北师大版九年级数学上册1.1菱形的性质与判定 综合复习测评 （含答案）

2022-2023学年北师大版九年级数学上册《1.1菱形的性质与判定》
期中综合复习测评（附答案）
一．选择题（共9小题，满分27分）
1．平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，添加以下条件，不能判定平行四边形ABCD为菱形的是（　　）
A．AC⊥BD B．∠ABD＝∠CBD C．AB＝BC D．AC＝BD
2．已知菱形的两条对角线的长分别为6cm和8cm，则这个菱形的面积是（　　）
A．20cm2 B．24cm2 C．48cm2 D．100cm2
3．从菱形的钝角顶点，向对角的两边条垂线，垂足恰好在该边的中点，则菱形的内角中钝角的度数是（　　）
A．150° B．135° C．120° D．100°
4．如图，菱形ABCD的两条对角线相交于点O，若AC＝6，菱形的面积等于12，则菱形ABCD的周长等于（　　）
A．4 B．2 C． D．4
5．如图，菱形ABCD中，AC交BD于O，DE⊥BC于E，连接OE，若∠ABC＝140°，则∠OED的度数为（　　）
A．15° B．20° C．25° D．30°
6．如图，在菱形ABCD中，AC与BD相交于点O，AB＝AC，点E在BC上，且∠CAE＝15°，AE与BD相交于F，下列结论不正确的是（　　）
A．∠EBF＝30° B．BE＝BF C．FA＞EF D．OE⊥BC
7．如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，若重合部分构成的四边形ABCD中，AB＝3，AC＝2，则四边形ABCD的面积为（　　）
A． B． C． D．5
8．如图，在平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E，以A为圆心，AB长为半径画弧交AD于F，若BF＝12，AB＝10，则AE的长为（　　）
A．16 B．15 C．14 D．13
9．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点C作CE⊥AD于点E，连接OE，若OB＝8，S菱形ABCD＝96，则OE的长为（　　）
A．2 B．2 C．6 D．8
二．填空题（共9小题，满分27分）
10．如图，菱形ABCD中，AB＝2，∠B＝60°，E、F分别为BC、CD的中点，则△AEF的周长为　 　．
11．如图，四边形ABCD是菱形，AC＝24，BD＝10，DH⊥AB于点H，则线段DH的长为　 　．
12．如图，已知点A的坐标是，2），点B的坐标是（﹣1，，菱形ABCD的对角线交于坐标原点O，则点D的坐标是 　 　．
13．如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC＝70°，延长BC到E，在∠DCE内作射线CM，使得∠ECM＝15°，过点D作DF⊥CM，垂足为F．若DF，则对角线BD的长为 　 　．
14．如图，四边形ABCD为菱形，DE⊥BC，DF⊥AB，分别交BC，BA延长线于点E，F．若AB＝4，CE＝1，则DF的长为 　 　．
15．如图，在菱形ABCD中，点E是AB的中点，连接CE，交BD于点F，AB＝4，CE＝2，则BD的长是 　 　．
16．如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠B＝30°，D为BC上的动点，连接AD，作菱形ADEF，且∠DAF＝60°，连接CE，当BD＝　 　时，△CDE为等腰三角形．
17．如图，已知菱形ABCD，AC是对角线，点E是AB的中点，过点E作对角线AC的垂线，垂足是点M，与边AD交于点F，联结DM．若∠BAD＝120°，AB＝8，则DM＝　 　．
18．如图，在菱形ABCD中，AB＝BD，点E、F分别是AB、AD上任意的点（不与端点重合）且AE＝DF．连接BF与DE相交于点G，连接CG与BD相交于点H．若CG＝2，则四边形BCDG的面积为　 　．
三．解答题（共8小题，满分66分）
19．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝2BC，E为AD的中点，连接BD，BE，∠ABD＝90°
（1）求证：四边形BCDE为菱形．
（2）连接．AC，若AC⊥BE，BC＝2，求BD的长．
20．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点F，连接OE
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若AB，BD＝2，请直接写出△OBE的面积为 　 　．
