直线和圆2 基本圆方程、圆交线-2022年全国一卷新高考数学题型细分汇编（含解析）

直线和圆
基本圆方程——参数分析（圆心、半径）：
（2022年湖北武汉J01）已知直线过圆的圆心，
则的最小值为（[endnoteRef:0] ） A. B. C. D. 9
（圆方程，结合基本不等式，易；） [0: 【答案】A
【解析】
【分析】由圆的方程确定圆心，代入直线方程可得，由，利用基本不等式可求得结果.
【详解】由圆的方程知：圆心；
直线过圆的圆心，；
（当且仅当，即时取等号），
的最小值为.
故选：A.
]
（2022年山东淄博三模J20，单选8）正边形内接于单位圆，任取其两个不同顶点、，则的概率是（ [endnoteRef:1] ）
A. B. C. D.
（圆方程，圆心角分析，中下；） [1: 【答案】B
【解析】
【分析】分析可得，计算出满足条件的向量的取法种数，结合古典概型的概率公式可求得结果.
【详解】，
可得，因为，所以，，
对于任意给定的向量，满足条件的向量的取法有，
因此，的概率为.
故选：B.
]
（2022年广东调研J28）设a，b为正数，若圆关于直线对称，则最小值为( [endnoteRef:2] ) A 9 B. 8 C. 6 D. 10
（圆的基本方程，结合基本不等式，易；） [2: 【答案】A
【解析】
【分析】求出圆的圆心坐标，得到的关系，然后利用基本不等式求解不等式的最值即可．
【详解】解：圆，即，所以圆心为，
所以，即，因为、，
则，
当且仅当时，取等号．
故选：．
]
（2022年广东广州三模J14）设甲：实数；乙：方程是圆，则甲是乙的（ [endnoteRef:3] ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
（判断圆方程，易；） [3: 【答案】B
【解析】
【分析】由方程表示圆可构造不等式求得的范围，根据推出关系可得结论.
【详解】若方程表示圆，则，解得：；
∵，，，甲是乙的必要不充分条件.
故选：B.
]
（2022年湖北重点联考J54）刘老师在课堂中与学生探究某个圆时，有四位同学分别给出了一个结论．甲：该圆经过点．乙：该圆的半径为．丙：该圆的圆心为．丁：该圆经过点．如果只有一位同学的结论是错误的，那么这位同学是（ [endnoteRef:4] ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丙或丁（圆方程，易；） [4: 【答案】D
【分析】由圆的定义和两点间的距离公式计算可得选项.
【详解】解：当选择甲、乙、丙三位同学的结论时，计算可得点到圆心的距离为
，满足圆的半径为，该圆经过点，所以同学甲、乙、丙正确，丁错误；
当选择甲、乙、丁三位同学的结论时，存在经过点和点且半径为的圆，但点到的距离为，所以不是圆心，则同学甲、乙、丁正确，丙错误；
当选择甲、丙、丁三位同学的结论时，可知圆心到两点距离不相等，故此情况不成立；
当选择乙、丙、丁三位同学的结论时，点到的距离为，故此情况不成立；
综上可得丙或者丁结论是错误的，
故选：D.
