1.5平面上的距离 同步练习-苏教版（2019）选择性必修第一册（含解析）

1.5平面上的距离
一、单选题（本大题共6小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
已知直线：与直线：平行，则与之间的距离为( )
A. B. C. D.
已知实数，满足，那么的最小值为( )
A. B. C. D.
点到直线：的距离为，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
在平面直角坐标系中，记为点到直线的距离．当、变化时，的最大值为( )
A. B. C. D.
在平面直角坐标系中，点，分别是轴、轴上两个动点，又有一定点，则的最小值是( )
A. B. C. D.
若过点的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线的距离为( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共3小题，共15.0分。在每小题有多项符合题目要求）
下列结论中错误的是( )
A. 过点，的直线的倾斜角为
B. 直线与直线之间的距离为
C. 已知点，，点在轴上，则的最小值为
D. 已知两点，，过点的直线与线段没有公共点，则直线的斜率的取值范围是
已知点是直线上的动点，定点，则下列说法正确的是( )
A. 线段的长度的最小值为
B. 当最短时，直线的方程是
C. 当最短时，的坐标为
D. 线段的长度可能是
某同学在研究函数的性质时，联想到两点间的距离公式，将函数变形为，则下列结论正确的是( )
A. 函数在区间上单调递增，上单调递减
B. 存在实数，使得函数的图象关于直线对称
C. 函数的最小值为，没有最大值
D. 方程的实根个数为
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
已知光线通过点，被直线：反射，反射光线通过点，则反射光线所在直线的方程是 ．
在平面直角坐标系中，已知直线与点若直线上存在点满足为坐标原点，则实数的取值范围是 ．
函数的最小值为 ．
瑞士数学家欧拉年在所著的三角形的几何学一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．已知的顶点，，，则欧拉线的方程为 ．
四、解答题（本大题共2小题，共24.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
本小题分
直线经过两直线和的交点．
(ⅰ)若直线与直线平行，求直线的方程；
(ⅱ)若点到直线的距离为，求直线的方程．
本小题分
已知直线：．
若直线不经过第四象限，求的取值范围；
若直线交轴负半轴于点，交轴正半轴于点，求面积的最小值；
已知，若点到直线的距离为，求最大时直线的方程．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查直线与直线平行关系的应用，平行线之间距离的求法，是基础题．
利用平行线关系求解，然后求解平行线之间的距离．
【解答】
解：直线：与直线：平行，
可得，直线：化为，即，
所以与之间的距离：．
故选：．

2.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查两点间距离公式和点到直线距离公式，是基础题．
【解答】
可以看作直线上的动点与原点的距离的平方，
又原点与该直线上的点的最短距离为原点到该直线的距离，
则的最小值为，
故选A．

3.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了直线系方程及其应用，两点间的距离公式和点到直线的距离公式，属于中档题．
利用直线系方程得直线过定点，再利用两点间的距离公式和点到直线的距离公式得且与直线垂直，即可得到结论．
【解答】
解：因为直线：可化为，
所以由，解得
因此直线恒过定点，不包括直线，
，
点到直线的距离为，即与直线垂直，
点到直线：的距离为．
故选A．

4.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查点到直线的距离公式，考查运算求解能力，是中档题．
由题意分两种情况讨论，结合三角函数的最值即可得解．
【解答】
解：由题意，
当时，，
当时，
当时，
，
其中，
当时，，
的最大值为．
故选C．

5.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查点线间的对称问题，属于中档题．
【解答】
如图，设点关于轴的对称点为，关于轴的对称点为，则，．
当与重合于坐标原点时，当与不重合时，综上可知，当与重合于坐标原点时，取得最小值，最小值为．

6.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查圆的标准方程，点与圆的位置关系，及点到直线的距离，属于中档题．
设出圆的标准方程，根据点在圆上，求出圆心坐标，利用点到直线的距离公式即可求得答案．
【解答】
解：因为圆与两坐标轴都相切，且点在该圆上，所以可设圆的方程为，所以，即，解得或，所以圆心的坐标为或，所以圆心到直线的距离为或，故选B．

7.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查直线的斜率，考查学生的运算能力，属于中档题．
由直线的斜率倾斜角，及平行线间的距离公式进行分析即可．
【解答】
解：对于，，所以直线的倾斜角为，故A错误；
对于，将化为，
与平行，则两条直线间的距离为，故B错误，
对于，点关于轴的对称点为，则即为的最小值，为，故C正确，
对于，，，
又因为直线与线段没有公共点，所以，故D错误，
故选ABD．