21．如图，菱形ABCD的周长为8，对角线BD＝2，E、F分别是边AD，CD上的两个动点；且满足AE+CF＝2．
（1）求证：△BDE≌△BCF；
（2）判断△BEF的形状，并说明理由．
22．已知：如图，四边形ABCD是菱形，过AB的中点E作AC的垂线EF，交AD于点M，交CD的延长线于点F．
（1）求证：AM＝DM；
（2）若DF＝3，求菱形ABCD的周长．
23．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别在BD和DB的延长线上，且DE＝BF，连接AE，CF．
（1）求证：△ADE≌△CBF；
（2）连接AF，CE．当BD与AC满足什么条件时，四边形AFCE是菱形？请说明理由．
24．如图，已知四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AO＝OC，OB＝OD且∠1＝∠2．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）E为AO上一点，连接BE，若AE＝4，AB＝6，EB＝2，求AO的长．
25．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线BD的垂直平分线与边AD、BC分别相交于点M、N．
（1）求证：四边形BNDM是菱形；
（2）若BD＝12，MN＝4，求菱形BNDM的周长．
26．如图（1），在菱形ABCD中，E、F分别是边CB，DC上的点，∠B＝∠EAF＝60°，
（I）求证：∠BAE＝∠CEF；
（Ⅱ）如图（2），若点E，F分别移动到边CB，DC的延长线上，其余条件不变，请猜想∠BAE与∠CEF的大小关系，并给予证明．
参考答案
一．选择题（共9小题，满分27分）
1．解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，
∴平行四边形ABCD是菱形，故选项A不符合题意；
B、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠ABD＝∠CDB，
又∵∠ABD＝∠CBD，
∴∠CDB＝∠CBD，
∴BC＝DC，
∴平行四边形ABCD是菱形，故选项B不符合题意；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝BC，
∴平行四边形ABCD是菱形，故选项C不符合题意；
D、∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD，
∴平行四边形ABCD是矩形，故选项D不符合题意；
故选：D．
2．解：∵菱形的两条对角线的长分别为6cm和8cm，
∴这个菱形的面积6×8＝24（cm2），
故选：B．
3．解：过A作AE⊥BC，
由题意知AE⊥BC，且E为BC的中点，
则△ABC为等腰三角形
即AB＝AC，即AB＝AC＝BC，
∴∠ABC＝60°，
∴∠BAD＝180°﹣∠ABC＝180°﹣60°＝120°．
故选：C．
4．解：∵菱形的面积等于12，
∴AC BD＝12，
∵AC＝6，
∴BD＝4，
∵菱形ABCD对角线互相垂直平分，
∴BO＝OD＝2，AO＝OC＝3，
∴AB，
∴菱形的周长为4．
故选：D．
5．解：∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝140°，
∴∠ABD＝∠CBD∠ABC＝70°，BO＝DO，
∵DE⊥BC，
∴OE＝OD＝OB，∠BDE＝20°，
∴∠ODE＝∠OED＝20°，
故选：B．
6．解：如图在菱形ABCD中，AB＝CB＝AD＝CD，
∵AB＝AC，
∴AB＝CB＝AD＝CD＝AC，
∴△ABC和△ADC都是等边三角形，
∴∠ABC＝∠BAC＝∠ACB＝60°，
∵BD＝BD（公共边）
∴△ABD≌△CBD（SSS），
∴∠ABD＝∠CBD∠ABC＝30°；
∴∠EBF＝30°．
∴A正确；
∵∠ABC＝∠BAC＝60°，∠CAE＝15°，
∴∠BAE＝60°﹣15°＝45°，
∴∠BEF＝180°﹣60°﹣45°＝75°，
∴∠BFE＝180°﹣30°﹣75°＝75°，
∴∠BEF＝∠BFE，
∴BE＝BF．
∴B正确；
过点F作FG∥BC，交AD于点G，
∵∠GFB＝∠FBE＝∠GBF，
∴GF＝BG，
∴，
∴，
∴，
∵AB＝BC＞BE，
∴FA＞EF，
∴C正确；
假设OE⊥BC正确，则∠BEO＝90°，
∵∠BEF＝75°，
∴∠OEA＝90°﹣75°＝15°＝∠CAE，
∴OE＝OA＝OC，
∴∠OEC＝∠OCE＝60°，
∵∠OEC＝60°与OE⊥BC相矛盾，
∴假设不成立，
∴OE⊥BC错误，
∴D不正确．故选：D．