]
基本圆方程——求圆方程：
（2022年湖北重点联考J54）已知圆经过函数的图象与坐标轴的3个交点．
(1)求圆的标准方程；（[endnoteRef:5]）
(2)若点为圆：上一动点，点为圆上一动点，点在直线上运动，求的最小值，并求此时点的横坐标．（圆方程，计算，易；第二问，未；） [5: 【答案】(1)
(2)最小值为；点的横坐标为
【分析】（1）求得函数的图象与坐标轴的3个交点，设设，根据，求得，进而求得圆的方程；
（2）求得圆关于直线对称的圆 ，设，得到当，，三点共线时，取得最小值，求得其最小值，结合，即可求解．
(1)
解：因为函数的图象与坐标轴的3个交点分别为，，，
根据题意，设圆的圆心坐标为，
由，可得，解得，则，
故圆的标准方程为．
(2)
解：设圆关于直线对称的圆为圆，则圆的方程为．
设，则当，，三点共线时，取得最小值，
且的最小值为，
此时可得，即，解得，故点的横坐标为．
]
（2022年高考乙卷J04）过四点中的三点的一个圆的方程为[endnoteRef:6]_________．
（求圆方程，易；） [6: 【答案】或
或或；
【解析】
【分析】设圆的方程为，根据所选点的坐标，得到方程组，解得即可；
【详解】解：依题意设圆的方程为，
若过，，，则，解得，
所以圆的方程为，即；
若过，，，则，解得，
所以圆的方程为，即；
若过，，，则，解得，
所以圆的方程为，即；
若过，，，则，解得，
所以圆的方程为，即；
故答案为：或或或；
]
基本圆方程——线圆关系判断：
（多选3，2022年河北廊坊J35）已知直线与圆，点，则下列说法正确的是（ [endnoteRef:7] ）
A. 若点A在圆C上，则直线l与圆C相切 B. 若点A在圆C内，则直线l与圆C相离
C. 若点A在圆C外，则直线l与圆C相离 D. 若点A在直线l上，则直线l与圆C相切
（线圆关系判断，易；线圆关系判断，易；线圆关系判断，易；线圆关系判断，易；） [7: 【11题答案】
【答案】ABD
【解析】
【分析】转化点与圆、点与直线的位置关系为的大小关系，结合点到直线的距离及直线与圆的位置关系即可得解.
【详解】圆心到直线l的距离，
若点在圆C上，则，所以，
则直线l与圆C相切，故A正确；
若点在圆C内，则，所以，
则直线l与圆C相离，故B正确；
若点在圆C外，则，所以，
则直线l与圆C相交，故C错误；
若点在直线l上，则即，
所以，直线l与圆C相切，故D正确.
故选：ABD.
]
（2022年湖南怀化一模J57）已知、，，则直线与圆的位置关系是（ [endnoteRef:8] ）
A. 相交 B. 相离 C. 相切 D. 不能确定（线圆关系，易；） [8: 【答案】C
【解析】
【分析】求出圆心坐标，再求圆心到直线的距离，与半径比较大小，即可求出结论.
【详解】，
化为，
圆心，半径为，
圆心到直线的距离为，
，
所以直线与圆相切.
故选:C
【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，利用几何法判断，即比较圆心到直线的距离与半径的大小关系，属于基础题.
]
（2022年新高考全国二卷J02，填空3）设点，若直线关于对称直线与圆有公共点，则a的取值范围是[endnoteRef:9]________．
（线圆关系分析，中档；） [9: 【答案】
【解析】
【分析】首先求出点关于对称点的坐标，即可得到直线的方程，根据圆心到直线的距离小于等于半径得到不等式，解得即可；
【详解】解：关于对称的点的坐标为，在直线上，
所以所在直线即为直线，所以直线为，即；
圆，圆心，半径，
依题意圆心到直线的距离，
即，解得，即；
故答案为：
]
圆交线：
（多选3，2022年山东济宁三模J42）已知直线与圆交于、两点，且为锐角（其中为坐标原点），则实数的取值可以是（ [endnoteRef:10] ）
A. B. C. D. （圆交线，夹角反求直线，易；） [10: 【答案】BC
【解析】
【分析】设，可得，求得，利用点到直线的距离公式可得出关于的不等式，解出的取值范围，即可得出合适的选项.
【详解】设，则，可得，
设圆心到直线的距离为，圆的圆心为原点，半径为，
所以，，由点到直线的距离公式可得，
所以，，解得或.
故选：BC.
]
（2022年福建漳州J20）已知直线与圆相交于A，B两点，则“”是“”的（[endnoteRef:11] ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
（圆交线，易；） [11: 【答案】B
【解析】
【分析】先求出的充要条件，利用包含关系即可判断.
【详解】因为直线与圆相交于A，B两点，设圆心到直线的距离为d，则等价于：，即，所以，解得：或.
所以“”是“”的必要不充分条件.
