）根据题意，得（a+b）n的展开式共有（n+1）项，
（a+b）0的系数和为1＝20，
（a+b）1的系数和为2＝21，
（a+b）2的系数和为4＝22，
（a+b）3的系数和为8＝23，
，
由此规律可得，（a+b）n的系数和为2n．
∴（a+b）n的展开式共有（n+1）项，系数和为2n．
故答案为：（n+1），2n；
（3）25+5×24+10×23+10×22+5×2+1＝（2+1）5＝243．