7．解：过点A作AE⊥CD于E，AF⊥BC于F，连接AC，BD交于点O，
∵两条纸条宽度相同，
∴AE＝AF．
∵AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
∵S ABCD＝BC AF＝CD AE．
又∵AE＝AF．
∴BC＝CD，
∴四边形ABCD是菱形，
∴AO＝CO＝1，BO＝DO，AC⊥BD，
∴BO2，
∴BD＝4，
∴四边形ABCD的面积4，
故选：A．
8．解：连接EF，AE与BF交于点O，如图，
∵AO平分∠BAD，
∴∠1＝∠2，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AF∥BE，
∴∠1＝∠3，
∴∠2＝∠3，
∴AB＝EB，
同理：AF＝BE，
又∵AF∥BE，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∴四边形ABEF是菱形，
∴AE⊥BF，OB＝OF＝6，OA＝OE，
在Rt△AOB中，由勾股定理得：OA8，
∴AE＝2OA＝16．
故选：A．
9．解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC，OB＝ODBD，BD⊥AC，
∴BD＝16，
∵S菱形ABCDAC×BD＝96，
∴AC＝12，
∵CE⊥AD，
∴∠AEC＝90°，
∴OEAC＝6，
故选：C．
二．填空题（共9小题，满分27分）
10．解：连接AC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝2，∠D＝∠B＝60°，
∴△ABC与△ACD是等边三角形，
∵E、F分别为BC、CD的中点，
∴AE⊥BC，AF⊥CD，
∴AE＝AF，∠BAE＝∠CAE＝∠DAF＝∠CAF＝30°，
∴∠EAF＝60°，
∴AE＝AF＝EF，
∴△AEF的周长为3．
故答案为3．
11．解：∵四边形ABCD是菱形，AC＝24，BD＝10，
∴S菱形ABCDAC×BD＝120，AO＝12，OD＝5，AC⊥BD，
∴AD＝AB13，
∵DH⊥AB，
∴AO×BD＝DH×AB，
∴12×10＝13×DH，
∴DH．
故答案为：．
12．解：∵四边形ABCD为菱形，
∴OB＝OD，
又∵点O为坐标原点，
∴点B和点D关于原点对称，
∵点B的坐标为（﹣1，），
∴D点坐标为（1，），
故答案为：（1，）．
13．解：如图，连接AC交BD于点H，
∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝70°，
∴BH＝DH，AC⊥BD，CB＝CD，∠CBD∠ABC＝35°，AB∥CD，
∴∠DHC＝90°，∠CDB＝∠CBD＝35°，∠DCE＝∠ABC＝70°，
∵∠ECM＝15°，
∴∠DCF＝∠DCB﹣∠ECM＝70°﹣15°＝55°，
∵DF⊥CM，
∴∠DFC＝90°，
∴∠CDF＝90°﹣∠DCF＝35°，
∴∠CDH＝∠CDF，
在△CDH和△CDF中，
，
∴△CDH≌△CDF（AAS），
∴DH＝DF，
∴BD＝2DH＝2，
故答案为：2．
14．解：∵四边形ABCD为菱形，
∴AB＝AD＝CD＝4，∠DAB＝∠DCB，
∴∠DAF＝∠DCE，
∵DE⊥BC，DF⊥AB，
∴∠F＝∠E＝90°，
在△ADF和△CDE中，
，
∴△ADF≌△CDE（AAS），
∴AF＝CE＝1，
∴DF．
故答案为：．
15．解：∵四边形ABCD是菱形，
∴BC＝AB＝4．
∵E是AB的中点，
∴BE．
∵BE2+EC216，BC2＝42＝16，
∴BE2+EC2＝BC2．
∴∠BEC＝90°．
即CE⊥AB．
连接AC，AC与BD交与点O，如图，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AO⊥BD，BO＝ODBD，AOAC．
∴∠ABC＝60°．
∴△ABC为等边三角形．
∴AC＝4．
∴AO＝2．
∴BO2．
∴BD＝2BO＝4．
故答案为：4．
16．解：如图，过点A作AG⊥BC于点G，过点E作EH⊥BC于点H，过点D作DK⊥AB于点K，
在Rt△ABG中，∠AGB＝90°，∠B＝30°，AB＝4，
∴AGAB＝2，
∴BG2，
∵AB＝AC，AG⊥BC，
∴BC＝2BG＝4，∠BAG＝∠CAG∠BAC，
∵AB＝AC，∠B＝30°，
∴∠C＝∠B＝30°，
∴∠BAC＝120°，
∴∠BAG＝∠CAG＝60°，
∵四边形ADEF是菱形，且∠DAF＝60°，
∴AD＝DE，
设BD＝x，则CD＝4x，DG＝2x，
∴AD2＝AG2+DG2＝22+（2x）2＝x2﹣4x+16，
∴DE2＝x2﹣4x+16，
在Rt△BDK中，∠B＝30°，