故选：B
]
（2022年湖北武汉二中J02）已知直线：与圆相交于，两点，若，则非零实数的值为（ [endnoteRef:12] ）
A. B. C. D. （圆交线，反求直线，易；） [12: 【答案】C
【解析】
【分析】圆的方程化为标准方程，求出圆心与半径；由弦长，利用勾股定理，即可求出实数k的值.
【详解】圆，可化为，
∴圆心C的坐标，半径为
∴圆心到直线的距离为，
又圆心到直线的距离
∴，解得（舍去）或
故选:C
]
（2022年山东淄博J19）若圆的弦MN的中点为，则直线MN的方程是（ [endnoteRef:13] ）
A. B. C. D.
（圆交线，反求直线，易；） [13: 【答案】B
【解析】
【分析】由题可知，则可求得斜率，进而求得直线方程.
【详解】由圆方程可知圆心，则，由题可知，所以，又MN过点，根据点斜式公式可知直线MN的方程是.
故选：B.
]
（2022年广东梅州二模J20）已知直线与圆交于、两点，若为等边三角形，则的值为（ [endnoteRef:14] ）
A. B. C. D. （圆交线，夹角，反求直线，易；） [14: 【答案】D
【解析】
【分析】分析可知到直线的距离为，再利用点到直线的距离公式可得出关于的等式，即可解得实数的值.
【详解】圆的标准方程为，圆心为，半径为，
由题意可知，圆心到直线的距离为，
由点到直线的距离公式可得，解得.
故选：D.
]
（2022年广东韶关二模J06）已知直线 与圆 交于A、B两点，
若 则a=( [endnoteRef:15] )
A．5
（圆交线，反求直线，易；） [15: B
]
（2022年广东湛江二模J24）已知直线与圆相交于A，B两点，且，则（ [endnoteRef:16] ） A. B. C. D.
（圆交线，反求直线，易；） [16: 【答案】B
【解析】
【分析】首先求出圆心坐标与半径，再利用点到直线的距离及垂径定理、勾股定理得到方程，解得即可；
【详解】解：圆的圆心为，半径，因为直线与圆相交于、两点，且，
所以圆心到直线的距离，即，解得（舍去）或；
故选：B
]
（2022年山东肥城J59）已知是坐标原点，直线与圆：相交于两点，若，则的值为（ [endnoteRef:17] ）
A. 或 B. 或 C. 或 D. 或（圆交线，夹角，易；） [17: 【答案】B
【解析】
【分析】根据同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，可知，然后可得圆心到直线的距离，根据点到直线的距离公式列方程可解.
【详解】由，得，则圆心为，半径为，
易知在圆上，因为，
所以，得，
则圆心到直线的距离，
即，即或.
故选：B.
]
（2022年高考甲卷J03，单选8）沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是的AB中点，D在上，．“会圆术”给出的弧长的近似值s的计算公式：．当时，（ [endnoteRef:18] ）
A. B. C. D.
（圆交线，易；） [18: 【答案】B
【解析】
【分析】连接，分别求出，再根据题中公式即可得出答案.
【详解】解：如图，连接，
因为是的中点，
所以，
又，所以三点共线，
即，
又，
所以，
则，故，
所以.
故选：B.
]
（2022年湖南师大附中J11，填空3）设直线与圆相交于，两点，且弦的长为，则实数的值是[endnoteRef:19]_______.
（圆交线反求直线，易；） [19: 【答案】±
【解析】
【详解】试题分析：由圆的标准方程找出圆心坐标和半径r，然后利用点到直线的距离公式表示出圆心到已知直线的距离d，再由弦AB的长，利用垂径定理及勾股定理列出关于m的方程，求出方程的解即可得到m的值．由圆的方程，得到圆心坐标为（1，2），半径 r=2，∵圆心到直线的距离 d=
]
（2022年河北演练一J39）圆心为，且截直线所得弦长为的圆的方程
为[endnoteRef:20]___________.（圆交线，反求圆方程，易；） [20: 【答案】
【解析】
【分析】由题知圆心为，到直线的距离为，进而根据弦长得圆的半径，再根据标准方程求解即可.