8.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查点到直线的距离公式和直线方程及其应用，考查推理能力和计算能力，属于一般题．
当垂直直线时，最短，即可判断、，设出坐标，根据最短使与直线垂直求解坐标，即可判断，由两点式求出直线方程，即可判断．
【解答】
解：当垂直于直线时，最短，
到直线的距离为，故A正确
故的长度取值范围为， ，
故D错误
设，则，
解得，故，故C正确
此时直线的方程是，
即，故B错误．

9.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查函数性质的研究，考查函数与方程的应用，属于较难题．
对各选项逐一判定正误，即可得到答案．
【解答】
解：当时，函数，显然为增函数，故选项A错误；
由可知，
可看作为轴上点到点，的距离之和，
结合图形易知，当时，函数的最小值为，没有最大值，故选项C正确；
由此可以得到，函数在区间上单调递减，上单调递增，
若存在实数，使得函数的图象关于直线对称，则，
由，显然不是函数的对称轴，
故B选项错误；
由此可作出函数的大致图象，如下图所示：
由图象可以看出，方程的实根个数有个，
另外，当时，函数，
所以方程化为方程，即，解得．
当时，函数，
所以方程化为方程，即，解得，故选项D正确．
故选CD．

10.【答案】
【解析】
【分析】
求出关于的对称点的坐标，求得反射光线所在直线斜率，再利用点斜式求出反射光线所在的直线方程．
本题考查点关于直线对称的性质，直线方程的求解方法，考查计算能力，属于中档题．
【解答】
解：光线通过点，设点关于直线：的对称点，
即，
，，
的斜率为，
反射光线所在直线的方程是，
故答案为：．

11.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查两点间的距离公式，属中档题．
【解答】
解：设由，得，
整理得．
由得，解得，
故实数的取值范围为，

12.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查利用两点间的距离公式解函数最值问题，属较难题．
【解答】
解：，表示点到点和点的距离之和．
当点为线段与轴的交点时，取得最小值， ．

13.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查直线方程、两点之间的距离公式、三角形的垂心、外心、重心的性质，考查推理能力与计算能力，属于中档题．
利用三角形的重心坐标公式可得重心，设的外心为，可得，解得利用点斜式即可得出欧拉线方程．
【解答】
解：的顶点为，，，
所以重心；
设的外心为，则，
即，
解得，可得；
则该三角形的欧拉线方程为，
化为．
故答案为：．

14.【答案】解：联立方程，
所以直线和的交点坐标为，
(ⅰ)由直线与直线平行，设直线的方程为，
把点代入直线的方程中，即，解得，
所以直线的方程为．
(ⅱ)若直线过点且斜率不存在，则直线方程为，此时点到直线的距离，满足要求；
当直线过点且斜率存在时，设直线方程为，即，
点到直线的距离，解得，
所以直线的方程为．
综上，直线的方程为或．

【解析】本题考查直线方程的求法，涉及两直线的交点坐标及点到直线的距离，属于基础题．
(ⅰ)联立方程，得，设直线的方程为，把
点代入方程解得，即可得直线的方程；
(ⅱ)若直线过点且斜率不存在，满足要求；当直线过点且斜率存在时，设直线方程为，根据点到直线的距离，解得的值，可得直线的方程．
15.【答案】解：由，得，
联立，解得，
则直线：过定点，
由，得，
要使直线不经过第四象限，则，解得，
的取值范围是；
如图，由题意可知，，
在中，取，得，取，得，
，
当且仅当，即时上式“”成立．
的最小值为；
点，若点到直线的距离为，
当时，取得最大值，且为，
由直线的斜率为，
可得直线的斜率为，
则直线的方程为，
即为．
【解析】本题考查直线恒过定点问题，考查利用基本不等式求最值，关于点线的最值问题，以及数形结合思想方法，是中档题．
把已知方程变形，利用直线系方程求出直线所过定点即可；化直线方程为斜截式，由斜率大于等于且在轴上的截距大于等于联立不等式组求解；
由题意画出图形，求出直线在两坐标轴上的截距，代入三角形面积公式，利用基本不等式求最值；
当时，取得最大值，由两点的距离公式可得最大值，求得的斜率，可得直线的斜率，由点斜式方程可得所求直线的方程．