∴DKBDx，
∴BKx，
∴AK＝AB﹣BK＝4x，
∵∠DAF＝60°，
∴∠EDH+∠ADG＝120°，
∵∠ADG+∠DAG＝90°，∠DAK+∠DAG＝∠BAG＝60°，
∴∠ADG＝∠DAK+30°，
∴∠EDH+∠DAK＝90°，
∵∠ADK+∠DAK＝90°，
∴∠EDH＝∠ADK，
在△EDH和△ADK中，
，
∴△EDH≌△ADK（AAS），
∴EH＝AK＝4x，DH＝DKx，
∴CH＝CD﹣DH＝4xx＝4x，
在Rt△CEH中，CE2＝CH2+EH2＝（4x）2+（4x）2＝3x2﹣16x+64，
∵△CDE为等腰三角形，
∴CD2＝CE2或CD2＝DE2或CE2＝DE2，
当CD2＝CE2时，（4x）2＝3x2﹣16x+64，
解得：x＝22或x＝22，
∴BD＝22或22；
当CD2＝DE2时，（4x）2＝x2﹣4x+16，
解得：x，
∴BD，DC，
此时点在点G的右侧，DG＝BD﹣BG2，
∴tan∠ADG，
∴∠ADG＝60°，
∴∠ADC＝120°，
∵四边形ADEF是菱形，且∠DAF＝60°，
∴DE＝AD，且∠ADE＝∠ADC＝120°
即点E与点C重合，△CDE不存在，
∴BD不符合题意，舍去；
当CE2＝DE2时，3x2﹣16x+64＝x2﹣4x+16，
化简得：x2﹣6x+24＝0，
解得：x＝2或x＝4，
当x＝4，即BD＝4时，点D与点C重合，△CDE不存在，故舍去，
∴BD＝2．
综上所述，BD＝22或22或或2时，△CDE为等腰三角形．
故答案为：22或22或2．
17．解：过M作MN⊥AD于N，
∵四边形ABCD是菱形，AB＝8，
∴∠DAC＝∠BAC∠BAD120°＝60°，
∵EF⊥AC，
∴AE＝AF＝4，∠AFM＝30°，
∴AM＝2，
Rt△AMN中，∠AMN＝30°，
∴AN＝1，MN，
∵AD＝AB＝2AE＝8，
∴DN＝8﹣1＝7，
由勾股定理得：DM，
故答案为：2．
18．解：如图，过点C作CM⊥GB于M，CN⊥GD于N，则∠CMG＝∠CNG＝90°，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AB＝AD．
又∵AB＝BD，
∴△ABD为等边三角形．
∴∠A＝∠BDF＝60°．
又∵AE＝DF，AD＝BD，
∴△AED≌△DFB（SAS），
∴∠ADE＝∠DBF，
∴∠BGE＝∠BDG+∠DBG＝∠BDG+∠ADE＝60°，
∴∠BGD＝120°，
又∵菱形ABCD中，∠BCD＝∠A＝60°，
∴∠BGD+∠BCD＝180°，
∴∠CBM+∠CDG＝180°，
又∵∠CDN+∠CDG＝180°，
∴∠CDN＝∠CBM，
又∵CD＝CB，∠CMB＝∠CNG＝90°，
∴△CBM≌△CDN（AAS），
∴CN＝CM，
又∵CM⊥GB，CN⊥GD，
∴CG平分∠BGD，
∴∠MGC＝60°，
∵△CBM≌△CDN，
∴S四边形BCDG＝S四边形CMGN，
∵CG＝CG，CM＝CN，∠CMG＝∠CNG＝90°，
∴△CMG≌△CNG（HL），
∴S四边形CMGN＝2S△CMG，
∵∠CGM＝60°，CM⊥GM，
∴∠GCM＝30°，
∴GMCG，CMCG＝3，
∴S四边形BCDG＝S四边形CMGN＝2S△CMG＝23＝3．
故答案为：．
三．解答题（共8小题，满分66分）
19．（1）证明：∵∠ABD＝90°，E是AD的中点，
∴BE＝DE＝AE，
∵AD＝2BC，
∴BC＝DE，
∵AD∥BC，
∴四边形BCDE为平行四边形，
∵BE＝DE，
∴四边形BCDE为菱形；
（2）解：由（1）得：四边形BCDE为菱形，
∴BC＝BE，
∵AD∥BC，
∴四边形ABCE为平行四边形，
∵AC⊥BE，
∴四边形ABCE为菱形，
∴BC＝AB＝2，AD＝2BC＝4，
∵∠ABD＝90°，
∴BD．
20．（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠CAB＝∠DCA，
∵AC为∠BAD的平分线，
∴∠CAB＝∠DAC，
∴∠DCA＝∠DAC，
∴CD＝AD，
∵AB＝AD，
∴AB＝CD，
∵AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AB＝AD，
∴平行四边形ABCD是菱形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC，BD⊥AC，OBBD＝1，
∴∠AOB＝90°，
∴OA3，
∴AC＝2OA＝6，
∵CE⊥AB，
∴∠AEC＝90°＝∠AOB，
又∵∠OAB＝∠EAC，
∴：EA，
∴BE＝EA﹣AB，
过O作OP⊥AE于P，
则OP，
∴△OBE的面积，
故答案为：．