【详解】解：由题知，圆心为，到直线的距离为，
因为圆心为，且截直线所得弦长为，
所以，圆的半径为，
所以，所求圆的方程为.
故答案为：
]
（2022年河北唐山三模J17，填空3）直线与圆交于A、B两点，且，则实数___[endnoteRef:21]____．（圆交线，夹角，反求直线，中下；） [21: 【答案】或5##5或
【解析】
【分析】设AB中点为D，则CD⊥AB，且DB=DA，根据化简即可求得圆心C到直线l的距离，再根据点到直线的距离公式即可求出m的值．
【详解】，则圆心，半径，
设AB中点D，则CD⊥AB，且DB=DA，
则
，
即，
∴或5．
故答案为：或5．
]
（2022年湖北考协J50）已知直线：与圆：相交于，两点，
则__[endnoteRef:22]____.（圆交线，易；） [22: 【答案】
【分析】求得圆心坐标和半径，结合点到直线的距离公式和圆的弦长公式，即可求解.
【详解】由题意，圆：，可化为，
可得圆心为，半径为，
又由圆心到直线的距离，
所以.
故答案为：.
]
（2022年福建福州一中J04）过点的直线与交于A，B两点，当M为线段中点时，__[endnoteRef:23]_________.（圆交线，易；） [23: 【答案】-8
【解析】
【分析】由题意可得在内，又由M为线段中点，由两点间距离公式得＝,进而求得，再由向量的数量积公式计算即可得答案.
【详解】解：因为点在内，
所以当M为线段中点时，，
又因为的半径为4,＝,
所以，
所以，
所以，＝
故答案为：-8.
]
圆交线——中下、中档：
（2022年江苏如皋一调J40）在平面直角坐标系xOy中，已知直线与
圆C：交于两点，若钝角的面积为，则实数a的值是（ [endnoteRef:24] ）．
A. B. C. D. （圆交线，夹角，反求直线，中下；） [24: 【答案】A
【解析】
【分析】由钝角的面积为，求得，得到，进而求得圆心到直线的距离为，结合点到直线的距离公式，列出方程，即可求解.
【详解】由圆，可得圆心坐标为，半径为，
因为钝角的面积为，可得，
解得，所以，可得，
又由圆的弦长公式，可得，解得，
根据点到直线的距离公式，解得.
故选：A.
]
（2022年湖南长沙一中J02）已知直线：与圆交于两点，过分别作的垂线与轴交于两点.则[endnoteRef:25]_________.
（圆交线，中下；） [25: 【答案】4
【解析】
【详解】试题分析：由，得，代入圆的方程，整理得，解得，所以，所以．又直线的倾斜角为，由平面几何知识知在梯形中，．
【考点】直线与圆的位置关系
【技巧点拨】解决直线与圆的综合问题时，一方面，要注意运用解析几何的基本思想方法（即几何问题代数化），把它转化为代数问题；另一方面，由于直线与圆和平面几何联系的非常紧密，因此，准确地作出图形，并充分挖掘几何图形中所隐含的条件，利用几何知识使问题较为简捷地得到解决．
]
（2022年江苏四市二调J55，填空3）在平面直角坐标系中，已知点，直线：与圆：交于A，B两点，若为正三角形，则实数的值是[endnoteRef:26]_______.
（圆交线，中下；） [26: 【答案】##-1.25
【解析】
【分析】结合作图，可求得直线的斜率，以及原点到直线的距离，利用点到直线的距离公式，求得答案.
【详解】由题意可知在圆上，
如图，
设AB中点为H，连接PH,则PH过点O,且 ,
设直线l的斜率为k, 则 ,
故即为，
因为为正三角形，则O点为的中心，
则，故 ，解得 ，
结合在圆上，是圆的内接正三角形，可知 ，
即.
故答案为：
]
（2022年湖南雅礼中学J06，山东菏泽一模J37，单选8）已知两条直线，，有一动圆（圆心和半径都在变动）与都相交，并且被截在圆内的两条线段的长度分别是定值26，24，则动圆圆心的轨迹方程为（ [endnoteRef:27] ）
A. B.
C. D. （圆交线，中档） [27: 【答案】D
【解析】
【分析】利用点到直线距离公式与圆内弦长与半径关系即可求解.
【详解】设动圆圆心，半径为，则到的距离，到的距离，因为被截在圆内的两条线段的长度分别是定值26，24，
，化简后得，相减得，将，代入后化简可得.
故选：D.
]
（2022年山东烟台三模J07，填空3）已知动点到点的距离是到点的距离的2倍，记点的轨迹为，直线交于，两点，，若的面积为2，则实数的值为[endnoteRef:28]___________.（圆交线，计算繁琐，中档；） [28: 【答案】或1##1或
【解析】
【分析】先求得点的轨迹的方程，再利用的面积为2列出关于实数的方程，进而求得实数的值
【详解】设，则有
整理得，即点的轨迹为以为圆心以2为半径的圆
点到直线的距离
直线交于，两点，则
则的面积
解之得或
故答案为：或1
]
圆交线最值、范围分析：
（2022年湖南长沙一中押题J03）古希腊三大数学家之一阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》中指出：平面内与两定点距离的比为常数k(且的点的轨迹是圆，已知平面内两点A(，0)，B(2，0)，直线，曲线C上动点P满足，则曲线C与直线l相交于M、N两点，则|MN|的最短长度为（ [endnoteRef:29] ）
A. B. C. 2 D. 2
（圆，圆交线最值，中下；） [29: 【答案】C
【解析】
【分析】首先通过设动点P坐标，结合|PA|、PB|边长间的关系得到曲线C的轨迹为圆，问题转化为直线与圆的最短弦长问题，结合条件直线l过定点，通过垂径定理求解即可．
【详解】设动点P的坐标为(x，y)，则，
由得：
化简后得：曲线C：，故P点轨迹为圆，
又可化为
直线l过定点A(1，2)，
则圆心到直线的距离的最大值为|OA|，此时|MN|的长度最短．
所以|MN|的最短长度为．
故选：C.
]
（2022年湖北四校联考J17）已知圆O：，已知直线l：与圆O的交点分别M，N，当直线l被圆O截得的弦长最小时，（ [endnoteRef:30] ）
A. B. C. D. （圆交线，最值，中下；） [30: 【答案】C
【解析】
【分析】直线过定点，当直线与垂直时，弦长最短．
【详解】直线l：，即，所以直线过定点，，圆半径，
点在圆内，所以当直线与垂直的时候，最短，
此时．
故选：C．
]
（2022年山东东营J58）已知圆，过点的直线被圆截得的弦长的最小值
为[endnoteRef:31]_________（圆交线最值，易；） [31: 【答案】
【解析】
【分析】圆心为，过的弦中与垂直的弦的长度最小，由此计算可得．
【详解】圆标准方程为，圆心为，半径为，
，与垂直的弦的弦长为，即为所求弦长的最小值．
故答案为：．
]
（2022年江苏南京J09，填空3）在平面直角坐标系中，已知,若在以点为圆心，为半径的圆上存在不同的两点,使得，则的取值范围为[endnoteRef:32]_______．
（圆交线，分析直径两倍，中档；） [32: 【答案】
【解析】
【详解】试题分析：设点到直线AB距离为则由题意得,其中M为AB中点，因此，
考点：直线与圆位置关系
]
（2022年江苏扬中J65）已知圆，点P在直线上，若过点P存在直线与圆C交于A、B两点，且满足，则点P横坐标的取值范围是[endnoteRef:33]___________．
（圆交线，分析直径2倍，中档；） [33: 【答案】
【解析】
【分析】由题意可得为的中点,再分析的轨迹,求得与直线相交的部分分析即可
【详解】由题，即，故为的中点，即过点P存在直线与圆C交于A、B两点，且满足为的中点.考虑当确定，在圆上运动时，的轨迹为与圆相切且半径为1的圆上.故当为的中点时，的轨迹为以为圆心，内外半径分别为1，3的圆环内.
故只需分析此圆环与直线相交的部分即可. 易得外圆方程,联立有,解得或,故点P横坐标的取值范围是
故答案为:
]