21．（1）证明：∵菱形ABCD的边长为2，对角线BD＝2，
∴AB＝AD＝BD＝2，BC＝CD＝BD＝2，
∴△ABD与△BCD都是等边三角形，
∴∠BDE＝∠C＝60°，
∵AE+CF＝2，
∴CF＝2﹣AE，
又∵DE＝AD﹣AE＝2﹣AE，
∴DE＝CF，
在△BDE和△BCF中，
，
∴△BDE≌△BCF（SAS）；
（2）解：△BEF是等边三角形．理由如下：
由（1）可知△BDE≌△BCF，
∴BE＝BF，∠DBE＝∠CBF，
∴∠EBF＝∠DBE+∠DBF＝∠CBF+∠DBF＝∠DBC＝60°，
∴△BEF是等边三角形．
22．（1）证明：连接BD，如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴BD⊥AC，AB∥CD，
∵EF⊥AC，
∴EF∥BD，
∴四边形EFDB是平行四边形，
∴DF＝EB，
∵E是AB中点，
∴AE＝EB，
∴AE＝DF，
∵AB∥CD，
∴∠EAM＝∠ADF，
在△AEM和△DMF中，
，
∴△AME≌△DMF（AAS），
∴AM＝DM；
（2）解：由（1）知△AME≌△DMF，
∴AE＝DF＝3，
.∵E为AB的中点，
∴AB＝2AE＝6，
∴菱形ABCD的周长为6×4＝24．
23．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∴∠ADB＝∠CBD，
∴∠ADE＝∠CBF，
在△ADE和△CBF中，
，
∴△ADE≌△CBF（SAS）；
（2）解：当AC⊥BD时，四边形AFCE是菱形，理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD，
∴AC⊥BD，
∵△ADE≌△CBF，
∴AE＝CF，∠AED＝∠CFB，
∴AE∥CF，
∴四边形AFCE是平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴ AFCE是菱形．
24．（1）证明：∵AO＝OC，OB＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠2＝∠ACB，
∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠ACB
∴AB＝CB，
∴平行四边形ABCD是菱形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
在Rt△ABO和Rt△EBO中，根据勾股定理得：OB2＝AB2﹣AO2＝BE2﹣OE2，
设OE＝x，
∵AE＝4，AB＝6，EB＝2，AO＝4+x，
∴62﹣（4+x）2＝（2）2﹣x2，
解得：x＝1，
∴AO＝AE+OE＝4+1＝5．
25．（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠DMO＝∠BNO，
∵MN是对角线BD的垂直平分线，
∴OB＝OD，MN⊥BD，
在△MOD和△NOB中，
，
∴△MOD≌△NOB（AAS），
∴OM＝ON，
∵OB＝OD，
∴四边形BNDM是平行四边形，
∵MN⊥BD，
∴平行四边形BNDM是菱形；
（2）解：由（1）可知，OB＝OBD＝6，OM＝ONMN＝2，四边形BNDM是菱形，
∴BN＝DN＝DM＝BM，
∵MN⊥BD，
∴∠BON＝90°，
∴BN2，
∴菱形BNDM的周长＝4BN＝8．
26．（I）证明：在图（1）中，连接AC．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，AB∥CD，CA平分∠BCD．
∵∠B＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠BAC＝60°，AB＝AC．
∵AB∥CD，
∴∠ACD＝∠BAC＝60°，
∴∠B＝∠ACD＝60°．
∵∠EAF＝60°，
∴∠BAE+∠EAC＝∠EAC+∠CAF＝60°，
∴∠BAE＝∠CAF．
在△ABE和△ACF中，，
∴△ABE≌△ACF（ASA），
∴AE＝AF，
∴△AEF为等边三角形，
∴∠AEF＝60°，
∴∠CEF+∠AEB＝120°．
∵∠BAE+∠AEB＝120°，
∴∠BAE＝∠CEF．
（II）解：∠BAE＝∠CEF．
在图（2）中，连接AC，由（I）知：∠ABC＝∠ACD＝60°，∠EAF＝∠BAC＝60°，AB＝AC，
∴∠ABE＝∠ACF＝120°，∠BAE＝∠CAF．
在△ABE和△ACF中，，
∴△ABE≌△ACF（AAS），
∴AE＝AF，
∴△AEF为等边三角形，
∴∠AEF＝60°，
∴∠AEB+∠CEF＝60°．
∵∠AEB+∠BAE＝∠ABC＝60°，
∴∠BAE＝∠CEF．